Vollständige Induktion

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Vollständige Induktion"

Transkript

1 Vollständige Induktion Aussageformen mit natürlichen Zahlen als Parametern kann man mit vollständiger Induktion beweisen. Ist A(n) eine von n N abhängige Aussage, so sind dazu die folgenden beiden Beweisschritte durchzuführen. Induktionsanfang: Man zeigt, dass A(1) richtig ist. Induktionsschluss: Man zeigt, dass aus der Annahme, dass A(n) richtig ist (Induktionsvoraussetzung), folgt, dass auch A(n + 1) richtig ist, d.h. A(n) = A(n + 1). Dann ist gewährleistet, dass A(n) für alle n N gilt. Vollständige Induktion 1-1

2 Vollständige Induktion Aussageformen mit natürlichen Zahlen als Parametern kann man mit vollständiger Induktion beweisen. Ist A(n) eine von n N abhängige Aussage, so sind dazu die folgenden beiden Beweisschritte durchzuführen. Induktionsanfang: Man zeigt, dass A(1) richtig ist. Induktionsschluss: Man zeigt, dass aus der Annahme, dass A(n) richtig ist (Induktionsvoraussetzung), folgt, dass auch A(n + 1) richtig ist, d.h. A(n) = A(n + 1). Dann ist gewährleistet, dass A(n) für alle n N gilt. Bei einem Induktionsbeweis wird sukzessive das Nächste aus dem Vorherigen gefolgert. Wird der Induktionsanfang nicht für n 0 = 1, sondern für ein n 0 > 1 durchgeführt, so gilt die Aussage nur für alle n n 0. Vollständige Induktion 1-2

3 Beweis der Formel für die Summe der Quadratzahlen, A(n) : n k=1 k 2 = n 2 = 1 n(n + 1)(2n + 1), 6 mit vollständiger Induktion Vollständige Induktion 2-1

4 Beweis der Formel für die Summe der Quadratzahlen, A(n) : n k=1 k 2 = n 2 = 1 n(n + 1)(2n + 1), 6 mit vollständiger Induktion Induktionsanfang (A(1)): 1 k=1 k 2 = 1 2 = Vollständige Induktion 2-2

5 Vollständige Induktion 2-3

6 Induktionsschluss (A(n) = A(n + 1)): n+1 k 2 = k=1 n k 2 + (n + 1) 2 = k=1 n(n + 1)(2n + 1) 6 } {{ } A(n) = (n + 1)[ n(2n + 1) + 6(n + 1) ] 6 = +(n + 1) 2 (n + 1)(n + 2)(2n + 3) 6 Vollständige Induktion 2-4

7 Induktionsschluss (A(n) = A(n + 1)): n+1 k 2 = k=1 n k 2 + (n + 1) 2 = k=1 n(n + 1)(2n + 1) 6 } {{ } A(n) = (n + 1)[ n(2n + 1) + 6(n + 1) ] 6 = +(n + 1) 2 (n + 1)(n + 2)(2n + 3) 6 Verwendung der Induktionsvoraussetzung bei der zweiten Gleichheit Vollständige Induktion 2-5

8 Anzahl der Spiele bei einem Tennis-Turnier (K.O.-System) mit 2 n Teilnehmern 2 n 1 (n = 7 bei einem Grand-Slam) Vollständige Induktion 3-1

9 Anzahl der Spiele bei einem Tennis-Turnier (K.O.-System) mit 2 n Teilnehmern 2 n 1 (n = 7 bei einem Grand-Slam) (i) Beweis mit vollständiger Induktion: Vollständige Induktion 3-2

10 Anzahl der Spiele bei einem Tennis-Turnier (K.O.-System) mit 2 n Teilnehmern 2 n 1 (n = 7 bei einem Grand-Slam) (i) Beweis mit vollständiger Induktion: Induktionsanfang (n = 1): 2 = 2 1 Teilnehmer 1 = Spiele Vollständige Induktion 3-3

11 Anzahl der Spiele bei einem Tennis-Turnier (K.O.-System) mit 2 n Teilnehmern 2 n 1 (n = 7 bei einem Grand-Slam) (i) Beweis mit vollständiger Induktion: Induktionsanfang (n = 1): 2 = 2 1 Teilnehmer 1 = Spiele Induktionsschluss (n n + 1): Vollständige Induktion 3-4

12 Anzahl der Spiele bei einem Tennis-Turnier (K.O.-System) mit 2 n Teilnehmern 2 n 1 (n = 7 bei einem Grand-Slam) (i) Beweis mit vollständiger Induktion: Induktionsanfang (n = 1): 2 = 2 1 Teilnehmer 1 = Spiele Induktionsschluss (n n + 1): 2 n+1 Teilnehmer zwei Gruppen mit je 2 n Teilnehmern Vollständige Induktion 3-5

13 Anzahl der Spiele bei einem Tennis-Turnier (K.O.-System) mit 2 n Teilnehmern 2 n 1 (n = 7 bei einem Grand-Slam) (i) Beweis mit vollständiger Induktion: Induktionsanfang (n = 1): 2 = 2 1 Teilnehmer 1 = Spiele Induktionsschluss (n n + 1): 2 n+1 Teilnehmer zwei Gruppen mit je 2 n Teilnehmern Induktionsvoraussetzung = [2 n 1] Spiele in jeder Gruppe Vollständige Induktion 3-6

14 Anzahl der Spiele bei einem Tennis-Turnier (K.O.-System) mit 2 n Teilnehmern 2 n 1 (n = 7 bei einem Grand-Slam) (i) Beweis mit vollständiger Induktion: Induktionsanfang (n = 1): 2 = 2 1 Teilnehmer 1 = Spiele Induktionsschluss (n n + 1): 2 n+1 Teilnehmer zwei Gruppen mit je 2 n Teilnehmern Induktionsvoraussetzung = [2 n 1] Spiele in jeder Gruppe zusätzliches letztes Spiel für die Sieger der beiden Gruppen Spiele bei 2 n+1 Teilnehmern 2 [2 n 1] + 1 = 2 n+1 1 Vollständige Induktion 3-7

