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- Jürgen Küchler
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1 Sigaldarsellug.b Forelsalug Sigaldarsellug Grudlage Eiheisipuls : für sos Abasug : x Zeiorierug : x S S x S, Frequezorierug : S S Zeiorier : x x S x x, Eiheissprug : u Diracsche Fukio : l l, u Ipulsdarsellug zeikoiuierlichersigale : e j x x x x Lieare Zeiivariae Sysee LI : Lieariä ax by a x b x, Zeiivariaz x y ; x y Zeikoiuierliche Falug : y x h x h Zeidiskree Falug : y x h x h LI Falug : a Kouaiv b Assoziaiv c Disribuiv Ipulsawor Sabiliä : h bzw. Kausaliä : Ei LI Syse heiss Kausal, l h l gdw. der Ausgabewer y ur vo de Eigagswere x zu Zeie. y y x h x h x x h h Diese Forelsalug wurde vo Ja Peers ( ersell ud ha viele Sudee durch ihr Vordiplo geholfe. De Auore wuerde ei Lik zu seier Dowloadseie hp:// sehr freue!
2 Sigaldarsellug.b Falug ud Korrelaio vo Sigale : Eergieüberragug : E x Eergiekorrelaiosfukio : x x Auokf. : ; Kreuzkf. : x x Leisugskorrelaiosfukio ur periodische Sigale : x x ud x x Pegel : L db lg Ix I Ix I db lg Ix I db ud L p Ix I l Ix I Ix I p Orhogoale Fukio : K, bei K orhooral.
3 Sigaldarsellug.b 3 Zeidiskree Fourierreihe+FR/ Fukiosbeschreibug : Periodische : x x Zeigerdarsellug : x Ix I e j Phasewikel : a I x Re x Fourierreihe : x k c k e jk,, c k x e jk d Reelle Fourierreihe c k a k jb k x a k a k cos k für k, c k a : b k si k i a k x, a k x cos k ud b k x si k ilere Sigalleisug : I x I k Ic k I Ic I k Ic k I, li I x I cos. Abweichfehler : Zeiverschiebug x c k e jk,, I k Phaseverschiebug x x I d Periodische Falug : y x x, bei c k ud c k FR Koeff. vo x, x ud y ha da die FR Koeffiziee c yk c k c k Zeikoiuierliche Fourierrasforaio+F/ Syhese : x e j d, Aalyse : x e j d Zeigerdarsellug : I I e j E I I I x I Kovergier ich für peridische Sysee E x x Zusaehag vo FR ud F : c k k Eigeschafe eier zeikoiuerliche F : Syerie : x
4 Sigaldarsellug.b 4 Lieriä : ax ax a a Zeiverschiebug : x e j Frequezverschiebug : e j x aßsabsäderug : x a IaI a Differeaio : Iegraio : x d d x j ; x j d d d j ; j x x d Falug : x x odulaio : x x ; Frequezverschiebug x cos Korrelaio : x x Wieer Khichie heore : Fourier rasforiere der Eergie Auokorrelaiosfukio is das d E Eergiedichespekru : E d Fourier rasforiere der Leisugs Auokorrelaiosfukio is das d P Leisugsdichespekru : P d Apliudeodulaio : y x x y Allgeei : y x y... Ipulsüberragug : Ipulsawor : h y x Uwadlug : y x h Y H Frequezgag : H Y, exisier ur, das we Syse sabil is Ih I Lieare DGLs :
5 Sigaldarsellug.b 5 a d d y b d d x Y a j b j Soi : H b j a j Klassifikaio :. Ordug :, ;. Ordug :, ;.Ordug : Zusaesezug Zeidiskree Fourier rasforaio+zdf/ Syhese : x e j d, Aalyse : x e j Sabiliä : I I x Sigaleergie : E Ix I I I d, x y Y d Bode Diagrae : Y H IY I IH II I aalog f. Phasewikel Eigeschafe eier zeikoiuerliche F : Syerie : x ZDF Lieriä : ax ax ZDF a a ZDF Zeiverschiebug : x e j Frequezverschiebug : e j x ZDF aßsabsäderug : x a ZDF a bei od a E xy Differez : x x ZDF e j Superposiio : x ZDF e j Differeaio : k x ZDF d k j k d k r Falug : x x x x ZDF odulaio : x x ZDF Korrelaio : x x ZDF Zeidiskree Ipulsüberragug : ' ' d '
6 Sigaldarsellug.b 6 Ipulsawor : y x h Uwadlug : y x h ZDF Y H Y Frequezgag : H, exisier ur, das we Syse sabil is Lieare Differezegleichuge : Soi : H a y a e j b e j Ih I b x Y a e j b e j Klassifikaio :. Ordug : ;. Ordug : ;.Ordug : Zusaesezug Sigalabasug ud Rückgewiug Ipulsodulaor : s S i S yques Frequez Abasheore : S g S S r r S S, S S r r S Abasbedigug i Frequezbereich : p g Durchführug i Zeifeserug : x x p w, i w p für II sos p
