3 Flächen und Flächenintegrale

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1 3 Flächen Flächen sind im dreidimensionalen Ram eingebettete zweidimensionale geometrische Objekte In der Mechanik werden zb Membranen nd chalen als Flächen idealisiert In der Geometrie treten Flächen als Ränder on Körpern af 3 Flächenstücke ie mathematische efinition on Flächen geht as on einer offenen Menge R 2 Af dieser Menge sei eine stetig differenzierbare Abbildng F : R 3 on af eine Teilmenge R 3 definiert: = F,,, In Komponenten latet die Abbildng [ =[ F, y F y, z F z, =[ ie Ableitngen werden in der Matri F F F F ' y F y F z F z F z = F() y mit den paltenektoren =[ F = F F y nd F z =[ F = F F F y F z zsammengefasst Von der Abbildng F wird gefordert, dass sie die folgenden Eigenschaften besitzt: ie Abbildng ist mkehrbar, dh sie besitzt eine stetige inerse Abbildng F :, die jedem Pnkt as sein Urbild in zordnet 2 ie Abbildng ist reglär, dh die Vektoren nd F sind für alle, linear nabhängig As der Reglaritätsbedingng folgt: F für alle, FH Landsht 3- Prof r Wandinger

2 efinition: er Wertebereich einer stetig differenzierbaren mkehrbaren reglären Abbildng F : R 3 wird als Flächenstück bezeichnet 2 ie Abbildng = F, heißt Parameterdarstellng des Flächenstückes 3 Eine Fläche ist die Vereinigng endlich ieler Flächenstücke Beispiel : Hyperbolisches Paraboloid ie Abbildng F, =[,, ={, } beschreibt ein hyperbolisches Paraboloid rch die Umkehrabbildng F, y, z =[ y = [ wird jedem Pnkt des hyperbolischen Paraboloids eindetig ein Pnkt, zgewiesen ie Vektoren nd F berechnen sich z =[ =[ nd F Für das Vektorprodkt folgt =[ F, Beispiel 2: Graph einer Fnktion Ist f : R eine stetig differenzierbare Fnktion af einer offenen Menge R 2, so ist der Graph ={, y, z, y z= f, y } R 3 ein Flächenstück ie Parameterdarstellng ist F, =[ f, ie Vektoren nd F =[ berechnen sich z nd f f F =[ FH Landsht 3-2 Prof r Wandinger

3 Für das Vektorprodkt gilt f F =[ f, as hyperbolische Paraboloid ist ein Beispiel für eine Fläche, die drch den Graphen einer Fnktion beschrieben wird 32 Tangentialebene nd Normale ei r :[a,b R 2 ein glatter Weg nd das drch die Abbildng F : R 3 erzegte Flächenstück ann wird drch den Weg = F r :[a, b R 3 eine Kre C af dem Flächenstück t =F r t erzegt, deren Parameterdarstellng drch gegeben ist In Komponenten latet die Parameterdarstellng der Kre: t = F t, t y t = F y t, t z t = F z t, t er Tangentenektor an die Kre C berechnet sich z d dt = F d dt F d dt =F d dt F d dt er Tangentenektor liegt in der on den Vektoren nd F afgespannten Ebene a b R z n F r F C y efinition: ei = { = F,,, } ein Flächenstück nd =F, ein Pnkt daraf ie on den Vektoren, nd F, afgespannte Ebene heißt Tangentialebene on in FH Landsht 3-3 Prof r Wandinger

4 ie Tangentialebene besteht as allen Vektoren der Form =, F,,, R ie Tangentenebene an in besteht as den Pnkten, =, F,,, R 2 ie Tangentenebene definiert ein Flächenstück T, das im Pnkt tangential zr Fläche ist ie Vektoren nd F werden als Tangentenektoren der Ebene bezeichnet efinition: ei = { = F,,, } ein Flächenstück nd =F, ein Pnkt daraf er Vektor n, :=, F,, F, heißt Normalenektor oder Flächennormale on im Pnkt er Normalenektor steht senkrecht af der Tangentialebene on in Mithilfe der Flächennormalen lässt sich eine Oberseite nd eine Unterseite des Flächenstückes definieren ie Oberseite ist die eite der Fläche, on der die Flächennormale weg zeigt ie Unterseite ist die gegenüberliegende eite adrch wird eine Orientierng des Flächenstückes definiert n Oberseite Beispiel : Gegeben ist das Flächenstück mit : = F,, F, =[ 2 e ie Tangentialebene wird drch die Vektoren, =[ nd F, 2 e =[ afgespannt Im Pnkt, =, gilt e Unterseite FH Landsht 3-4 Prof r Wandinger

