Auswertung von Messungen Teil I

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1 Auswertung von Messungen Teil I 1. Ergebnisdarstellung. Rechnen mit Messwerten - Signifikante Stellen 3. Linearisierung 4. Ausgleichsgerade - lineare Regression 5. Messabweichungen 6. Häufigkeitsverteilung Histogramm Lageparameter Mittelwert Varianz 7. Fehlerfortpflanzungsgesetze 8. Güte der linearen Regression Genauigkeit der Regression Korrelationskoeffizient Wintersemester 009 1

2 1. Ergebnisdarstellung Beispiel: - Aufnahme einer Weg-Zeit-Messung : t x oder x(t) - Darstellung als Wertetabelle: t/s x/m V/ ms Resultat: Maßzahl Einheit z.b. v = m/s Achtung: SI-Einheiten m, kg, s, A, K, cd, mol Bahnkurve - Grafische Darstellung Weg x/m Wintersemester 009 Zeit t/s

3 . Rechnen mit Messwerten Beispiel: Geschwindigkeitsmessung aus Weg und Zeit L L = 7 cm, t = 13.3 s v = = m/s t Beachte die Messabweichungen: L = (7,0 ±0,1) cm v min 71,9 13, 4 ΔL = 1 mm, Δt = 0.1 s 7,1 t = (13,3 ± 0,1) 13, s = cm/s = m/s v max = cm/s = m/s Δv = ½ (v max -v min ) m/s Formales Ergebnis: v = ( ± ) m/s Wie viele Stellen darf das Ergebnis haben? Wintersemester 009 3

4 In nichts zeigt sich der Mangel an mathematischer Ausbildung mehr als an einer übertrieben genauen Rechnung (C.F.Gauß) Beachte: Jedes Messergebnis ist mit einer Messunsicherheit behaftet, die damit die signifikanten Stellen bestimmt! Beispiel: Messung mit dem Zollstock L = 135,3 cm Messunsicherheit 1 mm Die Anzahl der Ziffern eines Ergebnisses wird durch die signifikanten Stellen gekennzeichnet! Wintersemester 009 4

5 Signifikante Stellen Bei jeder Ergebnisangabe sollte die letzte signifikante Stelle des Ergebnisses an der gleichen Dezimalstelle stehen wie die letzte signifikante Stelle der Meßunsicherheit. v = ( ± ) m/s also: v = ( ± ) m/s ± Beispiele: ± (3.4 0.) 10-3 Was bedeutet das? Ohne ergänzende Informationen: bei einer Einzelmessung erhält man mit 68% Wahrscheinlichkeit einen Meßwert zwischen (3.4-0.) 10-3 und ( ) 10-3 ± ± Wintersemester 009 5

6 Der Aussagewert von Messwerten wird durch die signifikanten Stellen ( oder Ziffern) bestimmt. Zahl signifikante Stellen = = Multiplikation, Division, Radizieren: signifikante Stellen des Resultats sind durch Zahl mit den wenigsten signifikanten Ziffern gegeben Beispiel: = = Addition, Subtraktion: Das Endergebnis hat nach dem Komma so viele signifikante Stellen wie die Zahl mit den wenigsten signifikanten Stellen. Beispiel: = 5.86 = 5.9 Wintersemester 009 6

7 3. Linearisierung Das Auge kann nur die Gerade und den Kreis als geometrische Elemente eindeutig identifizieren. Y = A X + B Wichtige Funktionsverläufe können in Geradengleichungen überführt werden: Potenzfunktion: A y = B x lny = A lnx+ lnb doppelt-geteiltes logarithmisches Papier Exponentialfunktion: AX y = B e lny = A x+ lnb einfach-geteiltes logarithmisches Papier Wintersemester 009 7

8 Exponentialgesetze AX y = B e lny = A x+ lnb Beispiel: radioaktiver Zerfall N= N e μ 0 x Counts Counts Dicke / mm Dicke / mm Einfach-logarithmische Darstellung Wintersemester 009 8

9 Potenzgesetze A y = B x lny = A lnx+ lnb Beispiel: freier Fall s g = t Weg / m Weg / m Zeit / s Zeit / s Doppelt-logarithmische Darstellung Wintersemester 009 9

10 Darstellung von e const / T Beispiel: elektrische Leitfähigkeit im Halbleiter σ(t) = σ e 0 E kt Leitfähigkeit / m/ohm Leitfähigkeit / m/ohm Temperatur / K /Temperatur / 1/K Wintersemester

11 4. Ausgleichsgerade - lineare Regression Problem: Messwerte streuen infolge Messabweichungen um eine Gerade. Gesucht ist diejenige Gerade, die den Messwerten am besten entspricht : Ausgleichsgerade Ordinatenwert Abszissenwert Wintersemester

12 0 Meßwerte: (x i, y i ) Ordinatenwert 10 Ausgleichsgerade: y = A x + B Idee: Abszissenwert A und B so wählen, daß die Abweichungen der Meßwerte von der Ausgleichsgeraden minimal werden >>> (Methode der kleinsten Quadrate) Wintersemester 009 1

