Practical Numerical Training UKNum

Transkript

1 Practcal Numercal Trag UKNum Statstk, Datemodellerug PD. Dr. C. Mordas Ma-Plack-Isttute für Astroome, Hedelberg Programm: ) Repetto elemetare Statstk 2) Regressosaalyse 3) Leare Regresso 4) Ncht-leare Regresso

2 Elemetare Statstk

3 Efache statstsche Grösse I Studere e statstsches Datesample mt Werte, z.b. Messwerte. Das Sample/Stchprobe ka mt sogeate Momete charaktersert werde. Des sd Summe vo gazzahlge Poteze der Werte. Arthmetscher Mttelwert Gbt de mttlere Wert der Messwerte a y Alteratve sd der Meda s oder the sum der Mode. of Rage R y y ma m Problem: Ausresser yma y m y s the mamum of the values of y,,2,...,, s the mmum of the values of y,,2,...,..

4 Efache statstsche Grösse II Resduum/Fehler Das Resduum zwsche eem Datewert ud dem Mttelwert st e y y Das Resduum ka postv fferece oder egatv of ease, daher ka de Summe der Resdue über das gaze Datesample (zufällg) glech Null se da sch de Resdue gegesetg auslösche köe. Daher st de Summe der Quadrate der Resdue e besseres Mass. Summe der Fehlerquadrate S t y y he magtude of the Der Betrag der Summe der Fehlerquadrate st offeschtlch vo der Azahl Datepukte abhägg. Daher suche wr ee Mttelwert. 2

5 Efache statstsche Grösse III (Stchprobe-)Varaz E Mttelwert der Summe der Fehlerquadrate st de (Stchprobe-)Varaz y y 2 St arace, 2 s sometmes wrtt De Stchprobevaraz wrd mt (-) ud cht berechet wel wr de Mttelwert selbst scho aus der Stchprobe berechet habe. Des bedeutet dass wr ee Frehetsgrad verlore habe, de we wr de Mttelwert ud - Datepukte kee, köe wr de -te Wert bereche. Ist der Mttelwert eter gegebe (cht durch vo der Stchprobe her berechet), sollte statt - verwedet werde. 2

6 Efache statstsche Grösse IV Varaz Fortsetzug Numersch ka de Varaz verschede Arte geschrebe werde: Var(... N )= N Var(... N )= N Ee Schrebwese de Rudugsfehler (be grosse N) reduzert st der korrgerte two pass Algorthmus. Dabe wrd zuerst der Mttelwert berechet, ud da de Varaz als N ( j ) 2 N j= N j= 2 j N N ( j ) j=

7 Efache statstsche Grösse V Stadardabwechug Um e Mass der Streuug de gleche Ehete we de Messgrösse zu habe, st de Stadardabwechug als Wurzel der Varaz gegebe: S t y Furthermore, the rato of the s Varatoskoeffzet Das Verhälts vo Stadardabwechug zu Mttelwert st e relatves, dmesosloses Mass für de Streuug m Sample o c. v s also use y 2 c. v 00 y [%]

8 Efache statstsche Grösse VI Skewess (Schefe) Auch bekat als das drtte Momet, charaktersert es das Ausmass der Asymmetre ee Vertelug vo Messdate um de Mttelwert. Es st ee dmesoslose Grösse. N [ ] 3 j Skew(... N )= N j= σ Skewess Press et al. 992 egatve postve E postver Wert etsprcht eer asymmetrsche Vertelug mt eem Tal der gege postve Werte wesst. Der Modus st kleer als der Mttelwert.

9 Efache statstsche Grösse VII Kurtoss (Wölbug) Auch als das verte zetrale Momet bekat, charaktersert de Kurtoss de Sptzgket eer Vertelug. Es st ee dmesoslose Grösse. Kurt(... N )= N N j= [ ] 4 j σ 3 egatve (platykurtc) Press et al. Kurtoss postve (leptokurtc) Ee Vertelug mt eer postve Kurtoss hesst leptokurtsch. E Bespel st das Matterhor. Ee obe abgeflachte Vertelug st m Gegesatz platykurtsch. Als Referez wrd de Gaussvertelug verwedet. Höhere Momet we de Skewess ud Kurtoss sd weger robust als der Mttelwert oder de Stadardabwechug.

