Handreichung zum Lehrplan Mathematik Oberstufe AHS (Stand )

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1 Handreichung zum Lehrplan Mathematik Oberstufe AHS (Stand ) Der Lehrplan 2016 versteht sich als Neuausrichtung des Lehrplans 2004 im Hinblick auf Semestrierung und Kompetenzorientierung auf Basis der SCHOG-Novelle vom ( Er besteht aus zwei Teilen: Präambel: Diese umfasst die Abschnitte Aspekte der Mathematik, Beiträge zu den Bildungsbereichen sowie die didaktischen Grundsätze. Bildungs- und Lehraufgabe, Lehrstoff: Dieser Teil umfasst die Beschreibung des mathematischen Kompetenzmodells und gibt für jede Klasse bzw. fortlaufend für alle Semester die Lerninhalte an. Diese Handreichung gliedert sich in: Teil A - Erweiterter Grundkompetenzkatalog: Hier werden für alle vier (bei der standardisierten schriftlichen Reifeprüfung relevanten) Inhaltsbereiche (Algebra und Geometrie, funktionale Abhängigkeiten, Analysis sowie Wahrscheinlichkeit und Statistik) Grundkompetenzen formuliert. Zur Orientierung sind jene Grundkompetenzen, die für die standardisierte schriftliche Reifeprüfung relevant sind, mit dem Kürzel R, die übrigen zur Erfüllung des Lehrplans mit dem Kürzel L gekennzeichnet. Um einen besseren Einklang mit dem Lehrplan herzustellen, werden gleichzeitig für die bildungstheoretische Orientierung und für einige Reifeprüfungsgrundkompetenzen (kleinere) Adaptierungen und Notationsanpassungen vorgeschlagen (die möglicherweise bei einer künftigen Überarbeitung des Reifeprüfungs-Grundkompetenzkatalogs Berücksichtigung finden). Bei den Grundkompetenzen sind diese (an den jeweiligen Stellen) kursiv und zudem in eckige Klammern gesetzt. Teil B Lehrplan mit Hinweisen auf Teilkompetenzen: Hier wird versucht aufzuzeigen, wo Grundkompetenzen in den einzelnen Lehrplanmodulen in Erscheinung treten, wobei auf einige Teilkompetenzen besonders hingewiesen wird. Dabei werden unterschieden: - Teilkompetenzen, die für die zentrale Reifeprüfung erforderlich sind (durch ein kleines gefülltes Quadrat gekennzeichnet) - Teilkompetenzen, die im Rahmen des Lehrplans neben den Reifeprüfungskompetenzen wesentlich sind (durch ein kleines nicht gefülltes Quadrat gekennzeichnet). - Zusätzliche Konkretisierungen und Interpretationen (durch einen einfachen Spiegelstrich gekennzeichnet) Dabei bleibt für die Lehrkräfte die Möglichkeit offen, weitere zusätzliche Konkretisierungen, klassenspezifische Akzentuierungen oder Anmerkungen zur Berücksichtigung spezieller Schulprofile einzufügen. Die bildungstheoretische Orientierung und die Grundkompetenzen für die standardisierte schriftliche Reifeprüfung beruhen auf der Veröffentlichung Die standardisierte schriftliche Reifeprüfung in Mathematik, herausgegeben vom Bundesinstitut Bifie im Oktober 2015 ( 1

2 Teil A: Erweiterter Grundkompetenzkatalog Der folgende Grundkompetenzkatalog fasst die Grundkompetenzen, die für die zentrale Reifeprüfung erforderlich sind, sowie jene Grundkompetenzen, die im Rahmen des Lehrplans neben den Reifeprüfungskompetenzen wesentlich sind, zusammen. Inhaltsbereich Algebra und Geometrie (AG) Bildungstheoretische Orientierung Die Algebra ist die Sprache der Mathematik, in der zugleich auch zwei zentrale Ideen der Mathematik besonders deutlich sichtbar werden: Generalisieren und Operieren. Variable lenken zunächst die Aufmerksamkeit von den speziellen Zahlen weg und hin zu den Rechenoperationen (z. B. von 3 5 zu a b). Damit treten die numerischen Rechnungen in den Hintergrund, die abstrakten Strukturen der Ausdrücke hingegen in den Vordergrund (z. B. macht der Übergang von 3 5 zu a b deutlicher, dass es sich um eine Produktstruktur handelt). Mit Variablen für Zahlen (oder andere mathematische Objekte) lassen sich allgemeine Zusammenhänge zwischen Größen darstellen (Rechengesetze, Formeln usw.) Schließlich stellt die Algebra ein Regelsystem für formal-operative Umformungen von Ausdrücken zur Verfügung, durch die unter Umständen weitere Zusammenhänge erkannt werden. Für das Betreiben von Mathematik ebenso wie für die Kommunikation und Reflexion mit und über Mathematik ist ein verständiger Umgang mit grundlegenden Begriffen und Konzepten der Algebra unerlässlich. Damit sind insbesondere verschiedene Zahlenbereiche, Variable, Terme, Gleichungen (Formeln) und Ungleichungen sowie Gleichungssysteme gemeint. Ein verständiger Umgang umfasst eine angemessene Interpretation dieser Begriffe und Konzepte im jeweiligen Kontext ebenso wie eine zweckmäßige Verwendung dieser Begriffe und Konzepte zur Darstellung abstrakter Sachverhalte und deren regelhafte Umformung. Aber auch Reflexionen über Lösungsmöglichkeiten bzw. -fälle sowie die (Grenzen und das Ausloten der) Anwendbarkeit der jeweiligen Konzepte sind in entsprechenden Kommunikationssituationen von Bedeutung. Die Erweiterung des Zahlbegriffs auf Zahlentupel (Vektoren) und die Festlegung von zweckmäßigen Regeln zur operativen Verknüpfung dieser neuen mathematischen Objekte führt zu einer wichtigen Verallgemeinerung des Zahl- bzw. Variablenbegriffs. Durch die Einführung von Koordinaten ist es möglich, Punkte in der Ebene oder im Raum so zu verorten, dass geometrische Objekte algebraisch durch Vektoren beschrieben werden, und sich so von rein geometrisch-anschaulichen Betrachtungsweisen zu lösen und geometrische Probleme mit Hilfe der Algebra zu behandeln. Dieser Zusammenhang zwischen Algebra und Geometrie ermöglicht es aber nicht nur, geometrische Sachverhalte mit algebraischen Mitteln darzustellen (z. B. Vektoren als algebraische Darstellung von Pfeilen oder Punkten) und zu bearbeiten, sondern auch umgekehrt algebraische Sachverhalte geometrisch zu deuten (z. B. Zahlentripel als Punkte oder Pfeile im Raum) und daraus neue Einsichten zu gewinnen. Solche Deutungen algebraischer Objekte in der Geometrie wie auch Darstellungen geometrischer Objekte in der Algebra und ein flexibler Wechsel zwischen diesen Darstellungen bzw. Deutungen sind in verschiedenen Kommunikationssituationen und somit bildungstheoretisch von großer Bedeutung. In der Trigonometrie interessieren vor allem Beziehungen im rechtwinkeligen Dreieck, allenfalls Erweiterungen auf allgemeine Dreiecke. Elementare Beziehungen dieser Art sollten gekannt, komplexere geometrische Zusammenhänge auf diese elementaren Beziehungen zurückgeführt werden. 2

