Lösung zu Serie 2. D-ERDW, D-HEST, D-USYS Dr. Ana Cannas. Mathematik II FS März 2016

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1 Mathematik II FS 6. März 6 Lösung zu Serie Bemerkung: Die Aufgaben der Serie sind der Fokus der Übungsstunden vom./3. März.. a y = x und es wird die ganze Parabel einmal durchlaufen, denn x nimmt alle reellen Werte einmal an, da < t < +. b y = x + 3 und es wird die ganze Gerade einmal durchlaufen, denn y und x nehmen alle reellen Werte einmal an, da < t < +. c x + y = und es wird der ganze Kreis durchlaufen, insbesondere hat der Parameter

2 Mathematik II FS 6. März 6 t die Bedeutung des Winkels zwischen der positiven x-halbachse und dem Ortsvektor (cos(t, sin(t und da die Winkelgeschwindigkeit dieser Kurve doppelt so schnell ist, wie diejenige des standardmässig parametrisierten Einheitskreises (cos t, sin t (parametrisiert im Gegenuhrzeigersinn verläuft die Kurve für t π einmal um den ganzen Kreis. d x y = und es wird der rechte Scheitel (von rechts unten nach rechts oben durchlaufen, da cosh t immer positiv ist. y x y = t= - x. Ähnlich wie beim Kreis, wird eine durch die Gleichung x a + y = gegebene Ellipse durch b x = a cos t, y = b sin t, t π parametrisiert, falls sie gegen den Uhrzeigersinn und genau einmal durchlaufen wird. Deshalb stellen die folgenden Parametrisierungen mögliche Lösungen der Aufgabe dar. a x = a cos t, y = b sin t, t π. b x = a cos t, y = b sin t, t π.

3 Mathematik II FS 6. März 6 c x = a cos t, y = b sin t, t π. d x = a cos t, y = b sin t, t π. 3. a Die gesuchte Halbgerade soll sich bei t = an der Stelle x( =, y( = befinden und danach irgendwann durch den Punkt (, verlaufen. Ein Richtungsvektor der Geraden ist also durch ( ( ( = gegeben. Damit wäre eine Parametrisierung des Strahls ( ( ( x(t = + t y(t wobei t sei. Eine mögliche Parametrisierung ist somit x = + ( ( t = + t, y = + ( t = t, t. b Umstellen der gegebenen Gleichung liefert x = y +. Insbesondere kann y als freier Parameter gewählt werden. Da nur nach der unteren Parabelhälfte gefragt ist, braucht y lediglich im Bereich (, ] zu rangieren. Damit ist eine mögliche Antwort: x = t +, y = t, t. c Der linke Scheitel der Hyperbel mit der Gleichung x y = ist gegeben als die Menge aller Lösungen dieser Gleichung mit x. Zu jedem y R gibt es genau ein solches x, und zwar x = + y. Somit kann die folgende Parametrisierung gewählt werden: x = + t, y = t, t R. Bemerkung: Mit dem hyperbolischen Satz des Pythagoras kann man sehen, dass x(t = cosh(t, y(t = sinh(t, t R ebenfalls eine Parametrisierung aller Lösung der Hyperbelgleichung mit x darstellt.. Durch Ableiten der Kurvengleichung nach dem Kurvenparameter erhält man stets einen Vektor, der parallel zur Tangente ist. a Für die Kurve t ( t t 3

4 Mathematik II FS 6. März 6 erhält man somit an der Stelle (x(t, y(t einen tangentialen Vektor als (. t ( Damit hat die Tangente an der Stelle t = den Vektor als Richtungsvektor und ( verläuft durch den Vektor. Man findet dann leicht die Tangentengleichung y(x = x +. Da in diesem Fall die Kurve direkt in der Form y(x = x geschrieben werden kann (Elimination der Variablen t ist nicht so kompliziert, kann die gesuchte zweite Ableitung direkt berechnet werden: d y dx =. b Analog ( zum obigen Vorgehen ( hat man die Gleichung einer Geraden mit Richtung 5 durch den Punkt zu bestimmen. Man erhält y = x. Wieder kann t aus den Gleichungen für x und y eliminiert werden, nämlich durch y = t = (t = ( x 3. Damit lässt sich d y dx = berechnen. c Es ist (x t=, y t= = ( + e, e = (,. Desweiteren ist ( dy dy dx = = et t= + e t = t= t= ( dx + =. Dann ist die Tangente an die Kurve im Punkt (, gegeben durch Der Wert d y dx und somit (y = (x y = x +. berechnet sich wie folgt ( d y dx = ( dy ( dx = d e t +e t + e t = e t (+e t ( e t (e t (+e t + e t = et ( + e t 3 d y dx = t= ( + 3 = Die Bogenlänge des Graphen einer differenzierbaren Funktion b f : [a, b] R ist durch + (f (x dx gegeben. Insbesondere erhalten wir a