7 Sigaldarsellug.b 7 Laplace rasforaio+l/ Syhese : x Uilaeral : x j j j j j j s e s ds s, Aalyse : s x e s x s e s ds, s x e s Bei der DGL a d d y b d d x Y a s b s Soi : H Eigeschafe der L : b s a s Lieriä : ax ax a s a s, R R R Zeiverschiebug : x e s s, R R Frequezverschiebug : e s x s s, R R Re s aßsabsäderug : x a IaI s a, R R a Differeaio : Iegraio : d d x s s ; x x d s s, R R Re s d d s, R R Falug : x x s s, R R R Ipulsüberragug : y x h Y s s H s z rasforaio Laure Reihe : f z a z z i a j f z z z ds Syhese : x j z z dz Z z Aalyse : z x z Z x Hireichede Kovergezbedigug : Kovergezbereich : Ix r I Scheibe R IzI R, bei Kovergez is der Eiheiskreis i Kovergezbereich, fall x edlich, Kovergezbereich z Ebee evl. ohe IzI, IzI. Kovergezbereich ier zusaehäged. Uilaeral : x j z z dz, z Eigeschafe eier zeidiskree Z : x z
8 Sigaldarsellug.b 8 Lieriä : ax bx Z a z b z, R R R Verschiebug : x Z z z, R R \ z, z evl z Verschiebug : z x Z z z, R Iz I R e j x Z e j z, R R Differeaio ach z : x Z z d dz z, R R \ z, z evl Falug : x x Z z z, R R R odulaio : x x Z z d, R R R Superposiio : x Z z z, R R IzI Syerie : x Z z, R R x Z z, R R x Parsevallsches heore : Re x Z I x Z z z, R R x j z z, R R x Afagswer :. x. li z E Y z z x x j z, R R dz E x j dz
9 Sigaldarsellug.b 9 Diskree Fourier Reihe +DFR/ Vorbedigug : Periodiziä x x. Syhese : x k e j k k k k W k Aalyse : k x e j k x W k i W e j Parsevallsches heore : Ix I Periodische Ipulsfolge : Eigeschafe eier DFR : x r k r I k I e j k k Lieriä : ax bx DFR a k b k Verschiebug : x DFR e j k k W k k Periodische Falug : e j x W x DFR k x x DFR k k für,,... sos Period. odulaio : x x DFR k k Syerie : x DFR k x DFR k Zusaehag DFR ud ZDF : Bei x gil : k k k x Falls x reell : k k I k I I k I für bei periodiziä sos
10 Sigaldarsellug.b Diskree Fourier rasforaio +DF/ Defiiio DF : DFR i x k x k Vekordarsellug : W x für bei periodiziä sos für k bei periodiziä sos Sigalvekor rasforaiosarix Sigalvekor Parsevallsches heore : E Ix I Eigeschafe eier DFR : k I k I Lieriä : ax bx DF a k b k Zirk.Verschiebug : x od DF e j k k W k k Zirkuläre Falug : e j Zirkuläre odulaio : x x DF x W x DF od x x od DF k k Syerie : x DF k od k k od x od DF k Falls x reell : k k od I k I I k od I Sochasische Sigale Wahrscheilichkeisdiche : p x Wahrscheilichkeisvereilug : P x Schaariel : dp x dx, x p ielwer über de vollsädige Saz der Repräseae des Prozesses zu eie fese Zeipuk. Zeiiel : ielwer über die Zei a eie Repräseae des Prozesses. Ergodische Prozesse : Schaariel Zeiiel Für ergodische Prozesse : Schaariel : x x p x x, x k x k p x x
11 Sigaldarsellug.b Zeiiel : x li x d, x k li Zerale oee : Ix x I k bzw. Ix x I k x k Dispersio x : Zerales oe zweier Ordug k. Kreuzkorrelaiosfukio : xy x y li x y d x y p x, y dx dy xy x y li Auokorrelaiosfukio : x y d xy x x bzw. xy x y Isbesodere : xy li Kreuzkovariazfukio : x d x aalog für diskrees. xy x x y y xy x y k l x k y l p kl d aalog i diskree Fall Auokovariazfukio : xx x x x x x xx aalog i diskree Fall xx x x xx x x Bei sochasische Sigale, dere ielwer ull is, sid Kovariaz ud Korrelaiosfukioe ideisch. Kreuz Leisugsdichespekre : xy xy e j H xx xy k xx e j H xx yy IH I xx yy IH I xx
8. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen
8. Übugsblatt Aufgabe mit Lösuge Aufgabe 36: Bestimme Sie alle z C, für die die folgede Potezreihe kovergiere: z z a, b! +, c z +. = = Lösug 36: Wir bezeiche de Kovergezradius mit r. a Wir wede das Quotietekriterium
Allgemeine Lösungen der n-dimensionalen Laplace-Gleichung und ihre komplexe Variable
Allgemeie Lösuge der -dimesioale Laplace-Gleichug ud ihre komplexe Variable Dr. rer. at. Kuag-lai Chao Göttige, de 4. Jauar 01 Abstract Geeral solutios of the -dimesioal Laplace equatio ad its complex
Rapid Control Prototyping
Rapid orol Prooypig Alexader Kuzieov THM Üerich Modellildug dyaicher Syee Ideifiaio dyaicher Syee Modellaierer Ewurf vo Regelreie Modellaiere Te Echzeifähige Ipleeierug Rapid orol Prooypig: Ziele Aufelle
Aufgaben zur Analysis I
Aufgabe zur Aalysis I Es werde folgede Theme behadelt:. Logik, Iduktio, Mege, Abbilduge 2. Supremum, Ifimum 3. Folge, Fuktioefolge 4. Reihe, Potezreihe 5. Mootoie ud Stetigkeit 6. Differetialrechug 7.
