Schiefe- und Konzentrationsmaße

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1 Statst für SozologIe Schefe- ud Kozetratosmaße Uv.Prof. Dr. Marcus Hudec Höhere Vertelugsmaßzahle E stetges Mermal wurde 3 Gruppe beobachtet ud Form der folgede Häufgetstabelle berchtet: Klasse m Gruppe A Gruppe B Gruppe C Berechug vo Mttelwert ud Streuug Statst - Schefe- ud Kozetratosmaße Marcus Hudec

2 Berechug vo Mttelwert ud Streuug Gruppe A Gruppe B Gruppe C Gruppe A Gruppe B Gruppe C Klasse m Gruppe A Gruppe B Gruppe C m * m * m * m ²* m ²* m ²* ,76 5,76 5,76,4,4,4 x m m x σ Das arthmetsche Mttel st a alle 3 Gruppe glech 7. De Varaz st a alle 3 Gruppe glech 5,76 bzw. st de Stadardabwechug alle 3 Gruppe,4. 3 Statst - Schefe- ud Kozetratosmaße Vsualserug 4 Statst - Schefe- ud Kozetratosmaße Marcus Hudec

3 Maßzahle der Schefe Koveto: Postv rechtsschef bzw. lsstel Negatv lsschef bzw. rechtsstel Umodale symmetrsche Vertelug 5 rechtsschef lsschef Statst - Schefe- ud Kozetratosmaße Typsche Maße Pearso scher Schefeoeffzet: S ( ) 3 x x σ x x Quartlsoeffzet der Schefe S q ( Q3 Q) ( Q Q) ( Q Q ) 3 6 Statst - Schefe- ud Kozetratosmaße Marcus Hudec 3

4 Mometeoeffzet der Schefe (Fsher) Im Fall vo Ezeldate: S Be lasserte Date S m m ( x x ) 3 ( x x) ( ) 3 m x ( ) x x 7 Statst - Schefe- ud Kozetratosmaße Mometeoeffzet der Wölbug (Kurtoss) 4 γ ( x x ) Im Fall vo Ezeldate: ( x x) Be lasserte Date 4 ( m x) γ ( x x) Im Fall der Gauß sche Gloceurve st γ 0. Postve Werte leptourtsch Negatve Werte platyurtsch Statst - Schefe- ud Kozetratosmaße Marcus Hudec 4

5 Kozetratosmessug We telt sch de gesamte Mermalssumme auf de ezele Mermalsträger auf? Auftelug der Gesamtbevölerug Gemede verschedeer Größelasse Auftelug des gesamte Steueraufommes auf de ezele Steuersubete Auftelug der gesamte Schadesumme eer Sparte auf de ezele Verträge Auftelug des gesamte Martumsatzes ees Produtes auf verschedee Abeter 9 Statst - Schefe- ud Kozetratosmaße Kozetratosmessug Absolute Kozetrato: Vertelug der Mermalssumme auf ee bestmmte Azahl der Mermalsträger Relatve Kozetrato: Vertelug der Mermalssumme auf ee bestmmte Atel der Mermalsträger Maxmale Kozetrato: De gesamte Mermalssumme etfällt auf ee Mermalsträger; alle adere habe de Mermalssumme Null. Mmale Kozetrato: De Mermalssumme telt sch glechmäßg auf alle Elemete der Grudgesamthet auf. Jeder Mermalsträger hat deselbe Mermalsausprägug. 0 Statst - Schefe- ud Kozetratosmaße Marcus Hudec 5

6 Maßzahle der absolute Kozetrato x < x <... < x () ( ) ( ) P ( ) x () x( ) Kozetratosrate: C ( m) m+ x x ( ) ( ) P( ) m+ Atel des -te Mermalträgers a der gesamte Mermalssumme der geordete Stchprobe Atel der gesamte Mermalssumme, der auf de m-größte Mermalsträger etfällt Nachtel: Aussage ur für e gegebees m Statst - Schefe- ud Kozetratosmaße Herfdahl-Idex (Hrschma-Idex) C: P() 4 x x 4 x 3 x Der HI st de Summe der quadrerte relatve Atele der Mermalsträger a der Mermalsumme x x Egeschafte: () () () x x x 3 x 4 4 x maxmale Kozetrato C mmale Kozetrato C Fuso zweer Mermalsträger erhöht mmer de Idex Statst - Schefe- ud Kozetratosmaße x + x Marcus Hudec 6