5 Mathematik II FS 6. März 6 a für f(x = x 3, a = und b = : + (f (x dx = = = ( 3 x dx = ( x., = 8 7 ( (3 + 9 x dx 3 b für f(x = x, a = und b = ergibt sich (unter Zuhilfenahme der Substitution x = sinh(u: + (f (x dx = arsinh( + (x dx = ] u=arsinh( cosh (u du = [ u + sinh(u cosh(u u= = ( arsinh( + sinh(arsinh( cosh(arsinh(. }{{}}{{} Da u = arsinh( die eindeutige positive Lösung der Gleichung e u e u =, = = + was eine quadratische Gleichung in e u ist, ergibt sich nach Lösen der quadratischen Gleichung und anschließendem Logarithmieren u = ln( + 5. Insgesamt erhält man als Bogenlänge ln ( c Ist eine Kurve mittels einer Parametrisierung Kurve von a nach b gegeben durch b (dx L = + Für die Zykloide ist L = a ( x(t gegeben, so ist die Länge dieser y(t ( dy. ( cos t + (sin t = cos t = cos t Aber da cos(π t = cos t ist das Integral über cos t von bis π dasselbe wie von π bis π. Nun verwenden wir die Substitution u := cos t, resp. arccos u = t, und du = u 5

6 Mathematik II FS 6. März 6 wobei die Grenzen nun = cos π und = cos sind. Dann ist L = = = cos t = u du u u u du = u u + u du + u du = [ + u ] = = 8. Bemerkung: Die Parametrisierung lässt sich wie folgt aufteilen: t ( ( ( t sin t t sin t = +, t π. cos t cos t Die erste Komponente parametrisiert das Intervall [, π] auf der x-achse, die zweite parametrisiert den Einheitskreis um (, beginnend mit dem Ursprung im Uhrzeigersinn. Die Superposition dieser beiden Wege beschreibt also, anschaulich gesprochen, die Kurve, die ein Punkt auf der Einheitskreisscheibe durchläuft, wenn diese auf der x-achse ohne zu gleiten abrollt. d Die Ableitung der Parametrisierung nach dem Kurvenparameter t ist ( ( ( cos t sin t sin t ( + cos t sin t + ( + cos t =, sin t cos t cos t ( + cos t wobei wir cos t = sin t verwendet haben. Für die Bogenlänge erhalten wir daraus zunächst ( sin t ( + cos t cos t ( + cos t = ( + cos t cos t ( + cos t + = = = + cos t = + cos t π + cos(t + π = cos t cos t. Mit der Substitution t = arccos u folgt wie in 6 c cos t =, also ergibt sich für die Bogenlänge = 8. π 6

7 Mathematik II FS 6. März 6 6. a Der gegen den Uhrzeigersinn bei (3, startend durchlaufene Kreis mit Radius um den Punkt (, hätte die Parametrisierung ( ( x (θ + cos(θ = y (θ sin(θ (wenn man nach dem Winkel θ parametrisieren mag. Die in der Aufgabenstellung gesuchte Parametrisierung ergibt sich nun aber, wenn man an der Achse x = spiegelt (dies entspricht der Transformation x x = x, y y = y. Die Parametrisierung x(t = cos(θ, y(t = sin(θ, θ π ist also eine mögliche Wahl. b Wir wollen die Kurve mit dem Parameter θ parametrisieren. Der Skizze können wir entnehmen, dass y x = tan θ, insbesondere ist y x tan(θ =. Ausserdem ist y = x. Einsetzen liefert x tan(θ x =, ( also x(θ = tan (θ und y(θ = tan(θ. Also ist (x, y = tan (θ, tan(θ, < θ < π, wobei man durch (, stetig nach π fortsetzen könnte, denn für θ π konvergiert (x(θ, y(θ gegen (,. c Die gegebene Strecke kann als Teil der durch die Gleichung x + y = beschriebenen Geraden angesehen werden - und zwar als all diejenigen Punkte mit θ π. Die Gleichung x + y = und der Zusammenhang y = x tan(θ ergeben schließlich x(θ ( + tan(θ =, tan(θ also x(θ = + tan(θ und somit y(θ = + tan(θ. Man bemerke, dass diese Darstellung eigentlich nur für θ < π gültig ist, sich aber stetig nach π durch die natürliche Wahl (, fortsetzen lässt. 7

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