Kapitel 4. Budgetmenge. Budgetmenge. Nutzenmaximierung und Konsumentenauswahl. Nutzenmaximierung und Konsumentenauswahl

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1 Nutzemaimierug ud Kosumeteauswahl Kaitel 4 Nutzemaimierug ud Kosumeteauswahl Defiitio der Budgetmege ud der Budgetbeschräkug. Die ege der mögliche Alterative Darstellug der otimale Kosumeteauswahl: Grahisch. Nutzemaimierug uter Budgetbeschräkug athematische Lösug: Lagragemethode. Zur Bestimmug der otimale Kosumeteauswahl 1 2 Budgetmege Budgetmege Die Budgetmege: Gibt alle Warekörbe a, die ei Kosumet gegebe seie Budgetbeschräkug erreiche ka. Das Budget hägt vom Eikomme () des Kosumete ud vo de Preise () ab. Es ist gegebe durch alle =( 1, 2,, ) für die gilt: Grahische Darstellug Die Budgetmege ist das Dreieck uter der Budgetbeschräkug: Umgeschriebe als: 3 4

2 Budgetmege Eie Erhöhug des Eikommes: Die Budgetgerade wird ach auße verschobe. Die Steigug bleibt gleich. Budgetmege Eie Veräderug der Preise: Die Budgetgerade rotiert um die Achseabschitte. 5 6 Nutzemaimierug Otimale Kosumeteauswahl: a U(, ) u.d.n. Die Wahlvariable des Kosumete sid ud. ootoie ( ehr ist besser ) imliziert, dass die Nebebedigug immer bidet, d.h. der Kosumet gibt sei gesamtes Eikomme aus. Grahische Lösug: Nutzemaimierug Die RS ist gleich dem Preisverhältis. Der Trade-off des Kosumete zwische de Güter fidet zum gleiche Verhältis statt wie der des arktes (bei iere Lösuge). 7 8

3 Nutzemaimierug Nutzemaimierug athematische Lösug 1: Substitutiosmethode Löse die Budgetrestriktio ach oder auf ud substituiere i U(,). Da löse das ei-variable Problem: U a (, Bedigug erster Ordug für (ach Produkt- ud Ketteregel) U U 0 RS, U U ) athematische Lösug 2: Lagragemethode Defiiere eie zusätzliche Variable λ: der Lagrage ultilikator. Bilde die Lagrage Fuktio L(,;λ) durch Additio vo λ mal der Budgetrestriktio. L(, ; ) U (, ) ( ) Bilde die Bediguge erster Ordug bezüglich, ud λ: L U L U 0; Kombiiere die erste ud zweite BeO zu: L 0; 0 RS, 9 10 Nutzemaimierug Awedug des Lagrage Asatzes am Beisiel der allgemeie Cobb-Douglas Nutzefuktio: U(,) = mit α,β>0. Der Lagrage: L = + ( - - ) Die BeOs: L/ = -1 - = 0 L/ = -1 - = 0 L/ = - - = 0 Nutzemaimierug Die BeOs imliziere: / = / Daher: = (/) Durch Substitutio i die Budgetbedigug: = + (/) = (( + ) /) 11 12

4 Nutzemaimierug Nutzemaimierug Auflöse ach ergibt * Auflöse ach ergibt * Das Idividuum wird Prozet seies Eikommes für Gut ud Prozet für Gut ausgebe. Beisiel für diese Präfereze: Ei Autofahrer, der immer für 50 Euro takt, uabhägig vom Bezireis. 13 Bediguge zweiter Ordug: Die obige Tagetialbedigug ist ur otwedig, i.e. sie muss kei aimum darstelle. Die Bedigug zweiter Ordug garatiert, dass die Lösug ei aimum ist. Idifferezkurve, die lokal kove sid (Pukte A ud C) Idifferezkurve, die lokal kokav sid (Pukt B) C ist das globale aimum. 14 Nutzemaimierug Zur Rolle der Koveität: We Präfereze überall kove sid gibt es eie eideutige Lösug für die Bedigug erster Ordug, die ei aimum a Nutze (iimum a Ausgabe bei gegebeem Nutze) imliziert. Koveität macht also aus der Tagetialbedigug auch eie hireichede Bedigug für ei eideutiges globales aimum. Nutzemaimierug Beisiel Joh s Präfereze für Hamburger h ud Soda s sid gegebe durch die quasi-kokave Nutzefuktio: Frage: Soda kostet 1 Euro ud ei Hamburger 3 Euro. Joh hat ei Eikomme vo 6 Euro. Wie wird er es ausgebe? Atwort: Die Budgetbedigug ist: U ( h, s) h s Gleichsetze vo RS ud Preisverhältis wie i Grahik: Lösug: 15 16

