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1 Mathematik und Naturwissenschaften Fachrichtung Mathematik, Institut für Numerische Mathematik GRUNDLAGEN MATHEMATIK 2. Folgen Prof. Dr. Gunar Matthies Wintersemester 2015/16

2 G. Matthies Grundlagen Mathematik 2/19 Folgen Definition Eine Zahlenfolge oder kurz Folge ist eine Abbildung N R, die jeder natürlichen Zahl n eine reelle Zahl x n zuordnet. Die Folge wird mit (x n ) n N oder x 1, x 2,... bezeichnet. Die Zahlen x n heißen Elemente oder Glieder der (Zahlen-)Folge. Beispiel ( ) n 1. n + 1 n N : 1 2, 2 3, 3 4, ( ( 1) n) : 1, 1, 1,... n N 3. x n = a für alle n N : a, a, a,... (konstante Folge) 4. (q n ) n N : q, q 2, q 3,... (geometrische Folge)

3 G. Matthies Grundlagen Mathematik 3/19 Rechenregeln für Folgen Folgen werden elementweise (gliedweise) addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert. Bei der Division müssen natürlich alle Nenner von 0 verschieden sein. Beispiel Gegeben: Folgen (a n ) n N und (b n ) n N mit Dann sind a n = 2 n, b n = n (a n + b n ) n N = ( 2 n + n ) n N, (a n b n ) n N = ( 2 n n ) n N, (a n b n ) n N = ( 2 n n ) ( ) ( ) n N, an 2 n = b n n n N. n N

4 G. Matthies Grundlagen Mathematik 4/19 Illustration a a a 1 a n = n n n

5 G. Matthies Grundlagen Mathematik 5/19 Eigenschaften von Folgen I Definition Eine Folge (x n ) n N heißt 1. monoton wachsend (fallend), falls x n x n+1 (x n x n+1 ) für alle n N gilt, 2. streng monoton wachsend (fallend), falls x n < x n+1 (x n > x n+1 ) für alle n N gilt.

6 G. Matthies Grundlagen Mathematik 6/19 Eigenschaften von Folgen II Bemerkung Bei einer monoton wachsenden Folge werden die Folgenglieder mit wachsendem n nicht kleiner. Bei einer streng monoton wachsenden Folge werden die Folgenglieder mit wachsendem n auch größer. Die konstante Folge x n = a für alle n N ist monoton wachsend und monoton fallend, aber weder streng monoton wachsend noch streng monoton fallend.

7 Konvergenz und Grenzwert I Definition Eine Folge (x n ) n N heißt konvergent, wenn es eine Zahl x gibt, so dass für jedes ε > 0 ein Index n 0 = n 0 (ε) N derart existiert, dass für alle n n 0 die Bedingung x n x ε erfüllt ist. Anderenfalls heißt die Folge divergent. Ist die Folge (x n ) n N konvergent, so sagen wir auch, dass x n gegen x konvergiert oder strebt. Wir schreiben x = lim n x n oder x n x für n. Wir nennen x den Grenzwert oder Limes der Folge (x n ) n N. G. Matthies Grundlagen Mathematik 7/19

8 G. Matthies Grundlagen Mathematik 8/19 Konvergenz und Grenzwert II x + ε x x ε n 0 = n

9 G. Matthies Grundlagen Mathematik 9/19 Konvergenz und Grenzwert III Bemerkung Konvergente Folgen mit dem Grenzwert 0 nennen wir Nullfolgen. Eine Folge (x n ) n N konvergiert genau dann gegen x, wenn für jedes ε > 0 außerhalb von (x ε, x + ε) höchstens endlich viele Folgenglieder liegen. Der Grenzwert einer konvergenten Folge ist eindeutig.

10 G. Matthies Grundlagen Mathematik 10/19 Rechenregeln für konvergente Folgen Seien (x n ) n N und (y n ) n N zwei konvergente Folgen mit den Grenzwerten x und y. Dann gelten: 1. lim n (x n + y n ) = lim n x n + lim n y n = x + y, 2. lim (x n y n ) = lim x n lim y n = x y, n n n ( ) ( ) 3. lim (x ny n ) = n 4. lim n ( xn y n ) lim n x n lim n y n = lim n x n lim n y n = x y, falls y n 0 für alle n N und y 0, 5. lim n x n = lim n x n = x. = xy,

11 G. Matthies Grundlagen Mathematik 11/19 Bemerkungen Wenn die Verknüpfung von zwei Folgen konvergiert, so folgt nicht, dass die beiden Folgen selber konvergieren. Als Beispiel seien x n = ( 1) n, y n = ( 1) n+1, n N, betrachtet. Da x n + y n = 0 für alle n N gilt, ist die Summe der beiden Folgen konvergent mit lim (x n + y n ) = 0. n Da die Glieder der beiden Folgen stets zwischen +1 und 1 wechseln, konvergieren die beiden Folgen nicht. Bei einer Folge (a n ) n N können stets endlich viele Folgenglieder entfernt, hinzugefügt oder geändert werden, ohne dass sich die Aussagen über die Konvergenz ändern.