6. Übung - Differenzengleichungen
6. Übug - Differezegleichuge Beispiel 00 Gesucht sid alle Lösuge vo a) x + 3x + = 0 ud b) x + x + 7 = 0, jeweils für 0. Um diese lieare Differezegleichug erster Ordug zu löse, verwede wir die im Buch auf
5 Folgen. 5.1 Konvergenz von Folgen. Definition: Zu jedem 0 existiert ein N so, daß. Eine Folge, die gegen 0 konvergiert, heißt
Prof. Dr. Berd Dreseler 5 Folge 5.1 Kovergez vo Folge Defiitio: Eie Folge a heißt koverge t, we es eie Zahl a mit folgeder Eigeschaft gibt: Zu jedem 0 existiert ei N so, daß a a für alle > N Die Zahl a
Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie Sommersemester 2012. Musterlösung zu Blatt 11. c n (z a) n,
f : a P UNIVERSIÄ DES SAARLANDES FACHRICHUNG 6. MAHEMAIK Prof. Dr. Rolad Speicher M.Sc. obias Mai Übuge zur Vorlesug Fuktioetheorie Sommersemester 202 Musterlösug zu Blatt Aufgabe. Zeige Sie durch Abwadlug
Lösungsvorschlag zur Klausur zur Analysis III
Prof. Dr. H. Garcke, D. Deper WS 9/ NWF I - Mathematik 8..9 Uiversität Regesburg Lösugsvorschlag zur Klausur zur Aalysis III 6 Pukte pro Aufgabe) Aufgabe i) Bestimme Sie für die Fuktioefolge f :, 4) R,
Ableitungen. Manfred Hörz. ..., f (x n. ,..., x i. ,..., x n ) +Δ x,..., x n
Ableituge Mafred Hörz. Partielle Ableitug Hat eie Fuktio mer als eie Variable ud leitet ma pro Variable ab, idem ma die adere als kostat betractet, so sprict ma vo partielle Ableituge. Alle Ableituge zusamme
Kleingruppen zur Service-Veranstaltung Mathematik I fu r Ingenieure bei Prof. Dr. G. Herbort im WS12/13 Dipl.-Math. T. Pawlaschyk,
Musterlo suge zu Blatt 0 Kleigruppe zur Service-Verastaltug Mathematik I fu r Igeieure bei Prof. Dr. G. Herbort im WS/3 Dipl.-Math. T. Pawlaschyk, 9.. Theme: Kovergez vo Folge Aufgabe P (i) Sei a : k kk.
Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 1
Techische Uiversität Müche Zetrum Mathematik Mathematik (Elektrotechik) Prof. Dr. Ausch Taraz Dr. Michael Ritter Übugsblatt Hausaufgabe Aufgabe. Bestimme Sie de Kovergezbereich M der folgede Reihe für
Gaußsches Integral und Stirling-Formel
Gaußsches Itegral ud Stirlig-Formel Lemma. Gaußsches Itegral Es gilt für alle a > : e ax dx π a Beweis: Wir reche: e dx ax e ax dx e ay dy e ax e ay dx dy mit dem Satz vo Fubii e ax +y dx dy. Nu verwede
Diesen Grenzwert nennt man partielle Ableitung von f nach x i und
Bevor wir zum ächste Kapitel übergehe, werde wir de Begri eier Fuktio i mehrere Variable eiführe. Eie Fuktio vo Variable ist eie Vorschrift, die jedem Pukt (x 1,x,...,x ) eier Teilmege D des IR eie bestimmte
2. Zeitdiskrete Signale
Uiversity of Applied Sciece 2. Zeitdiskrete Sigale Defiitioe Elemetarsigale Impuls-Folge δ(): (Dirac-Folge, Delta-Folge, Eiheitsimpuls) δ ( ) : : MATLAB-Erzeugug: 5; ; (-:)'; d[zeros(++,)]; d(+); Prof.
n gerade 0 n ungerade (c) x n = a 1 n, a R + (d) x 1 := 2, x n+1 = 2 + x n (e) x n = (f) x n = exp(exp(n)) (g) x n = sin(n)
Übugsaufgabe Aalysis I Aufgabe. Beweise oder widerlege Sie: a Jede i R kovergete Folge ist beschräkt. b Es gibt Cauchy-Folge im R, die icht kovergiere. c Beschräkte Folge sid koverget. d Folge mit eiem
Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Physik
Karlsruher Istitut für Techologie Istitut für Aalysis Dr. Christoph Schmoeger Dipl.-Math. Sebastia Schwarz SS 5 7.9.5 Höhere Mathematik I für die Fachrichtug Physik Lösugsvorschläge zur Bachelor-Modulprüfug
4. Vektorräume mit Skalarprodukt
4. Vektorräume mit Skalarprodukt Wiederholug: V=R x, y R: x= x x i x, y= y y, :R R R Skalarprodukt Stadardskalarprodukt lieare Abbildug mit 2 Argumete 4. Eigeschafte vo Skalarprodukte Def.: Es sei V ei
= T. 1.1. Jährliche Ratentilgung. 1.1. Jährliche Ratentilgung. Ausgangspunkt: Beispiel:
E Tilgugsrechug.. Jährliche Raeilgug Ausgagspuk: Bei Raeilgug wird die chuldsumme (Newer des Kredis [Aleihe, Hypohek, Darleh]) i gleiche Teilberäge T geilg. Die Tilgugsrae läss sich ermiel als: T =.. Jährliche
4. Reihen Definitionen
4. Reihe 4.1. Defiitioe Addiere wir die Glieder eier reelle Zahlefolge (a k ), so heißt diese Summe S (uedliche) (Zahle-) Reihe S (Folge: Fuktio über N; Reihe: 1 Zahl): S := a 1 + a 2 + a 3 +... := Σ a