15 (ii) einfachere Argumentation ohne vollständige Induktion: Vollständige Induktion 3-8

16 (ii) einfachere Argumentation ohne vollständige Induktion: Beim K.O.-System verliert bis auf den Gewinner jeder Teilnehmer genau einmal; jedes Spiel hat genau einen Verlierer. Vollständige Induktion 3-9

17 (ii) einfachere Argumentation ohne vollständige Induktion: Beim K.O.-System verliert bis auf den Gewinner jeder Teilnehmer genau einmal; jedes Spiel hat genau einen Verlierer. ein Spiel weniger als die Teilnehmerzahl Vollständige Induktion 3-10

18 (ii) einfachere Argumentation ohne vollständige Induktion: Beim K.O.-System verliert bis auf den Gewinner jeder Teilnehmer genau einmal; jedes Spiel hat genau einen Verlierer. ein Spiel weniger als die Teilnehmerzahl Alternativbeweis auch bei Teilnehmerfeldern beliebiger Größe anwendbar (z.b. bei Freilosen) Vollständige Induktion 3-11

19 letzte 3 Runden des Wimbledon-Turniers von 1985 ÙÒØ Ö Ø ¾ Â ÖÖÝ Â ÖÖÝ ¾ Ö Ä ÓÒØ Ö Ö Ö Å ÒÖÓ ¾ ¾ ÙÖÖ Ò ÙÖÖ Ò ¾ ¾ ½ ÙÖÖ Ò ÓÒÒÓÖ ½ ¾ ÓÒÒÓÖ ÙÒ Vollständige Induktion 3-12

20 falsche Aussage Alle Mäuse sind grau Vollständige Induktion 4-1

21 falsche Aussage Beweis mit vollständiger Induktion Alle Mäuse sind grau Vollständige Induktion 4-2

22 falsche Aussage Beweis mit vollständiger Induktion Induktionsschluss (n n + 1): Alle Mäuse sind grau Vollständige Induktion 4-3

23 falsche Aussage Beweis mit vollständiger Induktion Induktionsschluss (n n + 1): n + 1 Mäuse: M 1,..., M n+1 Alle Mäuse sind grau Vollständige Induktion 4-4

24 falsche Aussage Beweis mit vollständiger Induktion Alle Mäuse sind grau Induktionsschluss (n n + 1): n + 1 Mäuse: M 1,..., M n+1 M 1,..., M n und M 2,..., M n+1 jeweils grau nach Induktionsvoraussetzung Vollständige Induktion 4-5

25 falsche Aussage Beweis mit vollständiger Induktion Alle Mäuse sind grau Induktionsschluss (n n + 1): n + 1 Mäuse: M 1,..., M n+1 M 1,..., M n und M 2,..., M n+1 jeweils grau nach Induktionsvoraussetzung = n + 1 Mäuse grau Vollständige Induktion 4-6

26 falsche Aussage Beweis mit vollständiger Induktion Alle Mäuse sind grau Induktionsschluss (n n + 1): n + 1 Mäuse: M 1,..., M n+1 M 1,..., M n und M 2,..., M n+1 jeweils grau nach Induktionsvoraussetzung = n + 1 Mäuse grau Grund für den Widerspruch: fehlender Induktionsanfang Vollständige Induktion 4-7

Vollständige Induktion

Vollständige Induktion 30. September 008 Gliederung 1 3 4 Gliederung 1 3 4 Gliederung 1 3 4 Gliederung 1 3 4 Die Peano Axiome für die Menge der Natürlichen Zahlen N I. 0 ist eine natürliche Zahl, d.h. 0 N. II. Jede natürliche

Mehr

Vollständige Induktion

Vollständige Induktion 30. September 008 Gliederung 1 3 4 Die Peano Axiome für die Menge der Natürlichen Zahlen N I. 0 ist eine natürliche Zahl, d.h. 0 N. II. Jede natürliche Zahl hat genau einen Nachfolger d.h. n : (n N! n

Mehr

Vorkurs Beweisführung

Vorkurs Beweisführung Vorkurs Beweisführung Fachschaft Mathematik und Informatik 30.08.2013 Agenda 1 Einleitung 2 Direkter Beweis 3 Widerspruchsbeweis 4 Vollständige Induktion 5 Aussagen widerlegen 6 Gleichheit von Mengen 7

Mehr

Induktion und Rekursion

Induktion und Rekursion Induktion und Rekursion Induktion und Rekursion Vorkurs Informatik Theoretischer Teil WS 013/14. Oktober 013 Vorkurs Informatik WS 013/14 1/1 Vollständige Induktion Vorkurs Informatik WS 013/14 /1 Ziel

Mehr

Angewandte Mathematik und Programmierung

Angewandte Mathematik und Programmierung Angewandte Mathematik und Programmierung Einführung in das Konzept der objektorientierten Anwendungen zu mathematischen Rechnens WS 2013/14 Inhalt Übungserklärung* Beweis durch Vollständige Induktion 2

Mehr

Aufgaben und Lösungen zum Vorkurs Mathematik: Beweismethoden Für Mittwoch den

Aufgaben und Lösungen zum Vorkurs Mathematik: Beweismethoden Für Mittwoch den Fachbereich Mathematik Aufgaben und Lösungen zum Vorkurs Mathematik: Beweismethoden Für Mittwoch den 8.9.011 Vorkurs Mathematik WS 011/1 Die mit * gekennzeichneten Aufgaben sind etwas schwerer. Dort braucht

Mehr

Vorkurs Mathematik für Informatiker 6 Logik, Teil 2

Vorkurs Mathematik für Informatiker 6 Logik, Teil 2 6 Logik, Teil 2 Michael Bader, Thomas Huckle, Stefan Zimmer 1. 9. Oktober 2008 Kap. 6: Logik, Teil 2 1 Aussagenformen Aussage mit Parameter (zum Beispiel x) Aussage wahr oder falsch abhängig vom Parameter

Mehr

mathe plus Aussagenlogik Seite 1

mathe plus Aussagenlogik Seite 1 mathe plus Aussagenlogik Seite 1 1 Aussagenlogik 1.1 Grundbegriffe Def 1 Aussage Eine Aussage ist ein beschriebener Sachverhalt, dem eindeutig einer der Wahrheitswerte entweder wahr oder falsch zugeordnet

Mehr

Aufgaben und Lösungen zum Vorkurs Mathematik: Beweismethoden Für Donnerstag den x > 1 3x > 3 3x + 3 > 6 6x + 3 > 3x + 6.

