(u, v) z(u, v) u Φ(u, v) (v = const.) Parameterlinie v = const. v Φ(u, v) (u = const.) Parameterlinie u = const.

Transkript

1 13 Flächenintegrale Flächenintegrale Im letzten Abschnitt haben wir Integrale über Kurven betrachtet. Wir wollen uns nun mit Integralen über Flächen beschäftigen. Wir haben bisher zwei verschiedene Arten von Flächen kennengelernt: Graphen von Funktionen f(x, y), Niveauflächen f(x, y, z) = c. Wir betrachten nun auch für Flächen eine Parameterdarstellung. efinition Es sei R 2 ein Gebiet. Unter der Parameterdarstellung eines regulären Flächenstücks versteht man eine Abbildung : R 3, x(u, v) (u, v) = y(u, v), z(u, v) mit den folgenden Eigenschaften: (a) ie Abbildung gehört zur Klasse C 1. (b) Für beliebige Punkte (u, v) und (u, v ) mit (u, v) (u, v ) gilt (u, v) (u, v ). (c) Es gilt T u (u, v) T v (u, v) für alle (u, v). as Bild von, S := (), (und manchmal auch die Parameterdarstellung von S) bezeichnet man als reguläres Flächenstück. Hierbei sind die Vektoren T u (u, v) und T v (u, v) wie folgt definiert. Variiert man nur einen Parameter und hält den anderen fest, so erhält man zwei Kurvenscharen auf S: ie Vektoren u (u, v) (v = const.) Parameterlinie v = const. v (u, v) (u = const.) Parameterlinie u = const. T u (u, v) = x y z (u, v) (u, v), Tv (u, v) = (u, v) x y z (u, v) (u, v) (u, v) sind die Tangentialvektoren an die Parameterlinien. ie Bedingung (c) bedeutet, dass diese Tangentialvektoren in allen Punkten (u, v) linear unabhängig sein sollen. ie Tangentialebene durch den Flächenpunkt (u, v) ist die von den Vektoren T u und T v aufgespannte Ebene mit der Parameterdarstellung v(λ, µ) = (u, v) + λ T u (u, v) + µ T v (u, v), λ, µ R. er auf der Tangentialebene durch (u, v) senkrecht stehende Einheitsvektor heißt Flächennormale in (u, v). 1 n := T u T T u T v v

2 13 Flächenintegrale 65 Beispiel 13.1 Ein Beispiel für ein reguläres Flächenstück ist der Graph einer stetig differenzierbaren Funktion h(x, y), (x, y). er Graph ist die Menge S = {(x, y, z) R 3 z = h(x, y), (x, y) }. Eine Parameterdarstellung von S wird gegeben durch (u, v) = u v, (u, v). h(u, v) ie Parameterlinien sind die Schnitte mit den Ebenen u = const. und v = const.. Es gilt 1 T u =, Tv = 1, Tu T v = h h. h h 1 Beispiel 13.2 Ein weitere Klasse von Beispielen sind rehflächen. Wir betrachten einen einfachen Weg σ : [a, b] R 3, u x(u), z(u) und lassen ihn um die z-achse rotieren. Wir erhalten außerhalb der z-achse ein reguläres Flächenstück mit der Parameterdarstellung x(u) cos v (u, v) = x(u) sin v, (u, v) = {(u, v) a u b, v 2π}. z(u) ie Parameterlinien sind u = const. : Breitenkreise, v = const. : Meridiane. Beispiele sind (a) Kegel der Höhe a über einem Kreis vom Radius R: In diesem Fall ist u cos v (u, v) = u sin v a ( ), u R, v 2π. 1 u R (b) Zylinder: (z, θ) = r cos θ r sin θ z, a z b, θ 2π. (c) Sphäre (Kugeloberfläche) mit Mittelpunkt und Radius r: r sin ϕ cos θ (θ, ϕ) = r sin ϕ sin θ r cos ϕ, ϕ π, θ 2π.