7 Relatve Kozetratosmessug Notato: a < < a <... aq H... H q h... h h q q geordete Mermalsauspräguge absolute Häufget relatve lt Häufget Häft Azahl der Mermalsträger: umulerte Atele der Mermalsträger: q H Mermalssumme: 3 x q a H H h umulerte Atele a der Mermalssumme: a H l q a H Statst - Schefe- ud Kozetratosmaße Lorezurve grafsche Darstellug der Kozetrato: Abszsse : umulerte Atele der Mermalsträger Ordate: umulerte Atele a der Mermalssumme l E Put (, l ) der Lorezurve gbt a, daß auf de 00% leste Mermalsträger l 00% der gesamte Mermalssumme etfalle. Lorezurve: Verbdugsle zwsche alle (, l ) be 0,...,q mt ( 0, l 0 )(0,0) ud ( q, l q )(,) 4 Statst - Schefe- ud Kozetratosmaße Marcus Hudec 7

8 Bespel Umsatz m Produt Uterehme a b c d e Gesamtumsatz A B C Uterehme A Produt Umsatz Atel Mermalsträger Atel Mermalssumme umulerter Atel Mermalsträger ( ) umulerter Atel Mermalssumme (l ) b 0 0,0 0,00 0,0 0,00 c , , , ,00 d 0 0,0 0,00 0,60 0,00 e 0 0,0 0,00 0,80 0,00 a 000 0,0,00,00,00 000,00,00 5 Statst - Schefe- ud Kozetratosmaße Bespel: Vertelug Uterehme A Kumulerte Atele am gesamte Mermalsbetrag Kumulerte Atele der Mermalsträger Lorezurve 6 Statst - Schefe- ud Kozetratosmaße Marcus Hudec 8

9 Bespel B,C Uterehme B Produt Umsatz Atel Mermalsträger Atel umulerter Atel Mermalssumme Mermalsträger ( ) umulerter Atel Mermalssumme (l ) e 60 0,0 0,06 0,0 0,06 d 80 0,0 0,08 0,40 0,4 c 00 0,0 0,0 0,60 0,34 b 300 0,0 0,30 0,80 0,64 a 360 0,0 0,36,00,00 000,00,00 Uterehme C Atel Atel umulerter Atel umulerter Atel Produt Umsatz Mermalsträger Mermalssumme Mermalsträger ( ) Mermalssumme (l ) a 00 0,0 0,0 0,0 0,0 b 00 0,0 0,0 0,40 0,40 c 00 0,0 0,0 0,60 0,60 d 00 0,0 0,0 0,80 0,80 e 00 0,0 0,0,00,00 000,00,00 7 Statst - Schefe- ud Kozetratosmaße Bespel: Vertelug Uterehme B Kumulerte Atele am gesamte Mermalsbetrag Kumulerte Atele der Lorezurve Mermalsträger 8 Statst - Schefe- ud Kozetratosmaße Marcus Hudec 9

10 Bespel: Vertelug Uterehme C Kumulerte Atele am gesamte Mermalsbetrag Lorezurve Kumulerte Atele der Mermalsträger 9 Statst - Schefe- ud Kozetratosmaße Kozetratosmessug Fläche st svolle Bass für e Kozetratosmaß Kozetratosmaß ach Lorez- Müzer (G-Maß) LKM F F... Fläche zwsche Dagoale ud Lorezurve 0 Statst - Schefe- ud Kozetratosmaße Marcus Hudec 0

11 Marcus Hudec Kozetratosmessug l F F l - 0 Statst - Schefe- ud Kozetratosmaße Kozetratosmessug De Fläche F a durch de Summe der Trapezfläche F abzüglch der Fläche des obere Dreecs berechet werde: H a H a H a ) l (l F mt 0,5 F F q q + + Statst - Schefe- ud Kozetratosmaße,...,q für H a H a q +

