10 Kriterien für absolute Konvergenz von Reihen

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1 10 Kriterien für absolute Konvergenz von Reihen 10.1 Majoranten- und Minorantenkriterium 10.3 Wurzelkriterium 10.4 Quotientenkriterium 10.9 Riemannscher Umordnungssatz Äquivalenzen zur absoluten Konvergenz Cauchy-Produkt Die Exponentialfunktion und ihre Funktionalgleichung Für die absolute Konvergenz einer Reihe a n ist die Reihe mit den nichtnegativen Gliedern a n zu untersuchen. Die meisten Konvergenzkriterien dieses Paragraphen beruhen daher auf dem Monotonie-Kriterium 9.5 für Reihen; zu untersuchen ist, ob die Folge der Partialsummen n k=m a k beschränkt ist oder nicht Majoranten- und Minorantenkriterium Seien (a n ) n m, (b n ) n m zwei Folgen mit (i) (ii) a n b n für fast alle n. Ist k=m b k konvergent, so ist k=m a k absolut konvergent und daher erst recht konvergent. Ist k=m a k divergent, so auch k=m b k. Beweis. Nach Voraussetzung gilt mit geeignetem n 0 für k n 0 (1) a k b k. (i) Es ist n k=m a k (1) n0 1 k=m a k + n b k für n n 0. Da n b k nach oben beschränkt ist, ist auch n k=m a k nach oben beschränkt und somit konvergent (siehe 9.5). (ii) Da k=m a k divergiert (siehe 9.11), und n a k n b k ist, ist n b k unbeschränkt. Daher ist b k und somit auch k=m b k divergent (siehe 9.8(i)). C 1 [10] 1

2 Kapitel II Konvergenz von Folgen und Reihen Da k=1 n 1 divergent ist, ist für q Q mit 0 < q 1 wegen n 1 q n 1 auch divergent (benutze 10.1(ii)). Als Korollar erhalten wir: n=1 1 n q 10.2 Grenzwertkriterium Seien (a n ) n m, (b n ) n m zwei Folgen mit positiven Gliedern. Konvergiert dann a n /b n gegen einen positiven Grenzwert, so haben die Reihen k=m a k und k=m b k das gleiche Konvergenzverhalten. Beweis. Konvergiere a n /b n gegen α R +. Dann gilt mit β := α/2 und γ := (3/2)α: (1) 0 < βb n < a n < γb n für fast alle n. (Zum Nachweis dieser Ungleichung beachte, daß nach Definition der Konvergenz von an b n gegen α (mit ε := α an 2 ) gilt: b n α < α 2 für fast alle n.) Nach dem Majorantenkriterium 10.1(i) ist daher k=m a k genau dann konvergent, wenn k=m b k konvergent ist. (Ist z.b. k=m a k konvergent, dann ist wegen (1) nach 10.1(i) auch n=m βb n konvergiert und somit n=m b n nach 9.9(iii).) 10.3 Wurzelkriterium (i) Gibt es ein q ]0, 1[ mit n a n q für fast alle n, so ist die Reihe k=m a k absolut konvergent. (ii) Gilt n a n 1 für unendlich viele n, so ist k=m a k divergent. Beweis. (i) Es ist a n q n für fast alle n. Die Behauptung folgt daher aus dem Majorantenkriterium 10.1(i), da die geometrische Reihe (siehe 9.3(i)) konvergent ist. (ii) Aus der Voraussetzung folgt a n 1 unendlich oft, also ist (a n ) n m keine Nullfolge und somit ist k=m a k nicht konvergent (siehe 9.7) Quotientenkriterium Sei a n 0 für fast alle n. (i) Gibt es ein q ]0, 1[ mit a n+1 a n q für fast alle n, dann ist die k=m a k absolut konvergent. (ii) Gilt jedoch a n+1 a n 1 für fast alle n, dann ist k=m a k divergent. Beweis. (i) Es gibt ein n 0 N, so daß a n 0 und a n+1 / a n q für alle n > n 0 gilt. Daher gilt für jedes n > n 0 a n /a n0 = a n /a n 1 a n 1 /a n 2 a n0 +1/a n0 q n n 0. [10] 2 C 1

