Bootstrap-Methoden zur Ermittlung kritischer Werte für asymptotische FWER-Kontrolle

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Bootstrap-Methoden zur Ermittlung kritischer Werte für asymptotische FWER-Kontrolle"

Transkript

1 Bootstrap-Methoden zur Ermittlung kritischer Werte für asymptotische FWER-Kontrolle [Dudoit, van der Laan, Pollard: Multiple Testing. Part I Single-Step Procedures for Control of General Type-I-Error Rates] Mathias Trabs Mathias Trabs () Bootstrap-Methoden / 22

2 1 Wiederholung 2 Problemstellung 3 Fehlerkontrolle und Wahl der Nullverteilung 4 Umsetzung Mathias Trabs () Bootstrap-Methoden / 22

3 Wiederholung Wiederholung Sei (Ω, A, M, H) ein multiples Testproblem mit P M, M eine Familie von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf (Ω, A), und einer Hypothesenmenge H = {H i : i I = {1,..., m}}. Sei weiter ϕ = (ϕ i : i I ) ein multipler Test. Die (zufälligen) Anzahlen von wahren / falschen Testentscheidungen können wir darstellen als: Testentscheidung Hypothesen 0 1 wahr m 0 V (P) V (P) m 0 falsch m 1 S(P) S(P) m 1 m R(P) R(P) m Def.: FWER(P) = P(V (P) > 0) = P( i I 0 {ϕ i = 1}) Mathias Trabs () Bootstrap-Methoden / 22

4 Problemstellung Modell Seien X 1,...X n iid. Zufallsgrößen im R J, X i = (X ij : j = 1,..., J) P mit P M unbekannt. Für i {1,..., n} sind (X ij ) j=1,...,j unspezifiziert korreliert. Wir möchten z.b. Lokationsparameter der Form ψ(p) = (ψ i : i = 1,...m) untersuchen. Bsp.: Sei X P mit Werten in R J und Y := g(x ) : R J R m. Dann wählen wir ψ(p) = E[Y ], d.h. ψ i = E[Y i ]. Mathias Trabs () Bootstrap-Methoden / 22

5 Problemstellung Teststatistiken Wir haben Statistiken T n = (T ni : i = 1,..., m) R m als Funktionen von X 1,..., X n und bezeichnen deren wahre Verteilung mit Q n = Q n (P). Testentscheidung: H i annehmen, falls T ni c i, H i ablehnen, falls T ni > c i, mit den kritischen Werten c R m. Eine multiple Testprozedur (MTP) ist dann die (zufällige) Teilmenge R n I der abgelehnten Hypothesen. Gilt c i = c für i = 1,..., m, heißt R n Simultantest. Bsp.: Y und ψ(p) wie oben. Hypothesen: H i = {ψ i (P) = E[Y i ] ψ oi }, i = 1,..., m mit einem Nullwert ψ 0 R m. Dann wählen wir die t-statistiken: T ni = Schätzer - Nullwert Standardfehler = n ψ ni ψ 0i σ ni Mathias Trabs () Bootstrap-Methoden / 22

6 Problemstellung Typ-I-Fehlermaße Die Theorie baut auf Fehlermaßen Θ(F Vn ) [0, 1] auf, die als Funktionen von der Verteilung der Anzahl der Typ-I-Fehler V n definiert sind. Dabei ist F Vn die Verteilungsfunktion von V n auf {0,..., m}. Insbesondere betrachten wir die FWER: Θ(F Vn ) = FWER(P) = P(V n > 0) = 1 F Vn (0). Mathias Trabs () Bootstrap-Methoden / 22

7 Problemstellung Annahmen an das Fehlermaß Θ Seien F 1, F 2 zwei Verteilungsfunktionen auf {0,..., m} und d(f 1, F 2 ) := max F 1 (x) F 2 (x) deren Abstand. x I Wir machen folgende Annahmen an Θ: (AMI) Monotonie: F 1 F 2 Θ(F 1 ) Θ(F 2 ) (ACI) Stetigkeit bei (F n ): Sei (F n ) eine Folge von Verteilungsfunktionen auf {0,..., m} gegeben, dann soll für beliebige Verteilungsfunktionen (G n ) auf {0,..., m} gelten: lim d(f n, G n ) = 0 lim (Θ(G n) Θ(F n )) = 0 n n In den meisten Fällen genügt in der (ACI)-Annahme (F n ) = F, für eine Verteilungsfunktion F. Mathias Trabs () Bootstrap-Methoden / 22

8 Fehlerkontrolle und Wahl der Nullverteilung Kontrolle des Typ-I-Fehlermaßes Definition: Eine MTP R n = R(T n, Q 0, α) kontrolliert das Niveau α (0, 1) (strikt), falls Θ(F Vn ) α, (FWER(P) α). R n kontrolliert das Niveau α (0, 1) asymptotisch, falls lim sup Θ(F Vn ) α. n V n hängt von der wahren Verteilung Q n = Q n (P) der Teststatistiken T n ab, aber Q n ist i.a. unbekannt und muss durch ein Nullverteilung Q 0 geschätzt werden (um kritische Werte zu ermitteln). Mathias Trabs () Bootstrap-Methoden / 22

9 Fehlerkontrolle und Wahl der Nullverteilung Seien Teststatistiken T n mit wahrer Verteilung Q n, einer m-dimensionalen Nullverteilung Q 0 zur Berechnung kritischer Werte, sowie eine Niveau α gegeben. Für die gesamte Anzahl der abgelehnten Hypothesen R und die Anzahl der abgelehnten wahren Hypothesen V schreiben wir: R n = R(Q 0 Q n ) = R(T n, Q 0, α), T n Q n, R 0 = R(Q 0 Q 0 ) = R(T n, Q 0, α), T n Q 0, V n = V (Q 0 Q n ) = R(T n, Q 0, α) I 0, T n Q n, V 0 = V (Q 0 Q 0 ) = R(T n, Q 0, α) I 0, T n Q 0. Mathias Trabs () Bootstrap-Methoden / 22

10 Fehlerkontrolle und Wahl der Nullverteilung Road map 1 Null-Dominiertheit für das Typ-I-Fehlermaß Θ(F Vn ): Wähle eine Null-Verteilung Q 0 so, dass. Θ(F Vn ) Θ(F V0 ) [strikte Kontrolle] lim sup Θ(F Vn ) Θ(F V0 ) [asymptotische Kontrolle]. (1) n 2 Die Anzahl der Typ-I-Fehler ist nie größer als die gesamte Anzahl abgelehnter Hypothesen, damit V 0 R 0 F V0 F R0 (AMI) Θ(F V0 ) Θ(F R0 ) 3 Kontrolle des Parameters Θ(F R0 ), bzgl. der beobachtbaren Anzahl von abgelehnten Hypothesen, unter der Null-Verteilung: Θ(F R0 ) α. Mathias Trabs () Bootstrap-Methoden / 22