Aufgaben und Lösungen zum Vorkurs Mathematik: Beweismethoden Für Donnerstag den x > 1 3x > 3 3x + 3 > 6 6x + 3 > 3x + 6. Fachbereich Mathematik Aufgaben und Lösungen zum Vorkurs Mathematik: Beweismethoden Für Donnerstag den 7.9.01 Vorkurs Mathematik WS 01/13 Die mit * gekennzeichneten Aufgaben sind etwas schwerer. Dort braucht

Mehr

1. Beschreiben Sie folgende Zahlenmengen durch Markierung auf der Zahlengeraden, der Zahlenebene bzw. durch Aufzählen der Elemente:

1. Beschreiben Sie folgende Zahlenmengen durch Markierung auf der Zahlengeraden, der Zahlenebene bzw. durch Aufzählen der Elemente: Lösung 1. Übung Elemente der Algebra WS017/18 1. Beschreiben Sie folgende Zahlenmengen durch Markierung auf der Zahlengeraden, der Zahlenebene bzw. durch Aufzählen der Elemente: (e) {(x,y) IR 3x+4y 1}.

Mehr

Inhaltsverzeichnis. Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis. Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 1 Beweistechniken 1.1 Prädikatenlogik..................................... 1. Direkter Beweis.................................... 3 1.3 Indirekter Beweis....................................

Mehr

Fachwissenschaftliche Grundlagen

Fachwissenschaftliche Grundlagen Fachwissenschaftliche Grundlagen Vorlesung im Wintersemester 2011/2012, Universität Landau Roland Gunesch 8. Vorlesung Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 8. Vorlesung 1 / 25 Themen

Mehr

WS 2009/10. Diskrete Strukturen

WS 2009/10. Diskrete Strukturen WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910

Mehr

Vollständige Induktion

Vollständige Induktion Seite 1 Klaus Messner, klaus_messner@web.de Seite 2 Problem: Problem Man hat eine Aussage (z.b. eine Formel) und soll zeigen, dass diese Aussage für alle natürlichen Zahlen gilt. Beispiel: Es soll gezeigt

Mehr

Rechenregeln für Summen

Rechenregeln für Summen Rechenregeln für Summen Im Umgang mit Summen sind gewisse Regeln zu beachten. 1 Summe gleicher Summanden Betrachten wir folgende Summe: x Hier enthält x keinen Summationsindex, d.h. es wird x einfach n-mal

Mehr

: das Bild von ) unter der Funktion ist gegeben durch

: das Bild von ) unter der Funktion ist gegeben durch % 1.3 Funktionen Seien und Mengen nennt man Funktion oder Abbildung. Beachte: Zuordnung ist eindeutig. Bezeichnungen: : Definitionsbereich : Bildbereich (Zielmenge) von Der Graph einer Funktion: graph!

Mehr

3 Vom Zählen zur Induktion

3 Vom Zählen zur Induktion 7 3 Vom Zählen zur Induktion 3.1 Natürliche Zahlen und Induktions-Prinzip Seit unserer Kindheit kennen wir die Zahlen 1,, 3, 4, usw. Diese Zahlen gebrauchen wir zum Zählen, und sie sind uns so vertraut,

Mehr

Musterlösung zum Weihnahchtsübungsblatt. Teil 1 von Martin Fabricius. Aufgabe 1

Musterlösung zum Weihnahchtsübungsblatt. Teil 1 von Martin Fabricius. Aufgabe 1 Musterlösung zum Weihnahchtsübungsblatt Teil von Martin Fabricius Aufgabe a) Diese Aufgabe kann z. B. durch ausmultiplizieren gelöst werden: (433) 7 = 4 7 3 +3 7 + 7 +3 7 0 = 4 343+3 49+ 7+3 = 37+47+4+3

Mehr

A N A L Y S I S I F Ü R T P H, U E ( ) 1. Übungstest (FR, ) (mit Lösung )

A N A L Y S I S I F Ü R T P H, U E ( ) 1. Übungstest (FR, ) (mit Lösung ) Institut für Analysis und Scientific Computing TU Wien W. Auzinger WS 05/6 A N A L Y S I S I F Ü R T P H, U E (03.088). Übungstest (FR, 6..05) (mit Lösung ) Aufgabe. a ) Wandeln Sie die periodische Dezimalzahl

Mehr

Beispiel 27 (Beweis durch Widerspruch) Satz 28 3 ist irrational, d. h. Beweis: Widerspruchsannahme: 3 Q.

Beispiel 27 (Beweis durch Widerspruch) Satz 28 3 ist irrational, d. h. Beweis: Widerspruchsannahme: 3 Q. Beispiel 27 (Beweis durch Widerspruch) Wir nehmen an, dass die zu zeigende Aussage falsch ist und führen diese Annahme zu einem Widerspruch. Satz 28 3 ist irrational, d. h. 3 / Q. Beweis: Widerspruchsannahme:

Mehr

Themen: Kubische Gleichungen, Ungleichungen, Induktion

Themen: Kubische Gleichungen, Ungleichungen, Induktion Lo sungen zu U bungsblatt Mathematik fu r Ingenieure Maschinenbauer und Sicherheitstechniker), 1. Semester, bei Prof. Dr. G. Herbort im WiSe1/14 Dipl.-Math. T. Pawlaschyk, 05.11.1 Themen: Kubische Gleichungen,

Mehr

Induktion und Rekursion

Induktion und Rekursion Mathematische Beweistechniken Vorkurs Informatik SoSe13 10. April 013 Mathematische Beweistechniken Ziel Mathematische Beweistechniken Ziel beweise, dass eine Aussage A(n) für alle n N gilt. Beispiel Für

Mehr

Mathematik und Logik

Mathematik und Logik Mathematik und Logik 5. Übungsaufgaben 2006-11-21 1. Beweisen Sie, daß die Aussage allgemeingültig ist. A = A Beweis. Dies ist ein Spezialfall von (((A = B) = B) = B) = (A = B), was wir wie folgt beweisen.

