Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 4 1. Semester ARBEITSBLATT 4 DIE RATIONALEN ZAHLEN. 1) Einleitung

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1 ARBEITSBLATT DIE RATIONALEN ZAHLEN 1) Einleitung Wie wir schon bei der Erweiterung von der Menge der natürlichen Zahlen auf die Menge der ganzen Zahlen gesehen haben, ist es ein Ziel der Mathematik, innerhalb eines Zahlenbereiches alle Rechenoperationen vollständig ausführen zu können. Hier ergibt sich aber nun ein neues Problem: Man kann z.b. 6 : in Z nicht lösen. Folglich müssen wir uns also neue Zahlen einfallen lassen. Wie Ihnen sicher bekannt ist, gibt es zur Lösung des obigen Problems zwei Schreibweisen: 1. Bruchschreibweise: 6 : 6 Der Bruchstrich ist hier gleichbedeutend mit dem Divisionszeichen. Es wird hier also eigentlich gar nichts gerechnet.. Dezimalschreibweise: 6 : 1,5 Die Zahlen werden ausdividiert und das Ergebnis in unserem dezimalen Zahlensystem angegeben. Definition: Alle Zahlen, die sich als Bruch darstellen lassen, sind rationale Zahlen. Die Menge der rationalen Zahlen wird abgekürzt mit Q. Folgende Zahlen lassen sich als Bruch darstellen: a) Alle ganzen Zahlen z.b.: 5; -3 b) Alle endlich langen Dezimalzahlen z.b.:,5;,03 c) Alle periodischen Dezimalzahlen z.b.: 0, ; 5, ; 3, (Die Punkte bedeuten, dass die Ziffern in der selben Ordnung unendlich lange weitergehen). Schreibweise periodischer Zahlen Beispiel: 3, ist hier die periodische Ziffer. Zur Kennzeichnung wird einfach ein Punkt über den 5er gesetzt. 3, , Beispiel: 0,

2 Hier werden mehrere Ziffern immer wieder wiederholt. Zur Kennzeichnung setzt man einen Punkt über die erste periodische Ziffer und einen Punkt über die letzte periodische Ziffer. 0, , Beispiel:, Es können nach dem Komma zunächst einmal auch beliebig viele nichtperiodische Ziffern auftauchen, bevor periodische Ziffern erscheinen. Auch hier wird auf die erste und auf die letzte periodische Ziffer ein Punkt gesetzt., , Übungen: Übungsblatt, Aufgaben Umwandlung von Brüchen in Dezimalzahlen und umgekehrt a) Umwandlung von Brüchen in Dezimalzahlen Beispiel: 5 Um in eine Dezimalzahl umzuwandeln müssen wir uns lediglich 5 bewusst sein, daß der Bruchstrich gleichbedeutend mit dem Divisionszeichen ist: 5 : 5 0, Übungen: Übungsblatt ; Aufgabe 60 b) Umwandlung ganzer Zahlen in Brüche Beispiel: -3 Wir müssen lediglich wissen, dass man jede Zahl durch 1 dividieren kann, ohne ihren Wert zu verändern: 3 3 ( 3): 1 1 Übungen: Übungsblatt ; Aufgabe 61 c) Umwandlung endlicher Dezimalzahlen in Brüche

3 Um Dezimalzahlen in Brüche umzuwandeln, müssen wir uns lediglich der Bedeutung dieser Schreibweise bewusst werden. Jede Ziffer hat in dieser Schreibweise einen zugeordneten Wert. Man spricht vom sogenannten Stellenwert Tausender Hunderter Zehner Einer Ein 6er an der Hunderterstelle bedeutet, dass dieser Ziffer der Wert 600 zugeordnet ist. Man spricht bei diesem Zahlensystem vom dekadischen Zahlensystem, da man von einem Stellenwert zum anderen die Ziffer mit 10 multiplizieren muss. Dieses System wird nun auch nach unten, also hinter das Komma fortgesetzt, wobei wir nun nicht mehr mit 10 multiplizieren, sondern durch 10 dividieren:, Einer zehntel hundertel tausendstel zehntausendstel Beispiel: 0,3 Um diese Dezimalzahl in einen Bruch umzuwandeln, müssen wir lediglich feststellen, welcher Stellenwert der kleinsten Zahl zugeordnet wird. Bei uns steht die 3 auf den zehntel. Wir haben also 3 Zehntel, in Bruchschreibweise Dies funktioniert natürlich auch, wenn die Dezimalzahl aus mehreren Ziffern besteht. Beispiel:,05 Der 5er steht an der Tausendstelstelle. Folglich haben wir 05 Tausendstel. Es ergibt sich also: 05 05, 1000 Übungen: Übungsblatt, Aufgabe 6 d) Umwandlung periodischer Dezimalzahlen in Brüche Vorweg sei erwähnt, daß das folgende Rechenschema in seiner Bedeutung noch nicht ganz verstanden werden kann (Leider!). In einem Semester werden Sie die dahintersteckende Logik aber bereits erfassen können. Beispiel: 03, Wir wollen diese Zahl in einen Bruch umwandeln. Da wir diesen noch nicht kennen, nennen wir ihn zunächst einmal x. 1. Rechenschritt: Multiplizieren sie die obige Zahl so, dass die periodischen Zahlen einmal vor dem Komma stehen. Die Zahl soll also folgendermaßen aussehen: 3,. 3

4 Wie Sie sehen haben wir das Komma um Stellen verschieben müssen, wir haben die Zahl also mit 100 multiplizieren müssen. Wenn die ursprüngliche Zahl aber dem Bruch x entspricht, so muss das 100-fache dieser Zahl dem Bruch 100 x entsprechen. Es gilt also: 100 x 3,. Rechenschritt: Multipliziere die ursprüngliche Zahl 03, so, dass die periodischen Zahlen direkt hinter dem Komma beginnen. Die Zahl soll also so aussehen: 3, Wenn Sie die beiden Zahlen vergleichen fällt Ihnen auf, dass das Komma um eine Stelle verschoben wurde, die Zahl also mit 10 multipliziert wurde. Es muss also gelten: 10 x 3, Die Ergebnisse der obigen Überlegungen schreiben Sie folgendermaßen untereinander: 100 x 3, 10 x 3, 3. Rechenschritt: Nun subtrahieren wir die zweite Zeile von der ersten Zeile. Dies ist erlaubt, weil wir in der Mathematik immer den Wahrheitsgehalt einer Aussage untersuchen. Eine Aussage kann also nur richtig oder falsch sein. Wenn wir nun aber zwei richtige Aussagen wie 7 7 und 3 3 haben, so können wir die beiden Zeilen auch subtrahieren und der Wahrheitsgehalt ändert sich nicht Für unsere Rechnung erhalten wir also folgendes: 100 x 3, x 3, 90 x 31 Wir wollen aber nicht 90 mal die Zahl wissen, sondern 1 mal. Ergo dividieren wir durch x 31 \ : 90 1 x Wir erhalten also: 03,

5 Anmerkung: Die zu Beginn durchgeführten Multiplikationen bewirken lediglich, dass die Dezimalzahlen bei der Subtraktion stets wegfallen. Weitere Beispiele: a) Wandle 0, in einen Bruch um: 10 x, Es folgt: 0, 9 1 x 0, 9 x 1 x 9 \ : 9 b) Wandle, 305 in einen Bruch um: Es folgt: 305, x 305, x 3, x 30 \: x Übungen: Übungsblatt ;Aufgabe 63 5