Lineare Transformationen
STAT 4 FK Herleituge Lieare Trasformatioe Sei eie lieare Trasformatio vo, so gilt Allgemei: a b, () Lieare Trasformatio des arithmetische Mittels y a+b x i () Da a eie additiv verküpfte Kostate ist, ka
Investitionsund Finanzierungsplanung mittels Kapitalwertmethode, Interner Zinsfuß
Ivesiiosud Fiazierugsplaug miels Kapialwermehode, Ierer Zisfuß Bearbeie vo Fraka Frid, Chrisi Klegel WI. Aufgabe: Eie geplae Ivesiio mi Aschaffugsausgabe vo.,- läss jeweils zum Jahresede die folgede Eiahme
sfg Quadratwurzeln a ist diejenige nichtnegative Zahl (a 0), die quadriert a ergibt: Die Zahl a unter der Wurzel heißt Radikand:
M 9.1 Quadratwurzel a ist diejeige ichtegative Zahl (a 0), die quadriert a ergibt: a 2 = a Die Zahl a uter der Wurzel heißt Radikad: a Quadratwurzel sid ur für ichtegative Zahle defiiert: a 0 25 = 5; 81
Formelsammlung für Investition und Finanzierung
Formelsammlug für Ivesiio ud Fiazierug (Sad: 3.2.22) Seie vo 8 Formelsammlug für Ivesiio ud Fiazierug INHALSVERZEICHNIS. Mahemaische Grudlage...3 a) Auflösug quadraischer Gleichuge mi der pq-formel...3
D-MATH Topologie FS 15 Theo Bühler. Musterlösung 2
D-MATH Topologie FS 15 Theo Bühler Musterlösug 2 1. a) Per Defiitio ist A = {x : x berührt A}. I der Vorlesug wurde die Formel (X A) = ( A ) c gezeigt, also A = ( X A ) c. Daher ist A = A A = A (A ) c
Komplexe Zahlen. Lernziele dieses Abschnitts sind:
KAPITEL 1 Komplexe Zahle Lerziele dieses Abschitts sid: (1) Aalytische ud geometrische Darstellug komplexer Zahle, () Grudrechearte fur komplexe Zahle, (3) Kojugatio ud Betrag komplexer Zahle, (4) Losug
Index. Majorante, 24 Minorante, 23. Partialsumme, 17
Folge, Reihe Idex Kovergezkriterie Hauptkriterium, Leibiz-Kriterium, Majoratekriterium, 4 Mioratekriterium, otwediges Kriterium, 0 Quotietekriterium, teleskopierede Summe, Wurzelkriterium, Majorate, 4
1 Funktionen und Flächen
Fuktioe ud Fläche. Fläche Defiitio: Die Ebee R ist defiiert als Mege aller geordete Paare vo reelle Zahle: R = {(,, R} Der erste Eitrag heißt da auch Koordiate ud der zweite Koordiate. Für zwei Pukte (,,
2 Konvergenz von Folgen
Kovergez vo Folge. Eifache Eigeschafte Defiitio.. Eie Abbildug A : N C heißt Folge. Ma schreibt a statt A) für N ud a ) oder a ) statt A. We a R N, so heißt a ) reelle Folge. Defiitio.. Seie a ) eie Folge
Zusammenfassung: Folgen und Konvergenz
LGÖ Ks VMa Schuljahr 6/7 Zusammefassug Folge ud Kovergez Ihaltsverzeichis Defiitioe ud Beispiele für Folge Beschräkte Folge Kovergez vo Folge Grezwertsätze für Folge 5 Für Experte 7 Defiitioe ud Beispiele
Optische Systeme (4. Vorlesung)
4.1 Optische Systeme (4. Vorlesug) Uli Lemmer 06.11.2006 Uiversität Karlsruhe (TH) Ihalte der Vorlesug 4.2 1. Grudlage der Welleoptik 1.1 Die Helmholtz-Gleichug 1.2 Lösuge der Helmholtz-Gleichug: Ebee
Seminarausarbeitung: Gegenbeispiele in der Wahrscheinlichkeitstheorie. Unterschiedliche Konvergenzarten von Folgen von Zufallsvariablen
Semiarausarbeitug: Gegebeispiele i der Wahrscheilichkeitstheorie - Uterschiedliche Kovergezarte vo Folge vo Zufallsvariable Volker Michael Eberle 4. März 203 Eileitug Die vorliegede Arbeit thematisiert
so spricht man von einer kommutativen Gruppe oder auch abelschen Gruppe.
Defiitioe ud Aussage zu ruppe Michael ortma Eie ruppe ist ei geordetes Paar (, ). Dabei ist eie icht-leere Mege, ist eie Verküpfug (Abbildug), wobei ma i.a. a b oder gar ur ab statt ( a, b) schreibt. Es
4. Der Weierstraßsche Approximationssatz
H.J. Oberle Approximatio WS 213/14 4. Der Weierstraßsche Approximatiossatz Wir gebe i diesem Abschitt eie ostrutive Beweis des Weierstraßsche Approximatiossatzes, der mit de so geate Berstei-Polyome (Felix
44. Lektion: Stehende Wellen
44. Lektio: Stehede Welle H. Zabel 38. Lektio: Schwiguge 1 15.Schwiguge Lerziel Stehede Welle etstehe aus der Überlagerug vo laufede Welle a feste oder lose Ede. Die Superpositio vo eilaufeder ud reflektierter
KAPITEL 7. Zahlenfolgen. 7.1 Konvergente Zahlenfolgen Grenzwertbestimmung Grenzwertbestimmung durch Abschätzung...