3 Inhaltsbereich Algebra und Geometrie (AG) Grundkompetenzen AG 1 Grundbegriffe der Algebra AG-R 1.1 Wissen über die Zahlenmengen N, Z, Q und C verständig einsetzen AG-R 1.2 Wissen über algebraische Begriffe angemessen einsetzen : Variable, Terme, Formeln, (Un-)Gleichungen, Gleichungssysteme, Äquivalenz, Umformungen, Lösbarkeit Anmerkung: Bei den Zahlenmengen soll man die Mengenbezeichnungen und die Teilmengenbeziehungen kennen, Elemente angeben sowie zuordnen und die reellen Zahlen als Grundlage kontinuierlicher Modelle kennen. Zum Wissen über die reellen Zahlen gehört auch, dass es Zahlenbereiche gibt, die über R hinausgehen. Die algebraischen Begriffe sollen anhand von einfachen Beispielen beschrieben/erklärt und verständig verwendet werden. AG-L 1.3 Mit Aussagen und Mengen umgehen AG-L 1.4 Zahlen in einem nichtdekadischen Zahlensystem darstellen AG-L 1.5 Komplexe Zahlen in der Gauß schen Zahlenebene darstellen und mit komplexen Zahlen rechnen. AG 2 (Un-)Gleichungen und Gleichungssysteme AG-R 2.1 Einfache Terme und Formeln aufstellen, umformen und im Kontext deuten AG-R 2.2 Lineare Gleichungen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen und die Lösung im Kontext deuten AG-R 2.3 Quadratische Gleichungen in einer Variablen umformen/lösen, über Lösungsfälle Bescheid wissen; Lösungen und Lösungsfälle (auch geometrisch) deuten AG-R 2.4 Lineare Ungleichungen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen, Lösungen (auch geometrisch) deuten AG-R 2.5 Lineare Gleichungssysteme in zwei Variablen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen ; über Lösungsfälle Bescheid wissen; Lösungen und Lösungsfälle (auch geometrisch) deuten Anmerkung: Einfache Terme auch Potenzen, Wurzeln, Logarithmen, Sinus etc. beinhalten. Mit dem Einsatz elektronischer Hilfsmittel auch komplexere Umformungen von Termen, Formeln und Gleichungen, Ungleichungen und Gleichungssystemen durchgeführt werden. AG-L 2.6 Den Satz von Vieta kennen und anwenden AG-L 2.7 Lineare Gleichungssysteme in drei Variablen lösen AG-L 2.8 Den Fundamentalsatz der Algebra kennen und seine Bedeutung bei der Zahlenbereichserweiterung von R auf C erläutern 3

4 AG 3 Vektoren und analytische Geometrie AG-R 3.1 Vektoren als Zahlentupel verständig einsetzen und im Kontext deuten AG-R 3.2 Vektoren geometrisch (als Punkte bzw. Pfeile) deuten und verständig einsetzen AG-R 3.3 Definition der Rechenoperationen mit Vektoren (Addition, Multiplikation mit einem Skalar, Skalarmultiplikation) kennen; Rechenoperationen verständig einsetzen und (auch geometrisch) deuten [AG-R 3.3 Definitionen der Rechenoperationen mit Vektoren (Addition, Multiplikation mit einem Skalar, Skalarprodukt) kennen; Rechenoperationen verständig einsetzen und (auch geometrisch) deuten ] AG-R 3.4 Geraden durch (Parameter-)Gleichungen in R² und R³ angeben ; Geradengleichungen interpretieren ; Lagebeziehungen (zwischen Geraden und zwischen Punkt und Gerade) analysieren und Schnittpunkte ermitteln [AG-R 3.4 Geraden in R² und R³ durch Parameterdarstellungen bzw. Normalvektordarstellungen angeben und dieses Darstellungen interpretieren ; Lagebeziehungen (zwischen Geraden und zwischen Punkt und Gerade) analysieren, Schnittpunkte ermitteln ] AG-R 3.5 Normalvektoren in R² aufstellen, verständig einsetzen und interpretieren Anmerkung: Vektoren sind als Zahlentupel, also als algebraische Objekte, zu verstehen und in entsprechenden Kontexten verständig einzusetzen. Punkte und Pfeile in der Ebene und im Raum müssen als geometrische Veranschaulichung dieser algebraischen Objekte interpretiert werden. Die geometrische Deutung der Skalarmultiplikation (in R² und R³) meint hier nur den Spezialfall a b = 0. Geraden sollen in Parameterform, in R² auch in parameterfreier Form, angegeben und interpretiert werden. AG-L 3.6 Die geometrische Bedeutung des Skalarprodukts kennen und den Winkel zwischen zwei Vektoren ermitteln AG-L 3.7 Einheitsvektoren ermitteln, verständig einsetzen und interpretieren AG-L 3.8 Definition des vektoriellen Produkts und seine geometrische Bedeutung kennen AG-L 3.9 Wissen, wodurch Ebenen festgelegt sind; Ebenengleichungen in Parameter- und Normalvektordarstellung aufstellen AG 4 Trigonometrie AG-R 4.1 Definitionen von Sinus, Cosinus und Tangens im rechtwinkeligen Dreieck kennen und zur Auflösung rechtwinkeliger Dreiecke einsetzen AG-R 4.2 Definitionen von Sinus und Cosinus für Winkel größer als 90 kennen und einsetzen Anmerkung: Die Kontexte beschränken sich auf einfache Fälle in der Ebene und im Raum, komplexe (Vermessungs-)Aufgaben sind hier nicht gemeint; Sinus- und Cosinussatz werden dabei nicht benötigt. AG-L 4.3 Einfache Berechnungen an allgemeinen Dreiecken, an Figuren und Körpern (auch mittels Sinus- und Cosinussatz) durchführen. AG-L 4.4 Polarkoordinaten kennen und einsetzen AG 5 Nichtlineare analytische Geometrie AG-L 5.1 Kegelschnitte in der Ebene durch Gleichungen beschreiben ; aus einer Kreisgleichung Mittelpunkt und Radius bestimmen AG-L 5.2 Die gegenseitige Lage von Kegelschnitt und Gerade ermitteln AG-L 5.3 Kugeln im Raum durch Gleichungen beschreiben 4

5 Inhaltsbereich Funktionale Abhängigkeiten (FA) Bildungstheoretische Orientierung Wenn Expertinnen und Experten Mathematik verwenden, bedienen sie sich oftmals des Werkzeugs der Funktionen. Für eine verständige Kommunikation ist es daher notwendig, mit der funktionalen Sichtweise verständig und kompetent umzugehen. Das meint, die Aufmerksamkeit auf die Beziehung zwischen zwei (oder mehreren) Größen in unterschiedlichen Kontexten fokussieren zu sowie die gängigen Darstellungsformen zu kennen und sie ineinander überführen. Im Zentrum des mathematischen Grundwissens stehen dann die für Anwendungen wichtigsten Funktionstypen: Namen und Gleichungen kennen, typische Verläufe von Graphen (er)kennen, zwischen den Darstellungsformen wechseln, charakteristische Eigenschaften wissen und im Kontext deuten. Insgesamt sind eher kommunikative Handlungen (Darstellen, Interpretieren, Begründen) bedeutsam, manchmal auch konstruktive Handlungen (Modellbildung) hilfreich sein; formal-operative Handlungen hingegen sind im Zusammenhang mit Funktionen von geringerer Bedeutung. Darüber hinaus ist (Reflexions-)Wissen um Vor- und Nachteile von funktionaler Betrachtung sehr wichtig. Hilfreich ist in diesem Zusammenhang ein Wissen über Modelle und deren Charakteristika sowie deren Bedeutung und Verwendung. Wenn elementare Funktionstypen bekannt sind und Eigenschaften einschlägiger Funktionen beschrieben und untersucht werden (Monotonie, Monotoniewechsel, Wendepunkte, Periodizität, Nullstellen, Polstellen), diese Beschreibungen und Untersuchungen auch auf weitere Funktionstypen angewandt werden (z. B. auf Verkettungen elementarer Funktionen). 5

