Lösungsvorschlag zur 3. Übung

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1 Prof Frederik Armknecht Sascha Müller Daniel Mäurer Grundlagen der Informatik Wintersemester 09/10 1 Präsenzübungen 11 Schnelltest Lösungsvorschlag zur Übung a) Welche der folgenden Aussagen entsprechen den üblichen Konventionen für Unterprogramme in MIPS? Die ersten vier Argumente werden in $a0 bis $a übergeben Sind mehr als vier Argumente nötig, werden diese auf dem Heap abgelegt Die Ergebnisse werden in $s0 bis $s zurück gegeben Die Register $v0 und $v1 werden vom Aufgerufenen gesichert (callee-save) Die Register $t0 bis $t7 werden vom Aufrufer gesichert (caller-save) b) Wo wird bei einem Funktionsaufruf durch den Befehl jal die Rücksprungadresse gesichert? Stack Heap (data) Register Festplatte/Massenspeicher c) Wo werden lokale Variablen einer Funktion abgelegt? Stack Heap (data) Register Festplatte/Massenspeicher d) Wo werden globale Variablen abgelegt? Stack Heap (data) Register Festplatte/Massenspeicher 12 MIPS verstehen Gegeben sei das folgende Codefragment: 1 add $t0, $t1, $t2 2 loop : bge $t2, $t0, end lb $t, 0( $t4 ) 4 sb $t, 0( $t2 ) 5 addi $t2, $t2, 1 6 addi $t4, $t4, 1 1

2 Lösungsvorschlag zur Übung Grundlagen der Informatik, WS 09/10 7 b loop 8 end : a) Was macht dieser Code? Er kopiert einen Speicherbereich byteweise b) Nennen und erklären Sie die Eingabeparameter $t4 Die Speicheradresse, von der kopiert wird $t2 Die Speicheradresse, zu der kopiert wird $t1 Anzahl der zu kopierenden Bytes c) Die Registerbelegung ist wenig intuitiv Schlagen Sie eine Registerbelegung für die Eingabedaten vor, die eher den MIPS-Konventionen entspricht Anstatt $t4, $t2 und $t1 sollte man $a0, $a1 und $a2 verwenden d) Für große $t1 ist dieses Programm aufgrund der byteweisen Verarbeitung ineffizient und könnte fast viermal so schnell laufen Ergänzen Sie das Programm zwischen Zeile 1 und 2, um dies zu erreichen Sie können davon ausgehen, dass die beiden Speicherbereiche an Adressen beginnen, die durch 4 teilbar sind Die Grösse der Speicherbereiche ist jedoch nicht zwangsweise durch 4 teilbar, und Sie dürfen nicht auf die nächste Wortgrenze aufrunden Idee: Sobald die oberen 28 Bits von $t0 und $t2 gleich sind, byteweise kopieren, sonst wortweise loop_2: xor $t, $t0, $t2 blt $t, 4, loop lw $t, 0($t4) sw $t, 0($t2) addi $t2, $t2, 4 addi $t4, $t4, 4 b loop_2 1 Rekursion Betrachten Sie die folgende Funktion: { f (n) = 0, falls n < 1 f (g(n)) + g(n 1) sonst Nehmen Sie an, g(n) sei eine Funktion, die bereits an anderer Stelle implementiert wurde und den MIPS Aufrufkonventionen folgt (Sie können sie also mit jal g aufrufen) Implementieren Sie f (n) als MIPS-Funktion 2