3 Also gilt Kriterien für absolute Konvergenz von Reihen a n ( a n0 /q n 0)q n für alle n > n 0. Wiederum aus dem Majorantenkriterium und der Konvergenz der geometrischen Reihe folgt die Konvergenz von k=m a k. (ii) Ab einem gewissen Index ist die Folge der positiven Zahlen a n monoton wachsend, also keine Nullfolge. Die Behauptung folgt daher aus 9.7. Spezialisierungen von 10.3 und 10.4 liefern die folgenden besonders leicht zu handhabenden Kriterien: 10.5 Korollar Konvergiert n a n oder a n+1 /a n (a n 0 für alle n) gegen einen Grenzwert kleiner 1 (größer 1), so ist die Reihe k=m a k absolut konvergent (divergent). Beweis. Aus n a n a < 1 folgt für fast alle n n an q := a + 1 a Wegen q ]0, 1[ folgt die Konvergenz von k=m a k nach 10.3(i). Aus n an a > 1 folgt n a n 1 für fast alle n und somit die Divergenz von k=m a k nach 10.3(ii). Aus a n+1 /a n a < 1 folgt für fast alle n 2. a n+1 /a n q := a + 1 a Wegen q ]0, 1[ folgt die Konvergenz von k=m a k nach 10.4(i). Aus a n+1 /a n a > 1 folgt a n+1 /a n 1 für fast alle n und somit die Divergenz von k=m a k nach 10.4(ii) Beispiel (i) 2. Sei t R. Dann ist absolut konvergent. Für t = 0 ist die Behauptung trivial. Für t 0 ist a n := tn 0 und a n+1 a n = t n+1 0. Nach 10.5 ist also absolut konvergent. (ii) n=1 4 1 n (1 + n 1 )n2 ist konvergent. Mit a n := (1/4 n )(1 + 1 n )n2 gilt n an = 1 4 (1 + 1 n )n Die absolute Konvergenz folgt daher nach e < Bei einer endlichen Summe kann man die Summanden in beliebiger Weise umordnen, ohne daß sich die Summe ändert. Bei unendlichen Reihen wird dies genau bei den absolut konvergenten Reihen der Fall sein (siehe 10.10). C 1 [10] 3

4 Kapitel II Konvergenz von Folgen und Reihen 10.7 Umordnung und unbedingte Konvergenz von Reihen (i) (ii) Ist (b n ) n m eine Umordnung von (a n ) n m (d.h. b n = a ϕ(n) mit einer bijektiven Abbildung ϕ : Z m Z m, siehe 7.20), so heißt k=m b k eine Umordnung der Reihe k=m a k. Eine konvergente Reihe heißt unbedingt konvergent, wenn sie bei einer beliebigen Umordnung konvergent bleibt und ihr Reihenwert sich nicht ändert. Die übrigen konvergenten Reihen heißen bedingt konvergent. Wir zeigen nun zunächst, daß absolut konvergente Reihen unbedingt konvergent sind. Danach beweisen wir den Umordnungssatz von Riemann ( ). Aus beiden Sätzen zusammen ergibt sich dann, daß eine Reihe genau dann absolut konvergent ist, wenn sie unbedingt konvergent ist Aus absoluter Konvergenz folgt unbedingte Konvergenz Ist k=m a k eine absolut konvergente Reihe, dann ist k=m a k auch unbedingt konvergent. Beweis. Sei k=m a ϕ(k) eine Umordnung von k=m a k. Setze s n := n k=m a k und t n := n k=m a ϕ(k). Zu zeigen reicht (benutze 9.11): (1) lim n (s n t n ) = 0. Wähle hierzu ε R +. Dann gibt es, da k=m a k konvergent ist, ein n 0 Z m mit (siehe 9.6): (2) n0 +l +1 a k < ε für alle l N. Wähle nun n 1 n 0 mit (3) {m,..., n 0 } {ϕ(m),..., ϕ(n 1 )}. Sei n n 1. Dann ist s n eine Summe von Gliedern a k, unter denen auf jeden Fall a m,..., a n0 auftreten. Gleiches gilt wegen (3) dann auch für t n. Die Differenz s n t n ist somit eine Summe von Gliedern ±a k mit k > n 0. Also ist mit geeignetem l N s n t n n 0 +l +1 a k < ε, (2) d.h. es gilt (1) Riemannscher Umordnungssatz Sei k=m a k eine konvergente Reihe, die nicht absolut konvergent ist. Sei a R. Dann gibt es eine Umordnung von k=m a k mit Reihenwert a. Ferner gibt es divergente Umordnungen von k=m a k. [10] 4 C 1