Mehr

Mathematischer Vorkurs

Mathematischer Vorkurs Mathematischer Vorkurs Dr. Agnes Lamacz Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 1 / 170 Vollständige Induktion Kapitel 13 Vollständige Induktion Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 117 / 170 Vollständige

Mehr

Vollständige Induktion

Vollständige Induktion Vollständige Induktion F. Lemmermeyer. Januar 04 Aussagen, die für alle natürlichen Zahlen gelten, kann man oft mit vollständiger Induktion beweisen. Das Vorgehen ist dabei folgendes:. Man zeigt, dass

Mehr

II. Wissenschaftliche Argumentation

II. Wissenschaftliche Argumentation Gliederung I. Motivation II. Wissenschaftliche Argumentation i. Direkter Beweis ii. iii. Indirekter Beweis Beweis durch vollständige Induktion Seite 35 II. Wissenschaftliche Argumentation Ein Beweis ist

Mehr

Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2015 Aussagen, Logik und Beweistechniken

Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2015 Aussagen, Logik und Beweistechniken Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2015 Aussagen, Logik und Beweistechniken Susanna Pohl Vorkurs Mathematik TU Dortmund 09.03.2015 Aussagen, Logik und Beweistechniken Aussagen und Logik Motivation

Mehr

Also kann nur A ist roter Südler und B ist grüner Nordler gelten.

Also kann nur A ist roter Südler und B ist grüner Nordler gelten. Aufgabe 1.1: (4 Punkte) Der Planet Og wird von zwei verschiedenen Rassen bewohnt - dem grünen und dem roten Volk. Desweiteren sind die Leute, die auf der nördlichen Halbkugel geboren wurden von denen auf

Mehr

Grundlagen der Mathematik

Grundlagen der Mathematik Universität Hamburg Winter 016/17 Fachbereich Mathematik Janko Latschev Lösungsskizzen 6 Grundlagen der Mathematik Präsenzaufgaben (P9) Die Ordnung der natürlichen Zahlen I Wir hatten in der Vorlesung

Mehr

Handout zu Beweistechniken

Handout zu Beweistechniken Handout zu Beweistechniken erstellt vom Lernzentrum Informatik auf Basis von [Kre13],[Bün] Inhaltsverzeichnis 1 Was ist ein Beweis? 2 2 Was ist Vorraussetzung, was ist Behauptung? 2 3 Beweisarten 3 3.1

Mehr

Grundbegriffe der Informatik Musterlösung zu Aufgabenblatt 2. Jeder Frosch ist glücklich, wenn alle seiner Kinder quaken können.

Grundbegriffe der Informatik Musterlösung zu Aufgabenblatt 2. Jeder Frosch ist glücklich, wenn alle seiner Kinder quaken können. Aufgabe 2.1 (3 Punkte) Gegeben sind folgende Aussagen: Grundbegriffe der Informatik Musterlösung zu Aufgabenblatt 2 Jeder Frosch ist glücklich, wenn alle seiner Kinder quaken können. Alle grünen Frösche

Mehr

1 Übersicht Induktion

1 Übersicht Induktion Universität Koblenz-Landau FB 4 Informatik Prof. Dr. Viorica Sofronie-Stokkermans Dipl.-Inform. Markus Bender 0.11.01 (v1.3) 1 Übersicht Induktion 1.1 Allgemeines Unter einem induktiven Vorgehen versteht

Mehr

Kapitel 11 Beweisführung. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 125 / 254

Kapitel 11 Beweisführung. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 125 / 254 Kapitel 11 Beweisführung Kapitel 11 Beweisführung Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 125 / 254 Kapitel 11 Beweisführung Grundsätzlich: ein mathematischer Satz ist eine Aussage der Form wenn... gilt,

Mehr

Tutoraufgabe 1 (Suchen in Graphen):

Tutoraufgabe 1 (Suchen in Graphen): Prof. aa Dr. E. Ábrahám Datenstrukturen und Algorithmen SS14 F. Corzilius, S. Schupp, T. Ströder Tutoraufgabe 1 (Suchen in Graphen): a) Geben Sie die Reihenfolge an, in der die Knoten besucht werden, wenn

Mehr

Mathematik für Informatiker 1 Wintersemester 2013/14 Übungsblatt 6

Mathematik für Informatiker 1 Wintersemester 2013/14 Übungsblatt 6 Dipl.Inf. Malte Isberner Dr. Oliver Rüthing Dipl.Inf. Melanie Schmidt Dr. Hubert Wagner Übungen zur Vorlesung Mathematik für Informatiker 1 Wintersemester 2013/14 Übungsblatt 6 Die Lösungshinweise dienen

Mehr

aus der Bedingung/Annahme A folgt ein Widerspruch ), so ist A falsch!

aus der Bedingung/Annahme A folgt ein Widerspruch ), so ist A falsch! Bemerkungen: 1 Die Bedeutung von (und damit ) ist klar. wird oft, vor allem in Beweisen, auch als geschrieben (im Englischen: iff, if and only if). 2 Für zwei boolesche Aussagen A und B ist A B falsch

Mehr

Theorie der Informatik

Theorie der Informatik Theorie der Informatik 2. Beweistechniken Malte Helmert Gabriele Röger Universität Basel 18. Februar 2015 Beweis Beweis Ein Beweis leitet die Korrektheit einer mathematischen Aussage aus einer Menge von