3 Lösungsvorschlag zur Übung Grundlagen der Informatik, WS 09/10 Hier gibt es viele mögliche Lösungen Wichtig ist jedoch, dass die Funktion g(n) potentiell viele Register (wie bspw $a0) verändern könnte und man gezwungen ist, irgend etwas auf dem Stack zu sichern 1 f: ori $v0, $zero, $zero 2 blt $a0, 1, end addi $sp, $sp, -8 4 sw $a0, 0( $sp ) 5 sw, 4( $sp ) 6 jal g 7 move $a0, $v0 8 jal f 9 lw $a0, 0( $sp ) 10 addi $a0, $a0, sw $v0, 0( $sp ) 12 jal g 1 lw $t0, 0( $sp ) 14 lw, 4( $sp ) 15 add $v0, $v0, $t0 16 addi $sp, $sp, 8 17 end : jr 14 Binäre Exponentiation Die einfachste Methode eine Potenz n c für c N zu berechnen, ist die Basis n c-mal zu multiplizieren Dieses Verfahren hat offensichtlich die Komplexität O(c) in der Anzahl der Multiplikationen Eine effizientere Methode mit Komplexität von O(log c) (im allgemeinen Fall) ist die binäre Exponentiation und wurde schon vor mehr als 2000 Jahren in Indien entdeckt: Will man etwa z = x 4 berechnen, kann man dies konventionell als z = x x x x berechnen, oder eine neue Variable y := x x einführen Dann ist z = y y = (x 2 ) 2 = x 4 (also nur zwei Multiplikationen) Verallgemeinert auf allgemeine Exponenten ist die Vorgehensweise sehr ähnlich zur schnellen Multiplikation, die Sie in der ersten Hausübung kennen gelernt haben (Vergleiche: 65x = x (2 6 ) + x und x 65 = x (26) x) In Pseudocode sieht das wie folgt aus: 1 function bin_ exp(x, b) // b ist die binäre Darstellung des Exponents 2 result = 1 // Ergebnis der Berechnung for i = n, n 1,, 1, 0 //i-tes Bit des Exponents 4 result = result 2 5 if b i == 1 6 result = result * x 7 end -if 8 end - for 9 return result 10 end - function Implementieren Sie diese Funktion in MIPS (mit n = 2, da wir mit 2 Bit Werten rechnen) Achten Sie dabei genau darauf, die Aufrufkonventionen einzuhalten und dokumentieren Sie, auf welche Weise die Ein- und Ausgaben erfolgen

4 Lösungsvorschlag zur Übung Grundlagen der Informatik, WS 09/10 Eingabe: $a0 Basis (c) $a1 Exponent (x) Ausgabe: $v0 Potenz x c Wir verwenden nur die temporären Register und nutzen keine Rekursion Daher benötigen wir keinen Stack und halten dennoch die Aufrufkonventionen ein: binary_ exp : li $v0, 1 # $t0 : Ergebnis li $t1, 1 # $t1 : i- tes Bit des Exponents for : # Schleife wird 2 Mal wiederholt ( da 2- bit ) bltz $t1, endfor # Abbruchbedingung : i <0 mul $v0, $v0, $v0 # result = result * result move $t9, $a1 # $t9 : c ( damit $a1 erhalten bleibt ) srlv $t9, $t9, $t1 # c um i nach rechts shiften andi $t9, $t9, 1 # c AND 1 ( damit nur rechtestes Bit bleibt ) if: #if - Abfrage blez $t9, endif # Überspringe if - Block, falls i- tes Bit = 0 mul $v0, $v0, $a0 # result = result * x endif : addi $t1, $t1, -1 # i = i - 1 j for endfor : jr 2 Hausübungen Wichtiger Hinweis: Schicken Sie Ihre Lösungen von Programmieraufgaben zusätzlich zur schriftlichen Abgabe per an Ihren Tutor Kommentieren Sie Ihren Quellcode grundsätzlich Fehlende oder unsinnige Kommentare führen zu Punktabzug 21 Josephus-Problem, Teil 2 Letzte Woche haben Sie in der Hausübung das Josephus-Problem iterativ gelöst Wie Sie vielleicht bemerkt haben, ist eine iterative Lösung dieses Problems nicht die optimale Es lässt sich nämlich einfacher rekursiv lösen Die Rekursionsformel sieht wie folgt aus: f (n, k) = ( f (n 1, k) + k) mod n wobei f (1, k) = 0, n die Anzahl von Soldaten und k die Schrittgröße Lösen Sie nun nochmal das Josephus-Problem, diesmal unter Nutzung der rekursiven Formel Implementieren Sie das Programm so, dass man es mit beliebigen Werten starten kann (syscalls benutzen) Sie dürfen die Ein-/Ausgabeteile Ihrer Lösung von Hausübung 2 benutzen (also die Programmlogik zum Einlesen der eingegebenen Werte und zum Ausgeben des Ergebnisses) 4