5 Nutzemaimierug Substitutiosmethode: Löse die Budgetbedigug für s: Substituiere i Joh s Nutzefuktio: Nutzemaimierug Lagragemethode: Die Lagragefuktio: BeOs: BeO: Substituiere i Gleichug für s: Daraus folgt: Lösug: Test: ud Nutzemaimierug 1 6 * hier h* h 1 6 * hier s* s ehr als zwei Güter Lagragemethode mit mehr als zwei Güter: Die BeOs sid: L(,... ; ) U ( 1,... ) ( ) 1 L U L 0 0 Ei Sstem vo +1 Gleichuge i +1 Ubekate

6 ehr als zwei Güter Nutzemaimierug Beisiel: Lagrage: U (,, z) z ud 1, 2, 5, 30 z Radlösuge: Idividue köe im Otimum auch ur ei Gut kosumiere. Da ist ihre Idifferezkurve icht tagetial zur Budgetbedigug. BeOs: U 1 U 2 U 3 Eisetze i Budgetbedigug: Nutze wird im Pukt A maimiert Lösug: 21 A 22 BeO utzlos, we Vollkommee Komlemetärgüter: Bedigug erster Ordug ist icht wohl-defiiert. Für eie Lösug gilt immer a=b Gleiches gilt, we Idifferezkurve Kicke aufweise. U (, ) mi a, b BeO utzlos, we Vollkommee Substitutiosgüter: Fall 1: U (, ) a b Lieare Idifferezkurve. Der otimale Kosum fidet sich durch Vergleich vo a/b ud /

7 BeO utzlos, we BeO utzlos, we Fall 2: Fall 3: Idifferez Radlösuge RS bei 0 BeO habe keie Lösug mit ositive ege. Lösug muss am Rad liege: = BeO utzlos, we Ausgabemiimierug Nicht-kovee Präfereze: Lösug des Lagrage Asatzes ist ( 1, 1 ) Otimale Lösug ist am Rad bei Das Problem der Ausgabemiimierug ( Eediture miimizatio ) ist das duale Problem zur Nutzemaimierug: Verteile das Eikomme, um eie vorgegebee Nutzelevel bei miimale Ausgabe zu erreiche. Das Ziel ud die Restriktio werde also vertauscht

8 Ausgabemiimierug Pukt A ist die Lösug des duale Problems. Ausgabelevel E 2 ist gerade groß geug, um U 1 zu erreiche A Ausgabelevel E 3 erlaubt U 1 ist aber icht die Ausgabe-miimierede Lösug Ausgabelevel E 1 ist zu gerig, um U 1 zu erreiche Ausgabemiimierug Das Problem des Idividuums ist es, 1, 2,, so zu wähle, dass Ausgabe (eeditures) = E = uter der Nebebedigug Nutze = Ū = U( 1, 2,, ) miimiert werde. Die otimale ege vo 1, 2,, häge vo de Preise ud dem vorgegebee Nutzelevel ab. Die Ausgabefuktio gibt diese miimale Ausgabe für diese otimale ege a: E( 1, 2,,,U). U Ausgabemiimierug Die Ausgabefuktio ud die idirekte Nutzefuktio sid Iverse. Beide häge vo de Preise ab, habe aber uterschiedliche Nebebediguge Die idirekte Nutzefuktio für de zwei-güter Cobb- * * * * Douglas Fall ist V (,, ) U (, ) ( ) ( ) We z.b. α=β=1/2 reduziert sich die Fuktio zu V (,, ) Ausgabemiimierug We wir die Rolle vo Nutze ud Eikomme (Ausgabe) vertausche, fide wir die Ausgabefuktio als E(,, U) 2 Eigeschafte der Ausgabefuktio: Homogeität vom Grad Eis: Die Verdolug aller Preise wird de Wert der erforderliche Ausgabe ebefalls verdoel. Nicht-falled i Preise: E/ i 0 für jedes Gut i. Kokav i Preise. U 32

9 Kaitel 4 Kozete Die Budgetmege Die Budgetbedigug Nutzemaimierug Substutitiosmethode Lagrage ultilikator ethode Der Lagrage ultilikator Cobb-Douglas Nutze Vollkommee Komlemete Vollkommee Substitute Radlösuge Ausgabemiimierug Die Ausgabefuktio 33