Mehr

Reihen/Partialsummenfolgen und vollständige Induktion. Robert Klinzmann

Reihen/Partialsummenfolgen und vollständige Induktion. Robert Klinzmann Reihen/Partialsummenfolgen und vollständige Induktion Robert Klinzmann 3. Mai 00 Reihen / Partialsummen 1 Inhaltsverzeichnis 1 Vorwort Das Prinzip der vollständigen Induktion 3 3 Herleitung der Gauß schen

Mehr

Lösung zu Aufgabe 4 auf Blatt 1 zur Linearen Algebra 1

Lösung zu Aufgabe 4 auf Blatt 1 zur Linearen Algebra 1 Lösung zu Aufgabe 4 auf Blatt 1 zur Linearen Algebra 1 Aufgabe 4. Bei einem Schulexperiment in einer Klasse mit hochbegabten Schülerinnen wurde wie folgt vorgegangen: Die Lehrerin klebt jeder Schülerin

Mehr

Kapitel 1. Grundlegendes

Kapitel 1. Grundlegendes Kapitel 1 Grundlegendes Abschnitt 1.4 Vollständige Induktion Charakterisierung der natürlichen Zahlen Die Menge N 0 = {0, 1, 2, 3,...} der natürlichen Zahlen läßt sich wie folgt charakterisieren: 1. 0

Mehr

typische Beweismuster Allgemeine Hilfe Beweistechniken WS2014/ Januar 2015 R. Düffel Beweistechniken

typische Beweismuster Allgemeine Hilfe Beweistechniken WS2014/ Januar 2015 R. Düffel Beweistechniken Beweistechniken Ronja Düffel WS2014/15 13. Januar 2015 Warum ist Beweisen so schwierig? unsere natürliche Sprache ist oft mehrdeutig wir sind in unserem Alltag von logischen Fehlschlüssen umgeben Logik

Mehr

Praktikum Einführung in die Mathematik 1 WS 2010/2011 Blatt 2 Lösungen

Praktikum Einführung in die Mathematik 1 WS 2010/2011 Blatt 2 Lösungen Praktikum Einführung in die Mathematik 1 WS 2010/2011 Blatt 2 Lösungen 27. bis 29. Oktober 2010 (1) Lösung von Aufgabe (1) : ad (a) : Die Aussage 2n + 1 < 2 n wird durch Induktion über n für alle n gezeigt.

Mehr

HEUTE. Regeln für Programmabnahmen! Wiederholung: Regeln für Übungs- und Programmieraufgaben! Beweistechniken: vollständige Induktion, Widerspruch

HEUTE. Regeln für Programmabnahmen! Wiederholung: Regeln für Übungs- und Programmieraufgaben! Beweistechniken: vollständige Induktion, Widerspruch 04.11.05 1 HEUTE 04.11.05 3 Regeln für Programmabnahmen! Wiederholung: Regeln für Übungs- und Programmieraufgaben! Beweistechniken: vollständige Induktion, Widerspruch die Rundungsfunktionen und modulo

Mehr

Fachwissenschaftliche Grundlagen

Fachwissenschaftliche Grundlagen Fachwissenschaftliche Grundlagen Vorlesung im Wintersemester 2011/2012, Universität Landau Roland Gunesch 9. Vorlesung Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 9. Vorlesung 1 / 17 Themen

Mehr

Vollständige Induktion

Vollständige Induktion Angenommen, wir wollen zeigen, dass eine Aussage P(n) für alle n N wahr ist. Anders ausgedrückt: Es gilt n N : P(n) Hierzu können wir die Technik der vollständigen Induktion verwenden. Wir zeigen, dass

Mehr

Technische Universität München Zentrum Mathematik Propädeutikum Diskrete Mathematik. Weihnachtsblatt

Technische Universität München Zentrum Mathematik Propädeutikum Diskrete Mathematik. Weihnachtsblatt Technische Universität München Zentrum Mathematik Propädeutikum Diskrete Mathematik Prof. Dr. A. Taraz, Dipl-Math. A. Würfl, Dipl-Math. S. König Weihnachtsblatt Aufgabe W.1 Untersuchen Sie nachstehenden

Mehr

Informationsblatt Induktionsbeweis

Informationsblatt Induktionsbeweis Sommer 015 Informationsblatt Induktionsbeweis 31. März 015 Motivation Die vollständige Induktion ist ein wichtiges Beweisverfahren in der Informatik. Sie wird häufig dazu gebraucht, um mathematische Formeln

Mehr

Vollständige Induktion

Vollständige Induktion Kantonsschule Olten Hardwald 4600 Olten Vollständige Induktion Andreas Stoll Andreas Pulfer Erfänzungsfach Anwendungen der Mathematik (2017/18) 1 Beweisen 1.1 Axiome und Prämissen Bei einem Beweis wird

Mehr

Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum. Kombinatorik. Dr. Thomas Zehrt. Inhalt: 1. Endliche Mengen 2. Einfache Urnenexperimente

Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum. Kombinatorik. Dr. Thomas Zehrt. Inhalt: 1. Endliche Mengen 2. Einfache Urnenexperimente Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Kombinatorik Dr. Thomas Zehrt Inhalt: 1. Endliche Mengen 2. Einfache Urnenexperimente 2 Teil 1 Endliche Mengen Eine endliche Menge M ist eine Menge,

Mehr

Analysis I. Vorlesung 1. Mengen

Analysis I. Vorlesung 1. Mengen Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 013/014 Analysis I Vorlesung 1 Mengen Georg Cantor (1845-1918) ist der Schöpfer der Mengentheorie. David Hilbert (186-1943) nannte sie ein Paradies, aus dem die Mathematiker

Mehr

2 Klassische Induktion über natürliche Zahlen

2 Klassische Induktion über natürliche Zahlen Vollständige Induktion 1 Einführung Dieses Handout soll dem Zweck dienen, vollständige Induktion über natürliche Zahlen und Induktion über den Aufbau einer Formel möglichst ausführlich und anschaulich