6 Inhaltsbereich Funktionale Abhängigkeiten (FA) Grundkompetenzen FA 1 FA-R 1.1 FA-R 1.2 FA-R 1.3 Funktionsbegriff, reelle Funktionen, Darstellungsformen und Eigenschaften Für gegebene Zusammenhänge entscheiden, ob man sie als Funktionen betrachten kann Formeln als Darstellung von Funktionen interpretieren und dem Funktionstyp zuordnen Zwischen tabellarischen und graphischen Darstellungen funktionaler Zusammenhänge wechseln [FA-R 1.3 Zwischen verbalen, tabellarischen, graphischen und formelmäßigen Darstellungen funktionaler Zusammenhänge wechseln ] FA-R 1.4 FA-R 1.5 Aus Tabellen, Graphen 1 und Gleichungen von Funktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten Eigenschaften von Funktionen erkennen, benennen, im Kontext deuten und zum Erstellen von Funktionsgraphen einsetzen : Monotonie, Monotoniewechsel (lokale Extrema), Wendepunkte, Periodizität, Achsensymmetrie, asymptotisches Verhalten, Schnittpunkte mit den Achsen [FA-R 1.5 Eigenschaften von Funktionen erkennen, benennen, im Kontext deuten und zum Erstellen von Funktionsgraphen einsetzen : Monotonie(wechsel), lokale Extrema, Wendepunkte, Periodizität, Achsensymmetrie, asymptotisches Verhalten, Schnittpunkte mit den Achsen] FA-R 1.6 FA-R 1.7 FA-R 1.8 Schnittpunkte zweier Funktionsgraphen graphisch und rechnerisch ermitteln und im Kontext interpretieren Funktionen als mathematische Modelle verstehen und damit verständig arbeiten Durch Gleichungen (Formeln) gegebene Funktionen mit mehreren Veränderlichen im Kontext deuten, Funktionswerte ermitteln [FA-R 1.8 Durch Gleichungen (Formeln) gegebene Funktionen mit mehreren Variablen im Kontext deuten, Funktionswerte ermitteln ] FA-R 1.9 Einen Überblick über die wichtigsten (unten angeführten) Typen mathematischer Funktionen geben und ihre Eigenschaften vergleichen Anmerkung: Auf eine sichere Unterscheidung zwischen funktionalen und nichtfunktionalen Zusammenhängen wird Wert gelegt, auf theoretisch bedeutsame Eigenschaften (z. B. Injektivität, Surjektivität, Umkehrbarkeit) wird aber nicht fokussiert. Im Vordergrund steht die Rolle von Funktionen als Modelle und die verständige Nutzung grundlegender Funktionstypen und deren Eigenschaften sowie der verschiedenen Darstellungsformen von Funktionen (auch f: A B x f(x)). Die Bearbeitung von Funktionen mit mehreren Veränderlichen beschränkt sich auf die Interpretation der Funktionsgleichung im jeweiligen Kontext sowie auf die Ermittlung von Funktionswerten. [Die Bearbeitung von Funktionen in mehreren Variablen beschränkt sich auf die Interpretation der Funktionsgleichung im jeweiligen Kontext sowie auf die Ermittlung von Funktionswerten.] Der Verlauf von Funktionen soll nicht nur mathematisch beschrieben, sondern auch im jeweiligen Kontext gedeutet werden. 1 Der Graph einer Funktion ist als Menge von geordneten Paaren definiert. Einer verbreiteten Sprechweise folgend nennen wir die graphische Darstellung des Graphen im kartesischen Koordinatensystem jedoch ebenfalls kurz Graph. 6

7 FA 2 Lineare Funktion [ f(x) = k x + d ] FA-R 2.1 FA-R 2.2 FA-R 2.3 FA-R 2.4 FA-R 2.5 FA-R 2.6 Anmerkung: Verbal, tabellarisch, graphisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene lineare Zusammenhänge als lineare Funktionen erkennen bzw. betrachten ; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln Aus Tabellen, Graphen und Gleichungen linearer Funktionen Werte(paare) sowie die Parameter k und d ermitteln und im Kontext deuten Die Wirkung der Parameter k und d kennen und die Parameter in unterschiedlichen Kontexten deuten Charakteristische Eigenschaften kennen und im Kontext deuten : f ( x ) f ( x ) f x f x k k f x x x 2 1 ( 1) ( ) ; [ '( )] 2 1 Die Angemessenheit einer Beschreibung mittels linearer Funktion bewerten Direkte Proportionalität als lineare Funktion vom Typ f(x) = k x beschreiben Die Parameter k und d sollen sowohl für konkrete Werte als auch allgemein im jeweiligen Kontext interpretiert werden. Entsprechendes gilt für die Wirkung der Parameter und deren Änderung. z FA 3 Potenzfunktion f ( x) a x b mit z oder mit f( x) a x 2 b 1 [FA 3 Potenzfunktion f ( x) a x z z bzw. Funktionen f ( x) a x b mit a, b, z oder z = 1 ] 2 FA-R 3.1 FA-R 3.2 Verbal, tabellarisch, graphisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene Zusammenhänge dieser Art als entsprechende Potenzfunktionen erkennen bzw. betrachten ; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln Aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Potenzfunktionen Werte(paare) sowie die Parameter a und b ermitteln und im Kontext deuten [FA-R 3.2 Aus Tabellen, Graphen und Gleichungen Werte(paare) sowie die Parameter a und b ermitteln und im Kontext deuten ] FA-R 3.3 Die Wirkung der Parameter a und b kennen und die Parameter im Kontext deuten [FA-R 3.3 Die Wirkung von Veränderungen der Parameter a und b kennen] a FA-R 3.4 Indirekte Proportionalität als Potenzfunktion vom Typ f( x) (bzw. x beschreiben Anmerkung: Wurzelfunktionen bleiben auf den quadratischen Fall f( x) a x 2 b beschränkt. 1 f ( x) 1 a x ) 7

