8.4. Prüfungsaufgaben zur komplexen Zahlenebene

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1 8.4. Prüfugsaufgabe ur komplexe Zahleebee Aufgabe : Rechegesete a) Nee ud erkläre die Kommutativ- Assoiativ- ud Distributivgeset für Additio ud Multiplikatio reeller Zahle. b) Warum gelte diese Rechegesete auch für komplexe Zahle? Formuliere ei Beispiel. c) Welches dieser Gesete gilt icht allgemei für Matrie? Formuliere ei eifaches Beispiel. Aufgabe : Koordiateform ud Polarform Bestimme die Koordiateform ud die Polarform vo i a) ausgehed vo der Koordiateform vo + i b) ausgehed vo der Polarform vo + i ud beschreibe de Vorgag der Iversebildug geometrisch mit Hilfe eies Zeigerdiagramms. Aufgabe : Koordiateform ud Polarform a) i = i ( i)( i) = i = 5 5 i cis( 6,6 ) b) i = ( + i) = [ 5 cis(6,6 )] = 5 cis( 6,6 ) = 5 5 cis( 6,6 ) Iversebildug bedeutet Ivertierug des Betrages ud Voreichewechsel beim Wikel. Aufgabe 3: Potee Welche Figur erhält ma im Zeigerdiagramm aus de Potee a) der Zahle = + i b) der Zahle = i? 5 5 Bereche dau ud 3 ud stelle sie im Zeigerdiagramm dar. Aufgabe 3: Potee 5 cis(8,4 ) = 3 + 4i 5 cis(36,8 ) ud 3 = + i 5 5 cis(54, ). Ma erhält eie Spirale. Problem 4: complex umbers (0) Give are the complex umbers = + i ad = + i. a) Calculate the modulus ad the argumet of ad. () b) Calculate the cartesia ad polar forms of the sum + ad the differece. (4) c) ad defie a parallelogram i the complex plae. Draw this parallelogram ad fit the sum + ad the differece also ito this parallelogram. Which geometric meaig have the lies of + ad i this parallelogram? () d) Calculate the cartesia ad polar forms of the product ad the quotiet. () e) What happes with the modulus ad the argumet oft two complex umbers whe they are multiplied? f) What happes with the modulus ad the argumet oft two complex umbers whe they are divided? Solutios: a) = ad arg( ) = ta 63,43 = 5 e i 63,43 ad likewise = 5 e i 6,56 b) + = 3 + 3i = 3 e i 45 ad = + i = e i 35 () c) Drawig ad commetary: Sum ad differece are the diagoals of the parallelogram. () d) = 5 5 e i (63,43 +6,56 ) = 5e i90 = 5i ud = 5 : 5 e i (63,43 6,56 ) = e i36,97 = 0,8 + 0,6i () e) The moduli are multiplied ad the argumets are added together. f) The moduli are divided ad the argumets are subtracted. ()

2 Problem 5: Powers of complex umbers (4) a) Write = + i 3 i polar form ad hece fid the polar ad coordiate forms of 0. () b) Write = i 3 i polar form ad hece fid the polar ad coordiate forms of 0. () c) Write = cos(α) + i si(α) i polar form ad hece fid the polar ad coordiate forms of. The use Euler s idetity to prove cos(α) = (cos(α)) (si(α)) ad si(α) = cos(α) si(α). (4) d) Write = cos(α) + i si(α) i polar form ad hece fid the polar ad coordiate forms of 3. The use Euler s idetity to prove cos(3α) = (cos(α)) 3 3 cos(α) (si(α)) ad si(3α) = 3 (cos(α)) si(α) (si(α)) 3. (6) Problem 5: Powers of complex umbers (4) a) = + i 3 = cis(60 ) 0 = 0 cis(600 ) = 04 