11 Fehlerkontrolle und Wahl der Nullverteilung Null-Dominiertheit (1) ist abhängig von Θ und gilt unter folgenden allgemeinen Null-Dominiertheits-Bedingungen: Q 0 dominiert die Verteilung F Vn : x {0,..., m}: F Vn (x) F V0 (x), lim inf n F V n (x) F V0 (x), Insbesondere gilt dies, falls Q 0 dominiert die gemeinsame Verteilung Q n,i0 des I 0 -Vektors (T ni : i I 0 ): Q n,i0 Q 0,I0, lim inf n Q n,i 0 Q 0,I0. Die erste Ungleichung in (1) folgt aus (AMI), für die zweite benötigen wir ebenfalls (ACI). Mathias Trabs () Bootstrap-Methoden / 22

12 Umsetzung Konstruktion einer MTP Schreibe für einen kritischen Wert c R m und eine Verteilung Q {Q 0, Q n } R(c Q) = i I 1 {Tni >c i }, T n Q, V (c Q) = i I 0 1 {Tni >c i }, T n Q. Für die Null-Verteilung Q 0 auf dem R m mit Randverteilungen Q 0i und für ein δ [0, 1] definieren wir außerdem den Vektor d(q 0, δ) der δ-quantile: d(q 0, δ) i = Q 1 0i (δ) = inf{z : Q 0i (z) δ}, i = 1,...m. Mathias Trabs () Bootstrap-Methoden / 22

13 Umsetzung Methode 1: common-quantil Gegeben eine Null-Verteilung Q 0 und ein Niveau α (0, 1), wähle δ 0 (α) = inf{δ : Θ(F R(d(Q0,δ) Q 0 )) α}. Dann definieren wir die Ein-Schritt common-quantil multiple Testprozedur mittels der kritischen Werte c(q 0, α) = d(q 0, δ 0 (α)) = (Q 1 0i (δ 0 (α)) : i = 1,..., m), welche das Typ-I-Fehlermaß Θ(F V (c(q0,α) Q n)) zum Niveau α kontrolliert: R(T 0, Q 0, α) = {i : T ni > c(q 0, α) i }. Mathias Trabs () Bootstrap-Methoden / 22

14 Umsetzung Theorem 1: Asymptotische Kontrolle für die common-quantil Methode Es existiere eine R m -wertige Zufallsvariable Z Q 0, so dass für alle c R m und x {0,..., m} gilt: lim inf n PQn 1 {Tni >c i } x P Q 0 1 {Zi >c i } x i I0 i I0 (AQ0) Oder kurz: lim inf n F V (c Qn)(x) F V (c Q0 )(x), x. Weiterhin erfülle die Abb. Θ die Bedinungen (AMI) und (ACI) bei F V (c Q0 ). Dann kontrolliert die common-quantil Methode mit kritschen Werten c(q 0, α) = d(q 0, δ 0 (α)) asymptotisch das Typ-I-Fehlermaßes Θ(F V (c Qn)) zum Niveau α, d.h. lim sup Θ(F V (c Qn)) α. n Mathias Trabs () Bootstrap-Methoden / 22

15 Umsetzung Methode 2: common-cut-off Gegeben eine Null-Verteilung Q 0 und ein Niveau α (0, 1), wähle e(q 0, α) = inf{c R : Θ(F R((c,..,c) Q0 )) α}. Dann definieren wir die Ein-Schritt common-cut-off multiple Testprozedur mittels des kritischen Wertes e(q 0, α) durch c(q 0, α) = (e(q 0, α),..., e(q 0, α)), welche das Typ-I-Fehlermaß Θ(F V (c(q0,α) Q n)) zum Niveau α kontrolliert: R(T 0, Q 0, α) = {i : T ni > c(q 0, α) i }. Mathias Trabs () Bootstrap-Methoden / 22

16 Umsetzung Common-qunatil vs. common-cut-off Beide Methoden sind äquivalent, falls (T ni ) i=1,...,m unter Q 0 identisch verteilt sind. Unterschiede in: Balance, Güte und technischer Umsetzbarkeit. Wird Q 0 durch Resampling geschätzt (bootstrap) tendiert die common-quantil Methode zur größerer Sensibilität gegenüber der Anzahl der Resampling-Schritte und der Diskretheit der geschätzten Null-Verteilung. Mathias Trabs () Bootstrap-Methoden / 22

17 Umsetzung Theorem 2: Allgemeine Konstuktion der Null-Verteilung Es seien λ 0 R m und τ 0 R m 0 lim sup n Definiere ν i = so gegeben, dass gilt E[T ni ] λ 0 und lim sup Var(T ni ) τ 0i, i I 0. n min ( 1, und skalierter Teststatistiken ) τ 0i Var(T ni ) und einen Zufallsvektor verschobener Z ni = ν i (T ni + λ 0i E[T ni ]), i = 1,..., m. w Falls Z n Z Q0 = Q 0 (P), dann gilt für c R m, x {0,..., m} lim inf n PQn 1 {Tni >c i } x P Q 0 1 {Zi >c i } x i I0 i I0 Damit gilt (AQ0) für die Nullverteilung Q 0 und Theorem 1 ist anwendbar. Mathias Trabs () Bootstrap-Methoden / 22

18 Umsetzung Diskusion von Theorem 2 Bei einer zusammengesetzten Hypothese H i wird λ 0i am Schwellenwert bestimmt. λ 0 R m zur Erzeugung von Statistiken (Z ni ) i I0 die stochastisch größer sind als die (T ni ) i I0 und daher gegen eine Verteilung konvergieren, die (AQ0) erfüllt. τ 0 R m 0 zur Vermeidung einer degenerierter asymptotischer Nullverteilung und unendlicher kritischer Werte λ 0, τ 0 hängen nur von den Randverteilungen der wahren Verteilung von T n ab hängen λ 0, τ 0 vom unbekannten P ab, so können sie durch konsistente Schätzer ersetzt werden. τ 0 ist für FWER-Kontrolle nicht zwingend nötig. Mathias Trabs () Bootstrap-Methoden / 22