5 Kriterien für absolute Konvergenz von Reihen Beweis. Setze a + k := max({a k, 0}) und a k := max({ a k, 0}). Dann sind 0 a k, a+ k, und für alle k gilt: (1) a k = a + k a k, a k = a + k + a k. Wir zeigen zunächst: (2) ( n k=m a+ k ) n m, ( n k=m a k ) n m sind nicht nach oben beschränkt. Wäre eine der beiden Folgen nach oben beschränkt und somit konvergent, so wäre wegen n k=m a+ k = n k=m a k + n k=m (1) a k, n k=m a k = n k=m (1) a+ k n k=m a k und der Konvergenz von n k=m a k auch die andere Folge konvergent. Daher wäre dann auch n k=m a k = n k=m a+ k + n k=m a k konvergent, im Widerspruch dazu, daß k=m a k nicht absolut konvergent ist. Dies beweist (2). Sei nun (p k ) k m die Teilfolge aller a k mit a k 0 und (q k ) k m die Teilfolge aller a k mit a k < 0. Somit tritt jedes Glied von (a k ) in genau einer der Teilfolgen (p k ) und ( q k ) auf. Die Folge (p k ) bzw. (q k ) entsteht also aus (a + k ) bzw. (a k ) durch Streichen gewisser Nullen. Nach (2) gilt daher (3) ( n k=m p k) n m, ( n k=m q k) n m sind nicht nach oben beschränkt. Sei zunächst a R. Wir zeigen: es gibt eine Umordnung von k=m a k, die gegen a konvergiert. Nach (3) gibt es einen kleinsten Index n 0 m mit s 0 := n 0 k=m p k > a. Weiterhin gibt es einen kleinsten Index m 0 m mit t 0 := n 0 k=m p k + m 0 k=m ( q k) < a und dann wieder einen kleinsten Index n 1 > n 0 mit (4) s 1 := n 0 k=m p k + m 0 k=m ( q k) + n 1 +1 p k > a. Setzt man dieses Verfahren fort (dies ist wegen (3) möglich), so entsteht eine Reihe (5) (p m + p m p n0 ) + (( q m ) ( q m0 ))+ +(p n p n1 ) + (( q m0 +1) +..., die eine Umordnung der Ausgangsreihe darstellt. Nach Konstruktion gilt für l N (da n 0 minimal gewählt ist, folgt das zweite Ungleichungszeichen): (6) 0 < s l a p nl, (7) 0 < a t l q ml. Da k=m a k konvergent ist, gilt a k 0. Also gilt auch für die Teilfolgen (p nl ) l N0 und (q ml ) l N0 : (8) p nl 0, q ml 0. Somit gibt es zu ε R + ein l 0, so daß für alle l l 0 gilt: a ε < t l < a < s l < a + ε. (7),(8) (7) (6) (6),(8) Teilsummen der umgeordneten Reihe (5) liegen nun für große Indizes zwischen t l und s l für ein geeignetes l l 0. Also konvergiert die umgeordnete Reihe gegen a. C 1 [10] 5