13 0 Ordinatenwert 10 Meßwerte: (x i, y i ) Ausgleichsgerade: y = A x + B Abszissenwert (Abweichungen) = Minimum Wintersemester

14 Y i ε i P(X i,y i ) X i Y=A X+B Falls X i genauer als Y i gemessen wurde: Y i = A X i + B - ε i ε i = A X i + B - Y i ε i = Minimum ε i = f (A,B) ( ε i )/ A = 0! ( ε i )/ B = 0! Auflösung der beiden Gleichungen nach den Unbekannten A und B. Einführung der Mittelwerte x und y sowie der Varianz Q xx und Kovarianz Q xy. Wintersemester

15 Y i ε i P(X i,y i ) X i Y=A X+B Falls X i genauer als Y i gemessen wurde: Y i = A X i + B - ε i ε i = A X i + B - Y i ε i = Minimum ε i = f (A,B) ( ε i )/ A = 0! ( ε i )/ B = 0! A Q xy = Q B = y A x xx Wintersemester 009 xx n i= 1 n ( ) i Q = x x ( ) ( ) Q = x x y y xy i i i= 1 15

16 5. Messabweichungen Messabweichung = Messwert - wahrer Wert DIN Systematische Messabweichungen : - bei Wiederholung der Messung reproduzierbar - schwer erkennbar - aber korrigierbar z.b. Anzeigefehler, Schlupf, Spannungsabfall.. Zufällige Messabweichungen, (auch: statistische M.a.): - können positiv und negativ sein ( streuen ) - Häufigkeit nimmt mit der Größe ab Wintersemester

17 . die Normenarbeit geht weiter: INC-1 (1980) Nicht mehr Unterteilung in systematische und zufällige Messabweichungen mehr sondern in: Standardunsicherheit vom Typ A: bei Wiederholmessung Standardunsicherheit vom Typ B: wissenschaftliche Beurteilung aller Informationen über die mögliche Streuung der Messgrößen: Fehlergrenzen, Herstellerangaben, Dann Annahmen über den Verteilungstyp, Angabe der kombinierten Standardunsicherheit (Quadratisches Fortpflanzungsgesetz) u x = S X Wintersemester

18 Wiederholmessungen Zur genauen Bestimmung der Meßgröße y wird die Messung mehrfach wiederholt: Meßwerte y i mit i = 1..n Aus der Messstatistik der y i ( = Stichprobe) können der Mittelwert die empirische Standardabweichung s bestimmt werden. S heißt empirische Varianz der Stichprobe. y und Indirekte Messungen Die Meßgröße y hängt in bekannter Weise von mehreren Meßwerten x i ab: y = f (x 1, x,.. x m ). Die Meßunsicherheit von y wird durch Fortpflanzungsgesetze beschrieben ( linear oder quadratisch ). Wintersemester

19 6. Häufigkeitsverteilungen Ursachen der Zufälligkeit: statistisch nichtlinear unvorhersehbar Häufigkeitsverteilung der Messwerte ist darstellbar als Histogramm Wintersemester

20 Histogramm bei unterschiedlichen Intervallgrössen Anzahl der Ergebnisse n Anzahl der Intervalle K K = n für n lg n für n 1000 Wintersemester 009 0

21 Lageparameter der Häufigkeitsverteilung Häufigkeit H Mittelwert Varianz Messwert X Verteilungsfunktion durch Mittelwert und Dispersionsgröße (z.b. Varianz s ) charakterisieren K i= 1 ( ) = j ( j ) = j= 1 S x H x x Wintersemester 009 ( ) S ( B ) = S ( x) + B x n ( x ) i x n 1 Varianz bezüglich eines anderen Wertes B 1

22 Experiment - Theorie Stichprobe i Grundgesamtheit, Modellverteilung Experiment s = Theorie x µ (x x) n 1 (x μ ) σ = n s = x x σ = x μ Wintersemester 009

23 Mittelwerte Meßwerte {y i } Mittelwerte - arithmetisch: y = N 1 N y i - geometrisch: y = n y.. 1y yn - quadratisch : y 1 n = n yi i= 1 - Median : steht in der Mitte Warum wird der arithmetische Mittelwert bevorzugt? Wintersemester 009 3

24 Eigenschaften des arithmetischen Mittelwerts - Summe aller Fehler verschwindet: - Summe der Fehlerquadrate ist minimal: n i= 1 ( y y) = 0 i ( y ) = 0 n i y y i= 1 Standardabweichung = Breite der Messwertverteilung um Mittelwert = Wurzel aus Varianz Standardabweichung s: s = n 1 [ y y] i n 1 Wintersemester 009 4

25 Betrachtung von mehreren Stichproben. Wie breit ist die Verteilung der Mittelwerte? Hierzu folgt ein simuliertes Beispiel Wintersemester 009 5