19 Umsetzung Bootstrap-Schätzung der Nullverteilung Schätze wahre Verteilung P aus den Daten X 1,..., X n durch Pn Generiere bootstrap-sample: n iid. Realisierungen X 1,..., X n Pn. Erzeuge Teststatistik (T n i ) i=1,...,m aus bootstrap-sample Berechne entsprechend Theorem 2 Z n τ 0i n i = min(1, )(Ti Var P n (T n i ) + λ 0i E P n [T n i ]), i = 1,..., m. Schätzung der Verteilung von (Z n i ) i=1,...,m durch empirische Verteilungsfunktion über B bootstrap-samples Approximation von Q 0 (P) (aus Theorem 2) Mathias Trabs () Bootstrap-Methoden / 22

20 Umsetzung Methode 3: Bootstrap-Schätzung der Nullverteilung 1 Erzeuge B bootstrap samples {X 1,b,..., X n,b } für b = 1,..., B mit X i,b P n, i = 1,..., n, b = 1,..., B 2 Berechne für jedes bootstrap sample die Teststatistiken T n n,b = (Ti,b : i = 1,..., m), so dass wir eine m B-Matrix T n = (T n i,b ) erhalten. 3 Berechne zeilenweise Erwartungswerte und Varianzen in der Matrix T n um E[T ni ] und Var(T ni ), i = 1,..., m, zu schätzen. 4 Erzeuge m B-Matrix Z n = (Z n i,b ) durch zeilenweises Verschieben und Skalieren von T n 5 Die bootstrap Schätzung Q 0n der Nullverteilung Q 0 aus Theorem 2 erhalten wir als empirische Verteilung der Spalten Z n,b der Matrix Z n. Mathias Trabs () Bootstrap-Methoden / 22

21 Umsetzung Methode 4: Bootstrap-Schätzung der common-quantil kritischen Werte 1 Wende Methode 3 an um die Matrix Z n und die geschätze Nullverteilung Q 0n zu ermitteln. 2 Die bootstrap common-quantil cut-offs sind die Zeilenquantile der Matrix Z n, also die δ-quantile des B-Vektors Z n i, : { } d(q 0n,i, δ) = Q 1 0n,i (δ) = inf z : 1 B B b=1 1 {Z n i,b z} δ 3 Für einen Test zum Niveau α (0, 1), wird δ gewählt als 4 FWER: (min-p) δ 0n (α) = inf{δ : Θ(F R(d(Qn0,δ ) Q 0n )) α}., i = 1,..., m 1 p-wert-matrix P n bestimmen durch Ersetzten der Einträge in Z n durch deren zeilenweise Ordnungszahlen (groß zu klein). 2 Wähle in jeder Spalte von P n den kleinsten p-wert. 3 (1 δ 0n (α)) ist das α-quantil dieses B-Vektors der kleinsten p-werte. Mathias Trabs () Bootstrap-Methoden / 22

22 Umsetzung Methode 5: Bootstrap-Schätzung der common-cut-offs 1 Wende Methode 3 an um die Matrix Z n und die geschätze Nullverteilung Q 0n zu ermitteln. 2 Berechne den gemeinsamen kritischen Werte aus Q 0n entsprechend c(q 0n, α) = e(q 0n, α) = inf{c R : Θ(F R((c,..,c) Q0n )) α} 3 FWER: (max-t) 1 Bestimme in jeder Spalte von Z n den größten Wert. 2 e(q 0n, α) ist das (1 α)-quantil des B-Vektors der größten Werte. Mathias Trabs () Bootstrap-Methoden / 22

Step-Down Prozeduren

Step-Down Prozeduren Step-Down Prozeduren zur Kontrolle der Family-Wise Error Rate WS 2010/2011 Jakob Gierl HU Berlin 07.02.2011 1 / 19 Modell Schrittweise Step-Down Modell mathematische Stichprobe X 1,..., X n iid im R J

Mehr

3 Grundlagen statistischer Tests (Kap. 8 IS)

3 Grundlagen statistischer Tests (Kap. 8 IS) 3 Grundlagen statistischer Tests (Kap. 8 IS) 3.1 Beispiel zum Hypothesentest Beispiel: Betrachtet wird eine Abfüllanlage für Mineralwasser mit dem Sollgewicht µ 0 = 1000g und bekannter Standardabweichung

Mehr

OLS-Schätzung: asymptotische Eigenschaften

OLS-Schätzung: asymptotische Eigenschaften OLS-Schätzung: asymptotische Eigenschaften Stichwörter: Konvergenz in Wahrscheinlichkeit Konvergenz in Verteilung Konsistenz asymptotische Verteilungen nicht-normalverteilte Störgrößen zufällige Regressoren

Mehr

Theorie Parameterschätzung Ausblick. Schätzung. Raimar Sandner. Studentenseminar "Statistische Methoden in der Physik"

Theorie Parameterschätzung Ausblick. Schätzung. Raimar Sandner. Studentenseminar Statistische Methoden in der Physik Studentenseminar "Statistische Methoden in der Physik" Gliederung 1 2 3 Worum geht es hier? Gliederung 1 2 3 Stichproben Gegeben eine Beobachtungsreihe x = (x 1, x 2,..., x n ): Realisierung der n-dimensionalen

Mehr

Allgemeines zu Tests. Statistische Hypothesentests

Allgemeines zu Tests. Statistische Hypothesentests Statistische Hypothesentests Allgemeines zu Tests Allgemeines Tests in normalverteilten Grundgesamtheiten Asymptotische Tests Statistischer Test: Verfahren Entscheidungsregel), mit dem auf Basis einer

Mehr

Wichtige Definitionen und Aussagen

Wichtige Definitionen und Aussagen Wichtige Definitionen und Aussagen Zufallsexperiment, Ergebnis, Ereignis: Unter einem Zufallsexperiment verstehen wir einen Vorgang, dessen Ausgänge sich nicht vorhersagen lassen Die möglichen Ausgänge

Mehr

Schwache Konvergenz von Wahrscheinlichkeitsmaßen

Schwache Konvergenz von Wahrscheinlichkeitsmaßen Schwache Konvergenz von Wahrscheinlichkeitsmaßen 6. Juli 2010 Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 3 Lindeberg-Bedingung Interpretation Definition Motivation (Konvergenz von Wahrscheinlichkeitsmaßen) Sind

Mehr

Lösungen zur Klausur GRUNDLAGEN DER WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE UND STATISTIK