cis(40 ) = 04 cis( 60 ) = 04 i04 3. () b) = i 3 = cis( 60 ) 0 = 0 cis( 600 ) = 04 cis( 40 ) = 04 cis(60 ) = 04 + i04 3. () c) = cos(α) + i si(α) = cis(α) = cis(α) = cos(α) + i si(α) With the biomial theorem we also get = (cos(α) + i si(α)) = (cos(α)) + i cos(α) si(α) (si(α)). Sice the real parts must be equal we get cos(α) = (cos(α)) (si(α)). Sice the imagiary parts must be equal too we get si(α) = cos(α) si(α). d) = cos(α) + i si(α) = cis(α) 3 = cis(3α) = cos(3α) + i si(3α) With the biomial theorem (a + b) 3 = a 3 + 3a b + 3ab + b 3 we also get 3 = (cos(α) + i si(α)) 3 = (cos(α)) 3 + i 3 (cos(α)) si(α) 3 cos(α) (si(α)) i (si(α)) 3. () Sice the real parts must be equal we get cos(3α) = (cos(α)) 3 3 cos(α) (si(α)). Sice the imagiary parts must be equal too we get si(3α) = 3 (cos(α)) si(α) (si(α)) 3. Problem 6: Powers of complex umbers (4) If = cos(α) + i si(α) show that a) + = cos( α) b) = i si( α). Problem 6: Powers of complex umbers (8) Usig cos( β) = cos(β) ad si( β) = si(β) ad the polar forms oe gets a) + = + = cos(α) + i si(α) + cos( α) + i si( α) = cos(α) + i si(α) + cos(α) i si(α) = cos( α) b) = = cos(α) + i si(α) [cos( α) + i si( α)] = cos(α) + i si(α) cos(α) + i si(α) = i si( α). Aufgabe 7a: Potee ud Wurel komplexer Zahle Bestimme das Quadrat ud die Wurel vo = + i jeweils i Koordiateform ud Polarform. Stelle die drei Zahle i der komplexe Zahleebee dar. Welche Figur erhält ma, we ma das Quadriere ud das Radiiere immer weiter fortsett? Aufgabe 7a: Potee ud Wurel komplexer Zahle = cis(45 ) = i = cis(90 ) ud beim Radiiere hieilaufe Aufgabe 7b: Potee ud Wurel komplexer Zahle = 4 cis(,5 ). Ma erhält Spirale, die beim Quadriere herauslaufe ud a) Bestimme das Quadrat ud die Wurel vo = 3 + i jeweils i Koordiateform ud Polarform. b) Stelle die drei Zahle i der komplexe Zahleebee dar. c) Welche Figur erhält ma, we ma das Quadriere ud das Radiiere immer weiter fortsett?

3 Problem 7b: Powers ad Roots of complex umbers (9) a) Determie the cartesia form ad the polar form of the square ad the squareroot of = 3 4 b) Draw the three umbers from a) i the complex plae. (3) c) Which kid of shape evolves if the process of takig powers or roots is take further? () + i. (4) Solutios: a) = i = 5 4 cis(53,3 ) = 5 6 cis(06.6 ) = i ad = 5 cis(6,6 ) = + i. (4) b) Drawig (3) c) powers result i outgoig spiral, roots form a igoig spiral () Aufgabe 8: Wurel ud quadratische Gleichuge (8) a) Bereche die der Gleichug = 3 + 4i sowohl i kartesischer als auch i Polarform ud eiche sie i ei Koordiatesystem ei. (4) b) Beschreibe die Berechug vo komplexe Wurel i Polarform ahad der Zeichug aus a) i Worte. () c) Bereche die der Gleichug i = 0 () a) = 3 4i = 5cis(53,3 ) = 5 cis(6,57 ) = + i = 3 4i = 5cis(53,3 ) = 5 cis(06,57 ) = i Skie. () b) Der Betrag wird radiiert ud das Argumet wird halbiert. () c) = + i ud = 3 i. () Problem 8: Quadratic equatios (8) a) Determie the coordiate forms ad the polar forms of the solutios of = 