Durch Eliminieren der Wurzel erhalten wir die bekannte Kreisgleichung:

Transkript

1 Fixieren wir ein Seil der Länge r an einem Punkt M, nehmen das lose Ende in die Hand und bewegen uns so um den Punkt M herum, dass das Seil stets gespannt bleibt, erhalten wir, wie in nebenstehender Abbildung gezeigt, eine Menge von Punkten, die vom Punkt M alle den selben Abstand haben. Die Menge all dieser Punkte wird als Kreis bezeichnet. Definition: Ein Kreis k mit dem Mittelpunkt M und dem Radius r ist die Menge all jener Punkte der Ebene, die von M den Abstand r haben. Wie aus der obigen Abbildung zu erkennen ist, liegt ein Punkt genau dann auf einem Kreis, wenn gilt: MX = r oder X M = r Setzen wir für X = x, y und für M = m, n, dann errechnet sich der Abstand zwischen den Punkten M und X mit: x m y n = r Durch Eliminieren der Wurzel erhalten wir die bekannte Kreisgleichung:

2 x m y n = r Damit haben wir bewiesen: Satz: Ist k ein Kreis in einer Ebene mit dem Mittelpunkt M und dem Radius r, dann gilt: X k X M = r bzw. x, y R x m y n = r Übliche Schreibweisen für den Kreis sind: k = {X R : X M = r } bzw. k = { x, y R : x m y n = r } Hat der Mittelpunkt M die Koordinaten 0,0 dann reduziert sich die Kreisgleichung fu die Form x y = r Wie in neben stehender Abbildung gezeigt, können die x-koordinate und die y- Koordinate als Katheten eines rechtwinkeligen Dreiecks aufgefasst werden. Berechnet man mit Hilfe des Satzes von Pythagoras die Länge der Hypotenuse, erhält man wieder die bekannte Kreisgleichung.

3 Quadratische Gleichungen als Kreis Wir multiplizieren die Gleichung x m y n = r aus und erhalten: x mx m y ny n = r x y mx ny m n = r x y mx ny m n r = 0 Die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung lautet: x y m = a x n = b y m n r = c = 0 x y ax by c = 0 Nicht jede quadratische Gleichung ist auch eine Kreisgleichung. Damit dies der Fall ist, müssen die folgenden Bedingungen erfüllt sein: a = m b = n c = m n r Löst man obige Gleichungen nach m, n und r auf, erhält man: m = a n = b r = 1 a b 4c Der Radius r lässt sich nur dann berechnen, wenn der Ausdruck unter der Wurzel 0 ist. Eine quadratische Gleichung ist nur dann die Gleichung eines Kreises, wenn gilt: a b 4c

4 hat dann den Mittelpunkt M : M = a, b Schnitt von Kreis und Gerade Es seien ein Kreis k und eine Gerade g gegeben. Ein Punkt P x, y ist genau dann ein Schnittpunkt von Kreis und gerade, wenn er sowohl auf der Geraden als auch auf dem Kreis liegt, d.h. es ist das Gleichungssystem y = kx d x m y n = r zu lösen. Setzt man in der Kreisgleichung für die folgende quadratische Gleichung: y den Ausdruck kx d ein, erhält man x m y n = r x m kx n = r x mx m k x kn n = r 1 k x m n x m n r = 0 A B C Setzt man: A = 1 k B = m n C = m n r dann erhält man eine quadratische Gleichung der Form A x B x C = 0

5 Die Lösungsformel für diese Gleichung lautet: x 1, = B± B 4AC A Es sind die folgenden drei Fälle zu unterscheiden: B 4AC 0 es gibt zwei Schnittpunkte, SEKANTE B 4AC=0 es gibt einen Schnittpunkt, TANGENTE B 4AC 0 es gibt keinen Schnittpunkt, PASSANTE Die folgende Abbildung veranschaulicht die gegenseitige Lagebeziehung von Kreis, Passante, Tangente und Sekante.

6 Tangenten eines Kreises Definition: Eine Gerade t die mit einem Kreis nur den Punkt als Tangente an den Kreis im Punkt P. P gemeinsam hat, bezeichnet man

7 Die Tangente t kann man auch als Gerade durch den Punkt P auffassen, die auf die Gerade durch die Punkte M und P senkrecht steht. Eine Gleichung der Tangente t erhält man, wenn man berechnet: MX = MP PX Multiplikation mit MP (Skalarprodukt) ergibt: MX MP = MP PX MP =0 Weil MP und PX aufeinander senkrecht stehen, ergibt ist das Skalarprodukt MP PX = 0 und damit erhält man die Tangentengleichung: X M P M = r Setzt man für X = x, y, P = p 1, p und M = m 1,m dann lautet diese Gleichung: x m 1 p 1 m 1 y m p m = r Schnitt und gegenseitige Lage zweier Kreise Es seien die beiden Kreise x m 1 y n 1 = r 1 x m y n = r

8 gegeben. Zur Berechnung der Schnittpunkte der beiden Kreise werden die beiden Gleichungen wie folgt ausmultipliziert: x m 1 x m 1 y n 1 y n 1 x m x m y n y n = r 1 = r Subtrahiert man nun die untere von der oberen Gleichung erhält man: m m 1 x n n 1 y = r 1 r m m 1 n n 1 Löst man diese Gleichung nach y auf, erhält man eine Geradengleichung der Form: y = m 1 m x r 1 r m m 1 n n 1 n n 1 n n 1 Schneidet man diese Gerade mit einem der beiden Kreise, erhält man die Schnittpunkte der beiden Kreise. Je nach Größe und Lage der Mittelpunkte, gibt es unterschiedliche Lagebeziehungen zwischen zwei Kreisen. Die folgenden Abbildungen zeigen die dabei möglichen Fälle.

9 gegenseitige Lage zweier Kreise gegenseitige Lage zweier Kreise

10 Zur Bestimmung der Lagebeziehung zweier Kreise bedienen wir uns des in der unten stehenden Abbildung dargestellten Schemas. Abbildung 1: gegenseitige Lage zweier Kreise