Vorkurs Mathematik Übungen zu Ableitungen und Kurvendiskussion

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Wolfgang Leander Schmidt
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1 Vorkurs Mathematik Übungen zu Ableitungen und Kurvendiskussion Als bekannt setzen wir die folgenden 5 Ableitungen und 3 Regeln voraus: cos) = sin) n ) = n n für alle n 0 e ) =e sin) = cos) ln) = f) g)) =f ) g) + f) g ) Produktregel) f) g) ) = f )g) f)g ) g)) Quotientenregel) f g)) =f g)) g ) Kettenregel) Ableiten Aufgabe. Berechnen Sie jeweils die Ableitung der folgenden Funktionen mittels Produktregel: a) + ) ) b) ln) c) e e d) cos ) e) sin ) Aufgabe. Berechnen Sie jeweils die Ableitung der folgenden Funktionen mittels Kettenregel: a) + ) 3 b) e 3 ) c) cos ) d) cos/) e) +e Aufgabe.3 Berechnen Sie die Ableitungen der folgenden rationalen Funktionen: +) + b) e + a) e c) d) tan) = sin) cos) e) cot) = cos) sin) cos) + Kurvendiskussion Aufgabe.4 Berechnen und untersuchen Sie alle lokalen Etrema und Wendepunkte der Funktion f : R R Aufgabe.5 Berechnen und untersuchen Sie alle lokalen Etrema der Funktion f : [, ) R +)

2 Zusatzfrage: Welches ist der größtmögliche Funktionswert der Funktion f auf dem intervall [, )? Tipp: Bei der ersten und zweiten Ableitung Potenzen von + ) kürzen, bevor man den neuen Zähler ausmultipliziert! Zusatzaufgaben Aufgabe.6 Wie lautet die n-te Ableitung von a) e b) e c) n d) n e) cos) Aufgabe.7 Sie habene eine Pappfläche von 6m zur Verfügung und sollen daraus einen geschlossenen Karton also mit Deckel) mit quadratischer Grundfläche herstellen. Der Karton soll einen möglichst großen Inhalt haben. Nehmen Sie idealisierend) an, dass der Kartonverbrauch genau der Fläche des Kartons entspricht kein Verschnitt, keine Klebekanten etc.). a) Wie berechnen Sie das Volumen und die Fläche aus Breite und Höhe des Kartons? b) Wie berechnet man die Höhe aus der Breite, wenn die Fläche konstant 6 bleiben soll? c) Wie breit und wie hoch ist der optimale Karton? Tipp: Nutzen Sie ihr wissen aus Aufgabe b) in der Volumenformel in c).

3 Lösungen Lösungen für Aufgabe.: f) :=... f ) =... a) + ) ) ) + + ) = b) ln) ln) + = ln) c) e e e + e e = e d) cos) cos) sin) cos) + cos) sin)) = cos)sin) e) sin) sin) cos) sin) + sin) cos) = + cos) sin) Lösungen für Aufgabe. f) :=... f ) =... a) + ) ) b) e 3 e 3 ) 3 c) cos ) sin ) ) d) cos/) sin/) / ) e) +e ) +e ) e ) Lösungen für Aufgabe.3 Alle diese Ableirungen werden mit der Quotientenregel bestimmt: f) :=... f ) =... a) + + b) e + e c) d) e) cos) + sin) cos) cos) sin) Lösungen für Aufgabe.4 +) +) ) +) = + +) e e e +) e = e ) e ) e e ) e ) = e sin)) +) cos) +) cos) cos) sin) sin)) = cos) +sin) cos)) cos) = cos) sin)) sin) cos) cos) sin)) = sin) cos) sin) = sin) f) = f ) = 6 6 = 6 ) f )= 6 = 6 ) Die erste Ableitung verschwindet bei 0 = 0 und =. Einsetzen in f ) liefert f 0 ) = 6 < 0 und f ) = 6 > 0. Die Funktion f hat also bei 0 ein lokales Minimum und bei ein lokales Maimum. Die zweite Ableitung f ) verschwindet nur bei 3 = /, hier hat die Funktion einen Wendepunkt. Lösungen für Aufgabe.5 f) = + ) f ) = + ) + ) + ) ) + ) 4 = + ) 3 = + ) 3 f )= ) + )3 ) 3 + ) ) + ) ) 3 8) + ) 6 = + ) 4 = + ) 4 3

4 Die erste Ableitung verschwindet nur bei 0 =, dies ist also das einzige lokale Etremum. Die zweite Ableitung ist negativ bei 0 = einsetzt, 0 ist also ein lokales Maimum. Lösung für Zusatzaufgabe.6 a) e ) n) = e b) c) n ) n) = n! = nn )n ) d) e ) n) = n e n n ) n) = n )! 0 = 0 Für cos ist die Sache etwas komlpizierter. Je nachdem welchen Rest n beim Teilen durch vier ergibt, ergibt sich eine andere n-te Ableitung: cos) wenn n = 4k f) = cos) f sin) wenn n = 4k + ) = wobei k N cos) wenn n = 4k + sin) wenn n = 4k + 3 Lösung für Zusatzaufgabe.7: Es seien b die Breite und h die Höhe des Kartons, gemessen in Metern. Das Volumen V und die Oberfläche F des Kartons berechnen sich wie folgt: V := b h F := b + 4 h b der Karton hat 6 Seiten, sind quadratisch, die anderen 4 haben Breite b und höhe h). h = 3 b b V = ) 3b b3 Abbildung : Die Höhe und das Volumen als Funktionen von b Da die Oberfläche des Kartons konstant ist, können wir h aus b berechnen: F = 6 b + 4 h b = 6 h = h = 6 4b b 4b b b Setzen wir den Wert von h in die Volumenformel ein ergibt sich: V = b h V = b 3 V = ) ) b b 3b b3 4

5 Wo hat die Funktion f) := 3 3, die V berechnet ein Maimum? f ) = 3 3 = 0 3 = 0 Also hat die Funktion zwei Etrema, eines bei 0 = und eines bei =. Weil negative werte für b nicht in Frage kommen, betrachten wir das Etremum bei 0 =. Dazu betrachten wir die zweite Ableitung: f ) = 3 f ) = 3 < 0 Es handelt sich also bei 0 = um ein Maimum. Die Höhe des Kartons berechnen wir nun aus der Formel h = 3 b b : h = = 3 = = Lösung Der optimale Karton ist würfelförmig mit Breite=Länge=Höhe=. 5

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