3 + 4i ad plot them o a Argad diagram. (4) b) What happes to the modulus ad the argumet of a complex umber, whe its root is take? () c) Fid all solutios of i = 0 () Problem 8 (8) a) = 3 4i = 5cis(53,3 ) = 5 cis(6,57 ) = + i = 3 4i = 5cis(53,3 ) = 5 cis(06,57 ) = i Drawig. () b) The root of the modulus is take ad the argumet is divided by two. () c) = + i ud = 3 i. () Problem 9: Quadratic equatios o the uiversal set C (5) Solve the followig equatios. Give exact results ad simplify as far as possible. a) + 3i = 0 b) i = 0 c) ( + i) + 7i = 0 d) (3 + i) + 5 5i = 0 Problem 9: Quadratic equatios o the uiversal set C (5) a) + 3i = ( + i)( + i) = + i ad = i. b) i = ( + i)( i) = i ad = + i. c) ( + i) + 7i = ( + i)( 3 + i) = + i ad = 3 i. d) + ( 3 + i) + 5 5i = ( i)( + 3i) = + i ad = 3i. Aufgabe 0: höhere Wurel komplexer Zahle Welche Figur erhält ma im Zeigerdiagramm aus de Wurel der Zahl 4? Bereche dau 4, 3 4 sowie 4 4 ud stelle sie im Zeigerdiagramm dar. Aufgabe 0: höhere Wurel komplexer Zahle 4 = i; 3 4 = cis(60 ) = 4 ( + i 3 ) ud 4 4 = cis(45 ) = + I Ma erhält eie Spirale. 3

4 Aufgabe a: Potegleichuge i C a) Bestimme alle der Gleichug 4 = i 3 ud stelle sie i eiem Zeigerdiagramm dar. b) Bestimme alle der Gleichug 4 = + i 3 ud stelle sie i eiem Zeigerdiagramm dar. Aufgabe a: Potegleichuge i C a) i 3 = cis( 0 ) = 4 cis( 30 ); = 4 cis( 0 ); 3 = 4 cis(50 ) ud 4 = 4 cis(60 ). b) + i 3 = cis(0 ) = 4 cis(30 ); = 4 cis(0 ); 3 = 4 cis( 50 ) ud 4 = 4 cis( 60 ); Problem b: Roots of complex umbers Give the cartesia form ad the polar form of all possible solutios for the followig equatios: a) 3 = i b) 3 = 3 5i c) 4 = 3 + 4i d) 5 = 5 i e) 6 = 3 + i Solutios: a) 3 = i = cis( 45 ) = 6 cis( 35 ) 0,79 0,79i, = 6 cis( 5 ),08 0,9i ad 3 = 6 cis(05 ) 0,9 +,08i b) 3 = 3 5i 34 cis( 59,0 ) = 6 34 cis( 9,7 ),69 0,6i, 6 34 cis(00,3 ) 0,3 +,77i ad cis( 39,7 ),37,6i c) 4 = 3 + 4i = 5 cis(53, ) = 4 5 cis(3,3 ), ,347i; = 4 5 cis(03,3 ) 0,347 +,456i; 3 = 4 5 cis( 66,7 ),456 0,347i ad 4 = 4 5 cis( 76,7 ) 0,347,456i d) 5 = 5 i 3 cis( 57,4 ) 5 3 cis( 3,5 ),54 0,64i; 5 3 cis( 03,5 ) 0,3,67i; cis( 75,5 ),6 0,389i; cis(,5 ) 0,87 +,4i ad cis(40,5 ),7 +,09i e) 6 = 3 + i = cis(30 ) = 6 cis(5 ), + 0,0i; = 6 cis(65 ) 0,47 +,0i; 3 = 6 cis(5 ) 0,64 + 0,9i; 4 = 6 cis( 75 ), + 0,0i; 5 = 6 cis( 5 ) 0,47,0i ad 6 = 6 cis( 55 ) 0,64 0,9i. Problem : Roots of complex umbers (8) Cosider 6 = 64. a) Fid the polar form of the root to this equatio which has the smallest positive argumet. b) Fid the powers, 3, 4, 5 ad 6 i polar form ad plot them o a Argad diagram. (5) c) The poit is mapped to + by a compositio of two liear trasformatios. Describe these trasformatios. () Problem : Roots of complex umbers (8) a) = cis(60 ). b) = 4 cis(0 ); 3 = 8 cis(80 ) = 8i; 4 = 6 cis(40 ); 5 = 3 cis(300 ) ad 6 = 64 cis(360 ) = 64 (3) Argad diagram: outgoig spiral couterclockwise directio. () c) The poit is mapped to + by rotatio couterclockwise by 60 with ceter O