8 i FA 4 Polynomfunktion [ f ( x) ai x mit n n i 0 ] FA-R 4.1 FA-R 4.2 FA-R 4.3 FA-R 4.4 Typische Verläufe von Graphen in Abhängigkeit vom Grad der Polynomfunktion (er)kennen Zwischen tabellarischen und graphischen Darstellungen von Zusammenhängen dieser Art wechseln Aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Polynomfunktionen Funktionswerte, aus Tabellen und Graphen sowie aus einer quadratischen Funktionsgleichung Argumentwerte ermitteln Den Zusammenhang zwischen dem Grad der Polynomfunktion und der Anzahl der Null-, Extrem- und Wendestellen wissen [FA-R 4.4 Den Zusammenhang zwischen dem Grad der Polynomfunktion und den möglichen Anzahlen der Null-, Extrem- und Wendestellen wissen] Anmerkung: Der Zusammenhang zwischen dem Grad der Polynomfunktion und der Anzahl der Null-, Extrem- und Wendestellen sollte für beliebige n bekannt sein, konkrete Aufgabenstellungen beschränken sich auf Polynomfunktionen mit n 4. Mithilfe elektronischer Hilfsmittel Argumentwerte auch für Polynomfunktionen höheren Grades ermittelt werden. x x FA 5 Exponentialfunktion [ f ( x) a b bzw. f ( x) a e mit ab,, ] [FA 5 Exponentialfunktionen f ( x) c a x bzw. kx f ( x) c e mit c, a, k ] FA-R 5.1 FA-R 5.2 FA-R 5.3 Verbal, tabellarisch, graphisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene exponentielle Zusammenhänge als Exponentialfunktion erkennen bzw. betrachten ; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln Aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Exponentialfunktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten Die Wirkung der Parameter a und b (bzw. e λ ) kennen und die Parameter in unterschiedlichen Kontexten deuten [FA-R 5.3 Die Parameter c und a (bzw. k) in unterschiedlichen Kontexten deuten und beschreiben, wie sich Veränderungen dieser Parameter auswirken ] FA-R 5.4 Charakteristische Eigenschaften ( ( 1) ( ); [ x x f x b f x e ]' e ) kennen und im Kontext deuten [FA-R 5.4 Charakteristische Eigenschaften kennen und im Kontext deuten FA-R 5.5 FA-R 5.6 Anmerkung: [Anmerkung: ( 1) ( ) ( ) x x f x a f x f x e f '( x) e Die Begriffe Halbwertszeit und Verdoppelungszeit kennen, die entsprechenden Werte berechnen und im Kontext deuten Die Angemessenheit einer Beschreibung mittels Exponentialfunktion bewerten Die Parameter a und b (bzw. e λ ) sollen sowohl für konkrete Werte als auch allgemein im jeweiligen Kontext interpretiert werden. Entsprechendes gilt für die Wirkung der Parameter und deren Änderung. Die Parameter c und a (bzw. k) sollen sowohl für konkrete Werte als auch allgemein im jeweiligen Kontext interpretiert werden. Entsprechendes gilt für die Wirkung von Parameteränderungen. ] ] 8

9 FA 6 Sinusfunktion, Cosinusfunktion FA-R 6.1 FA-R 6.2 FA-R 6.3 FA-R 6.4 Graphisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene Zusammenhänge der Art f( x) a sin( b x) als allgemeine Sinusfunktion erkennen bzw. betrachten ; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln Aus Graphen und Gleichungen von allgemeinen Sinusfunktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten Die Wirkung der Parameter a und b kennen und die Parameter im Kontext deuten Periodizität als charakteristische Eigenschaft kennen und im Kontext deuten FA-R 6.5 Wissen, dass cos( x) sin( x ) 2 FA-R 6.6 Wissen, dass gilt: [sin(x)]ꞌ =cos(x), [cos(x)]ꞌ = sin(x) [FA-R 6.6 Wissen, dass gilt: sin (x) =cos(x), cos (x) = sin(x) ] Anmerkung: Während zur Auflösung von rechtwinkeligen Dreiecken Sinus, Cosinus und Tangens verwendet werden, beschränkt sich die funktionale Betrachtung (weitgehend) auf die allgemeine Sinusfunktion. Wesentlich dabei sind die Interpretation der Parameter (im Graphen wie auch in entsprechenden Kontexten) sowie der Verlauf des Funktionsgraphen und die Periodizität. FA 7 FA-L 7.1 FA-L 7.2 FA-L 7.3 FA-L 7.4 Folgen Zahlenfolgen (insbesondere arithmetische und geometrische Folgen) durch explizite und rekursive Bildungsgesetze beschreiben und graphisch darstellen Zahlenfolgen als Funktionen über N bzw. N* auffassen, insbesondere arithmetische Folgen als lineare Funktionen und geometrische Folgen als Exponentialfunktionen Definitionen monotoner und beschränkter Folgen kennen und anwenden Grenzwerte von einfachen Folgen ermitteln FA 8 FA-L 8.1 FA-L 8.2 FA-L 8.3 FA-L 8.4 Reihen Den Begriff der Summe einer unendlichen Reihe definieren Endliche arithmetische und geometrische Reihen kennen und ihre Summen berechnen Summen konvergenter geometrischer Reihen berechnen Folgen und Reihen zur Beschreibung diskreter Prozesse in anwendungsorientierten Bereichen einsetzen 9

10 Inhaltsbereich Analysis (AN) Bildungstheoretische Orientierung Die Analysis stellt Konzepte zur formalen, kalkulatorischen Beschreibung von diskretem und stetigem Änderungsverhalten bereit, die nicht nur in der Mathematik, sondern auch in vielen Anwendungsbereichen von grundlegender Bedeutung sind. Die zentralen Begriffe Differenzenquotient bzw. Differentialquotient sind allgemeine mathematische Mittel, dieses Änderungsverhalten von Größen in unterschiedlichen Kontexten quantitativ zu beschreiben, was in vielen Sachbereichen auch zur Bildung neuer Begriffe genutzt wird. In Hinblick auf höhere Allgemeinbildung und Kommunikationsfähigkeit ist es wichtig, die Begriffe Differenzenquotient und Differentialquotient in diversen Anwendungsfällen deuten zu und damit einige außermathematische Fachbegriffe als Differenzen- bzw, Differentialquotienten zu erkennen (wodurch nicht nur diese Begriffe selbst, sondern auch deren Zusammenhänge besser verstanden werden, z. B. Ladung Stromstärke in der Physik). Dabei sollte man nicht nur an die Kommunikation mit Expertinnen und Experten denken. Manche der hier angesprochenen Begriffe werden auch umgangssprachlich gebraucht (z. B. Momentangeschwindigkeit, Beschleunigung, Zerfallsgeschwindigkeit, progressives Wachstum). Im Sinne einer Kommunikation mit der Allgemeinheit ist es für einen allgemeingebildeten Menschen daher auch wichtig, bei einer allfälligen Explikation der Fachbegriffe auf deren mathematischen Kern zurückgreifen zu. (Was bedeutet eine momentane Änderung einer bestimmten Größe?) Der hinsichtlich der Kommunikationsfähigkeit zentrale Begriff der Integralrechnung ist das bestimmte Integral. Zum Verständnis dieses Begriffs ist es einerseits wichtig, eine innermathematische Definition bzw. Beschreibung angeben zu (Zahl zwischen allen Unter- und Obersummen, Grenzwert einer Summe von Produkten), andererseits aber auch verschiedene inner- und außermathematische Deutungen zu kennen (Flächeninhalt, Volumen, Weglänge, Arbeit usw.). Die mathematische Darstellung der einzelnen Begriffe ist im Allgemeinen eine symbolische, wobei die Zeichen auch eine bestimmte Bedeutung innerhalb des Kalküls haben. Für die Zugänglichkeit elementarer Fachliteratur ist ein verständiger Umgang mit diesem Formalismus notwendig, d. h. die zum Teil unterschiedlichen symbolischen Darstellungen des Differentialquotienten, der Ableitungsfunktion sowie des bestimmten Integrals sollten als solche erkannt, im jeweiligen Kontext gedeutet und auch eigenständig als Darstellungsmittel eingesetzt werden. Es ist wichtig zu wissen, dass mit diesen Zeichen auch gerechnet wird und was im konkreten Fall damit berechnet wird; die Durchführung der Rechnung selbst kann aber weitgehend unterbleiben. Es genügt daher, sich auf die einfachsten Regeln des Differenzierens und Integrierens zu beschränken, zumal neben der symbolischen Darstellung der Begriffe auch die graphische Darstellung der entsprechenden Funktionen zur Verfügung steht, an der die relevanten Eigenschaften und Zusammenhänge erkannt und auch quantitativ abgeschätzt werden. 10