Mehr

1 Das Prinzip der vollständigen Induktion

1 Das Prinzip der vollständigen Induktion 1 1 Das Prinzip der vollständigen Induktion 1.1 Etwas Logik Wir nennen eine Formel oder einen Satz der Alltagssprache eine Aussage, wenn sie wahr oder falsch sein kann. Die Formeln 2 = 3, 2 4, 5 5 sind

Mehr

Logik für Informatiker

Logik für Informatiker Logik für Informatiker 1. Grundlegende Beweisstrategien: Noethersche Induktion 23.04.2012 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Letzte Vorlesung 1. Grundlegende

Mehr

Brückenkurs Mathematik

Brückenkurs Mathematik Brückenkurs Mathematik 6.10. - 17.10. Vorlesung 1 Logik,, Doris Bohnet Universität Hamburg - Department Mathematik Mo 6.10.2008 Zeitplan Tagesablauf: 9:15-11:45 Vorlesung Audimax I 13:00-14:30 Übung Übungsräume

Mehr

Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik

Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik für Wirtschaftsinformatik Wintersemester 2012/13 Hochschule Augsburg : Gliederung 1 Grundlegende 2 Grundlegende 3 Aussagenlogik 4 Komplexe Zahlen 5 Lineare Algebra 6 Lineare Programme 3 Aussagenlogik

Mehr

Lineare Algebra I. Probeklausur - Lösungshinweise

Lineare Algebra I. Probeklausur - Lösungshinweise Institut für Mathematik Wintersemester 2012/13 Universität Würzburg 19. Dezember 2012 Prof. Dr. Jörn Steuding Dr. Anna von Heusinger Frederike Rüppel Lineare Algebra I Probeklausur - Lösungshinweise Aufgabe

Mehr

Serie 4 2 = 10. ) ist). Dann gilt für alle n n 0

Serie 4 2 = 10. ) ist). Dann gilt für alle n n 0 Serie 4. Aufgabe 336 Punkte) Gegeben seien zwei reelle Zahlenfolgen durch a n : 0 n, n N b n : n n, n N Bestimmen Sie die Grenzwerte a bzw. b der Folgen a n ) n N bzw. b n ) n N. Geben Sie jeweils zu gegebenem

Mehr

3 Vollständige Induktion

3 Vollständige Induktion 3.1 Natürliche Zahlen In den vorherigen Kapiteln haben wir die Menge der natürlichen Zahlen schon mehrfach als Beispiel benutzt. Das Konzept der natürlichen Zahlen erscheint uns einfach, da wir es schon

Mehr

Vollständige Induktion

Vollständige Induktion Schweizer Mathematik-Olympiade smo osm Vollständige Induktion Aktualisiert: 1 Dezember 01 vers 100 Eine der wichtigsten Beweistechniken der Mathematik überhaupt ist die (vollständige) Induktion Wir nehmen

Mehr

Elementare Beweistechniken

Elementare Beweistechniken Elementare Beweistechniken Beispiel: Satzform (Pythagoras) Voraussetzung: Gegeben sei ein beliebiges rechtwinkeliges Dreieck, die Länge der Hypothenuse sei c und die Längen der anderen Seiten seien a und

Mehr

Tutorium 23 Grundbegriffe der Informatik

Tutorium 23 Grundbegriffe der Informatik Tutorium 23 Grundbegriffe der Informatik Tutor: Felix Stahlberg SOFTWARE DESIGN AND QUALITY GROUP Source: pixelio.de KIT The cooperation of Forschungszentrum Karlsruhe GmbH and Universität Karlsruhe (TH)

Mehr

Vorkurs: Mathematik für Informatiker

Vorkurs: Mathematik für Informatiker Vorkurs: Mathematik für Informatiker Lösungen Wintersemester 2016/17 Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de 2 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17 Kapitel I: Mengen Aufgabe

Mehr

Klausur HM I H 2005 HM I : 1

Klausur HM I H 2005 HM I : 1 Klausur HM I H 5 HM I : 1 Aufgabe 1 4 Punkte): Zeigen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion: n 1 1 + 1 ) k nn k n! für n. Lösung: Beweis mittels Induktion nach n: Induktionsanfang: n : 1 ) 1 + 1 k

Mehr

Elementare Beweismethoden

Elementare Beweismethoden Elementare Beweismethoden Christian Hensel 404015 Inhaltsverzeichnis Vortrag zum Thema Elementare Beweismethoden im Rahmen des Proseminars Mathematisches Problemlösen 1 Einführung und wichtige Begriffe

Mehr

( )= c+t(n-1) n>1. Stand der Vorlesung Komplexität von Algorithmen (Kapitel 3)

( )= c+t(n-1) n>1. Stand der Vorlesung Komplexität von Algorithmen (Kapitel 3) Stand der Vorlesung Komplexität von Algorithmen (Kapitel 3) Motivation: IT gestützte Steuerung, Überwachung, Fertigung, Produktion,. : erfordert effiziente Berechnungsvorschriften Ziel: Methoden kennen

Mehr

Vorkurs Mathematik und Informatik Mengen, natürliche Zahlen, Induktion

Vorkurs Mathematik und Informatik Mengen, natürliche Zahlen, Induktion Vorkurs Mathematik und Informatik Mengen, natürliche Zahlen, Induktion Saskia Klaus 07.10.016 1 Motivation In den ersten beiden Vorträgen des Vorkurses haben wir gesehen, wie man aus schon bekannten Wahrheiten

Mehr

Logik für Informatiker. 1. Grundlegende Beweisstrategien. Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau

Logik für Informatiker. 1. Grundlegende Beweisstrategien. Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau Logik für Informatiker 1. Grundlegende Beweisstrategien Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Mathematisches Beweisen Mathematische ussagen - haben oft

Mehr

Stand der Vorlesung Komplexität von Algorithmen (Kapitel 3)