ad elargemet with factor with ceter O. Problem 3: Powers ad Roots of complex umbers (6) Give that ω is a complex cube root of uity, ω 3 = ad+ ω + ω = 0. simplify each of the expressios + 3ω + ω ad + ω + 3ω ad fid the product ad the sum of these two expressios. Problem 3: Powers ad Roots of complex umbers (6) + 3ω + ω = ( + ω + ω ) + ω = 0 + ω = ω ad + ω + 3ω = ( + ω + ω ) + ω = 0 + ω = ω () Product: ( + 3ω + ω ) ( + 3ω + ω ) = ω ω = 4ω 3 = 4 () Sum: ( + 3ω + ω ) + ( + 3ω + ω ) = ω + ω = (ω + ω ) = ( + ω + ω ) = (0 ) = () Aufgabe 4: Drehmatrie ud komplexe Zahle Erkläre die Aalogie wische Drehmatrie ud komplexe Zahle am Beispiel vo = 4 + 3i. Bestimme uächst die Polarform ud die etsprechede Drehmatrix vo ud erkläre da ihre Wirkug auf adere komplexe Zahle bw. Drehmatrie. 4 3 = 5 cis(53,3 ) bewirkt Drehstreckug bei Multiplikatio ebeso wie die etsprechede Drehmatrix 5 D 53,3 =

5 Aufgabe 5: Drehmatrie ud komplexe Zahle 0 a) Nee ud erkläre die Wirkug eier Drehmatrix am Beispiel der Vektore a = ud b = für de Wikel α = 0 30 ahad eier Skie b) Erkläre mit Hilfe des Distributivgesetes ud der ergäte Skie aus a), warum die Drehmatrix auch bei dem Vektor c = auf die gleiche Art wirkt. Aufgabe 6: Drehmatrie ud komplexe Zahle (5) 3 3 Gegebe sid die Matrie A =, B = ud C =. 3 3 a) Bereche die Summe A + B. b) Bereche die Produkte A * B ud B * A. () c) Welches Rechegeset ist ach dem Ergebis aus b) für die Matriemultiplikatio icht erfüllt? d) Welche der Matrie ist eie Drehmatrix ud lässt sich als komplexe Zahl darstelle? Bestimme ihre Drehwikel. 3 3 a) A + B = b) A * B = ud B * A = 3 0 () c) Das Kommutativgeset ist offesichtlich icht erfüllt d) B ist eie Drehmatrix D α mir α = cos 3 = si = 30. Aufgabe 7: Drehmatrie ud komplexe Zahle (5) 3 Gegebe sid die Matrie A =, B = ud C =. 3 a) Bereche die Summe A + B. b) Bereche die Produkte A * B ud B * A. c) Welches Rechegeset ist ach dem Ergebis aus b) für die Matriemultiplikatio icht erfüllt? d) Welche der Matrie ist eie Drehstreckmatrix ud lässt sich als komplexe Zahl darstelle? Gib ihre kartesische ud ihre Polarform a. () 3 4 a) A + B = b) A * B = ud B * A = c) Das Kommutativgeset ist offesichtlich icht erfüllt d) B lässt sich als komplexe Zahl = i = 5 e -i6,6 darstelle. () Aufgabe 8: Drehmatrie ud komplexe Zahle (4) a) Formuliere die Defiitio der Wurel eier reelle Zahl ud übertrage diese Defiitio auf Matrie. 0 b) Bereche die Wurel der Matrix A = mit ud ohe Verwedug komplexer Zahle uter der Aahme, dass die 0 Wurel B eie Drehmatrix A auch wieder eie Drehmatrix ist. (3). a) Die Wurel eier Matrix A ist diejeige Matrix B, dere Quadrat wieder A ergibt: B = A. a b b) Für B = b a a b a b B = A * b a b a = 0 0 a b ab 0 = ab a b 0 Aus a b 0 folgt a = ± b ud aus ab = ab = folgt weiter a = b = B = Die Wurel der etsprechede komplexe Zahl a = i ist b = a = + i ud etspricht der Drehmatrix B. 5