10 Efache statstsche Grösse VIII Meda Der Meda eer Wahrschelchketsvertelug p() st der Wert med für welche grössere ud kleere Werte vo glech wahrschelch sd. med p() d = 2 = p() d med Der Meda eer Stchprobe,..., N st der Wert der deselbe Azahl grössere ud kleere Werte hat. Offeschtlch gbt es des cht falls N gerade st. I desem Fall st es de Koveto, de Mttelwert der zwe zetrale Werte zu verwede. Falls de Datepukte astegedem Wert geordet sd, hesst des formelmässg: Press et al. med = { (N+)/2, N odd 2 ( N/2 + (N/2)+ ), N eve

11 Efache statstsche Grösse VIII Modus Der Modus eer Wahrschelchketsfukto p() st der Wert wo p de mamale Wert ammt. Be eer emprsche Häufgketsvertelug st es efach der häufgste Wert. Der Modus st vor allem hlfrech we de Vertelug e ezges, relatv scharfes Mamum ethält. Gelegetlch trete aber bmodale Verteluge mt zwe relatve Mama auf. Da sollte ma bede Werte dvduell kee. De sowohl Modus we auch Mttelwert sd desem Fall kee sehr ützlche Grösse, da se ur ee Kompromss zwsche de zwe Mama darstelle. I der Physk köe solche bmodale Verteluge e Hwes se, dass zwe uterschedlche Mechasme wrke. Press et al.

12 2 Regressosaalyse

13 Regressosaalyse Was st Regressosaalyse? De Regressosaalyse lefert (quattatve) Iformatoe über de Bezehug eer abhägge Varable ud eer oder mehrerer uabhägger Varable, sowet ee solche Bezehug eem Datesatz ethalte st. Se wr beützt für. Progose 2. Modellapassug (Parameter Bestmmug) 3. Modellvalderug Be der Regressosaalyse legt de Betoug auf der Utersuchug der Art der Bezehug zwsche physkalsche Grösse (de als cht fehlerbehaftet ageomme werde). Be der verwadte Ausglechsrechug (Fttg) geht es hgege prmär darum, de Parameter ees gegebe Modells zu bestmme, uter Beachtug der Fehler der ezele Messuge.

14 Methode der kleste Quadrate Des st de bekateste Methode um Parameter ees Modells eer Regressosaalyse zu schätze. De Methode folgt gut bekate Wahrschelchketsverteluge ud lefert de Parameter für de de Varaz mmal st. Wr wolle das Verhälts vo Messdate (,y),(2,y2),...,(,y) durch e Regressosmodell f ausdrücke, also y f ( ) wobe de Fukto f vo a pror the ubekate fucto Regressosparameter abhägt. Dese müsse u abgeschätzt werde. Wchtge Bespele: f() = a0 + a Efache leare Regresso mt de Parameter a0 ud a f() = a0e a Epoetelles Modell mt de Parameter a0 ad a f() = a0 + a + a2 2 Quadratsches Modell mt Parameter a0, a ud a2

15 Methode der kleste Quadrate II E Mass für de Güte mt der e Regressosmodell f() de Abhäggket der Varable y voraussagt st de Grösse des Resduums E be alle Datepukte. E y f ( ),,2,..., f all the resduals E are ze Be eem perfekte Modell wäre alle E glech Null. I der Methode der kleste Quadrate schätzt ma de Regressosparameter so dass de Summe der Quadrate der Resdue mmal wrd: 2 E -> mmal Daher auch der Name kleste Quadrate.

16 3 Leare Regresso

17 Leare Regresso Gegebe see Datepukte de Regressosgerade. Bestmme y Illustrato mt Mathematca

18 Parameterschätzug I De Methode der kleste Quadrate mmert de Summe der quadrerte Resdue des leare Modelles, ud gbt ee edeutge Regressosgerade vor. Usere Aufgabe st de Bestmmug der Regressosparameter a0 ud a. Dazu beutze wr elemetare Aalyss (Abletug = 0 be Mama/ Mma). Bem Mmum muss für de partelle Abletuge gelte (Ketteregel):

19 Des gbt a a a a a Da y a a 0 y a a 2 0 Parameterschätzug II

20 y a a 0 y a a 2 0 Des köe wr als leares Glechugssystem mt zwe Glechuge auffasse ud als 22 Matr schrebe we wr es der letzte Vorlesug gesehe habe, mt de Ubekate a0 ud a (alle ud y sd bekat). 2 2 y y a y y a Parameterschätzug III 2 a0 a = y y Für so ee klee Matr fdet ma schell:

21 S y Parameterschätzug IV _ 2 S 2 _ Wr defere y S y y _ y y rewrte _ y S y y y y S _ we ca rewrte y S a we ca rewrte S Damt köe wr de Parameter für de Regressosgerade schrebe als a S S y a y a 0 Eample y 2 a y a 0 _ 2