Stand der Vorlesung Komplexität von Algorithmen (Kapitel 3) Stand der Vorlesung Komplexität von Algorithmen (Kapitel 3) Technische Universität München Motivation: IT gestützte Steuerung, Überwachung, Fertigung, Produktion,. : erfordert effiziente Berechnungsvorschriften

Mehr

ANALYSIS I FÜR TPH WS 2016/17 1. Übung Übersicht

ANALYSIS I FÜR TPH WS 2016/17 1. Übung Übersicht . Übung Übersicht Aufgaben zu Kapitel und 2 Aufgabe : Drei klassische Ungleichungen Aufgabe 2: ) Beweis einer Summenformel Induktion) Aufgabe : ) Teleskopsummen Aufgabe 4: Noch etwas Formelmanipulation

Mehr

Formale Sprachen und Automaten

Formale Sprachen und Automaten Mengen Eine Menge ist eine Gruppe von Elementen, die eine Einheit bilden (siehe z.b. Halmos 1976). Formale Sprachen und Automaten Mathematisches Rüstzeug Mengen können verschiedene Typen von Elementen

Mehr

= =

= = 9. Januar 2007 Arbeitsblatt 9 Übungen zu Mathematik I für das Lehramt an der Grund- und Mittelstufe sowie an Sonderschulen I. Gasser, H. Strade, B. Werner WiSe 06/07 19.12.06 Präsenzaufgaben: 1. Zu Beginn

Mehr

Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA)

Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wintersemester 2013/14 Hochschule Augsburg Argumentationstechniken PLUS Mathematik Direkter Beweis einer Implikation

Mehr

Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Beweise)

Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Beweise) WS 2014/15 Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Beweise) Hans-Joachim Bungartz Lehrstuhl für wissenschaftliches Rechnen Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www5.in.tum.de/wiki/index.php/diskrete_strukturen_-_winter_14

Mehr

Surjektive, injektive und bijektive Funktionen.

Surjektive, injektive und bijektive Funktionen. Kapitel 1: Aussagen, Mengen, Funktionen Surjektive, injektive und bijektive Funktionen. Definition. Sei f : M N eine Funktion. Dann heißt f surjektiv, falls die Gleichung f(x) = y für jedes y N mindestens

Mehr

Lösung zur Übung für Analysis einer Variablen WS 2016/17

Lösung zur Übung für Analysis einer Variablen WS 2016/17 Blatt Nr. 3 Prof. F. Merkl Lösung zur Übung für Analysis einer Variablen WS 206/7 Aufgabe Das Guthaben G setzt sich zusammen aus der Summe aller bisherigen Einzahlungen multipliziert mit ( + p) k, wobei

Mehr

TU8 Beweismethoden. Daniela Andrade

TU8 Beweismethoden. Daniela Andrade TU8 Beweismethoden Daniela Andrade daniela.andrade@tum.de 12.12.2016 1 / 21 Kleine Anmerkung Meine Folien basieren auf den DS Trainer von Carlos Camino, den ihr auf www.carlos-camino.de/ds findet ;) 2

Mehr

Logik/Beweistechniken

Logik/Beweistechniken Mathematikvorkurs bei Marcos Soriano Logik/Beweistechniken erstellt von: Daniel Edler -II- Inhaltsverzeichnis 1 Logik/Beweistechniken 1 1.1 Allgemeine Vorgehensweise......................... 1 2 Konjunktion/Disjunktion

Mehr

Klausurvorbereitungsblatt Lineare Algebra

Klausurvorbereitungsblatt Lineare Algebra Klausurvorbereitungsblatt Lineare Algebra Sommersemester 25 Aufgabe 2 2 Sei A 3 3 8 2 4 3 R4 5. 5 2 a) Bestimmen Sie die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems Ax b) Ist Ax b mit b lösbar? (Begründen

Mehr

Lösungen 4.Übungsblatt

Lösungen 4.Übungsblatt Karlsruher Institut für Technology (KIT) WS 2011/2012 Institut für Analysis Priv.-Doz. Dr. Gerd Herzog Dipl.-Math.techn. Rainer Mandel Lösungen 4.Übungsblatt Aufgabe 13 (K) Bestimmen Sie sämtliche Häufungswerte

Mehr

Vorkurs Mathematik. JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer. September/Oktober Lennéstraße 43, 1. OG

Vorkurs Mathematik. JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer. September/Oktober Lennéstraße 43, 1. OG Vorkurs Mathematik JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Lennéstraße 43, 1. OG pinger@uni-bonn.de September/Oktober 2017 JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Vorkurs Mathematik September/Oktober

Mehr

Vollständige Induktion. Analysis I. Guofang Wang. Universität Freiburg

Vollständige Induktion. Analysis I. Guofang Wang. Universität Freiburg Universität Freiburg 26.10.2011 Vollständige Induktion Wir unterbrechen jetzt die Diskussion der Axiome der reellen Zahlen, um das Beweisverfahren der vollständigen Induktion kennenzulernen. Wir setzen

Mehr

WS 2013/14. Diskrete Strukturen

WS 2013/14. Diskrete Strukturen WS 2013/14 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws1314

Mehr

Brückenkurs Mathematik. Dienstag Freitag

Brückenkurs Mathematik. Dienstag Freitag Brückenkurs Mathematik Dienstag 29.09. - Freitag 9.10.2015 Vorlesung 2 Mengen, Zahlen, Logik Kai Rothe Technische Universität Hamburg-Harburg Mittwoch 30.09.2015 Mengen.................................

Mehr

Das Beweisverfahren der vollständigen Induktion

Das Beweisverfahren der vollständigen Induktion c 2004 by Rainer Müller - http://www.emath.de 1 Das Beweisverfahren der vollständigen Induktion Einleitung In der Mathematik gibt es im Prinzip drei grundlegende Beweismethoden, mit denen man versucht,

Mehr

Brückenkurs Mathematik

Brückenkurs Mathematik Beweise und Beweisstrategien andreas.kucher@uni-graz.at Institute for Mathematics and Scientific Computing Karl-Franzens-Universität Graz Graz, September 5, 2015 Hinweis zu den Folien Diese Folien sind

Mehr

Zahlenmengen. Bemerkung. R Menge aller Dezimalbrüche: reelle Zahlen, C = {a + i b : a, b R} mit i 2 = 1 komplexe Zahlen.