6 Aufgabe 9: Additiostheoreme ud Drehmatrie () a) Zeige a eiem selbst gewählte Beispiel, dass die Multiplikatio weier x-matrie im Allgemeie icht kommutativ ist. () b) Erkläre geau, was eie Drehmatrix bewirkt ud erkläre das Assoiativgeset am Beispiel der Verküpfug weier Drehmatrie. () c) Beweise ur mit Hilfe der Eigeschafte aus b), dass die Multiplikatio weier Drehmatrie immer kommutativ ist. () d) Beweise die Additiostheoreme für Sius ud Kosius mit Hilfe eier Matriemultiplikatio. (5) e) Beweise das Kommutativgeset für Drehmatrie ereut mit Hilfe der Rechug aus d). (): a) Z.B. mit A = 0 0 ud B = 0 0 erhält ma = A * B B * A = b) Für eie beliebige Vektor v ist das Produkt D α * v um de Wikel α gege de Uhreigersi gedreht. (0,5) Nochmalige Multiplikatio mit D β u D β *(D α * v ) bewirkt eie usätliche Drehug um de Wikel β. (0,5) Nach dem Assoiativgeset der Matriemultiplikatio ist D β *(D α * v ) = (D β *D α )* v. (0,5) Die Multiplikatio mit dem Produkt D β *D α bewirkt also ebefalls eie Drehug erst um α ud da um β (0,5) c) Die gleiche Wirkug hat die die Drehug i umgekehrter Reihefolge: D β *(D α * v ) = D α *(D β * v ). (0,5) Wieder ach dem Assoiativgeset gilt D α *(D β * v ) = (D α *D β )* v. (0,5) Isgesamt gilt also (D β *D α )* v = (D α *D β )* v für beliebige Vektore v ud damit auch D β *D α = D α *D β. (Oder direkte Berechug wie i c)) d) Multiplikatio erst mit D α ud da mit D β bewirkt Drehug erst um α ud da um β. Die gleiche Wirkug erielt ma durch Multiplikatio mit D α+β. Es gilt also D α *(D β * v ) = D α+β * v. Nach dem Assoiativgeset gilt (D α *D β )* v = D α *(D β * v ). Für beliebige Vektore v gilt also (D α *D β )* v = D α+β * v ud damit D α *D β = D α+β. cos( ) si( ) cos( ) si( ) cos( ) si( ) Eisete ergibt weiter * =. si( ) cos( ) si( ) cos( ) si( ) cos( ) cos( ) cos( ) si( ) si( ) si( ) cos( ) cos( ) si( ) Ausmultiplikatio der like Seite ergibt. si( ) cos( ) cos( ) si( ) cos( ) cos( ) si( ) si( ) Durch Vergleich folgt cos(α + β) = cos(α) cos(β) si(α) si(β) ud si(α + β) = si(α) cos(β) + cos(α) si(β) e) Aus dem Kommutativgeset der Additio folgt D α *D β = D α+β = D β+α = D β *D α. Aufgabe 0: Additiostheoreme ud Drehmatrie Beweise die Additiostheoreme cos(α + β) = cos(α) cos(β) si(α) si(β) ud si(α + β) = si(α) cos(β) + si(β) si(α) mit Hilfe der Multiplikatio weier Drehmatrie. Lösug: (5) Multiplikatio erst mit D α ud da mit D β bewirkt Drehug erst um α ud da um β. Die gleiche Wirkug erielt ma durch Multiplikatio mit D α+β. Es gilt also D α *(D β * v ) = D α+β * v. Nach dem Assoiativgeset gilt (D α *D β )* v = D α *(D β * v ). Für beliebige Vektore v gilt also (D α *D β )* v = D α+β * v ud damit D α *D β = D α+β. cos( ) si( ) cos( ) si( ) cos( ) si( ) Eisete ergibt weiter * =. si( ) cos( ) si( ) cos( ) si( ) cos( ) cos( ) cos( ) si( ) si( ) si( ) cos( ) cos( ) si( ) Ausmultiplikatio der like Seite ergibt. si( ) cos( ) cos( ) si( ) cos( ) cos( ) si( ) si( ) Durch Vergleich folgt cos(α + β) = cos(α) cos(β) si(α) si(β) ud si(α + β) = si(α) cos(β) + cos(α) si(β) () 6