KAPITEL 7 Zahlefolge 7. Kovergete Zahlefolge.............................. 30 7.2 Grezwertbestimmug............................... 32 7.3 Grezwertbestimmug durch Abschätzug..................... 35 7.4
Konvexität und Ungleichungen
Koveität ud Ugleichuge Tag der Mathematik 2003 Holger Stepha Weierstraß Istitut für Agewadte Aalysis ud Stochastik http://www.wias-berli.de/people/stepha = Für mathematisch iteressierte Schüler = Folie
2. Diophantische Gleichungen
2. Diophatische Gleichuge [Teschl05, S. 91f] 2.1. Was ist eie diophatische Gleichug ud wozu braucht ma sie? Def D2-1: Eie diophatische Gleichug ist eie Polyomfuktio i x,y,z,, bei der als Lösuge ur gaze
1 Elementare Zahlentheorie. 0. Grundbegriffe
Elemeare Zahleheorie 0 Grudbegriffe Mi Z bezeiche wir de Rig der gaze Zahle Is x eie reelle Zahl, so sei x die größe gaze Zahl, die kleier oder gleich x is Beache: x is diejeige gaze Zahl z mi z x < z
4 Andreas Gathmann. x 2 +y 2 x 2 +y 2 x 2 +y 2
4 Adreas Gathma 1. Komplexe Zahle Bevor wir mit der komplexe Aalysis begie, wolle wir uächst die grudlegede Defiitioe ud Eigeschafte der komplexe Zahle och eimal kur wiederhole. Defiitio 1.1. Die Mege
LGÖ Ks VMa 12 Schuljahr 2017/2018
LGÖ Ks VMa Schuljahr 7/8 Zusammefassug: Gleichuge ud Ugleichuge Ihaltsverzeichis Polyomgleichuge ud -ugleichuge Bruch-, Wurzel- ud Betragsgleichuge ud ugleichuge 6 Für Experte 8 Polyomgleichuge ud -ugleichuge
6 Folgen. 6.4 Folgen reeller Zahlen. Mathematik für Informatiker B, SS 2012 Dienstag 5.6. $Id: folgen.tex,v /06/05 11:12:18 hk Exp $
Mathematik für Iformatiker B, SS 0 Diestag 5.6 $Id: folge.tex,v. 0/06/05 ::8 hk Exp $ 6 Folge 6.4 Folge reeller Zahle I der letzte Sitzug habe wir de Begriff des Grezwerts eier Folge i eiem metrische Raum
4.1 Dezimalzahlen und Intervallschachtelungen. a) Reelle Zahlen werden meist als Dezimalzahlen dargestellt, etwa
20 I. Zahle, Kovergez ud Stetigkeit 4 Kovergete Folge 4. Dezimalzahle ud Itervallschachteluge. a) Reelle Zahle werde meist als Dezimalzahle dargestellt, etwa 7,304 = 0+7 +3 0 +0 00 +4 000. Edliche Dezimalzahle
5.7. Aufgaben zu Folgen
5.7. Aufgabe zu Folge Aufgabe : Lieares ud beschräktes Wachstum Aus eiem Quadrat mit der Seiteläge dm gehe auf die rechts agedeutete Weise eue Figure hervor. Die im -te Schritt agefügte Quadrate sid jeweils
KAPITEL 2. Zahlenfolgen
KAPITEL Zahlefolge. Kovergete Zahlefolge...................... 35. Grezwertbestimmug....................... 38.3 Grezwertbestimmug durch Abschätzug............. 4.4 Mootoe Folge..........................
Klassische Theoretische Physik I WS 2013/2014
Karlsruher Istitut für Techologie www.tkm.kit.edu/lehre/ Klassische Theoretische Physik I WS 3/4 Prof. Dr. J. Schmalia Blatt 7 Dr. P. P. Orth Abgabe ud Besprechug 3..3. Tayloretwicklug I 5 + 5 + 5 + 5
Ziel: Erhöhung der Grenzfrequenz, erreicht mit PIN-, Lawinen-, Metall-Halbleiter- und Heterodioden
PIN-Photodiode Ziel: Erhöhug der Grezfrequez, erreicht mit PIN-, Lawie-, Metall-Halbleiter- ud Heterodiode PIN-Photodiode: breite eigeleitede Mittelschicht (I) zwische - ud -Teil, Hautsaugsabfall über
8. Die Exponentialfunktion und die trigonometrischen Funktionen
8. Die Expoetialfuktio ud die trigoometrische Fuktioe 8.1 Defiitio der Expoetialfuktio Fudametallemma: Für jede Folge w mit dem Grezwert w gilt: lim 1 w k 0 k w. k! Defiitio der Expoetialfuktio : k 2 3
Übungen mit dem Applet Fourier-Reihen
Fourier-Reihe 1 Übuge mit dem Applet Fourier-Reihe 1 Mathematischer Hitergrud... Übuge mit dem Applet... 3.1 Eifluss der Azahl ud der Sprugstelle...3. Eifluss vo y-verschiebug ud Amplitude...4.3 Eifluss
$Id: reihen.tex,v /06/14 13:59:06 hk Exp $
Mathematik für Iformatiker B, SS 202 Doerstag 4.6 $Id: reihe.tex,v.9 202/06/4 3:59:06 hk Exp $ 7 Reihe 7.4 Kovergezkriterie für Reihe 7.4. Alterierede Reihe Wir hatte gesehe das die harmoische Reihe divergiert,
Grenzwerte von Folgen. 1-E Ma 1 Lubov Vassilevskaya
Grezwerte vo Folge -E Ma Lubov Vassilevskaya Berechug vo Grezwerte: Aufgabe Die Berechug vo Grezwerte ka oft ziemlich umstädlich sei. Die etwickelte Regel vereifache oft solche Berechuge. Diese Regel beruhe
Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems. y (x) 4y (x) 5y(x) = 6e x. y(0) = y (0) = 0.
Aufgabe Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems y (x) 4y (x) 5y(x) = 6e x y(0) = y (0) = 0. Zunächst bestimmen wir die Lösung der homogenen DGL. Das charakteristische Polynom der DGL ist λ 2 4λ
KAPITEL 11. Ungleichungen. g(x) g(x 0 ) + K 0 (x x 0 ).
KAPITEL 11 Ugleichuge 111 Jese-Ugleichug Defiitio 1111 Eie Fuktio g : R R heißt kovex, we ma für jedes x R ei K = K (x ) R fide ka, so dass für alle x R gilt: g(x) g(x ) + K (x x ) Bemerkug 111 Eie Fuktio
6. Die Gamma-Funktion
6.. Die Gamma-Futio ist für C mit Re > 0 defiiert durch Γ( := 0 t e t dt (Euler-Itegral. Bemerug. Es ist t e t = t x e t mit x = Re. Beatlich overgiert 0 t x e t dt für x > 0 (das ist die reelle Gamma-Futio.