3 13 Flächenintegrale 66 Abbildung 15: Kegel Abbildung 16: Zylinder Abbildung 17: Sphäre

4 13 Flächenintegrale 67 Wir wollen nun stetige Funktionen f(x, y, z) über reguläre Flächenstücke integrieren. Wir wollen diese efinition begründen. Es sei : R 3, (u, v) = x(u, v) y(u, v) z(u, v) die Parameterdarstellung eines regulären Flächenstücks. Es sei f : R 3 R eine Funktion, so dass f stetig ist. Wir nehmen der Einfachheit halber an, dass ein Rechteck ist. Wir zerlegen nun äquidistant in N 2 kleine Rechtecke R ij. as Rechteck R ij habe die Ecken (u i, v j ), (u i+1, v j ), (u i, v j+1 ) und (u i+1, v j+1 ) und es gelte u = u i+1 u i, v = v j+1 v j, i N 1, j N 1. Es seien T u (ij) und T v (ij) die Tangentialvektoren im Punkt (u i, v j ). as Bild S ij = (R ij ) des Rechtecks R ij unter wird dann durch das Parallelogramm, das von den Vektoren ut u (ij) und vt v (ij) aufgespannt wird, approximiert. er Flächeninhalt dieses Parallelogramms ist S ij = u T (ij) u, vt v (ij) = T u (ij) Wir betrachten nun die Riemannsche Summe Z N = N 1 i,j f((u i, v j )) S ij = N 1 i,j f((u i, v j )) T (ij) u T v (ij) u v. Für N konvergieren diese Summen gegen das Integral f((u, v)) T u T v dudv. ies führt uns zu der folgenden efinition. T v (ij) u v. efinition Es sei : R 3 die Parameterdarstellung eines regulären Flächenstücks S und f : S R eine stetige Funktion auf S. ann definieren wir das Integral von f über, fds, durch fds = f((u, v)) T u T v dudv. Insbesondere heißt F (S) = ds = T u T v dudv der Flächeninhalt des regulären Flächenstücks S. Setzt sich eine Fläche S aus regulären Flächenstücken i : i S i, i = 1,..., N, zusammen, die keine gemeinsamen Punkte haben außer eventuell auf ihren Rändern, dann ist das Integral von f über definiert durch fds = N i=1 i fds.

5 13 Flächenintegrale 68 Beispiel 13.3 er Flächeninhalt eines Graphen z = h(x, y), (x, y), ist gleich ( ) 2 ( ) 2 h h dxdy. x y Zum Beispiel können wir einen Kreiskegel S auch als Graph der Funktion h : R 3, ( h(x, y) = a 1 1 ) x2 + y R 2, = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 R 2 }, auffassen. Für den Flächeninhalt gilt: a F (S) = x 2 R 2 (x 2 + y 2 ) + a 2 y 2 R 2 (x 2 + y 2 ) dxdy R R 2 x 2 = R 1 + a2 R 2 x R 2 dydx = 1 + a2 R 2 2 = πr a2 R 2. R R 2 R 2 x 2 dx Beispiel 13.4 Wir berechnen den Flächeninhalt einer rehfläche S, die durch die Parameterdarstellung x(u) cos v (u, v) = x(u) sin v, (u, v) = {(u, v) a u b, v 2π} z(u) gegeben ist. Es gilt T u = T u T v = x (u) cos v x (u) sin v z (u) x(u)z (u) cos v x(u)z (u) sin v x(u)x (u), Tv =, T u T v = x(u) 2 (z (u) 2 + x (u) 2 ). x(u) sin v x(u) cos v, Also folgt F (S) = b x(u)2 (z (u) 2 + x (u) 2 )dudv = 2π x(u) z (u) 2 + x (u) 2 du. Insbesondere erhalten wir für die Oberfläche S einer Halbkugel vom Radius r: F (S) = 2π π/2 r sin ϕ r 2 cos 2 ϕ + r 2 sin 2 ϕdϕ = 2πr 2. Wir wollen nun auch Vektorfelder über Flächen integrieren. a