26 Gemessen wird die Gesamtaugenzahl X von 5 Würfeln, jeweils gemittelt über n =100 Würfe Einzelmessungen der Stichprobe: X i S x Mittelwert Standardabweichung Mittelwert Standardabweichung 16,95 4,18 16,91 4,1 17 3,43 17,4 3,45 18, 3,9 17,47 0,39 17,14 3,74 17,61 4,01 Mittelwert und Standardabweichung der Stichprobe 17,54 3,56 17,49 4 X Mittelung über alle Stichproben: 1 = X i S X N n = S n Mittelwert und Standardabweichung des Mittelwerts Wintersemester 009 6

27 Schlußfolgerungen für die Streuung der Mittelwerte 1 Meßreihe liefert die Messwerte x j, aus denen der Mittelwert und die Streuung s i der Messwerte um den Mittelwert berechnet werden. Die Mittelwerte X vieler Messreihen verteilen sich mit der Streuung S i um den wahrscheinlichsten Mittelwert X. X X i Es gilt bei Messreihe mit Stichprobenumfang n für die Standardabweichung des Mittelwerts (= Standardunsicherheit): s X = s n Wintersemester 009 7

28 7. Fortpflanzung von Messabweichungen 7.1 systematische Messabweichungen Gesucht ist eine obere Schranke ΔZ für die Messunsicherheit der indirekt gemessenen Größe Z, die aus mehreren unsicheren Einzelgrößen bestimmt wird! Z = f(x,y) Z = X ± Y Z = X Y f f Δ Z = Δ X + ΔY X Y ΔZ = ΔX + ΔY ΔZ/Z = ΔX/X + ΔY/Y Im Praktikum werden gewöhnlich die Meßabweichungen mit 1.. signifkanten Ziffern angegeben. Wintersemester 009 8

29 7. zufällige Messabweichungen (Gaußsches Fehlerfortpflanzungsgesetz) Z = f (X,Y) Unkorrelierte und zufällige Messabweichungen bei X und Y Standardabweichungen s X und s Y Gesucht ist die wahrscheinlichste Standardabweichung von Z! Z = f (X,Y) bekannt: s X, s Y gesucht: s Z f f s = s + s X Y Z X Y X Y s Z wird nach DIN 1319 kombinierte Standardunsicherheit genannt Wintersemester 009 9

30 Gaußsches Fehlerfortpflanzungsgesetz f f s = s + s X Y Z X Y X Y Z = X + Y Z = X Y Z = x n Z = ln X Z = e X s Z = s X + s Y X Y = + s s s Z Z X Y s Z = s X n s Z = s X / X s Z = s X Z Wintersemester

31 1. Beispiel für Fehlerfortpflanzung (zufällige Meßabweichungen) Messung von g mit einem einfachen Pendel g = g(, l T) = 4 π T l Abschätzung der Messunsicherheit: δ g δ l T δ = + g l T mit wird δl δt = 0,1% und = 0, 4% l T δ g : = 0,4% g Wintersemester

32 . Beispiel für Fehlerfortpflanzung (zufällige Meßabweichungen) Bestimmung der Dichte von Luft : V = ± 0.1 cm 3 m 1 = ± g m = ± g Abschätzung der Messunsicherheit: m m m ρ = = V V 1 s s s ρ + = + = + ρ sm sv m1 m s V m V m V = (0.013) 0.14 also: S ρ ρ = 0.14 Wintersemester 009 3

33 8. Genauigkeit der linearen Regression Y = A X + B gegeben: σ Y mit 1 σ Y = ( Yi A Xi B) N 8.1 gesucht: σ A, σ B, σ A B A Y B Y Y σ σ i Y σ = = i z.b. für σ B : B Y j = B X ( Y1+... Yj +..) X ( X1Y1+.. X jyj) = Nenner X X j X B N ( X ) X ( X) X = = j j Nenner Y Nenner Nenner σ B = σ Y X i N σ Y σ A = i ( i) N Xi ( Xi) N X X Wintersemester

34 8. Genauigkeit der linearen Regression 8. Was bedeutet der Korrelationskoeffizient? 0 Ordinatenwert Abszissenwert Bestimmtheitsmaß R = A A Korrelationskoeffizient R Vertikale Abweichungen minimiert: y = A x + B Horizontale Abweichungen minimiert x = A y + B R xy = Q Q xx Q yy Wintersemester

35 Anhang Literatur Bestimmung der Standardunsicherheit Ablaufschema zur Bestimmung der Messunsicherheit einer direkt gemessenen Größe Beispiel: Fadenpendel mit großer Auslenkung Wintersemester

36 Literatur H.Gränicher, Messung beendet was nun?, Teubner 1994.R.Spiegel, L.J.Stephens, Statistik, McCraw_Hill 1999 T.Elser, Statistik für die Praxis, Wiley 004 L.Squires, Messergebnisse und ihre Auswertung, 1971 J.Mandel, The statistical analysis of experimental data, 1984 M.Drosg, Umgang mit Unsicherheiten, facultas 006 L.Kirkup, B.Frenkel, Uncertainty in Measurements, Cambridge 006 J.R.Taylor, Fehleranalyse VCH 1988 DIN 1319, Teil 3 und 4 DIN 55350, Teil 13 Messunsicherheiten Messunsicherheiten Wintersemester