Autonome Mobile Systeme

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1 Autonome Mobile Systeme Teil II: Systemtheorie für Informatiker Dr. Mohamed Oubbati Institut für Neuroinformatik Universität Ulm SS 2007

2 Wiederholung vom letzten Mal!

3 Die Übertragungsfunktion Die Übertragungsfunktion ist eine mathematische Beschreibung im Laplace-Bereich (auch Spektralbereich, oder Bildbereich genant) des Verhaltens eines LTI-Systems. Eingang LTI-System Ausgang u(t) U(s) h(t) H(s) y(t)=u(t)*h(t) Y(s)=H(s)U(s) H(s)=Y(s)/U(s): Übertragungsfunktion (engl. transfer function)

4 BIBO-stabilität Stabilitätskriterium im Bildbereich Y ( s) H ( s) = = U ( s) Zaehlerpol ynom Nennerpoly nom Polstellen si=die i-te Nullstelle des Nennerpolynoms. Nullstelle zj : die j-te Nullstelle des Zählerpolynoms.

5 BIBO-stabilität Stabilitätskriterium im Bildbereich asymptotisch Stabil: wenn alle Pole in der linken p-halbebene liegen: Re( s i ) < 0, i grenzstabil: wenn mindestens ein Pole auf der j- Achse liegt, und kein Pole in der rechten s-halbebene liegt. Instabil, wenn mindestens ein Pole auf der rechten s-halbebene liegt.

6 BIBO-stabilität Poles jw Poles jw Poles jw S-Ebene S-Ebene S-Ebene σ σ σ Stabil grenzstabil Instabil

7 Heutiges Thema: Grundlagen der Regelungstechnik

8 Was ist Regelung? Regelung ist eine gezielte Beeinflussung (Stellgröße) dynamischer Systeme, so dass eine gewünschte Betriebsart (Regelgröße) eingestellt wird. Stellgröße System Regelgröße

9 Unterschied Steuerung - Regelung Steuerung (open loop control) Die Steuerung wirkt auf das Eingangssignal und beeinflusst damit das Ausgangssignal. Störungen Anforderung Stellgröße Regelgröße Steuerung System Problem Die Steuerung weiß nicht, ob die Regelgröße den gewünschten Wert hat!

10 Unterschied Steuerung - Regelung Regelung (closed loop control) Die Regelung wirkt auch auf das Eingangssignal um das Ausgangssignal zu beeinflussen, aber in diesem Vorgehen weiß man, ob das Ausgangsignal die gewünschte Wert hat. Störungen Anforderung Regelung Stellgröße System Regelgröße Regelschleife

11 Grundsätzlicher Aufbau von Regelkreisen

12 Allgemeine Anforderungen an einen Regelkreis Die Übertragungsfunktion des geschlossenen Kreises wird dann: Grundaufgabe einer jeden Regelung ist es, dass der geschlossene Regelkreis asymptotisch Stabil ist.

13 Allgemeine Anforderungen an einen Regelkreis Die asymptotisch Stabilität allein reicht nicht. Andere Anforderungen sind auch wichtig!

14 emax (Maximale Überschwingweite) (overshoot) gibt die maximale Regelabweichung an, die nach dem erstmaligen Erreichen des Sollwertes auftritt. emax Bleibende Regeldifferenz (steady state error) ist die Abweichung der Sollwert von der Istwert für t Sollwert Tan (Anregelzeit) (rise time) Zeitpunkt, zu dem der sollwert erstmals erreicht wird. Taus (Ausregelzeit) (transient time): Zeitpunkt, ab dem die Regelabweichung kleiner als eine vorgegebene Schranke. Tan Taus

15 Allgemeine Anforderungen an einen Regelkreis An eine Regelung werden vier Anforderungen gestellt: Kleine bleibende Regeldifferenz. geringes Überschwingen. Kleine Anregelzeit. Kleine Ausregelzeit.

16 PID-Regler PID-Regler besteht aus folgenden Anteilen: - Proportionalen Anteil (P-Regler) - Integralen Anteil (I-Regler) - Differentialen Anteil (D-Regler)

17 P-Regler Er bestimmt die Stellgröße u(t) durch Multiplikation der Regelabweichung e(t) mit einem Faktor Kp: V(t) + e(t) Kp u(t) System y(t) - u(t)= Kp e(t) U(s)=Kp E(s) Zeit Bereich Laplace Bereich

18 P-Regler Beispiel Entwerfen Sie einen P-Regler für das Systeme mit folgender Übertragungsfunktion

19 P-Regler Lösung 1. open-loop response Sprungsfunktion Regelgröße

20 open loop response Sollwert Nur 20% des Sollwerts! und erst nach Taus ~10s erreicht!