Lösungen zur Klausur GRUNDLAGEN DER WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE UND STATISTIK Institut für Stochastik Dr. Steffen Winter Lösungen zur Klausur GRUNDLAGEN DER WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE UND STATISTIK für Studierende der INFORMATIK vom 17. Juli 01 (Dauer: 90 Minuten) Übersicht über

Mehr

Das (multiple) Bestimmtheitsmaß R 2. Beispiel: Ausgaben in Abhängigkeit vom Einkommen (I) Parameterschätzer im einfachen linearen Regressionsmodell

Das (multiple) Bestimmtheitsmaß R 2. Beispiel: Ausgaben in Abhängigkeit vom Einkommen (I) Parameterschätzer im einfachen linearen Regressionsmodell 1 Lineare Regression Parameterschätzung 13 Im einfachen linearen Regressionsmodell sind also neben σ ) insbesondere β 1 und β Parameter, deren Schätzung für die Quantifizierung des linearen Zusammenhangs

Mehr

Kapitel 3 Schließende Statistik

Kapitel 3 Schließende Statistik Beispiel 3.4: (Fortsetzung Bsp. 3.) bekannt: 65 i=1 X i = 6, also ˆp = X = 6 65 = 0, 4 Überprüfen der Voraussetzungen: (1) n = 65 30 () n ˆp = 6 10 (3) n (1 ˆp) = 39 10 Dr. Karsten Webel 194 Beispiel 3.4:

Mehr

Mathematische Statistik Aufgaben zum Üben. Schätzer

Mathematische Statistik Aufgaben zum Üben. Schätzer Prof. Dr. Z. Kabluchko Wintersemester 2016/17 Philipp Godland 14. November 2016 Mathematische Statistik Aufgaben zum Üben Keine Abgabe Aufgabe 1 Schätzer Es seien X 1,..., X n unabhängige und identisch

Mehr

3.4 Asymptotische Evaluierung von Sch atzer Konsistenz Konsistenz Definition 3.4.1: konsistente Folge von Sch atzer

3.4 Asymptotische Evaluierung von Sch atzer Konsistenz Konsistenz Definition 3.4.1: konsistente Folge von Sch atzer 3.4 Asymptotische Evaluierung von Schätzer 3.4.1 Konsistenz Bis jetzt haben wir Kriterien basierend auf endlichen Stichproben betrachtet. Konsistenz ist ein asymptotisches Kriterium (n ) und bezieht sich

Mehr

4. Verteilungen von Funktionen von Zufallsvariablen

4. Verteilungen von Funktionen von Zufallsvariablen 4. Verteilungen von Funktionen von Zufallsvariablen Allgemeine Problemstellung: Gegeben sei die gemeinsame Verteilung der ZV en X 1,..., X n (d.h. bekannt seien f X1,...,X n bzw. F X1,...,X n ) Wir betrachten

Mehr

I Grundbegriffe 1 1 Wahrscheinlichkeitsräume Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit Reellwertige Zufallsvariablen...

I Grundbegriffe 1 1 Wahrscheinlichkeitsräume Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit Reellwertige Zufallsvariablen... Inhaltsverzeichnis I Grundbegriffe 1 1 Wahrscheinlichkeitsräume......................... 1 2 Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit........... 7 3 Reellwertige Zufallsvariablen........................

Mehr

Konvergenz gegen einen Prozess mit unabhängigen Zuwächsen - Anwendungen

Konvergenz gegen einen Prozess mit unabhängigen Zuwächsen - Anwendungen Konvergenz gegen einen rozess mit unabhängigen Zuwächsen - Anwendungen Saskia F. Glaffig 20.07.17 "Wiederholung" Definition (vgl. Jacod, Shiryaev, I.3.26: oissonprozess). Ein erweiterter oissonprozess

Mehr

Grundidee. χ 2 Tests. Ausgangspunkt: Klasseneinteilung der Beobachtungen in k Klassen. Grundidee. Annahme: Einfache Zufallsstichprobe (X 1,..., X n ).

Grundidee. χ 2 Tests. Ausgangspunkt: Klasseneinteilung der Beobachtungen in k Klassen. Grundidee. Annahme: Einfache Zufallsstichprobe (X 1,..., X n ). Grundidee χ 2 -Anpassungstest χ 2 -Unabhängigkeitstest χ 2 -Homogenitätstest χ 2 Tests Grundidee Ausgangspunkt: Klasseneinteilung der Beobachtungen in k Klassen Annahme: Einfache Zufallsstichprobe (X 1,,

Mehr

1.3 Wiederholung der Konvergenzkonzepte

1.3 Wiederholung der Konvergenzkonzepte 1.3 Wiederholung der Konvergenzkonzepte Wir erlauben nun, dass der Stichprobenumfang n unendlich groß wird und untersuchen das Verhalten von Stichprobengrößen für diesen Fall. Dies liefert uns nützliche

Mehr

Die Familie der χ 2 (n)-verteilungen

Die Familie der χ 2 (n)-verteilungen Die Familie der χ (n)-verteilungen Sind Z 1,..., Z m für m 1 unabhängig identisch standardnormalverteilte Zufallsvariablen, so genügt die Summe der quadrierten Zufallsvariablen χ := m Z i = Z 1 +... +

Mehr

1.3 Zufallsvariablen

1.3 Zufallsvariablen 1.3 Zufallsvariablen Beispiel Irrfahrt zwischen drei Zuständen Start in G bei t = 0, Zeithorizont T N Grundraum σ-algebra Ω = {ω = (ω 0, ω 1,..., ω T ) {G, R, B} T +1, ω 0 = G} Wahrscheinlichkeitsmaß P

Mehr

Einführung in die statistische Testtheorie

Einführung in die statistische Testtheorie 1 Seminar Simulation und Bildanalyse mit Java von Benjamin Burr und Philipp Orth 2 Inhalt 1. Ein erstes Beispiel 2. 3. Die Gütefunktion 4. Gleichmäßig beste Tests (UMP-Tests) 1 Einführendes Beispiel 3

Mehr

Entscheidung zwischen zwei Möglichkeiten auf der Basis unsicherer (zufälliger) Daten

Entscheidung zwischen zwei Möglichkeiten auf der Basis unsicherer (zufälliger) Daten Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 4.1 4. Statistische Entscheidungsverfahren Entscheidung zwischen zwei Möglichkeiten auf der Basis unsicherer (zufälliger) Daten Beispiel:

Mehr

13 Mehrdimensionale Zufallsvariablen Zufallsvektoren

13 Mehrdimensionale Zufallsvariablen Zufallsvektoren 3 Mehrdimensionale Zufallsvariablen Zufallsvektoren Bisher haben wir uns ausschließlich mit Zufallsexperimenten beschäftigt, bei denen die Beobachtung eines einzigen Merkmals im Vordergrund stand. In diesem

Mehr

Beispiel 6 (Multivariate Normalverteilung)

Beispiel 6 (Multivariate Normalverteilung) Beispiel 6 (Multivariate Normalverteilung) Sei X N(µ,Σ). Es existiert eine Matrix A IR d k, sodass X d = µ+az wobei Z N k (0,I) und AA T = Σ. Weiters gilt Z = RS wobei S ein gleichmäßig verteilter Zufallsvektor

Mehr

Vorlesung: Statistik II für Wirtschaftswissenschaft

Vorlesung: Statistik II für Wirtschaftswissenschaft Vorlesung: Statistik II für Wirtschaftswissenschaft Prof. Dr. Helmut Küchenhoff Institut für Statistik, LMU München Sommersemester 2017 Einführung 1 Wahrscheinlichkeit: Definition und Interpretation 2

Mehr

Copula Funktionen. Eine Einführung. Nils Friewald

Copula Funktionen. Eine Einführung. Nils Friewald Copula Funktionen Eine Einführung Nils Friewald Institut für Managementwissenschaften Abteilung Finanzwirtschaft und Controlling Favoritenstraße 9-11, 1040 Wien friewald@imw.tuwien.ac.at 13. Juni 2005

Mehr

Einführung in die Induktive Statistik: Testen von Hypothesen

Einführung in die Induktive Statistik: Testen von Hypothesen Einführung in die Induktive Statistik: Testen von Hypothesen Jan Gertheiss LMU München Sommersemester 2011 Vielen Dank an Christian Heumann für das Überlassen von TEX-Code! Testen: Einführung und Konzepte

Mehr

Kapitel XIV - Anpassungstests

Kapitel XIV - Anpassungstests Institut für Volkswirtschaftslehre (ECON) Lehrstuhl für Ökonometrie und Statistik Kapitel XIV - Anpassungstests Induktive Statistik Prof. Dr. W.-D. Heller Hartwig Senska Carlo Siebenschuh 2. Grundannahme:

Mehr

Resampling. in»statistische Methoden in der Physik« Referent: Alex Ortner. Studenten-Seminar Sommersemester 2007

Resampling. in»statistische Methoden in der Physik« Referent: Alex Ortner. Studenten-Seminar Sommersemester 2007 Resampling in»statistische Methoden in der Physik«Referent: Studenten-Seminar Sommersemester 2007 Gliederung 1 Resampling Prinzip Einleitung Resampling Methoden 2 3 4 Einleitung intuitv Resampling Prinzip

Mehr

Statistik II. Statistische Tests. Statistik II

Statistik II. Statistische Tests. Statistik II Statistik II Statistische Tests Statistik II - 12.5.2006 1 Test auf Anteilswert: Binomialtest Sei eine Stichprobe unabhängig, identisch verteilter ZV (i.i.d.). Teile diese Stichprobe in zwei Teilmengen

Mehr

0 sonst. a) Wie lautet die Randwahrscheinlichkeitsfunktion von Y? 0.5 y = 1

0 sonst. a) Wie lautet die Randwahrscheinlichkeitsfunktion von Y? 0.5 y = 1 Aufgabe 1 (2 + 2 + 2 + 1 Punkte) Gegeben sei folgende gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x, y) = P (X = x, Y = y) der Zufallsvariablen X und Y : 0.2 x = 1, y = 1 0.3 x = 2, y = 1 f(x, y) = 0.45 x

Mehr

2.2 Binomialverteilung, Hypergeometrische Verteilung, Poissonverteilung

2.2 Binomialverteilung, Hypergeometrische Verteilung, Poissonverteilung 2.2 Binomialverteilung, Hypergeometrische Verteilung, Poissonverteilung Die einfachste Verteilung ist die Gleichverteilung, bei der P(X = x i ) = 1/N gilt, wenn N die Anzahl möglicher Realisierungen von

Mehr

Multivariate Verfahren

Multivariate Verfahren Selbstkontrollarbeit 1 Multivariate Verfahren Musterlösung Aufgabe 1 (40 Punkte) Auf der dem Kurs beigelegten CD finden Sie im Unterverzeichnis Daten/Excel/ die Datei zahlen.xlsx. Alternativ können Sie

Mehr

2 Wiederholung statistischer Grundlagen Schließende Statistik empirischen Information aus Stichprobenrealisation x von X

2 Wiederholung statistischer Grundlagen Schließende Statistik empirischen Information aus Stichprobenrealisation x von X Hypothesentests Bisher betrachtet: Punkt- bzw. Intervallschätzung des unbekannten Mittelwerts Hierzu: Verwendung der 1 theoretischen Information über Verteilung von X empirischen Information aus Stichprobenrealisation

Mehr

Lösungen zur Klausur WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE UND STATISTIK (STOCHASTIK)

Lösungen zur Klausur WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE UND STATISTIK (STOCHASTIK) Institut für Stochastik Dr. Steffen Winter Lösungen zur Klausur WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE UND STATISTIK (STOCHASTIK) für Studierende des Maschinenbaus vom 7. Juli (Dauer: 8 Minuten) Übersicht über die

Mehr

Klausur Stochastik und Statistik 31. Juli 2012

Klausur Stochastik und Statistik 31. Juli 2012 Klausur Stochastik und Statistik 31. Juli 2012 Prof. Dr. Matthias Schmid Institut für Statistik, LMU München Wichtig: ˆ Überprüfen Sie, ob Ihr Klausurexemplar vollständig ist. Die Klausur besteht aus fünf

Mehr

Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 14

Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 14 Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 14 Dr. Andreas Wünsche TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 13. Juli 017 Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 14 Version: 8. Juli

Mehr

Mathematische Ökonometrie

Mathematische Ökonometrie Mathematische Ökonometrie Ansgar Steland Fakultät für Mathematik Ruhr-Universität Bochum, Germany ansgar.steland@ruhr-uni-bochum.de Skriptum zur LV im SoSe 2005. Diese erste Rohversion erhebt keinen Anspruch

Mehr

Statistisches Testen

Statistisches Testen Statistisches Testen Grundlegendes Prinzip Erwartungswert Bekannte Varianz Unbekannte Varianz Differenzen Anteilswert Chi-Quadrat Tests Gleichheit von Varianzen Prinzip des Statistischen Tests Konfidenzintervall

