1.2. Orthogonale Basen und Schmistsche Orthogonalisierungsverfahren.

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1 .. Orthogonle Bsen und Schmistsche Orthogonlisierungsverfhren. Definition.. Eine Bsis B = { b, b,..., b n } heit orthogonl, wenn die Vektoren b i, i =,,..., n, prweise orthogonl sind, d.h. bi b j = fur i j. Die Bsis B = { b, b,..., b n } heit orthonorml, wenn sie orthogonl ist und lle Bsisvektoren normiert sind. Beispiel.9. Die nturliche Bsis ist orthonorml. Es sei drn erinnert, dss eine n n-mtrix orthogonl ist, wenn gilt: A T A = E, (lso A T = A ). Stz.. Fur eine n n-mtrix A sind quivlent () A ist orthogonl. () Die Abbildung T ( x) = A x ist isometrisch (lngentreu), d.h. A x = x, fur lle x R n. () Die Abbildung T ( x) = A x ist kongruent (lngen- und winkeltreu), d.h., T erhlt ds Sklrprodukt (A x) (A y) = x T A T A y = x T y = x y, fur lle x, y R n. (4) Die Splten (Zeilen) von A bilden eine orthonormle Bsis des R n. Beweis: Wir beweisen nur () (4) : A T A = E T T. (... n ) = E T i j = i j = {, i j,, i = j. # T n... Schmidtsches Orthonormierungsverfhren. 6

2 7 Stz.4. (Grm-Schmidtsches Orthonormierungsverfhren) Es seien b,..., b k R n (k n) liner unbhngige Vektoren des R n. Hierus wird nun eine Orthonormlbsis c,..., c k R n (k n) der lineren Hulle Lin ( b,..., b k ) konstruiert: () Mn setzt c = b. b () Der zweite Vektor soll nun zu c bzw. b orthogonl sein. Deshlb zerlegt mn den Vektor b in die zu c prllele Komponente = Projektion von b uf c und den dzu orthogonlen Vektor: c = b ( b c ) c und normiert c = c c. () Nun wird der Vektor c us b so konstruiert, dss c orthogonl zu c und c ist, d.h. wir bilden zunchst die Projektionen von b uf c und c und berechnen dnn und normieren (4) Mn fhrt so fort bis und normiert c = b ( b c ) c ( b c ) c c = c c. c k = k b k ( b k c i ) c i i= c k = c k c k. Bemerkung.6. In jedem Schritt ist ein Element c i konstruierbr. Wre dem nicht so, so wre der Vektor b i liner bhngig von c,..., c i und dmit b,..., b i. Ds ist ber nch Vorussetzung usgeschlossen!

3 8 v v u v u u Sind nur liner unbhngige Vektoren u, v zu orthogonlisieren, so entsteht ds orthogonle System durch u = u und u = v u der orthogonle Vektor zur Projektion von v uf u. Durch Normieren der Vektoren erhlt mn orthonormle Vektoren. w u w u w u E w u u Im Fll von Vektoren u, v, w gewinnt mn zunchst orthogonle bzw. orthonormle Vektoren von u, v wie bereits beschrieben. Der dritte Vektor w lsst sich in einen Anteil, der in der von u und v ufgespnnten Ebene liegt, und einen dzu orthogonlen Anteil ufsplten. Dieser orthogonle Anteil ist die gesuchte dritte Richtung, durch Normieren erhlt mn den. normierten Vektor. Beispiel.. Es seien die folgenden Vektoren gegeben: 4 8 v =, v =, v =. 8 6 Mn benutze ds Grm-Schmidtsche-Orthonormierungsverfhren, um eine Bsis fur Lin ( v, v, v ) zu konstruieren.

4 () u := v v = 4. () u := v ( v ) u = v ( v u ) u = v und wir erhlten u = u u = 7 4. () u := v ( v ) u ( v ) u = v ( v u ) u ( v u ) u = u = u u = und wir erhlten