5 , =[ 2 as Vektorprodkt ist nd F, =[ 2, F, =[ amit berechnet sich der Normalenektor z Beispiel 2: [ 2 n, = = [ Für ein Flächenstück, das drch einen Fnktionsgraphen definiert wird, ist die Parameterdarstellng F, =[ f, er Normalenektor berechnet sich z (gl Abschnitt 3, Beispiel 2) f [ n= 2 f 2 f f 33 Parametertransformation ei F : eine Parameterdarstellng der Fläche sowie G : eine mkehrbar eindetige Abbildng der Menge R 2 af die Menge R 2 es Weiteren wird orasgesetzt, dass die Abbildng G stetig differenzierbar ist ann ist F= F G : ebenfalls eine Parameterdarstellng der Fläche ie hat die Form F= F G, mit, In Komponenten lässt sich die Abbildng in der Form = G, = G, schreiben ie Jacobi-eterminante der Abbildng G ist FH Landsht 3-5 Prof r Wandinger

6 J G = G G G G Es lässt sich zeigen, dass der Normalenektor für beide Parameterdarstellngen gleich ist, wenn J G gilt Für J G ändert der Normalenektor seine Richtng Welche eite einer Fläche die Oberseite ist, hängt also on der Parameterdarstellng der Fläche ab Beispiel: Eine Parameterdarstellng des hyperbolischen Paraboloids ist F, =[,, R2 er Normalenektor berechnet sich z [ n= 2 2 rch die Parametertransformation G, =[,, R2 geht die Parameterdarstellng über in F, =[ 2 2 ie Jacobi-eterminante der Abbildng G ist J G = =2 Für die transformierte Parameterdarstellng gilt F = F [ = nd F 2 = F [ = 2 aras berechnet sich der Normalenektor z [ 2 [ n= 2 = FH Landsht 3-6 Prof r Wandinger

7 32 Flächenintegrale Flächenintegrale treten zb af, wenn die Masse einer gekrümmten chale z berechnen ist, wenn die resltierende Kraft des af eine Fläche wirkenden rcks gescht ist oder wenn die Flüssigkeitsmenge z ermitteln ist, die pro Zeiteinheit drch eine orgegebene Fläche strömt Flächenintegrale lassen sich af Integrale über Gebiete im R 2 zrückführen 32 Flächenintegrale erster Art ei ={ = F,,, R 2 } R 3 ein Flächenstück In jedem Pnkt = F, spannen die Vektoren, d nd F, d ein infinitesimales Parallelogramm af, dessen Flächeninhalt d = F d d ist er Flächeninhalt d wird als skalares Flächenelement bezeichnet er Flächeninhalt A des gesamten Flächenstückes lässt sich drch mmation über alle skalaren Flächenelemente berechnen efinition: er Flächeninhalt A eines Flächenstückes ={ = F,,, R 2 } R 3 ist die Zahl A = d :=, F, d d er Flächeninhalt entspricht dem Integral der Fnktion, =, F, über das Gebiet R 2 Beispiel : Flächeninhalt der Kgeloberfläche Eine Parameterdarstellng der Oberfläche einer Kgel mit Radis des Koordinatensystems ist R sin cos F R sin sin, =[,, 2 R cos as Flächenelement berechnet sich z R m den Ursprng R cos cos d = F F d d R cos sin = [ [ R sin sin R sin cos d R sin d =R 2 [sin 2 cos sin 2 sin sin cos d d =R 2 sin 4 sin 2 cos 2 d d = R 2 sin d d FH Landsht 3-7 Prof r Wandinger