Mehr

7. Hypothesentests. Ausgangssituation erneut: ZV X repräsentiere einen Zufallsvorgang. X habe die unbekannte VF F X (x)

7. Hypothesentests. Ausgangssituation erneut: ZV X repräsentiere einen Zufallsvorgang. X habe die unbekannte VF F X (x) 7. Hypothesentests Ausgangssituation erneut: ZV X repräsentiere einen Zufallsvorgang X habe die unbekannte VF F X (x) Interessieren uns für einen unbekannten Parameter θ der Verteilung von X 350 Bisher:

Mehr

Empirische Wirtschaftsforschung

Empirische Wirtschaftsforschung Empirische Wirtschaftsforschung Prof. Dr. Bernd Süßmuth Universität Leipzig Institut für Empirische Wirtschaftsforschung Volkswirtschaftslehre, insbesondere Ökonometrie 6.. Herleitung des OLS-Schätzers

Mehr

Schwache Konvergenz. Ivan Lecei. 18. Juni Institut für Stochastik

Schwache Konvergenz. Ivan Lecei. 18. Juni Institut für Stochastik Institut für Stochastik 18. Juni 2013 Inhalt 1 2 3 4 5 Nach ZGWS konvergiert für n F n (x) = P{ X 1+...+X n np npq x} gegen F(x) = 1 2π x e 1 2 u2 du, wenn die X i unabhängig und bernoulliverteilt sind

Mehr

Klausur zur Vorlesung

Klausur zur Vorlesung Institut für Mathematische Stochastik WS 2006/2007 Universität Karlsruhe 12. Februar 2007 Priv.-Doz. Dr. D. Kadelka Dipl.-Math. W. Lao Aufgabe 1 (15 Punkte) Klausur zur Vorlesung Statistik für Biologen

Mehr

Vorbereitung auf 3. Übungsblatt (Präsenzübungen) - Lösungen

Vorbereitung auf 3. Übungsblatt (Präsenzübungen) - Lösungen Prof Dr Rainer Dahlhaus Statistik 1 Wintersemester 2016/2017 Vorbereitung auf Übungsblatt (Präsenzübungen) - Lösungen Aufgabe P9 (Prognosen und Konfidenzellipsoide in der linearen Regression) Wir rekapitulieren

Mehr

2.3 Intervallschätzung

2.3 Intervallschätzung 2.3.1 Motivation und Hinführung Bsp. 2.11. [Wahlumfrage] Der wahre Anteil der rot-grün Wähler 2009 war genau 33.7%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, in einer Zufallsstichprobe von 1000 Personen genau

Mehr

Klausur zu Statistik II

Klausur zu Statistik II GOETHE-UNIVERSITÄT FRANKFURT FB Wirtschaftswissenschaften Statistik und Methoden der Ökonometrie Prof. Dr. Uwe Hassler Wintersemester 03/04 Klausur zu Statistik II Matrikelnummer: Hinweise Hilfsmittel

Mehr

4 Absolutstetige Verteilungen und Zufallsvariablen 215/1

4 Absolutstetige Verteilungen und Zufallsvariablen 215/1 4 Absolutstetige Verteilungen und Zufallsvariablen 215/1 23. Bemerkung Integralbegriffe für Funktionen f : R d R (i) Lebesgue-Integral (Vorlesung Analysis IV). Spezialfall: (ii) Uneigentliches Riemann-Integral

Mehr

Statistik II. IV. Hypothesentests. Martin Huber

Statistik II. IV. Hypothesentests. Martin Huber Statistik II IV. Hypothesentests Martin Huber 1 / 22 Übersicht Weitere Hypothesentests in der Statistik 1-Stichproben-Mittelwert-Tests 1-Stichproben-Varianz-Tests 2-Stichproben-Tests Kolmogorov-Smirnov-Test

Mehr

Konfidenzbereiche. Kapitel Grundlagen. Wir gehen wieder von einem allgemeinen (parametrischen) statistischen Modell aus,

Konfidenzbereiche. Kapitel Grundlagen. Wir gehen wieder von einem allgemeinen (parametrischen) statistischen Modell aus, Kapitel 4 Konfidenzbereiche 4.1 Grundlagen Wir gehen wieder von einem allgemeinen parametrischen statistischen Modell aus, M, A, P ϑ ; sei eine Funktion des Parameters gegeben, die einen interessierenden

Mehr

Übungsscheinklausur,

Übungsscheinklausur, Mathematik IV für Maschinenbau und Informatik (Stochastik) Universität Rostock, Institut für Mathematik Sommersemester 27 Prof. Dr. F. Liese Übungsscheinklausur, 3.7.27 Dipl.-Math. M. Helwich Name:...

Mehr

Die partielle Likelihood-Funktion

Die partielle Likelihood-Funktion Die partielle Likelihood-Funktion Roger Züst 12. Juni 26 1 Repetition: Maximum-Likelihood-Methode Hat man n unabhängige Beobachtungen x 1, x 2,..., x n einer Zufallsvariablen X und eine Familie von möglichen

Mehr

1 Erwartungswert und Kovarianzmatrix von Zufallsvektoren

1 Erwartungswert und Kovarianzmatrix von Zufallsvektoren Erwartungswert und Kovarianzmatrix von Zufallsvektoren Erwartungswert und Kovarianzmatrix von Zufallsvektoren. Definition Ist X X,...,X p ein p-dimensionaler Zufallsvektor mit E X j < für alle j, so heißt

Mehr

Hypothesentests für Erwartungswert und Median. Statistik (Biol./Pharm./HST) FS 2015

Hypothesentests für Erwartungswert und Median. Statistik (Biol./Pharm./HST) FS 2015 Hypothesentests für Erwartungswert und Median Statistik (Biol./Pharm./HST) FS 2015 Normalverteilung X N μ, σ 2 X ist normalverteilt mit Erwartungswert μ und Varianz σ 2 pdf: pdf cdf:??? cdf 1 Zentraler

Mehr

12 Ungleichungen. Wir beginnen mit einer einfachen Ungleichung über die Varianz. Satz 35 Es sei X eine zufällige Variable.