Lösungen zur Klausur Maß- und Integrationstheorie WS 2012/13
Lösuge zur Klausur 45 Maß- ud Itegratiostheorie S 22/3 Lösug zu Aufgabe I der Aufgabestellug ist kei Tippfehler. Es steht dort fx, y, x dλ 3 x, y, z. z fx, y, x ist kostat i z. Falls jemad fx, y, z dλ
Kapitel XI - Korrelationsrechnung
Istitut für Volkswirtschaftslehre (ECON) Lehrstuhl für Ökoometrie ud Statistik Kapitel XI - Korrelatiosrechug Deskriptive Statistik Prof. Dr. W.-D. Heller Hartwig Seska Carlo Siebeschuh Aufgabe der Korrelatiosrechug
Geckos gehören zur Familie der Schuppenkriechtiere. Sie bevölkern seit etwa 50 Millionen Jahren die Erde und haben sich im Laufe ihrer Entwicklung
Gymasie, Gesamschule, Berufliche Gymasie Behörde für Schule ud Berufsbildug Haupermi Lehrermaerialie zum Leisugskurs Mahemaik II.2 Geckos LA/AG 2 Geckos gehöre zur Familie der Schuppekriechiere. Sie bevölker
Zahlenfolgen und Konvergenzkriterien
www.mathematik-etz.de Copyright, Page of 7 Zahlefolge ud Kovergezkriterie Defiitio: (Zahle-Folge, Grezwert) Eie Folge ist eie Abbildug der atürliche Zahle i die Mege A. Es ist also im Fall A: ; f: mit
Höhere Mathematik I für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie Lösungsvorschläge zum 12. Übungsblatt
UNIVERSITÄT KARLSRUHE Istitut für Aalysis HDoz. Dr. P. C. Kustma Dipl.-Math. M. Uhl WS 8/9 Höhere Mathematik I für die Fachrichtuge Elektroigeieurwese, Physik ud Geodäsie Lösugsvorschläge zum. Übugsblatt
Physikalische Analyse der Dimensionierungsgrundlagen zur Entwicklung einer Methode zur Konzipierung und Optimierung eines Elektromobils
Physikalische Aalyse der Dimesioierugsgrudlage zur Ewicklug eier ehode zur Kozipierug ud Opimierug eies Elekromobils Auore: K. Brikma, W. Köhler Lehrgebie Elekrische Eergieechik Feihsraße 140, Philipp-eis-Gebäude,
Institut für Stochastik Prof. Dr. N. Bäuerle Dipl.-Math. S. Urban
Istitut für tochastik Prof. Dr. N. Bäuerle Dipl.-Math.. Urba Lösugsvorschlag 9. Übugsblatt zur Vorlesug Fiazmathematik I Aufgabe Ei euartiges Derivat) Wir sid i eiem edliche, arbitragefreie Fiazmarkt,
Analysis II für Studierende der Ingenieurwissenschaften
Fchbereich Mthemtik der Uiversität Hmburg SoSe 2015 Dr. K. Rothe Alysis II für Studierede der Igeieurwisseschfte Hörslübug mit Beispielufgbe zu Bltt 3 Recheregel für Potezreihe Stz: Die Potezreihe g(z
118 7 Potenzreihen. eine Folge von (reellen) Funktionen mit Definitionsgebieten D(f j), j N, und. = M D(f j ) R. j=1
8 7 Potezreihe 7 Potezreihe 7. Fuktioefolge ud -reihe Puktweise ud gleichmäßige Kovergez vo Fuktioefolge Sei f j ) j= eie Folge vo reelle) Fuktioe mit Defiitiosgebiete Df j), j N, ud = Df j ) R. j= D bilde
Aufgaben und Lösungen der Probeklausur zur Analysis I
Fachbereich Mathematik AG 5: Fuktioalaalysis Prof. Dr. K.-H. Neeb Dipl.-Math. Rafael Dahme Dipl.-Math. Stefa Wager ATECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT SS 007 19. Jui 007 Aufgabe ud Lösuge der Probeklausur
Reelle Folgen. Definition. Eine reelle Folge ist eine Abbildung f : N R. liefert ( 7 9, 37
Reelle Folge Der Begriff der Folge ist ei grudlegeder Baustei der Aalysis, weil damit u.a. Grezprozesse defiiert werde köe. Er beschreibt de Sachverhalt eier Abfolge vo Elemete, wobei die Reihefolge bzw.
Werkstoffe der Elektrotechnik, WS 2011 / 2012 Lösungen zur Übung 2
Werstoffe der letrotechi WS 11 / 1 Lösuge ur Übug Aufgbe 1: Wdh. De roglie-welleläge: ewegt sich ei Objet it icht verschwideder Ruhesse it de Ipuls p = v d ih eie Mteriewelle der Welleläge ugeordet werde:
2 Vollständige Induktion
8 I. Zahle, Kovergez ud Stetigkeit Vollstädige Iduktio Aufgabe: 1. Bereche Sie 1+3, 1+3+5 ud 1+3+5+7, leite Sie eie allgemeie Formel für 1+3+ +( 3)+( 1) her ud versuche Sie, diese zu beweise.. Eizu5% ZiseproJahragelegtes
1.3 Funktionen. Seien M und N Mengen. f : M N x M : 1 y N : y = f(x) nennt man Funktion oder Abbildung. Beachte: Zuordnung ist eindeutig.