8 amit folgt für den Flächeninhalt: efinition: 2 A =R 2 [ 2 sin d d =R2 [ cos = 2 = d =2 R 2 d =4 R 2 ei :G R ein af einem Gebiet G R 3 definiertes kalarfeld nd ={ = F,,, R 2 } G ein ganz im Gebiet G enthaltenes Flächenstück as Flächenintegral erster Art des kalarfeldes über das Flächenstück ist definiert drch d := F,, F, d d er Flächeninhalt ist ein spezielles Flächenintegral erster Art mit der Fnktion = Beispiel 2: Masse einer chale Eine chale wird drch ihre Mittelfläche nd ihre icke h beschrieben ie icke kann sich im Allgemeinen über die Fläche ändern, dh h=h Ist die Massendichte, so ist =h die Masse pro Fläche Ist F : eine Parameterdarstellng der Mittelfläche, so berechnet sich die Masse der chale z M = d= F,, F, d d 322 Flächenintegrale zweiter Art ie Kraft, die der hydrostatische rck p in einer Flüssigkeit af ein Flächenelement der Berandng asübt, wirkt immer senkrecht af die Wand Ist ein Flächenstück der Berandng, so wirkt die Kraft pro Flächenelement entlang der Flächennormalen Wenn die Parameterdarstellng so gewählt wird, dass die Flächennormale in die Flüssigkeit zeigt, dann gilt für das Kraftelement: d K = p n d = p d n dk er infinitesimale Vektor d =n d= F F F d d= F d d wird als ektorielles Flächenelement bezeichnet ie gesamte af das Flächenstück wirkende rckkraft lässt sich drch mmation über alle Kraftelemente berechnen FH Landsht 3-8 Prof r Wandinger

9 efinition: ei :G R ein af einem Gebiet G R 3 definiertes kalarfeld nd ={ = F,,, R 2 } G ein ganz im Gebiet G enthaltenes Flächenstück as Flächenintegral zweiter Art des kalarfeldes über das Flächenstück ist definiert drch d := n d = F,, F, dd as Flächenintegral zweiter Art eines kalarfeldes ist ein Vektor Beispiel : Af das Flächenstück, das drch die Parametrisierng F, =[ 2,, ={, 2 } beschrieben wird, wirkt der rck p, y, z = p 3 z (siehe Abbildng) Wie groß ist die resltierende Kraft af die Fläche? z Lösng: Für die Tangentenektoren gilt: =[ 2 =[, F, F =[ 2 er Normalenektor zeigt in das mit Flüssigkeit gefüllte Gebiet amit gilt für die resltierende rckkraft: K = = p 2 p d = p 2 2 = p [ e e z d d 3 = 3 3= e z d 3 z e [ 3 2 = 2 4= e [ 5 2 e 8 3 z e d= p 5 e 6 y efinition: ei V :G R 3 ein af einem Gebiet G R 3 definiertes Vektorfeld nd ={ = F,,, R 2 } G ein ganz im Gebiet G enthaltenes Flächenstück as Flächenintegral zweiter Art des Vektorfeldes V über das Flächenstück ist definiert drch V d := V n d = V F,, F, d d FH Landsht 3-9 Prof r Wandinger

10 as Flächenintegral zweiter Art eines Vektorfeldes ist ein kalar Es wird ach als Flss des Vektorfeldes drch die Fläche bezeichnet Wenn die Orientierng des Flächenstückes geändert wird, dh wenn der Normalenektor bei Übergang af eine andere Parameterdarstellng seine Richtng mkehrt, dann ändert das Flächenintegral zweiter Art eines Vektorfeldes sein Vorzeichen Wird das Flächenstück mit der mgekehrten Orientierng mit bezeichnet, dann gilt also: Beispiel 2: V d = V d Wenn das Vektorfeld V das Geschwindigkeitsfeld einer stationären trömng ist, dann gibt das Flächenintegral zweiter Art über ein Flächenstück das Flüssigkeitsolmen an, das pro Zeiteinheit in Richtng der Flächennormalen, dh on nten nach oben, drch das Flächenstück strömt Für das drch F, =[, gegebene Flächenstück nd ist =e e z, F =e y e z F = e e z e y e z =e z e e y Für das Geschwindigkeitsfeld V = z 4 e z 4 e y 2 y 2 e z berechnet sich das pro Zeiteinheit drch das Flächenstück strömende Flüssigkeitsolmen z Q= = [ = [ = V d = [ [ 4 4 e 4 4 e y 2 2 e z e e y e z d d [ d d d 4 d= [ d= [ = 5 6 = =4 4 9 = 4 9 = 6 4= d FH Landsht 3- Prof r Wandinger