Zahlenmengen. Bemerkung. R Menge aller Dezimalbrüche: reelle Zahlen, C = {a + i b : a, b R} mit i 2 = 1 komplexe Zahlen. Zahlenmengen N = {0, 1,, 3,...} natürliche Zahlen, Z = {...,, 1, 0, 1,,...} ganze Zahlen, Q = {p/q : p Z, q N \ {0}} rationale Zahlen, R Menge aller Dezimalbrüche: reelle Zahlen, C = {a + i b : a, b R}

Mehr

Grundkurs Mathematik I

Grundkurs Mathematik I Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2016/2017 Grundkurs Mathematik I Vorlesung 14 Kunst gibt nicht das Sichtbare wieder, sondern Kunst macht sichtbar Paul Klee Division mit Rest Jede natürliche Zahl lässt

Mehr

Diskrete Mathematik 1

Diskrete Mathematik 1 Ruhr-Universität Bochum Lehrstuhl für Kryptologie und IT-Sicherheit Prof. Dr. Alexander May M. Ritzenhofen, M. Mansour Al Sawadi, A. Meurer Lösungsblatt zur Vorlesung Diskrete Mathematik 1 WS 2008/09 Blatt

Mehr

Satz 7. A sei eine Teilmenge des nichttrivialen Vektorraums (V,+, ). Dann sind die folgende Aussagen äquivalent.

Satz 7. A sei eine Teilmenge des nichttrivialen Vektorraums (V,+, ). Dann sind die folgende Aussagen äquivalent. Definition der Basis Def. Es sei (V,+, ) ein nichttrivialer Vektorraum. Die Menge A V heißt eine Basis-Menge, falls sie (a) linear unabhängig ist und (b) span(a) = V. Satz 7. A sei eine Teilmenge des nichttrivialen

Mehr

Vorlesung. Vollständige Induktion 1

Vorlesung. Vollständige Induktion 1 WS 015/16 Vorlesung Vollständige Induktion 1 1 Einführung Bei der vollständigen Induktion handelt es sich um ein wichtiges mathematisches Beweisverfahren, mit dem man Aussagen, die für alle natürlichen

Mehr

3. Vortrag: Arithmetische Relationen und Gödelisierung

3. Vortrag: Arithmetische Relationen und Gödelisierung 3. Vortrag: Arithmetische Relationen und Gödelisierung 1. Arithmetische und arithmetische Mengen und Relationen 2. Verkettung von Zahlen 3. Gödelisierung Arithmetische und arithmetische Mengen und Relationen

Mehr

Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften

Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Ingenuin Gasser Department Mathematik Universität Hamburg Technische Universität Hamburg Harburg Wintersemester 2008/2009 1 Kapitel 1: Aussagen, Mengen

Mehr

Ferienkurs Analysis 1: Übungsblatt 1

Ferienkurs Analysis 1: Übungsblatt 1 Ferienkurs Analysis : Übungsblatt Marta Krawczyk, Andreas Schindewolf, Simon Filser 5.3.00 Aufgaben zur vollständigen Induktion. Verallgemeinerte geometrische Summenformel. Zeigen Sie mittels vollständiger

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Aufgabe 45. Polynome sind stets stetig. Höhere Mathematik für Informatiker II (Sommersemester

Mehr

Grundlagen der Mathematik

Grundlagen der Mathematik Universität Hamburg Winter 2016/17 Fachbereich Mathematik Janko Latschev Lösungsskizzen 8 Grundlagen der Mathematik Präsenzaufgaben (P13) Primfaktorzerlegungen Die Primfaktorzerlegungen lauten: a) 66 =

Mehr

5 Diagonalisierbarkeit

5 Diagonalisierbarkeit 5 Diagonalisierbarkeit Sei V ein K Vektorraum mit einer Basis B = (v 1,..., v n ) Wiederholung aus 2: Sei f : V V K linear. Stelle f(v j ) für j = 1,..., n dar in der Form a 1j Das n Tupel a j =. a nj

Mehr

Lösungen zu Ungerade Muster in Pyramiden. Muster: Die Summe der ungeraden Zahlen (in jeder Teilpyramide) ist stets eine Quadratzahl.

Lösungen zu Ungerade Muster in Pyramiden. Muster: Die Summe der ungeraden Zahlen (in jeder Teilpyramide) ist stets eine Quadratzahl. Lösungen zu Ungerade Muster in Pyramiden Aufgabe Muster: Die Summe der ungeraden Zahlen (in jeder Teilpyramide) ist stets eine Quadratzahl. Begründung : Zunächst schauen wir eine Abbildung an, in der die

Mehr

Theoretische Informatik SS 03 Übung 3

Theoretische Informatik SS 03 Übung 3 Theoretische Informatik SS 03 Übung 3 Aufgabe 1 a) Sind die folgenden Funktionen f : partiell oder total: f(x, y) = x + y f(x, y) = x y f(x, y) = x y f(x, y) = x DIV y? Hierbei ist x DIV y = x y der ganzzahlige

Mehr

Schäfchen zählen von Uwe Walter (2008)

Schäfchen zählen von Uwe Walter (2008) Kapitel 2 Zahlen und Zählen Wenn Du heut findest keinen Schlaf, dann schick ich Dir ein braves Schaf. Und wie das geht mein liebes Kind? Ich send es Dir per Mail geschwind! Auf Eins folgt Zwei, dann Drei

Mehr

8 Summen von Quadraten

8 Summen von Quadraten 8 Summen von Quadraten A. Summen von zwei Quadraten. Sei p eine Primzahl. Beispiele. = 1 + 1, 5 = 1 +, 13 = + 3 Aber 3 und 7 sind nicht Summen von zwei Quadraten. 8.1 Satz. Genau dann ist p Summe von zwei

Mehr