21 P-Regler V(t) + e(t) Kp u(t) y(t) -

22 P-Regler Sollwert Kp=50

23 P-Regler Sollwert Kp=100

24 P-Regler Sollwert Kp=200

25 P-Regler Sollwert Kp=300

26 P-Regler Zusammenfassung Die Regeldifferenz und die Ausregelzeit werden kleiner, wenn Kp größer gewählt wird. Aber dazu erhalt man eine stärkere Überschwingung!

27 P-Regler einfach im Aufbau und damit relative preiswert. das Verhalten wird nur durch die Einstellung des Parameters Kp. Kp Kp bleibende Regeldifferenz Überschwingweite

28 I-Regler Beim I-Regler (integrierender Regler) ist die Stellgröße u(t), abgesehen vom Anfangswert, proportional zum Zeitintegral der Regelabweichung e(t): Zeit Bereich Laplace Bereich

29 I-Regler Beispiel Entwerfen Sie einen I-Regler für das Systeme mit folgender Übertragungsfunktion

30 I-Regler V + - e 1 K i S u y

31 I-Regler Ki=0.8

32 I-Regler Ki=10

33 I-Regler Ki=30

34 I-Regler Ki=50

35 I-Regler keine bleibende Regeldifferenz. I-Regler greift langsamer ein als P- Regler.

36 PI-Regler Die Kombination eines I-Reglers mit einem P-Regler führt zum PI-Regler. U 1 ( s) K P E( s) + E( s) K s = (im Laplace Bereich) i

37 PI-Regler Kp + V e u y K i S

38 remember! I-Regler Ki=30

39 PI-Regler PI-Regler Kp=60 Ki=30

40 PI-Regler Kp=60 Ki=30

41 PI-Regler Kp=100 Ki=90

42 PI-Regler - anfangs schneller als der I-Regler. - präziser als der P-Regler (keine bleibende Regeldifferenz) Einstellung von zwei Reglerparametern (Zeit Aufwand beim Tuning)

43 D-Regler Der D-Regler (differentialer Regler) bestimmt den Stellwert aus der zeitlichen Ableitung der Regelabweichung: de( t) u( t) = K d dt U( s) K se( s) = (im Laplace Bereich) d Der D-Regler wird also aus der Änderung der Regeldifferenz reagiern.

44 D-Regler Beispiel Entwerfen Sie einen D-Regler für das Systeme mit folgender Übertragungsfunktion

45 D-Regler V + e Kd s u y -

46 D-Regler Sollwert Kd=50

47 D-Regler Sollwert Kd=50

48 D-Regler greift sofort ein beim Auftreten einer Regeldifferenz. Das Überschwingen zu minimieren. - reagiert nicht auf eine konstante Regeldifferenz. - verstärkt Messrauschen.

49 PD-Regler Die Parallelschaltung eines D-Reglers und eines P-Reglers führt zum PD-Regler. u( t) = K e( t) + p K d de( t) dt U ( s) K E( s) K se( s) = p + (im Laplace Bereich) d

50 PD-Regler Kp + V e u y Kd s

51 PD-Regler Sollwert Kp=10 Kd=50

52 PD-Regler Sollwert Kp=100 Kd=60

53 PD-Regler sehr schneller Regler, und größere Regeldifferenz werden vermieden. bleibende Regeldifferenz tritt auf.

54 PID-Regler Der PID-Regler vereint die Verhaltensweisen der P-, I-, und D-Regler. ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 0 t e dt d K d e K t e K t u d t i p + + = τ τ ) ( ) ( 1 ) ( ) ( s se K s E s K s E K s U d i p + + = (im Laplace Bereich)

55 PID-Regler Beispiel Entwerfen Sie einen PID-Regler für das Systeme mit folgender Übertragungsfunktion

56 PID-Regler Kp + V e u y K i S + Kd s

57 PID-Regler Sollwert Kp=300 Ki=150 Kd=80

58 PID-Regler - reagiert schnell - läßt keine bleibende Regeldifferenz zu - erlaubt keine großen Regelabweichungen Einstellung eines PID-Regler erfordert einen großen Zeitaufwand

59 Zusammenfassung

60 die Merkmale der elementaren PID-Regler

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