11 Inhaltsbereich Analysis (AN) Grundkompetenzen AN 1 Änderungsmaße AN-R 1.1 Absolute und relative (prozentuelle) Änderungsmaße unterscheiden und angemessen verwenden AN-R 1.2 Den Zusammenhang Differenzenquotient (mittlere Änderungsrate) Differentialquotient ( momentane Änderungsrate) auf der Grundlage eines intuitiven Grenzwertbegriffes kennen und damit (verbal sowie in formaler Schreibweise) auch kontextbezogen anwenden [AN-R 1.2 Den Zusammenhang Differenzenquotient (mittlere Änderungsrate in einem Intervall) Differentialquotient (lokale Änderungsrate an einer Stelle) auf der Grundlage eines intuitiven Grenzwertbegriffes kennen und diese Begriffe (verbal sowie in formaler Schreibweise) auch kontextbezogen anwenden ] AN-R 1.3 Den Differenzen- und Differentialquotienten in verschiedenen Kontexten deuten und entsprechende Sachverhalte durch den Differenzen- bzw. Differentialquotienten beschreiben [AN-R 1.3 Differenzen- und Differentialquotienten in verschiedenen Kontexten deuten und entsprechende Sachverhalte durch den Differenzen- bzw. Differentialquotienten beschreiben ] AN-R 1.4 Das systemdynamische Verhalten von Größen durch Differenzengleichungen beschreiben bzw. diese im Kontext deuten [AN-R 1.4 Diskrete Veränderungen von Größen durch Differenzengleichungen beschreiben bzw. diese im Kontext deuten ] Anmerkung: Der Fokus liegt auf dem Darstellen von Änderungen durch Differenzen von Funktionswerten, durch prozentuelle Veränderungen, durch Differenzquotienten und durch Differentialquotienten, ganz besonders aber auch auf der Interpretation dieser Veränderungsmaße im jeweiligen Kontext. Durch den Einsatz elektronischer Hilfsmittel ist auch die Berechnung von Differenzen- und Differenzialquotienten beliebiger Funktionen möglich. AN-L 1.5 Einfache Differentialgleichungen, insbesondere yꞌ= k y, lösen AN 2 Regeln für das Differenzieren AN-R 2.1 Einfache Regeln des Differenzierens kennen und anwenden : Potenzregel, Summenregel, Regeln [k f(x)]ꞌ und [f(k x)]ꞌ (vgl. Inhaltsbereich Funktionale Abhängigkeiten) [AN-R 2.1 Einfache Regeln des Differenzierens kennen und anwenden : Potenzregel, Summenregel, Ableitungsregeln bei multiplikativen Konstanten: g( x) k f ( x) g '( x) k f '( x), h( x) f ( k x) h'( x) k f '( k x) ] AN-L 2.2 Kettenregel kennen und anwenden AN-L 2.3 Zielfunktionen für Optimierungsaufgaben (Extremwertaufgaben) aufstellen AN 3 Ableitungsfunktion/Stammfunktion AN-R 3.1 Den Begriff Ableitungsfunktion/Stammfunktion kennen und zur Beschreibung von Funktionen einsetzen [AN-R 3.1 Die Begriffe Ableitungsfunktion und Stammfunktion kennen und zur Beschreibung von Funktionen einsetzen ] 11

12 AN-R 3.2 Den Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitungsfunktion (bzw. Funktion und Stammfunktion) in deren graphischer Darstellung (er)kennen und beschreiben AN-R 3.3 Eigenschaften von Funktionen mit Hilfe der Ableitung(sfunktion) beschreiben : Monotonie, lokale Extrema, Links- und Rechtskrümmung, Wendestellen Anmerkung: Der Begriff der Ableitung(sfunktion) soll verständig und zweckmäßig zur Beschreibung von Funktionen eingesetzt werden. Durch den Einsatz elektronischer Hilfsmittel ist das Ableiten von Funktionen nicht durch die in den Grundkompetenzen angeführten Differenziationsregeln eingeschränkt. AN 4 Summation und Integral AN-R 4.1 Den Begriff des bestimmten Integrals als Grenzwert einer Summe von Produkten deuten und beschreiben AN-R 4.2 Einfache Regeln des Integrierens kennen und anwenden : Potenzregel, Summenregel, Regeln für k f(x) dx und f(k x) dx; bestimmte Integrale von Polynomfunktionen ermitteln AN-R 4.3 Das bestimmte Integral in verschiedenen Kontexten deuten und entsprechende Sachverhalte durch Integrale beschreiben Anmerkung: Analog zum Differentialquotienten liegt der Fokus beim bestimmten Integral auf der Beschreibung entsprechender Sachverhalte durch bestimmte Integrale sowie vor allem auf der angemessenen Interpretation des bestimmten Integrals im jeweiligen Kontext. Durch den Einsatz elektronischer Hilfsmittel ist auch die Berechnung von bestimmten Integralen nicht durch die in den Grundkompetenzen angeführten Integrationsregeln eingeschränkt. 12

13 Inhaltsbereich Wahrscheinlichkeit und Statistik (WS) Bildungstheoretische Orientierung Mathematiker/innen wie auch Anwender/innen bedienen sich häufig der Begriffe, der Darstellungsformen und der (grundlegenden) Verfahren der Beschreibenden Statistik, der Wahrscheinlichkeitstheorie und der Schließenden Statistik. Für allgemeingebildete Laien wird es im Hinblick auf die Kommunikationsfähigkeit vor allem darauf ankommen, die stochastischen Begriffe und Darstellungen im jeweiligen Kontext angemessen interpretieren und deren Aussagekraft bzw. Angemessenheit einschätzen und bewerten zu. Die eigenständige Erstellung von statistischen Tabellen und Grafiken wird sich auf Situationen geringer Komplexität und auf einfache Grafiken beschränken (z. B. bei der Kommunikation mit der Allgemeinheit), für die Ermittlung statistischer Kennzahlen (Zentral- und Streuungsmaße) gilt Ähnliches. Die Wahrscheinlichkeitstheorie kann als eine (vom jeweiligen Informationsstand) abhängige Modellierung und Quantifizierung des Zufalls angesehen werden und bildet somit ein unverzichtbares Bindeglied zwischen der beschreibenden und schließenden (beurteilenden) Statistik. Dabei kann man sich auf grundlegende Verfahren zur Ermittlung von Wahrscheinlichkeiten, auf grundlegende Begriffe (Zufallsgröße, Wahrscheinlichkeitsverteilung, Dichte- und Verteilungsfunktion, Erwartungswert und Varianz/Standardabweichung), auf grundlegende Wahrscheinlichkeitsverteilungen (Binomialverteilung, Normalverteilung) und einfachste Wahrscheinlichkeitsberechnungen beschränken. Der Begriff der (Zufalls-)Stichprobe ist bereits in der Wahrscheinlichkeitstheorie, aber natürlich auch in der Schließenden Statistik grundlegend und zentral. Von den zwei grundlegenden Konzepten der Schließenden Statistik, dem Testen von Hypothesen und der Hochrechnung (Konfidenzintervall), ist die Hochrechnung von besonderer Bedeutung. Im Hinblick auf die Kommunikationsfähigkeit wird es auch hier weniger darum gehen, Konfidenzintervalle zu ermitteln, sondern vorrangig darum, Ergebnisse dieses Verfahrens im jeweiligen Kontext angemessen zu deuten und zu bewerten. Dabei spielen Begriffe wie Sicherheit/Irrtumswahrscheinlichkeit und deren Zusammenhang mit der Intervallbreite ( Genauigkeit ) und dem Stichprobenumfang eine zentrale Rolle, sodass entsprechende Kompetenzen unverzichtbar sind. 13