5 Lösungsvorschlag zur Übung Grundlagen der Informatik, WS 09/10 Für mehr Informationen über das Josephus-Problem, lesen Sie bitte den Wikipedia-Artikel unter 6 Punkte data entersold : asciiz " Bitte Anzahl n der Soldaten eingeben :" enterstep : asciiz " Bitte Schrittgroesse k eingeben :" result : asciiz " Position des ueberlebenden Soldaten : " align 2 array : space 8096 # Arbeitsarray text main : init : li $v0, 51 # Syscall 51 la $a0, entersold # Anzahl von Soldaten abfragen syscall # Zeigt String an und liest Zahl ein move $t0, $a0 # Anzahl Soldaten in $t0 speichern li $v0, 51 # Syscall 51 la $a0, enterstep # Schrittgröße abfragen syscall # Zeigt String an und liest Zahl ein move $a1, $a0 # Schrittgrösse in $a1 speichern move $a0, $t0 # Anzahl Soldaten wieder in $a0 ( Arraygröße ) jal josephus # Zur Funktion springen j end # Funktion beendet -> Programm terminieren josephus : sub $sp, $sp, 8 # Stackpointer anpassen sw, 4( $sp ) # Rücksprungadresse auf Stack speichern sw $a0, 0( $sp ) # Anzahl Soldaten auf Stack speichern slti $t0, $a0, 2 # Wenn Anzahl Soldaten < 2, dann $t0 = 1 beq $t0, $zero, L1 # Wenn Anzahl Soldaten >= 2, dann weitermachen move $v0, $zero # sonst f(1, k)=0, also 0 in Ergebnisregister add $sp, $sp, 8 # Stack anpassen ( und $a0 nicht geändert ) jr # return L1: # bei Anzahl Soldaten >= 2, hier weitermachen add $a0, $a0, -1 # Soldaten = Soldaten - 1 jal josephus # Funktion mit neuem Wert von $a0 aufrufen lw $a0, 0( $sp ) # Nach return, alter $a0 aus Stack holen lw, 4( $sp ) # Rücksprungadresse aus Stack holen add $sp, $sp, 8 # Stackpointer anpassen add $v0, $v0, $a1 #f(n) = f(n -1,k) + k div $v0, $a0 # f( n) = f( n) % n mfhi $v0 # f( n) in $v0 speichern jr # return end : move $a1, $v0 # $a1 : Ergebnis li $v0, 56 # Syscall 56 la $a0, result # $a0 - der anzuzeigende String addi $a1, $a1, 1 # $a1 ++ ( Wir zählen von 1 und nicht 0 ab) syscall # Zeigt String an und " klebt " Zahl dahinter li $v0, 10 # Syscall 10 - terminiert das Programm syscall # Programm terminiert 22 Stack Betrachten Sie die folgende MIPS-Funktion: 1 function : li $v0, 1 2 ble $a0, $v0, end 5

6 Lösungsvorschlag zur Übung Grundlagen der Informatik, WS 09/10 4 addi $sp, $sp, -8 5 sw $a0, 0( $sp ) 6 sw, 4( $sp ) 7 8 addi $a0, $a0, -1 9 jal function 10 lw $t0, 0( $sp ) 11 mul $v0, $v0, $t lw, 4( $sp ) 14 lw $a0, 0( $sp ) 15 add $sp, $sp, end : jr a) Angenommen, die Funktion befindet sich an Speicheradresse und wird mittels jal function mit dem Parameter $a0 = aufgerufen Nehmen Sie außerdem an, dass $sp den Wert hat Zeichnen Sie für jeden Zustand nach Ausführung von Zeile 6 und 16 die Stackbelegung und geben Sie den aktuellen Wert von $sp an Geben Sie für die Stackinhalte konkrete Werte an, wo Sie sie kennen Zeigen Sie durch einen Pfeil, auf welches Element $sp gerade zeigt Zu Anfang sind alle Werte des Stacks undefiniert und $sp zeigt an Position :?? $sp = ? Punkte 6

7 Lösungsvorschlag zur Übung Grundlagen der Informatik, WS 09/10 Der Anfangswert von ist unbekannt Nach Zeile 6: $sp = f f 8 16? In Zeile 9 wird die Funktion rekursiv erneut aufgerufen Das Register wird dabei auf die Speicheradresse von Zeile 10 gesetzt Jeder Hardwarebefehl hat eine Größe von 1 Wort, also 4 Bytes, was man benutzen kann, um die Speicheradresse von Zeile 10 zu ermitteln Für diese Aufgabe nehmen wir vereinfachend an, dass auch Pseudobefehle 4 Bytes groß sind, so dass sich für Zeile 10 die Adresse 11C 16 ergibt Ebenfalls richtig (da in der Aufgabenstellung nicht explizit geschrieben) ist die Adresse , da der Befehl ble im Mars durch zwei Hardwarebefehle umgesetzt wird Nach Zeile 6: 11C 16 2 $sp = f f 0 16 Nach Zeile 15: $sp = f f C 16 2 Nach Zeile 15:? $sp = C 16 2 b) Welche Funktion wird hier berechnet? Begründen Sie Ihre Antwort! 1 Punkt f (x) = x! f (x) =? 7