12 Kozetratosmessug Damt berechet sch das Lorezsche Kozetratosmaß q ah LKM ( + ), q a H H wobe glt: für,...,q ud 0 0. Für das Lorezsche Kozetratosmaß 0 LKM ; glt: LKM0, falls alle Mermalswerte der Beobachtugsrehe glech sd, ud (-)/ be maxmaler Kozetrato auf ee Mermalsträger. Ee Normerug auf [0,] erzelt ma daher mt: LKM Norm LKM ( ) 3 Statst - Schefe- ud Kozetratosmaße Uterehme A Produt Umsatz Atel Atel umulerter Atel Mermalsträger Mermalssumme Mermalsträger () umulerter Atel Mermalssumme (l) - + b 0 0,0 0,00 0,0 0,00 0,00 0,000 c 0 0,0 0,00 0,40 0,00 0,600 0,000 d 0 0,0 0,00 0,60 0,00,000 0,000 e 0 0,0 0,00 0,80 0,00,400 0,000 a 000 0,0,00,00,00,800, ,00,00 LKM 0,800 LKM Norm,000 Uterehme B Produt Umsatz Atel Atel umulerter Atel Mermalsträger Mermalssumme Mermalsträger () umulerter Atel Mermalssumme (l) - + e 60 0,0 0,06 0,0 0,06 0,00 0,0 d 80 0,0 0,08 0,40 0,4 0,600 0,048 c 00 0,0 0,0 0,60 0,34,000 0,00 b 300 0,0 0,30 0,80 0,64,400 0,40 a 360 0,0 0,36,00,00,800 0, ,00,00 LKM 0,38 LKM Norm 0,40 Uterehme C Produt Umsatz Atel Atel umulerter Atel Mermalsträger Mermalssumme Mermalsträger ( ) umulerter Atel Mermalssumme (l ) - + a 00 0,0 0,0 0,0 0,0 0,00 0,040 b 00 0,0 0,0 0,40 0,40 0,600 0,0 c 00 0,0 0,0 0,60 0,60,000 0,00 d 00 0,0 0,0 0,80 0,80,400 0,80 e 00 0,0 0,0,00,00,800 0, ,00,00 LKM 0,000 LKM Norm 0,000 4 Statst - Schefe- ud Kozetratosmaße Marcus Hudec

13 5 Statst - Schefe- ud Kozetratosmaße Kozetrato des BSP auf Staate bzw. auf Bevölerug Produt Azahl BSP Atel Mermalsträger Atel Mermalssumme umulerter Atel Mermalsträger umulerter Atel Mermalssumme LKM Ärmste Staate ,9 0,0 0,9 0,0 0,0 Arme Staate ,8 0,09 0,57 0, 0,08 Arme Staate , , , ,0 0 0, Reche Starte ,6 0,80,00,00, ,00,00 0,59 Produt Azahl BSP Atel Atel Mermalsträger Mermalssumme umulerter Atel Mermalsträger umulerter Atel Mermalssumme Ärmste Staate ,35 0,0 0,35 0,0 0,0 Arme Staate ,39 0,09 0,74 0, 0,0 Arme Staate ,0 0,09 0,84 0,0 0,4 Reche Starte ,6 0,80,00,00, ,00,00,34 0,7 LKM Bezeht ma de Auftelug des BSP cht auf de Azahl der Staate, soder auf de betroffee Bevölerug, so ergbt sch ee deutlch höhere Kozetrato 6 Statst - Schefe- ud Kozetratosmaße Marcus Hudec 3

14 Paradoxo Für große Grudgesamthete ( ) werde haltlch uterschedlche Phäomee relatver Kozetrato beobachtet: A: De Hälfte der Mermalsträger hat ee Mermalsausprägug vo Null, vo der adere Hälfte habe alle deselbe Mermalswert > 0 B: E Mermalsträger veregt 50% der Mermalssumme auf sch, de restlche 50% der Mermalssumme vertele sch glechmäßg auf alle adere Mermalsträger I bede Fälle glt: LKM 0,5 7 Statst - Schefe- ud Kozetratosmaße Paradoxo Fall A Fall B Lorezurve Lorezurve 8 Statst - Schefe- ud Kozetratosmaße Marcus Hudec 4

15 Bespelsverteluge Verso Produt Produt Produt Produt Produt Summe A B C D E F Verso Herfdahl-Idex Lorez Müzer Koeffzet A B C D E F Statst - Schefe- ud Kozetratosmaße Lorezurve der Verteluge A ud B Lorezurve - Verso A Lorezurve - Verso B 30 Statst - Schefe- ud Kozetratosmaße Marcus Hudec 5

16 Lorezurve der Verteluge C ud D Lorezurve - Verso C Lorezurve - Verso D 3 Statst - Schefe- ud Kozetratosmaße Lorezurve der Verteluge E ud F Lorezurve - Verso E Lorezurve - Verso F 3 Statst - Schefe- ud Kozetratosmaße Marcus Hudec 6

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