14 Inhaltsbereich Wahrscheinlichkeit und Statistik (WS) Grundkompetenzen WS 1 Beschreibende Statistik WS-R 1.1 Werte aus tabellarischen und elementaren graphischen Darstellungen ablesen (bzw. zusammengesetzte Werte ermitteln) und im jeweiligen Kontext angemessen interpretieren [WS-R 1.1 Werte aus tabellarischen und elementaren graphischen Darstellungen ablesen und im jeweiligen Kontext angemessen interpretieren ] Anmerkung: (un-)geordnete Liste, Strichliste, Piktogramm, Säulen-, Balken-, Linien-, Stängel-Blatt-, Punktwolkendiagramm, Histogramm (als Spezialfall eines Säulendiagramms), Prozentstreifen, Kastenschaubild (Boxplot) WS-R 1.2 Tabellen und einfache statistische Grafiken erstellen und zwischen Darstellungsformen wechseln WS-R 1.3 Statistische Kennzahlen (absolute Häufigkeit, relative Häufigkeit, arithmetisches Mittel, Median, Modus, Quartile, Spannweite, empirische Varianz/Standardabweichung) im jeweiligen Kontext interpretieren ; die angeführten Kennzahlen für einfache Datensätze ermitteln WS-R 1.4 Definition und wichtige Eigenschaften des arithmetischen Mittels und des Medians angeben und nutzen, Quartile ermitteln und interpretieren ; die Entscheidung für die Verwendung einer bestimmten Kennzahl begründen Anmerkung: Wenn auch statistische Kennzahlen (für einfache Datensätze) ermittelt und elementare statistische Grafiken erstellt werden sollen, liegt das Hauptaugenmerk auf verständigen Interpretationen von Grafiken (unter Beachtung von Manipulationen) und Kennzahlen. Speziell für das arithmetische Mittel und den Median müssen die wichtigsten Eigenschaften (definitorische Eigenschaften, Datentyp-Verträglichkeit, Ausreißerempfindlichkeit) gekannt und verständig eingesetzt bzw. berücksichtigt werden. Beim arithmetischen Mittel sind allenfalls erforderliche Gewichtungen zu beachten ( gewogenes arithmetisches Mittel ) und zu nutzen (Bildung des arithmetischen Mittels aus arithmetischen Mitteln von Teilmengen). WS 2 Wahrscheinlichkeitsrechnung Grundbegriffe WS-R 2.1 Grundraum und Ereignisse in angemessenen Situationen verbal bzw. formal angeben [WS-R 2.1 Menge der Versuchsausfälle und Ereignisse bei Zufallsversuchen verbal bzw. formal angeben ] WS-R 2.2 Relative Häufigkeit als Schätzwert von Wahrscheinlichkeit verwenden und anwenden WS-R 2.3 Wahrscheinlichkeit unter der Verwendung der Laplace-Annahme (Laplace- Wahrscheinlichkeit) berechnen und interpretieren, Additionsregel und Multiplikationsregel anwenden und interpretieren [WS-R 2.3 Wahrscheinlichkeiten unter der Verwendung der Laplace-Annahme (Laplace- Wahrscheinlichkeit) berechnen und interpretieren, Additionsregel und Multiplikationsregel anwenden und interpretieren ] Anmerkung: Die Multiplikationsregel kann unter Verwendung der kombinatorischen Grundlagen und der Anwendung der Laplace-Regel (auch) umgangen werden. WS-R 2.4 Binomialkoeffizient berechnen und interpretieren [WS-R 2.4 Binomialkoeffizienten berechnen und interpretieren ] WS-L 2.5 Bedingte Wahrscheinlichkeiten kennen, berechnen und interpretieren WS-L 2.6 Entscheiden, ob ein Ereignis von einem anderen Ereignis abhängt oder von diesem unabhängig ist 14

15 WS 3 Wahrscheinlichkeitsverteilung(en) WS-R 3.1 Die Begriffe Zufallsvariable, (Wahrscheinlichkeits-)Verteilung, Erwartungswert und Standardabweichung verständig deuten und einsetzen WS-R 3.2 Binomialverteilung als Modell einer diskreten Verteilung kennen Erwartungswert sowie Varianz/ Standardabweichung binomialverteilter Zufallsgrößen ermitteln ; Wahrscheinlichkeitsverteilung binomialverteilter Zufallsgrößen angeben ; Arbeiten mit der Binomialverteilung in anwendungsorientierten Bereichen [WS-R 3.2 Binomialverteilung als wichtiges Beispiel einer diskreten Verteilung kennen; Wahrscheinlichkeiten bei binomialverteilten Zufallsgrößen angeben und berechnen ; Erwartungswert sowie Varianz/ Standardabweichung binomialverteilter Zufallsgrößen ermitteln ; mit der Binomialverteilung in anwendungsorientierten Bereichen arbeiten ] WS-R 3.3 Situationen erkennen und beschreiben, in denen mit Binomialverteilung modelliert werden kann WS-R 3.4 Normalapproximation der Binomialverteilung interpretieren und anwenden [WS-R 3.4 Die Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung interpretieren und anwenden ] Anmerkung: Kennen und Anwenden der Faustregel, dass die Normalapproximation der Binomialverteilung mit den Parametern n und p dann anzuwenden ist und gute Näherungswerte liefert, wenn die Bedingung n p (1 p) 9 erfüllt ist. Die Anwendung der Stetigkeitskorrektur ist nicht notwendig und daher für Berechnungen im Zuge von Prüfungsaufgaben vernachlässigbar. Kennen des Verlaufs der Dichtefunktion ϕ der Standardnormalverteilung mit Erwartungswert μ und Standardabweichung σ. Arbeiten mit der Verteilungsfunktion Φ der Standardnormalverteilung und korrektes Ablesen austabellen. WS-L 3.5 Mit der Normalverteilung, auch in anwendungsorientierten Bereichen, arbeiten WS 4 Schließende/Beurteilende Statistik WS-R 4.1 Konfidenzintervalle als Schätzung für eine Wahrscheinlichkeit oder einen unbekannten Anteil p interpretieren (frequentistische Deutung) und verwenden ; Berechnungen auf Basis der Binomialverteilung oder einer durch die Normalverteilung approximierten Binomialverteilung durchführen [WS-R 4.1 Konfidenzintervalle als Schätzung für eine Wahrscheinlichkeit oder einen unbekannten Anteil p interpretieren (frequentistische Deutung) und verwenden ; Berechnungen auf Basis der Binomialverteilung oder einer durch die Binomialverteilung approximierenden Normalverteilung durchführen ] WS-L 4.2 Einfache Hypothesentests durchführen und ihr Ergebnis erläutern 15