6 Kapitel II Konvergenz von Folgen und Reihen Zum Nachweis der Existenz einer divergenten Umordnung von k=m a k wähle n 0 < n 1 < n 2 <..., so daß p m + p m p n0 > 1 + q m p m + p m p n1 > 2 + q m + q m+1 p m + p m p nk > k + q m + q m p m+k. Dies ist wegen (3) möglich. Die Reihe p m p n1 + ( q m ) + p n p n2 + ( q m+1 ) + p n ist eine Umordnung von k=m a k. Diese Umordnung ist divergent, da die Teilsumme mit letztem Glied q m+k 1 größer als k ist Äquivalenzen zur absoluten Konvergenz Sei k=m a k eine Reihe. Dann sind folgende drei Aussagen äquivalent: (i) k=m a k ist absolut konvergent. (ii) k=m a k ist unbedingt konvergent. (iii) Jede Umordnung von k=m a k ist konvergent. Beweis. (i) (ii) nach 10.8; aus (ii) folgt natürlich (iii). (iii) (i) Zunächst ist die Reihe k=m a k konvergent. Wäre nun k=m a k nicht absolut konvergent, dann gäbe es nach dem Riemannschen Umordnungssatz 10.9 eine divergente Umordnung im Widerspruch zur Voraussetzung. Aus folgt auch: Ist k=m a k absolut konvergent, so ist auch jede Umordnung absolut konvergent. (Wende 10.1(i) (iii) auf k=m a k an) Cauchy-Produkt Sind die Reihen k=0 a k und k=0 b k absolut konvergent, dann ist auch ihr Cauchy-Produkt n=0 ( n k=0 a kb n k ) absolut konvergent, und es gilt für die Reihenwerte: n=0 ( n k=0 a kb n k ) = ( k=0 a k) ( k=0 b k). Beweis. Setze c n := n k=0 a kb n k für n N 0. Die absolute Konvergenz von n=0 c n folgt aus (benutze 9.5): m n=0 c n m n n=0 k=0 a k b n k ( m k=0 a k )( n j=0 b j ) ( k=0 a k )( j=0 b j ). Für den Beweis über die Gleichheit der Reihenwerte setze: a := k=0 a k, b := k=0 b k. [10] 6 C 1

7 Zu zeigen ist mit d m := m n=0 c n (1) lim m d m = a b. Setze für m N 0 Kriterien für absolute Konvergenz von Reihen e m := ( m i=0 a i)( m j=0 b j). Nun ist (benutze 7.18(iii)) lim m e m = a b. Zum Nachweis von (1) reicht es daher zu zeigen: (2) lim m (e m d m ) = 0. Nun ist: { em d m = m i,j=0 (3) a ib j m n n=0 k=0 a k b n k m i,j=0; i+j>m a ib j. Ferner ist f m := ( m i=0 a i )( m j=0 b j ) = m i,j=0 a i b j als Produkt zweier nach Voraussetzung konvergenter Folgen selbst konvergent. Zum Nachweis von (2) sei ε R + gewählt. Dann gibt es ein m 0 mit (4) f m f m0 < ε für alle m > m 0 (benutze 8.5). Somit gilt für m > 2m 0 e m d m m i,j=0; i+j>m a ib j m i,j=0; i oder j>m 0 a i b j f m f m0 < ε; (3) (4) also ist (2) bewiesen. Als Anwendung des Cauchy-Produkts weisen wir die Funktionalgleichung für die Exponentialfunktion nach Die Exponentialfunktion und ihre Funktionalgleichung Nach 10.6 existiert für jedes t R exp(t) :=. Für die Exponentialfunktion exp gilt: exp(s + t) = exp(s) exp(t) für alle s, t R. Beweis. Wende auf die nach 10.6 absolut konvergenten Reihen n=0 sn und an: exp(s) exp(t) = ( n=0 sn )( ) = n=0 ( n k=0 1 k! sk 1 (n k)! tn k ) = n=0 1 ( n ( n k=0 k) s k t n k ) = 3.18(iii) 3.19 n=0 1 (s + t)n = exp(s + t). Also Korollar erhalten wir hieraus einige Eigenschaften der Exponentialfunktion. C 1 [10] 7

8 Kapitel II Konvergenz von Folgen und Reihen Einfache Eigenschaften der Exponentialfunktion (i) Für alle t R ist exp(t) > 0. (ii) Für alle t R ist exp( t) = (exp(t)) 1. (iii) Es ist exp(0) = 1, exp(1) = e. Beweis. (ii) Es ist exp(t) exp( t) = exp(0) = 1. Insbesondere ist daher exp(t) 0, und es folgt ferner exp( t) = (exp(t)) 1. (i) Für jedes t 0 ist exp(t) = 1 + 1! t + t2 2! > 0. Ist t < 0, so ist 1 t > 0 und somit exp( t) > 0. Also ist exp(t) = (ii) exp( t) > 0. (iii) Es ist exp(0) = n=0 0n = 1 und exp(1) = n=0 1 = 9.4 e. [10] 8 C 1

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