22 Bespel I Gebe se folgedes Dateset. Bestmme de Regressosgerade gemäss der Methode der kleste Quadrate. y y X Gesucht sd somt a0 ad a für das leare Model

23 Bespel II Esetze de obe geate Glechuge führt drekt zu a0 a y

24 4 Nchtleare Regresso

25 Nchtleare Regresso Ege wchtge chtleare Modelle. Epoetell: 2. Power law: 3. Saturato growth: 4. Polyom:

26 Nchtleare Regresso: Epoetell Gegebe see Datepukte wobe ee chtleare Fucto vo bestmme st va de Methode der kleste Quadrate. Fgure. Nolear regresso model for dscrete y vs. data Bespel Epoetelles Modell Parameter a ud b zu bestmme!

27 Epoetell: Bestmme Parameter I De Summe der Quadrate der Resdue st gegebe als Sr = = ( y ae b ) 2 Bestmme Mmum: Lete ab ach a ud b ud setze glech Null. S r a = = ( )( e b ) = 0 2 y aeb S r b = = ( ) 2 y aeb ( a e b ) = 0

28 Epoetell: Bestmme Parameter II Ausmultplzere lefert (a 0)

29 Epoetell: Bestmme Parameter III De erste Glechug köe wr drekt ach a löse: Des setze wr de zwete Glechug e. e b = y e b y = e 2b = a = e 2b = 0 = = e 2b = y e b De Parameter b köe wr mt de bekate umersche Methode (z.b. Bsekto) zur Lösug chtlearer Glechuge bestmme. Sobald b gefude st, köe wr auch a bereche.

30 Bespel - Epoetelles Modell I Radoaktver Zerfall vo Techetum-99m Techetum-99m wrd zum Bespel der Medz egesetzt. Nmm a dass de Aktvtät als Fukto der Zet (relatv zum Afagswert) gemesse wurde. t(hrs) Wr wsse dass der radoaktve Zerfall eem epoetelle Zerfallsgesetz folgt. Führe daher ee Regresso mt dem epoetelle Modell durch.

31 Bespel - Epoetelles Modell II De relatve Itestät soll deshalb durch das Modell beschrebe werde. Bestmme: a) De Werte der Regressosparameter ud b) De Halbwertszet vo Techetum-99m c) De Itestät ach 24 Stude

32 Bestmmug der Parameter Der Wert vo λ st durch de chtlear Glechug gegebe: ( ) = γ f λ A st da: t e λt = A = = e 2λt = γ e λt = e 2λt = γ e λt t e 2λt = 0 =

33 Lösug der chtleare Glechug Damt lässt sch A bereche: A = 6 = 6 e 2λt = γ e λt Muss ja so se...

34 Verglech Date ud Regresso T /2 = l(/2) = l(2) T /2 =6.022 hrs

35 Relatve Itestät ach 24 Stude Dese st offeschtlch gegebe als I adere Worte, ach 24 Stude sd och der afäglche Aktvtät vorhade.

36 Learsato vo Date I De Bestmmug der Parameter chtlearer Modelle ka auf gekoppelte, chtleare Glechugssystem führe, de schwerg zu löse sd. Deshalb st es machmal besser de Date zu learsere, falls des möglch st. Für de epoetelle Zerfall st des der Fall. Gegebe se das epoetelle Modell Wr wede de atürlche Logarthmus a, des gbt Se, ud Offeschtlch habe wr u e leares Modell mt de Parameter a0 ud a Sobald a0 ud a bekat sd, köe wr weder a ud b bestmme.

37 Learsato vo Date II Wr wsse Sobald a = = = z z = 2 2 = = a 0 = z _ a _ bestmmt sd, köe wr de ursprüglche Parameter bereche:

38 Bespel - Learsato vo Date I Radoaktver Zerfall we zuvor: t(hrs) Epoetelles Modell Relatve testy of radato, γ Tme t, (hours) Es se, ud sodass Learserter Zusammehag vo ud

39 Bespel - Learsato vo Date II Bestmme de leare Parameter a = = = t z t z = 2 t 2 t = = ud wo Table. Summato data for learzato of data model mt

40 Bespel - Learsato vo Date III Wr fde Da ud Das Regressosmodell st somt

41 Bespel - Learsato vo Date IV De Halbwertszet vo Techetum 99m st errecht we Der aus userem Epermet ud Regresso bestmmte Wert stmmt recht gut mt dem Lteraturwert vo ca. 6.0 Stude übere.

42 Refereze Deses Scrpt basert auf by Autar Kaw, Ja Paul ud Numercal Recpes (2d/3rd Edto) by Press et al., Cambrdge Uversty Press