1.3 Fuktioe Seie M ud N Mege f : M N x M : 1 y N : y fx et ma Fuktio oder Abbildug. Beachte: Zuordug ist eideutig. Bezeichuge: M : Defiitiosbereich N : Bildbereich Zielmege vo f Der Graph eier Fuktio:
Formelsammlung Mathematik - Integralrechnung Seite 1 Stand: 26. März 1999
& + Forelsalug Matheatik - Itegralrechug Seite Stad: 6. Mär 999 Gruditegrale () d () si d cos (5) () (3) (4) d (9) cos d () ür (5) e c (6) a (7) cos d l d c ec a d la () () si (3) cosh d ta (6) d cot (7)
Kapitel 6: Quadratisches Wachstum
Kapitel 6: Quadratisches Wachstum Dr. Dakwart Vogel Ui Esse WS 009/10 1 Drei Beispiele Beispiel 1 Bremsweg eies PKW Bremsweg Auto.xls Ui Esse WS 009/10 Für user Modell des Bremsweges gilt a = a + d a =
Technische Universität München Ferienkurs Analysis 1 Hannah Schamoni Folgen, Reihen, Potenzreihen, Exponentialfunktion. Musterlösung
Feriekurs Seite Techische Uiversität Müche Feriekurs Aalysis Haah Schamoi Folge, Reihe, Potezreihe, Expoetialfuktio Musterlösug 0.0.0. Folge I Utersuche Sie die Folge a N auf Kovergez bzw. Divergez ud
Vorkurs Mathematik für Informatiker Folgen
Vorkurs Mathematik ür Iormatiker -- 8 Folge -- 11.10.2015 1 Folge: Deiitio Eie (uedliche) Folge im herkömmliche Sie etsteht durch Hitereiaderschreibe vo Zahle 1,2,3,4,5, Dabei ist die Reiheolge wichtig,
Übung 8: Transformationen
ZHAW, DSV, 008, Rumc, 1/7 Übug 8: Trasformatioe Aufgabe 1: (Wavelet) Basisfuktioe. Betrachte Sie die folgede 4 Basisfuktioe f m [], m = 1,...,4, sowie das Zeitsigal x[] = [9 7 3 5]. f 0 [] f 1 [] 0.5 0.5-0.5
Zahlenfolgen, Grenzwerte und Zahlenreihen
KAPITEL 5 Zahlefolge, Grezwerte ud Zahlereihe. Folge Defiitio 5.. Uter eier Folge reeller Zahle (oder eier reelle Zahlefolge) versteht ma eie auf N 0 erlarte reellwertige Futio, die jedem N 0 ei a R zuordet:
1 Aussagenlogik und vollständige Induktion
Dr. Siegfried Echterhoff Aalysis 1 Vorlesug WS 08 09 1 Aussagelogi ud vollstädige Idutio Die Mathemati basiert auf eier Reihe vo Axiome, d.h. auf mathematische Aussage, die als (offesichtlich? wahr ageomme
Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik
Karlsruher Istitut für Techologie Istitut für Aalysis Dr. Christoph Schmoeger Michael Hott, M. Sc. WS 05/06 04..05 Höhere Mathematik für die Fachrichtug Physik Lösugsvorschläge zum 6. Übugsblatt Aufgabe
Langrange-Multiplikators und Hinreichende Bedingungen
Albert Ludwigs Uiversität Freiburg Abteilug Empirische Forschug ud Ökoometrie Mathematik für Wirtschaftswisseschaftler Dr. Sevtap Kestel Witer 008 10. November 008 14.-4 Lagrage-Multiplikators ud Hireichede
Konvergenz von Fourier-Reihen
Kovergez vo Fourier-Reihe Ausarbeitug zum Semiar zur Fourieraalysis, 3..27 obias Reimes Diese Ausarbeitug beschäftigt sich mit der Kovergez vo Fourier-Reihe. Hierzu werde im erste Abschitt eiige Vorbemerkuge
R09 - Wellenberechnung
ITZ-ÜCHTIG-ITITUT Ü ACHIEWEE DE TECHICHE UIVEITÄT CLAUTHAL Professor Dr.-Ig. Peer Diez 6.0.004 e 09 - Welleerechug Aufgae : ür eie Gerieewelle 75 ( 44) soll ei esigkeisachweis ach K ichliie errach werde.
6. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen + Selbsttest-Auflösung
6. Übugsblatt Aufgabe mit Lösuge + Selbsttest-Auflösug Aufgabe 6: Utersuche Sie die Folge, dere Glieder ute für N agegebe sid, auf Beschräktheit, Mootoie ud Kovergez bzw. Beschräktheit, Mootoie ud Kovergez
Analysis I. 5. Übungsstunde. Steven Battilana. battilana.uk/teaching
Aalysis I 5. Übugsstude Steve Battilaa steveb@studet.ethz.ch battilaa.uk/teachig March 9, 07 Erierug Satz. Quotietekriterium (bei!,,...) Das Quotietekriterium zeigt absolute Kovergez. lim a +
Michael Buhlmann Mathematik > Analysis > Newtonverfahren
Michael Buhlma Mathematik > Aalysis > Newtoverfahre Eie Abbildug {a }: N -> R, die jeder atürliche Zahl eie reelle Zahl a zuordet, heißt (uedliche (Zahle- Folge: -> a oder {a } εn, a das -te Folgeglied.
Realitätsbezogener Mechanikunterricht durch Beiträge der Strömungsphysik
Regioale Forbildug für Schule i Niedersachse i DLR_School_Lab Göige 4. Augus 00 Realiäsbezogeer Mechaikuerrich durch Beiräge der Sröugsphysik Beobachug, Aalyse ud Beschreibug o reale Fallbeweguge Refere:
1.1 Berechnung des Endwerts einer Einmalanlage bei linearer ganzjähriger Verzinsung nach n Verzinsungsjahren
Forelsalug zur Fiazatheatik 1. Eifache Zisrechug (lieare Verzisug) 1.1 Berechug des Edwerts eier Eialalage bei liearer gazjähriger Verzisug ach Verzisugsjahre p = 1 + = ( 1+ i ) 1 1.2 Berechug des Gegewartswerts
Thema 8 Konvergenz von Funktionen-Folgen und - Reihen
Them 8 Kovergez vo Fuktioe-Folge ud - Reihe Defiitio Sei (f ) eie Folge vo Fuktioe vo D R i R. Wir sge, dß f puktweise gege eie Fuktio f kovergiert, flls gilt: f () f() für jedes D. Dies ist der türliche
Calmet Calibration. Calmet C300 Der Kalibrator für nicht sinusförmige Signalverläufe - Oberwellen Erweiterte Spezifikationen.