16 Teil B: Lehrplan mit Teilkompetenzen Auf den folgenden Seiten ist der Lehrplan um die Spalte Teilkompetenzen erweitert. Dort bedeutet eine Kompetenz, die für die standardisierte schriftliche Reifeprüfung erforderlich ist (wenn sie einer Reifeprüfungsgrundkompetenz entspricht, wird diese in Klammern angegeben) eine Kompetenz, die zur Erfüllung des Lehrplans, nicht aber für die Reifeprüfung erforderlich ist (wenn sie einer Lehrplangrundkompetenz entspricht, wird auch diese in Klammern angegeben) 5. Klasse 1. und 2. Semester mit Hinweisen auf Teilkompetenzen Kompetenzbereich Kompetenzen Teilkompetenzen Sicherung der Nachhaltigkeit Mengen, Zahlen und Rechengesetze Notwendiges Vorwissen für die Kompetenzbereiche dieses Moduls wiederholen und aktivieren Grundlagen für die Kompetenzbereiche dieses Moduls ergänzen und bereitstellen Grundkompetenzen nachhaltig sichern Grundlegende Begriffe über Aussagen und Mengen kennen Über das Erweitern von Zahlenmengen anhand von natürlichen, ganzen, rationalen und reellen Zahlen reflektieren Zahlen, Beträge von Zahlen und Intervalle auf einer Zahlengeraden darstellen Zahlen im dekadischen und in einem nichtdekadischen Zahlensystem darstellen Zehnerpotenzen zum Erfassen von sehr kleinen und sehr großen Zahlen in anwendungsorientierten Bereichen einsetzen ; Rechenregeln für Zehnerpotenzen kennen Mit Näherungswerten sinnvoll umgehen Terme und Formeln aufstellen und interpretieren ; Umformungsschritte durch Rechengesetze begründen Mit Primzahlen und Teilern arbeiten ; Teilbarkeitsfragen untersuchen Zusammenfassendes Wiederholen und Auffrischen früherer Lerninhalte, die für die Kompetenzbereiche dieser Schulstufe relevant sind Nachholen eventueller Lernstoffrückstände, die für die Kompetenzbereiche dieser Schulstufe relevant sind Wiederholung und Vertiefung von Grundkompetenzen Algebra und Geometrie Mit Beziehungen und Verknüpfungen von Aussagen und Mengen umgehen (AG-L 1.3) Wissen über die Zahlenmengen N, Z, Q und R verständig einsetzen (AG-R 1.1) Definitionen von Betrag und Intervallen kennen Zahlen im Zehnersystem darstellen Zahlen insbesondere im Dualsystem darstellen (AG-L 1.4) Mit Zehnerpotenzen rechnen Sinnvoll runden und abschneiden ; Schranken ermitteln Algebraische Begriffe angemessen einsetzen (AG-R 1.2) Einfache Terme und Formeln aufstellen, umformen und im Kontext deuten (AG-R 2.1) Zahlen in Produkte zerlegen (bei großen Zahlen allenfalls mit Technologie) 16

17 Gleichungen und Gleichungssysteme Lineare und quadratische Gleichungen in einer Variablen lösen ; Lösungsfälle untersuchen Lineare Gleichungssysteme in zwei Variablen lösen ; Lösungsfälle untersuchen und geometrisch interpretieren Die oben genannten Gleichungen und Gleichungssysteme auf inner- und außermathematische Probleme anwenden Algebra und Geometrie Lineare und quadratische Gleichungen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen ; über Lösungsfälle Bescheid wissen; die Lösung im Kontext und auch geometrisch deuten (AG-R 2.2, AG-R 2.3) Den Satz von Vieta kennen und anwenden (AG-L 2.6) Lineare Gleichungssysteme in zwei Variablen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen ; über Lösungsfälle Bescheid wissen; Lösungen und Lösungsfälle (auch geometrisch) deuten (AG-R 2.5) Sachverhalte durch lineare Gleichungen oder Gleichungssysteme beschreiben Funktionen Abhängigkeiten, die durch reelle Funktionen in einer Variablen erfassbar sind, mittels Termen, Tabellen oder Graphen beschreiben Lineare Funktionen beschreiben und untersuchen Quadratische Funktionen der Form f(x) = a x 2 + b x + c beschreiben und untersuchen Funktionale Abhängigkeiten Für gegebene Zusammenhänge entscheiden, ob man sie als Funktionen betrachten kann (FA-R 1.1) Zwischen tabellarischen und graphischen Darstellungen funktionaler Zusammenhänge wechseln (FA-R 1.3) Aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Funktionen Werte(paare) und im Kontext deuten (FA-R 1.4) Verbal, tabellarisch, graphisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene Zusammenhänge als Funktion eines bestimmten Typs erkennen bzw. betrachten ; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln (FA-R 2.1, FA-R 3.1) Aus Tabellen, Graphen und Gleichungen linearer Funktionen Werte(paare) sowie die Parameter k und d ermitteln und im Kontext deuten (FA-R 2.2) Die Wirkung der Parameter k und d kennen und die Parameter in unterschiedlichen Kontexten deuten (FA-R 2.3) Charakteristische Eigenschaften linearer Funktionen kennen und im Kontext deuten : f(x + 1) = f(x) + k, f(x 2 ) f(x 1) = k x 2 x 1 (FA-R 2.4) Quadratische Polynomfunktionen und deren Graphen kennen (FA-R 4.3) Einige weitere nichtlineare Funktionen beschreiben und untersuchen, zb 17

18 Trigonometrie f(x) = a x, f(x) = a x 2, abschnittsweise definierte Funktionen Formeln in Hinblick auf funktionale Aspekte untersuchen ; direkte und indirekte Proportionalitäten mit Hilfe von Funktionen beschreiben Mit Funktionen in anwendungsorientierten Bereichen arbeiten ; Funktionen als mathematische Modelle auffassen sin( ), cos( ) und tan( ) definieren und am Einheitskreis darstellen Gleichungen der Form sin( ) = c und cos( ) = c nach lösen Charakteristische Eigenschaften nichtlinearer Funktionen kennen Formeln als Darstellung von Funktionen interpretieren und dem Funktionstyp zuordnen (FA-R 1.2) Direkte Proportionalität als lineare Funktion vom Typ f(x) = k x beschreiben (FA-R 2.6) Indirekte Proportionalität als Potenzfunktion vom Typ f(x) = a x (bzw. f(x) = a x 1 (FA-R 3.4) Funktionen als mathematische Modelle verstehen und damit verständig arbeiten (FA-R 1.7) Die Angemessenheit einer Beschreibung mittels linearer Funktion bewerten (FA-R 2.5) Die Angemessenheit einer Beschreibung mittels quadratischer Funktion bewerten Schnittpunkte zweier Funktionsgraphen graphisch und rechnerisch ermitteln und im Kontext interpretieren (FA-R 1.6) Algebra und Geometrie Definitionen von Sinus, Cosinus und Tangens im rechtwinkeligen Dreieck kennen (AG-R 4.1) Definitionen von Sinus und Cosinus für Winkel größer als 90 kennen (AG-R 4.2) Berechnungen an Dreiecken, Figuren und Körpern durchführen Polarkoordinaten verwenden Definitionen von Sinus, Cosinus und Tangens zur Auflösung rechtwinkeliger Dreiecke einsetzen (AG-R 4.1) Einfache Berechnungen an allgemeinen Dreiecken, an Figuren und Körpern mit dem Sinus- und Cosinussatz durchführen. (AG-L 4.3) Die trigonometrische Flächeninhaltsformel kennen und anwenden Polarkoordinaten kennen und einsetzen (AG-L 4.4) 18

