21. Das bestimmte Integral

Transkript

1 1. Ds bestimmte Integrl Wir betrchten eine Kurve y = f(x) mit f(x) 0 uf dem Intervll [, b]. Obwohl der Flächeninhlt eines Rechteces (und in weiterer Folge eines Dreieces und nderer elementrer geometrischer Figuren) ls bennt vorgesetzt werden nn, ist vorderhnd nicht lr, wie der Flächeninhlt unterhlb einer rummlinigen Kurve definiert werden nn. Bemerung. Im Flle f(x) = c, c R erhlten wir ein Rechtec mit Flächeninhlt A = (b ) c. Der llgemeine Fll wird zur cgeführt uf die Bestimmung von gewissen Rechtecsflächen und nschließender Grenzwertbildung. Wir zerlegen ds Intervll [, b] in N = x 0 < x 1 < x <... < x N = b Teilintervlle. Sei I n = [x n 1, x n ] für n = 1,,..., N. Dnn ist [, b] = I 1 I... I N. Die Länge des Teilintervlls I n ist dnn x n = x n x n 1. Wir wählen nun in jedem Teilintervll einen Zwischenwert ξ n I n = [x n 1, x n ] und bestimmen den Flächeninhlt des Rechteces über dem Teilintervll mit Höhe f(ξ n ). Dieser ist dnn A n = f(ξ n ) x n. 1

2 Der gesuchte Flächeninhlt A unter der Kurve wird nun durch die Summe der Flächeninhlte der einzelnen Teilrechtece pproximiert: A N f(ξ n ) x n Definition. Die Feinheit L(Z) einer gegebenen Zerlegung Z : = x 0 < x 1 < x... < x N = b ist die mximle Intervlllänge, i.e. Der Flächeninhlt wird lso ngenähert durch R(f; Z; ξ 1,..., ξ N ) = N f(ξ n ) x n L(Z) = mx 1 n N x n. wobei diese Summe ls Riemnn sche Summe für die Funtion f(x), mit der Zerlegung Z und den Zwischenpunten ξ 1,..., ξ N bezeichnet wird. Bei der äquidistnten Zerlegung wird ds Intervll [, b] in gleich große Teilintervlle zerlegt. Wir erhlten x n = b n und folglich L(Z () ) = b. Bei der Zerlegung durch forlufende Hlbierung ergibt sich x n = b 1 n und folglich L(Z () ) = b 1. Dneben gibt es ntürlich viele beliebige Zerlegungen. Definition. Eine Folge (Z () ) von Zerlegungen heißt usgezeichnete

3 Zerlegungsfolge wenn lim L(Z() ) = 0 Bemerung. Sowohl die äquidistnte, ls uch die Zerlegung durch fortlufende Hlbierung sind usgezeichnete Zerlegungsfolgen. Definition. Ds bestimmte Integrl einer Funtion f(x) im Intervll [, b] bzgl. einer usgezeichneten Zerlegungsfolge (Z () ) und Zwischenpunten ξ n () ist der Grenzwert (flls existent!) f(x)dx = lim R(f; Z () ; ξ () 1,... ξ() N ) = lim N f(ξ n () ) x () n f(x) heißt integrierbr im Riemnn schen Sinn uf [, b], wenn für jede usgezeichnete Zerlegungsfolge obiger Grenzwert existiert und den gleichen Wert ergibt. Stz. Jede uf dem Intervll [, b] stücweise stetige Funtion f ist integrierbr. (Stücweise stetig heißt dss sich die Funtion us endlich vielen stetigen Stücen zusmmensetzen lässt und n den Unstetigeitsstellen nur Sprungstellen uftreten.) Bemerung. Flls f(x) 0, dnn ist Flächeninhlt unter der Kurve im Intervll [, b]. f(x)dx (per definition) der Im llgemeinen Fll nn n ) < 0 sein und wir erhlten negtive Rechtecsflächen. Für den Flächeninhlt zwischen Kurve und x Achse ist dher f(ξ () f(x) dx zu betrchten. 3