C300 Der Kalibrator für icht siusförmige Sigalverläufe - Oberwelle Erweiterte Spezifikatioe Calibratio Awedugsbericht Was bedeutet Leistugs-/Eergiekalibrierug bei icht siusförmige Ströme/Spauge Elektrische
Empirische Ökonomie 1 Sommersemester Formelsammlung. Statistische Grundlagen. Erwartungswert und Varianz einer Zufallsvariable.
Empirische Ökoomie 1 Sommersemester 2013 Formelsammlug Hiweis: Alle Variable, Parameter ud Symbole sid wie i de Vorlesugsuterlage defiiert. Statistische Grudlage Erwartugswert Erwartugswert ud Variaz eier
n (n + 1) = 1(1 + 1)(1 + 2) 3 Induktionsschritt: Angenommen die Gleichung gilt für n N. Dann folgt: 1 2 = 2 =
Aufgabe 1: (6 Pukte) Zeige Sie für alle N die Formel: 1 2 + 2 3 + 3 4 +... + ( + 1) = ( + 1)( + 2). 3 Lösug: Beweis durch vollstädige Iduktio. Iduktiosafag: Für = 1 gilt: 1 2 = 2 = 1(1 + 1)(1 + 2) 3 Iduktiosschritt:
Analysis I Lösungsvorschläge zum 3. Übungsblatt Abgabe: Bis Donnerstag, den , um 11:30 Uhr
Karlsruher Istitut für Techologie Istitut für Aalysis Dr. Christoph Schmoeger Dipl.-Math. Lars Machiek Dipl.-Math. Sebastia Schwarz WS 206/207 03..206 Aalysis I Lösugsvorschläge zum 3. Übugsblatt Abgabe:
2. Einführung in die Geometrische Optik
2. Eiührug i die Geometrische Optik 2. Allgemeie Prizipie 2.. Licht ud Materie Optische Ssteme werde ür de Spektralbereich zwische dem extreme Ultraviolette ( m) ud dem thermische Irarote (Q-Bad bei 2
4. Die Menge der Primzahlen. Bertrands Postulat
O. Forster: Eiführug i die Zahletheorie 4. Die Mege der Primzahle. Bertrads Postulat 4.1. Satz (Euklid. Es gibt uedlich viele Primzahle. Beweis. Wir zeige, dass es zu jeder edliche Mege p 1, p 2,..., p
Die natürlichen, ganzen und rationalen Zahlen
ie atürliche, gaze ud ratioale Zahle Ihaltsverzeichis.1 ieatürlichezahle... 11. iegazezahle... 15.3 ieratioalezahle... 15.4 Aufgabe... 17 ie Zahleege N, Z, Q ud R der atürliche, gaze, ratioale ud reelle
Übungen mit dem Applet Taylor-Entwickung von Funktionen
Taylor-Etwickug vo Fuktioe Übuge mit dem Applet Taylor-Etwickug vo Fuktioe Ziele des Applets... Mathematischer Hitergrud... 3 Vorschläge für Übuge... 3 3. Siusfuktio si(...3 3. Cosiusfuktio cos(...4 3.3
3.2) Die Spar-Armutsfalle 3.2.1) Das Grundmodell
3.2 Die Spar-Armusfalle 3.2.1 Das Grudmodell We EL eifach eie iedrigere Sparquoe wähle ud deshalb ärmer bleibe, lieg ei Ewiclugsladproblem vor. => Aber spare EL freiwillig weiger? Arme Mesche öe ers spare,
Kapitel IV: Unendliche Reihen
Igeieurmathemati I WS 13/14 - Prof. Dr.. Mafred Leitz Kapitel IV: Uedliche Reihe 11: Uedliche Zahlereihe Kapitel IV: Uedliche Reihe 11 Uedliche Zahlereihe A Zum Begriff uedliche Zahlereihe B Uedliche Reihe
Höhere Mathematik für technische Studiengänge Vorbereitungsaufgaben für die Übungen. Reihen reeller Zahlen
Höhere Mathematik für techische Studiegäge Vorereitugsaufgae für die Üuge Reihe reeller Zahle. Utersuche Sie die folgede Reihe mit Hilfe geeigeter Kovergezkriterie otwediges Kovergezkriterium, Quotiete-,
Formelsammlung. zur Klausur. Beschreibende Statistik
Formelsammlug zur Klausur Beschreibede Statistik Formelsammlug Beschreibede Statistik. Semester 004/005 Statistische Date Qualitative Date Nomial skalierte Merkmalsauspräguge (Uterscheidugsmerkmale) köe
Mathematischer Vorkurs zum Studium der Physik Übungen
Uiversität Heidelberg Mathematischer Vorkurs zum Studium der Physik Übuge Aufgabe zu Kapitel 3 (aus: K. Hefft, Mathematischer Vorkurs zum Studium der Physik, sowie Ergäzuge) Aufgabe 3.1: Graphische Darstellug
Gegebenenfalls heisst die Zahl s. der Reihe, und man schreibt
Prof. Dr. Berd Dreseler 6 Reihe 6.1 Kovergez vo Reihe Gegebe sei eie Folge s 1 1, 2 1 2 3 1 2 3... s s, s..., 1 2 1, wird der Folge eie weitere Folge omplexer Zhle. Durch s zugeordet. www.berd-dreseler.de
Resultate: Vertauschbarkeit von Grenzprozessen, Konvergenzverhalten von Potenzreihen
26 Gleichmäßige Kovergez ud Potezreihe 129 26 Gleichmäßige Kovergez ud Potezreihe Lerziele: Kozepte: Puktweise ud gleichmäßige Kovergez Resultate: Vertauschbarkeit vo Grezprozesse, Kovergezverhalte vo