19 Vektoren und analytische Geometrie in R 2 Vektoren addieren, subtrahieren, mit reellen Zahlen multiplizieren und diese Rechenoperationen geometrisch veranschaulichen Einheitsvektoren und Normalvektoren ermitteln Mit dem Skalarprodukt arbeiten ; den Winkel zwischen zwei Vektoren ermitteln Geraden in R² durch Parameterdarstellungen und durch Gleichungen (Normalvektordarstellungen) beschreiben, Geraden schneiden und die gegenseitige Lage von Geraden ermitteln Abstände ermitteln (Punkt- Punkt, Punkt-Gerade) Algebra und Geometrie Vektoren als Zahlentupel verständig einsetzen und im Kontext deuten (AG-R 3.1) Vektoren geometrisch (als Punkte bzw. Pfeile) deuten und verständig einsetzen (AG-R 3.2) Definition der Rechenoperationen mit Vektoren (Addition, Multiplikation mit einem Skalar, Skalarmultiplikation) kennen; Rechenoperationen verständig einsetzen und (auch geometrisch) deuten (AG-R 3.3) Normalvektoren in R² aufstellen, verständig einsetzen und interpretieren (AG-R 3.5) Einheitsvektoren ermitteln, verständig einsetzen und interpretieren (AG-L 3.7) Wissen, dass zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren genau dann zueinander normal sind, wenn ihr skalares Produkt gleich 0 ist. (AG-L 3.6) Wissen, dass der Winkel zwischen zwei vom Nullvektor verschiedenen Vektoren spitz (stumpf) ist, wenn deren Skalarprodukt positiv (negativ) ist Den Winkel zwischen zwei Vektoren ermitteln (AG-L 3.6) Geraden durch (Parameter-) Gleichungen in R² angeben ; Geradengleichungen interpretieren ; Lagebeziehungen (zwischen Geraden und zwischen Punkt und Gerade) analysieren und Schnittpunkte ermitteln (AG-R 3.4) Zumindest eine Methode zur Berechnung von Abständen kennen und anwenden 19

20 6. Klasse 3. Semester mit Hinweisen auf Teilkompetenzen Kompetenzbereich Kompetenzen Teilkompetenzen Sicherung der Nachhaltigkeit Potenzen, Wurzeln und Logarithmen; Ungleichungen Reelle Funktionen Notwendiges Vorwissen für die Kompetenzbereiche dieses Moduls wiederholen und aktivieren Grundlagen für die Kompetenzbereiche dieses Moduls ergänzen und bereitstellen Grundkompetenzen nachhaltig sichern Potenzen (mit natürlichen, ganzen, rationalen bzw. reellen Exponenten), Wurzeln und Logarithmen definieren ; entsprechende Rechenregeln kennen und anwenden Mit Ungleichungen in einer Variablen arbeiten und diese lösen Funktionen folgender Arten definieren und darstellen ; typische Formen ihrer Graphen skizzieren ; charakteristische Eigenschaften angeben und im Kontext deuten Potenzfunktionen: q f (x) a x (q Q) Polynomfunktionen: n i i (n ) i 0 f (x) a x Zusammenfassendes Wiederholen und Auffrischen früherer Lerninhalte, die für die Kompetenzbereiche dieser Schulstufe relevant sind Nachholen eventueller Lernstoffrückstände, die für die Kompetenzbereiche dieser Schulstufe relevant sind Wiederholung und Vertiefung von Grundkompetenzen Algebra und Geometrie Einfache Terme und Formeln umformen (AG-R 2.1) Definitionen der Potenzen mit natürlichen, ganzen, rationalen bzw. reellen Exponenten als schrittweise Verallgemeinerungen auffassen Ausgewählte Rechenregeln für Potenzen, Wurzeln und Logarithmen beweisen Rechenregeln für Ungleichungen kennen und anwenden Lineare Ungleichungen aufstellen, interpretieren, umformen und lösen, Lösungen (auch geometrisch) deuten (AG-R 2.4) Lineare Ungleichungen mit Parametern lösen (auch mit Fallunterscheidungen) Lösungsmengen von Ungleichungsketten ermitteln Einfache lineare Ungleichungen mit Beträgen lösen Lösungsmengen von quadratischen Ungleichungen ermitteln und graphisch darstellen Funktionale Abhängigkeiten Verbal, tabellarisch, graphisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene Zusammenhänge als Funktionen eines bestimmten Typs erkennen bzw. betrachten ; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln (FA-R 3.1, FA-R 4.1, FA-R 4.2, FA-R 5.1,FA-R 6.1) Aus Tabellen, Graphen und Gleichungen der genannten Funktionen Werte(paare) sowie Parameter ermitteln und in unterschiedlichen Kontexten deuten ; Parameter im Kontext 20

21 Exponentialfunktionen: f (x) c a x ; f (x) c e x Logarithmusfunktionen: a f (x) log(x) ; f(x) ln(x) Winkelfunktionen: f(x) sin(x) ; f(x) cos(x) ; f(x) tan(x) f(x) a sin(b x) Reelle Funktionen untersuchen (Monotonie, lokale und globale Extremstellen, Symmetrie, Periodizität) Verkettungen von Funktionen und Umkehrfunktionen kennen Die Veränderung des Graphen einer Funktion f beschreiben, wenn man von f(x) zu c f(x), f (x) c, f (x c) bzw. f(c x) übergeht Änderungen von Größen durch Änderungsmaße beschreiben absolute und relative Änderung, mittlere Änderungsrate, Änderungsfaktor) Die oben genannten Typen reeller Funktionen, insbesondere Exponentialfunktionen, in außermathematischen Situationen anwenden ; Funktionen als Modelle auffassen, Modelle vergleichen und Grenzen von Modellbildungen reflektieren deuten und die Wirkung von Parameterveränderungen kennen (FA-R 3.2, FA-R 3.3, FA-R 4.3, FA-R 5.2, FA-R 5.3, FA-R 6.2, FA-R 6.3) Das Bogenmaß kennen; Gradmaße in Bogenmaße umrechnen und umgekehrt Wichtige Eigenschaften - von Exponentialfunktionen: f(x 1) a f(x) (FA-R 5.4) - von Winkelfunktionen: Periodizität (FA-R 6.4) cos(x) = sin(x + π ) (FA-R 6.5) 2 Einen Überblick über die angeführten Typen von Funktionen geben und deren Eigenschaften vergleichen (FA-R 1.9, FA-R 4.1) Die Definitionen des (strengen) monotonen Steigens und Fallens kennen und anwenden Die Definitionen globaler und lokaler Extremstellen von Funktionen kennen Eigenschaften von Funktionen erkennen und benennen : Monotonie, Monotoniewechsel (lokale Extrema), Periodizität, Achsensymmetrie (FA-R 1.5) Verkettungen und Umkehrfunktionen an Beispielen erläutern Auswirkungen von Parameterveränderungen auf den Funktionsgraphen beschreiben (FA-R 2.3, FA-R 3.3, FA-R 5.3, FA-R 6.3) Absolute und relative (prozentuelle) Änderungsmaße unterscheiden und angemessen verwenden (AN-R 1.1) Exponentialfunktionen zur Beschreibung von Wachstums- und Abnahmevorgängen verwenden (insbesondere: radioaktiver Zerfall); das Wachstums- bzw. Abnahmegesetz in der Form N(t) N a t 0 und in der t Form N(t) N e 0 darstellen sowie zwischen diesen Darstellungen wechseln Die Begriffe Halbwertszeit und Verdoppelungszeit kennen, die entsprechenden Werte berechnen und im Kontext deuten (FA-R 5.5) Die Angemessenheit einer Beschreibung mittels Exponentialfunktion bewerten (FA-R 5.6) Lineares und exponentielles Wachsen (bzw. Abnehmen) vergleichen Harmonische Schwingungen interpretieren 21