12 G. Matthies Grundlagen Mathematik 12/19 Konvergenzaussagen Satz Gilt lim a n = a, lim b n = b und a n b n für alle n n 0 N, n n dann gilt a b. Bemerkung Die obige Aussage ist für die strenge Ungleichung nicht richtig. Dazu betrachten wir a n = 1 n 2 und b n = 1 n. Es gilt a n < b n für alle n N mit n 2, aber a = b = 0. Satz (Sandwich- oder Einschließungssatz) Seien (a n ) n N, (b n ) n N und (c n ) n N drei Folgen mit a n c n b n für alle n n 0 N, lim a n = g und lim b n = g. Dann ist die n n Folge (c n ) n N konvergent und es gilt lim c n = g. n

13 G. Matthies Grundlagen Mathematik 13/19 Beschränktheit, Infimum, Supremum I Definition Eine Folge (a n ) n N heißt nach unten beschränkt, wenn es eine reelle Zahl (untere Schranke) A mit A a n für alle n N gibt, nach oben beschränkt, wenn es eine reelle Zahl B (obere Schranke) mit a n B für alle n N gibt, beschränkt, wenn sie nach oben und unten beschränkt ist. Die größte untere Schranke wird als Infimum inf a n bezeichnet. n N Die kleinste obere Schranke wird als Supremum sup a n bezeichnet. n N

14 G. Matthies Grundlagen Mathematik 14/19 Beschränktheit, Infimum, Supremum II Definition Gibt es einen Index k N mit a k = inf n N a n, so sagen wir, dass das Infimum angenommen wird, und nennen a k das Minimum der Folge (a n ) n N. Wir schreiben a k = min n N a n. Gibt es einen Index k N mit a k = sup a n, so sagen wir, dass das n N Supremum angenommen wird, und nennen a k das Maximum der Folge (a n ) n N. Wir schreiben a k = max n N a n. Bemerkung Für nach unten beschränkte Folgen ist das Infimum stets eindeutig bestimmt. Gleiches gilt für das Supremum von nach oben beschränkten Folgen. Minimum und Maximum müssen dagegen nicht existieren.

15 G. Matthies Grundlagen Mathematik 15/19 Konvergenzkriterien I Satz (Notwendiges Konvergenzkriterium) Jede konvergente Folge (a n ) n N ist beschränkt. Bemerkung Die Umkehrung des obigen Satzes gilt nicht. Eine beschränkte Folge muss nicht konvergent sein. Dazu sehen wir uns die Folge a n = ( 1) n für alle n N an. Die Folge ist durch 1 nach unten und durch +1 nach oben beschränkt. Da die Folgenglieder aber stets zwischen 1 und +1 springen, ist die Folge nicht konvergent.

16 G. Matthies Grundlagen Mathematik 16/19 Teilfolgen Definition Als Teilfolge einer Folge (a n ) n N bezeichnet man jede Folge a n1, a n2,..., a nk,..., oder kurz ( a nk )k N, wobei n 1 < n 2 < < n k <... mit n k N gilt. Folgerung Konvergiert die Folge (a n ) n N gegen a, so konvergiert auch jede Teilfolge von (a n ) n N gegen a. Bemerkung Wenn eine Teilfolge von (a n ) n N konvergiert, dann muss die Folge (a n ) n N selbst nicht konvergieren.

17 G. Matthies Grundlagen Mathematik 17/19 Beispiele 1. Wir betrachten die harmonische Folge (a n ) n N mit a n = 1 n. Dann sind 1 2, 1 4, 1 6,... 1, 1 4, 1 9, 1 16,... Teilfolgen von (a n ) n N. 2. Die divergente Folge (b n ) n N mit b n = n n + 1 ( 1)n besitzt mit 2 3, 4 5, 6 7,... und 1 2, 3 4, 5 6,... konvergente Teilfolgen.

18 G. Matthies Grundlagen Mathematik 18/19 Satz von Bolzano-Weierstraß Definition Eine reelle Zahl p wird Häufungspunkt der Folge (a n ) n N genannt, wenn für alle ε > 0 im Intervall (p ε, p + ε) unendlich viele Folgenglieder liegen. Satz (Bolzano-Weierstraß) Jede beschränkte Folge besitzt mindestens einen Häufungspunkt. Bemerkung Der Grenzwert einer konvergenten Teilfolge ist stets Häufungspunkt der ursprünglichen Folge.

19 Konvergenzkriterien II Satz Jede monoton wachsende und nach oben beschränkte Folge (a n ) n N ist konvergent und es gilt lim a n = sup a n. n n N Jede monoton fallende und nach unten beschränkte Folge (a n ) n N ist konvergent und es gilt lim a n = inf a n. n n N G. Matthies Grundlagen Mathematik 19/19

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