12 Ungleichungen. Wir beginnen mit einer einfachen Ungleichung über die Varianz. Satz 35 Es sei X eine zufällige Variable. 12 Ungleichungen Wir beginnen mit einer einfachen Ungleichung über die Varianz. Satz 35 Es sei X eine zufällige Variable. Dann gilt: min c R E(X c)2 = Var X. Beweis: Für alle reellen Zahlen c R gilt: E(X

Mehr

5. Schließende Statistik (Inferenzstatistik, konfirmatorische Verfahren)

5. Schließende Statistik (Inferenzstatistik, konfirmatorische Verfahren) 5. Schließende Statistik (Inferenzstatistik, konfirmatorische Verfahren) 5.1. Einführung Schätzen unbekannter Parameter im Modell, z.b. Wahrscheinlichkeiten p i (Anteile in der Gesamtmenge), Erwartungswerte

Mehr

Prognoseintervalle für y 0 gegeben x 0

Prognoseintervalle für y 0 gegeben x 0 10 Lineare Regression Punkt- und Intervallprognosen 10.5 Prognoseintervalle für y 0 gegeben x 0 Intervallprognosen für y 0 zur Vertrauenswahrscheinlichkeit 1 α erhält man also analog zu den Intervallprognosen

Mehr

Vorlesung: Statistik II für Wirtschaftswissenschaft

Vorlesung: Statistik II für Wirtschaftswissenschaft Vorlesung: Statistik II für Wirtschaftswissenschaft Prof. Dr. Helmut Küchenhoff Institut für Statistik, LMU München Sommersemester 2017 6 Genzwertsätze Einführung 1 Wahrscheinlichkeit: Definition und Interpretation

Mehr

Kapitel 9. Schätzverfahren und Konfidenzintervalle. 9.1 Grundlagen zu Schätzverfahren

Kapitel 9. Schätzverfahren und Konfidenzintervalle. 9.1 Grundlagen zu Schätzverfahren Kapitel 9 Schätzverfahren und Konfidenzintervalle 9.1 Grundlagen zu Schätzverfahren Für eine Messreihe x 1,...,x n wird im Folgenden angenommen, dass sie durch n gleiche Zufallsexperimente unabhängig voneinander

Mehr

Mathematik 2 Probeprüfung 1

Mathematik 2 Probeprüfung 1 WWZ Wirtschaftswissenschaftliche Fakultät der Universität Basel Dr. Thomas Zehrt Bitte in Druckbuchstaben ausfüllen: Name Vorname Mathematik 2 Probeprüfung 1 Zeit: 90 Minuten, Maximale Punktzahl: 72 Zur

Mehr

Bootstrap: Punktschätzung

Bootstrap: Punktschätzung Resampling Methoden Dortmund, 2005 (Jenő Reiczigel) 1 Bootstrap: Punktschätzung 1. Die Grundidee 2. Plug-in Schätzer 3. Schätzung des Standardfehlers 4. Schätzung und Korrektur der Verzerrung 5. Konsistenz

Mehr

Inferenz im multiplen Regressionsmodell

Inferenz im multiplen Regressionsmodell 1 / 29 Inferenz im multiplen Regressionsmodell Kapitel 4, Teil 1 Ökonometrie I Michael Hauser 2 / 29 Inhalt Annahme normalverteilter Fehler Stichprobenverteilung des OLS Schätzers t-test und Konfidenzintervall

Mehr

7. Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle

7. Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle 7. Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle Regelmäßigkeiten in der Entwicklung einer Zeitreihe, um auf zukünftige Entwicklung zu schließen Verwendung zu Prognosezwecken Univariate Zeitreihenanalyse

Mehr

Gaußsche Felder und Simulation

Gaußsche Felder und Simulation 3 2 data_2d_1.dat data_2d_2.dat data_2d_64.dat data_2d_128.dat 1-1 -2-3 1 2 3 4 5 6 7 Gaußsche Felder und Simulation Benedikt Jahn, Aaron Spettl 4. November 28 Institut für Stochastik, Seminar Zufällige

Mehr

Reelle Zufallsvariablen

Reelle Zufallsvariablen Kapitel 3 eelle Zufallsvariablen 3. Verteilungsfunktionen esultat aus der Maßtheorie: Zwischen der Menge aller W-Maße auf B, nennen wir sie W B ), und der Menge aller Verteilungsfunktionen auf, nennen

Mehr

7.5 Erwartungswert, Varianz

7.5 Erwartungswert, Varianz 7.5 Erwartungswert, Varianz Def. 7.5.: a) X sei eine diskrete ZV, die bei unendl. vielen Werten x k folgende Zusatzbedingung erfüllt: x k p k

Mehr

Wir gehen wieder von einem allgemeinen (parametrischen) statistischen Modell aus, (

Wir gehen wieder von einem allgemeinen (parametrischen) statistischen Modell aus, ( Kapitel 4 Konfidenzbereiche Wir gehen wieder von einem allgemeinen parametrischen statistischen Modell aus, M, A, P ϑ ; sei eine Funktion des Parameters gegeben, die einen interessierenden Teil-Parameter

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Biologen Wiederholung: Verteilungen

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Biologen Wiederholung: Verteilungen Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Biologen Wiederholung: Verteilungen Noémie Becker & Dirk Metzler 31. Mai 2016 Inhaltsverzeichnis 1 Binomialverteilung 1 2 Normalverteilung 2 3 T-Verteilung

Mehr

Statistik II. Weitere Statistische Tests. Statistik II

Statistik II. Weitere Statistische Tests. Statistik II Statistik II Weitere Statistische Tests Statistik II - 19.5.2006 1 Überblick Bisher wurden die Test immer anhand einer Stichprobe durchgeführt Jetzt wollen wir die statistischen Eigenschaften von zwei

Mehr

DWT 2.1 Maximum-Likelihood-Prinzip zur Konstruktion von Schätzvariablen 330/467 Ernst W. Mayr

DWT 2.1 Maximum-Likelihood-Prinzip zur Konstruktion von Schätzvariablen 330/467 Ernst W. Mayr 2.1 Maximum-Likelihood-Prinzip zur Konstruktion von Schätzvariablen Wir betrachten nun ein Verfahren zur Konstruktion von Schätzvariablen für Parameter von Verteilungen. Sei X = (X 1,..., X n ). Bei X

Mehr

6. Statistische Hypothesentests

6. Statistische Hypothesentests 6. Statistische Hypothesentests Ausgangssituation erneut: ZV X repräsentiere einen Zufallsvorgang X habe die unbekannte VF F X (x) Interessieren uns für einen unbekannten Parameter θ der Verteilung von

Mehr

Korollar 116 (Grenzwertsatz von de Moivre)