4 Spezielle Riemnn sche Summen erhlten wir, wenn wir Obersummen und Untersummen betrchten. Betrchte Z : = x 0 < x 1 < x... < x N = b. Sei ξ n jener Wert us I n wo f(ξ n ) = mx x n 1 x x n f(x) (bzw. f(ξ n ) = min x n 1 x x n f(x)). Im einen Fll ist R + (f; Z; ξ 1,..., ξ n ) = N f(ξ n ) x n die Obersumme bzgl. der Zerlegung Z. Im nderen Fll schreibt mn R (f; Z; ξ 1,..., ξ n ) und erhält die Untersumme bzgl. Z. Stz. f ist integrierbr für jede usgezeichnete Zerlegungsfolge onvergieren Obersummen und Untersummen gegen denselben Wert. Beispiel. Wir betrchten f(x) = x uf dem Intervll [0, 1]. Für jedes N betrchten wir die Zerlegung Z () in äquidistnte Teilintervlle I n = [ n 1, n ], n = 1,..., mit Intervlllänge x n = 1. Dnn ist f(ξ n ) = mx x I n f(x) = n und f(ξ n) = min x I n f(x) = n 1. R + (f; Z () ; ξ 1,..., ξ ) = f(ξ n ) x n = 4 n 1 =

5 = 1 n = 1 (+1) = +1 = 1 (1 + 1 ) R (f; Z () ; ξ 1,..., ξ ) = f(ξn) x n = = 1 Wir erhlten (n 1) = 1 ( 1) = 1 = 1 (1 1 ) n 1 1 = lim R+ (f; Z () ; ξ 1,..., ξ ) = lim R (f; Z () ; ξ 1,..., ξ ) = 1 Eigenschften von bestimmten Integrlen 1. c dx = (b ) c, c R (f(x) + g(x))dx = c f(x)dx = c f(x)dx f(x)dx + b (c 1 f(x) + c g(x))dx = c 1 g(x)dx b f(x)dx + c g(x)dx 5. Gilt f(x) g(x) uf [, b], dnn f(x)dx g(x)dx 6. f(x)dx f(x) dx 7. f(x)dx = c f(x)dx + c f(x)dx, c [, b] 5

6 8. b f(x)dx := f(x)dx f(x)dx = 0 9. f(x)dx = c f(x)dx + c f(x)dx, c R 10. d dx x f(t)dt = f(x), R Bemerung. Setzen wir lso F (x) = x f(t)dt, dnn ist F (x) = f(x), lso ist F (x) eine Stmmfuntion von f(x). Im besonderen besitzt jede stetige Funtion eine Stmmfuntion. Stz. (MWS der Integrlrechnung) Ist f stetig uf dem Intervll [, b], dnn existiert ein c [, b] mit der Eigenschft f(c) = 1 b b f(x)dx bzw. f(x)dx = (b ) f(c) Stz. (Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung) 6

7 Sei f stetig uf dem Intervll [, b] und sei F eine Stmmfuntion von f, so gilt f(x)dx = F (b) F () =: F (x) b Die prtielle Integrtion für bestimmte Integrle nn in folgender Form ngegeben werden u(x) v (x)dx = u(x) v(x) b b u (x) v(x)dx Beispiel. Betrchte I = 1 0 xe x dx Setze u = x, v = e x u = 1, v = e x. I = xe x e x dx = (e 0) e x 1 0 = e (e 1) = 1 Bei der Substitutionsregel für bestimmte Integrle gilt β t=α f(u(t))u (t)dt = u= f(u)du, = u(α), b = u(β) Dbei muss u(t) stetig und streng monoton sein. Werden die Grenzen mitsubstituiert, ersprt mn sich die Rücsubstitution. Beispiel. Betrchte I = 3 x=1 x + 1dx Substitution: u = x + 1 du dx = dx = 1 du Für die Grenzen gilt: x 0 = 1 u 0 = 3, x 1 = 3 u 1 = 7 I = 7 u=3 udu = 3 u = 3 ( ) 7