6 13 Flächenintegrale 69 efinition Es sei : R 3 die Parameterdarstellung eines regulären Flächenstücks S und v ein Vektorfeld auf S. as Flächenintegral von v über, in Zeichen v d S, ist definiert durch v ds = v ( T u T v )dudv. Setzt sich eine Fläche S aus regulären Flächenstücken i : i S i, i = 1,..., N, zusammen, die keine gemeinsamen Punkte haben außer eventuell auf ihren Rändern, dann ist das Integral von v über definiert durch Ist v d S = N i=1 i v d S. 1 n := T u T T u T v v der Normaleneinheitsvektor des regulären Flächenstücks : R 3, so gilt v ds = v ( T u T v )dudv ( Tu = v ) T v T u T T u T v dudv v = ( v n) T u T v dudv = ( v n)ds. amit haben wir bewiesen: Satz 13.1 as Flächenintegral von v über ist gleich dem Integral der Normalenkomponente von v über S, d.h. v ds = v nds. Wir wollen nun die efinition des Flächenintegrals wieder mit Hilfe von Riemann schen Summen begründen. azu nehmen wir an, dass v das Geschwindigkeitsfeld einer Flüssigkeit ist. Wir wollen die Gesamtmenge der Flüssigkeit, die pro Zeiteinheit durch die Fläche S strömt, berechnen. azu benötigen wir zunächst einen Hilfssatz. Satz 13.2 Es sei P ein Parallelepiped im R 3, das von den Vektoren a, b und c aufgepannt wird, d.h. P = {λ a + µ b + ν c λ 1, µ 1, ν 1}. ann gilt für das Volumen von P V (P ) = a ( b c).

7 13 Flächenintegrale 7 Beweis. ie Zahl b c gibt den Flächeninhalt des Parallelogramms an, das von den Vektoren b und c aufgespannt wird. Ausserdem gilt a ( b c) = a b c cos α, wobei α der Winkel zwischen a und dem Vektor b c ist, der senkrecht auf der von b und c aufgespannten Ebene steht. as Volumen von P ist aber gleich dem Produkt der Grundfläche b c und der Höhe a cos α. Wir nehmen nun wieder der Einfachheit halber an, dass ein Rechteck ist. Wir zerlegen äquidistant in N 2 kleine Rechtecke R ij. as Rechteck R ij habe die Ecken (u i, v j ), (u i+1, v j ), (u i, v j+1 ) und (u i+1, v j+1 ) und es gelte u = u i+1 u i, v = v j+1 v j, i N 1, j N 1. Es seien T u (ij) und T v (ij) die Tangentialvektoren im Punkt (u i, v j ). as Bild S ij = (R ij ) des Rechtecks R ij unter wird dann durch das Parallelogramm, das von den Vektoren ut u (ij) und vt v (ij) aufgespannt wird, approximiert. Es sei v = v((u i, v j )). Nach Satz?? ist das Volumen des von v, ut u (ij) und vt v (ij) aufgespannten Parallelepipeds gleich v ( u T (ij) u vt v (ij) ) = v ( T u (ij) T v (ij) ) u v. ieses Volumen entspricht aber der Menge der Flüssigkeit, die pro Zeiteinheit das Parallelepiped durchströmt. Also ist V N = N 1 i,j v ( T (ij) u T v (ij) ) u v ein Näherungswert für die Gesamtmenge der Flüssigkeit, die pro Zeiteinheit durch die Fläche in Richtung des Vektors v strömt. Es gilt lim V N = v ( T u T v )dudv = v ds. n Beispiel 13.5 Es sei das Rechteck und = {(θ, ϕ) R 2 θ 2π, ϕ π} : R 3, ( θ ϕ ) cos θ sin ϕ sin θ sin ϕ cos ϕ (Also sind θ und ϕ die Winkel der Kugelkoordinaten und ist eine Parametrisierung der Einheitssphäre.) Es sei x v(x, y, z) = y z.. Wir berechnen das Integral v d S.

8 13 Flächenintegrale 71 Es gilt Also folgt T θ = sin θ sin ϕ cos θ sin ϕ T θ T ϕ =, Tϕ = sin 2 ϕ cos θ sin 2 ϕ sin θ sin ϕ cos ϕ v ( T θ T ϕ ) = (cos θ sin ϕ, sin θ sin ϕ, cos ϕ) cos θ cos ϕ sin θ cos ϕ sin ϕ. sin2 ϕ cos θ sin 2 ϕ sin θ sin ϕ cos ϕ, = sin ϕ. Also ist v ds = sin ϕdθdϕ = 2π ( 2)dθ = 4π.