5 Ds Schmidtsche-Orthogonlisierungsverfhren ist nicht nur uf Vektoren im R n nwendbr, sondern llgemein in Vektorrumen, lso insbesondere uch uf Funktionenrume. Dzu benotigt mn ber ein Sklrprodukt fur Funktionen. Ein Vektor wird durch seine Koordinten beschrieben, eine Funktion, die uf dem Intervll [, b] gegeben ist, ht fur jedes x [b, b] einen Funktionswert. Gehen wir vom Sklrprodukt im R n us: n v w = v i w i, so sollte ds Sklrprodukt fur zwei Funktionen f(x) und g(x) wie folgt ussehen: f, g := i= f(x)g(x) dx. Dies ist gerde ds L -Sklrprodukt uber dem Intervll [, b]. Genuso wie ds Sklrprodukt v v = v die Lnge des Vektors (zum Qudrt) ergibt, gilt f, f := f(x)f(x) dx =. Funktionräume f(x) dx = f. Als Funktionenrume bezeichnet mn Vektorrume von Funktionen. Beispiel.. Der Rum C k (, b), der uf dem oenen Intervll k-ml stetig dierenzierbren Funktionen ist ein Vektorrum mit der Addition zweier k-ml stetig dierenzierbrer Funktionen (f + g)(x) := f(x) + g(x), fur lle x (, b), und der Multipliktion mit Sklren (Zhlen) α (αf)(x) := α f(x) fur lle x (, b)... Sklrprodukträume. Wir betrchten im Rum C[, ] die Funktionen f(x) = und g(x) = x Es gilt f(x) L = dx = x und g(x) L = x dx = =. Wir konnen mit Hilfe des Sklrprodukts ber uch Winkel messen, d.h. wir k onnen insbesondere feststellen ob Funktionen im Sinne des Sklrprodukts senkrecht ufeinnder stehen, lso orthogonl sind. Es gilt f(x)g(x) dx = x dx = x =, d.h. die Funktionen f(x) = und g(x) = x sind orthogonl zueinnder.

6 . FUNKTIONRAUME.. Unterräume und Bsen. Wie wir bereits wissen sind orthogonle Elemente eines Vektorrums liner unbhngig. Aus liner unbhngigen Elementen knn mn mit Hilfe des Schmidtschen Orthogonlisierungsverfhrens orthogonle Elemente erzeugen. Definition.4. Eine Menge von Funktionen {f (x), f (x),..., f n (x)} ist uf dem Intervll (, b) liner unbhngig, wenn us α f (x)+α f (x)+...+α n f(x) = fur lle x (, b) folgt α = α =... = α n =. Wie mn sich leicht uberzeugt sind die Funktionen, x, x, x,..., x n uf dem Intervll (, ) liner unbhngig. Orthogonlisiert mn diese Funktionen mittels dem Schmidtschen Orthogonlisierungsverfhren, so erhlt mn die sogennnten Legendre-Polynome (fur n = ), x, x, x x, x x +, x 9 x +. Diese Funktionen bilden ein Orthogonlsystem von Funktionen f ur den Rum P [, ], dem Rum der Polynome vom Grd kleiner gleich uf dem Intervll [, ]. Wie fur Vektoren knn mn nun nlog die Projektion einer stetigen Funktion f uf den Rum W = P n [, ] mit der orthogonlen Bsis g, g,..., g n bestimmen: proj W f = f, g g g + f, g g g f, g n g n g n. Insbesondere sind lso die Koezienten der Entwicklung von f = c g + c g c n g n nch den Funktionen g, g,..., g n gerde: c = f, g g, c = f, g g,..., c n = f, g n g n. Ds folgt unmittelbr us den Sklrprodukten von f mit den g k, k =,,..., n, denn n f, g k = c j g j, g k = c k g k, g k = c k g k L. j= Beispiel.. Wir mochten die beste linere Approximtion g(x) = + bx der Funktion e x uf dem Intervll [, ] bestimmen. D.h. wir mussen die Projektion von f(x) = e x in den Rum P [, ] bestimmen. Wie wir bereits gesehen hben sind und { x liner } unbhngige, orthogonle Elemente dieses Rums und folglich ist, x eine orthonormle Bsis fur P [, ]. Nun ist e x, = e x dx = (e e )

7 und ) e x, x = xex dx = (xe x ( e x dx = xe x ex ) = 6e. Somit ist die beste linere Approximtion von f(x) = e x uf dem Intervll [, ] die Funktion g(x) = (e e ) + 6e x = (e e )+e x = sinh + x, 7+, 6x. e.. Wnn sind Funktionen nhezu gleich? Funktionen eines Funktionenrums sind dnn gleich ( " fst gleich\), wenn die Norm ihrer Dierenz Null ( " nhezu Null\) ist. Oensichtlich sind stetige Funktionen f(x) und g(x) im Rum C[, b, ] genu dnn gleich, wenn sie punktweise gleich sind, d.h. wenn f(x) = g(x) fur lle x [, b] gilt. Dgegen sind Funktionen im L [, b] gleich, wenn f(x) g(x) dx = gilt. Folglich knn mn jede Funktion f(x) in endlich vielen Punkten bndern ohne ds sich Norm ndert bzw. f(x) und g(x) sind gleich, wenn sie nur " uf einer Menge vom Me Null\ verschieden voneinnder sind. Ds ist unschon.

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