Korollar 116 (Grenzwertsatz von de Moivre) Ein wichtiger Spezialfall das Zentralen Grenzwertsatzes besteht darin, dass die auftretenden Zufallsgrößen Bernoulli-verteilt sind. Korollar 116 (Grenzwertsatz von de Moivre) X 1,..., X n seien unabhängige

Mehr

Meßbare Funktionen. bilden die Grundlage der Integrationstheorie. Definition 24.1 :

Meßbare Funktionen. bilden die Grundlage der Integrationstheorie. Definition 24.1 : 24 Meßbare Funktionen bilden die Grundlage der Integrationstheorie. Definition 24. : Sei X eine beliebige Menge, Y ein topologischer Raum, λ ein Maß auf X. f : X Y heißt λ-messbar, falls f (Ω) λ-messbar

Mehr

Endliche Markov-Ketten - eine Übersicht

Endliche Markov-Ketten - eine Übersicht Endliche Markov-Ketten - eine Übersicht Diese Übersicht über endliche Markov-Ketten basiert auf dem Buch Monte Carlo- Algorithmen von Müller-Gronbach et. al. und dient als Sammlung von Definitionen und

Mehr

Klassifikation von Signifikanztests

Klassifikation von Signifikanztests Klassifikation von Signifikanztests nach Verteilungsannahmen: verteilungsabhängige = parametrische Tests verteilungsunabhängige = nichtparametrische Tests Bei parametrischen Tests werden im Modell Voraussetzungen

Mehr

1 Stochastische Konvergenz 2. 2 Das Gesetz der grossen Zahlen 4. 3 Der Satz von Bernoulli 6

1 Stochastische Konvergenz 2. 2 Das Gesetz der grossen Zahlen 4. 3 Der Satz von Bernoulli 6 Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum 0 Universität Basel Mathematik Dr. Thomas Zehrt Grenzwertsätze Benötigtes Vorwissen: Der Stoff der Vorlesung,,Statistik wird als bekannt vorausgesetzt, insbesondere

Mehr

Statistik II. Regressionsanalyse. Statistik II

Statistik II. Regressionsanalyse. Statistik II Statistik II Regressionsanalyse Statistik II - 23.06.2006 1 Einfachregression Annahmen an die Störterme : 1. sind unabhängige Realisationen der Zufallsvariable, d.h. i.i.d. (unabh.-identisch verteilt)

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Biologen Spezielle Verteilungen

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Biologen Spezielle Verteilungen Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Biologen Spezielle Verteilungen Noémie Becker & Dirk Metzler http://evol.bio.lmu.de/_statgen 7. Juni 2013 1 Binomialverteilung 2 Normalverteilung 3 T-Verteilung

Mehr

Kapitel 3 Schließende Statistik

Kapitel 3 Schließende Statistik Bemerkung 3.34: Die hier betrachteten Konfidenzintervalle für unbekannte Erwartungswerte sind umso schmaler, je größer der Stichprobenumfang n ist, je kleiner die (geschätzte) Standardabweichung σ (bzw.

Mehr

Stochastische Prozesse

Stochastische Prozesse INSTITUT FÜR STOCHASTIK SS 29 UNIVERSITÄT KARLSRUHE Blatt 6 Priv.-Doz. Dr. D. Kadelka Dipl.-Math. W. Lao Übungen zur Vorlesung Stochastische Prozesse Musterlösungen Aufgabe 27: Sei X eine R + -wertige

Mehr

Probeklausur zu Mathematik 3 für Informatik Lösungshinweise (ohne Garantie auf Fehlefreiheit)

Probeklausur zu Mathematik 3 für Informatik Lösungshinweise (ohne Garantie auf Fehlefreiheit) Gunter Ochs 9. Juni 05 Probeklausur zu Mathematik für Informatik Lösungshinweise ohne Garantie auf Fehlefreiheit. Sei fx x x. a Bestimmen Sie den Grenzwert lim x fx. Da an der Stelle x Zähler Nenner Null

Mehr

Theorem 19 Sei (X 1,X 2 ) T ein normalverteilter Zufallsvektor. Dann gilt: λ U (X 1,X 2 ) = λ L (X 1,X 2 ) = 0.

Theorem 19 Sei (X 1,X 2 ) T ein normalverteilter Zufallsvektor. Dann gilt: λ U (X 1,X 2 ) = λ L (X 1,X 2 ) = 0. Theorem 19 Sei (X 1,X 2 ) T ein normalverteilter Zufallsvektor. Dann gilt: λ U (X 1,X 2 ) = λ L (X 1,X 2 ) = 0. Korollar 2 Sei (X 1,X 2 ) T ein Zufallsvektor mit stetigen Randverteilungen und einer Gauss

Mehr

y t = 30, 2. Benutzen Sie die Beobachtungen bis einschließlich 2002, um den Koeffizientenvektor β mit der KQ-Methode zu schätzen.

y t = 30, 2. Benutzen Sie die Beobachtungen bis einschließlich 2002, um den Koeffizientenvektor β mit der KQ-Methode zu schätzen. Aufgabe 1 (25 Punkte Zur Schätzung des Werbe-Effekts in einem Getränke-Unternehmen wird das folgende lineare Modell aufgestellt: Dabei ist y t = β 1 + x t2 β 2 + e t. y t : x t2 : Umsatz aus Getränkeverkauf

Mehr

Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 1

Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 1 Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 1 Dr. Andreas Wünsche TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 16. Oktober 2017 Dr. Andreas Wünsche Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 1 Version:

Mehr

Statistik für Punktprozesse. Seminar Stochastische Geometrie und ihre Anwendungen WS 2009/2010

Statistik für Punktprozesse. Seminar Stochastische Geometrie und ihre Anwendungen WS 2009/2010 Statistik für Punktprozesse Seminar Stochastische Geometrie und ihre Anwendungen WS 009/00 Inhalt I. Fragestellung / Problematik II. Ansätze für a) die Schätzung der Intensität b) ein Testverfahren auf

Mehr

Einfache lineare Modelle mit Statistik-Software R Beispiel (Ausgaben in Abhängigkeit vom Einkommen)

Einfache lineare Modelle mit Statistik-Software R Beispiel (Ausgaben in Abhängigkeit vom Einkommen) 3 Einfache lineare Regression Einfache lineare Modelle mit R 36 Einfache lineare Modelle mit Statistik-Software R Beispiel (Ausgaben in Abhängigkeit vom Einkommen) > summary(lm(y~x)) Call: lm(formula =

Mehr

Statistik II. IV. Hypothesentests. Martin Huber

Statistik II. IV. Hypothesentests. Martin Huber Statistik II IV. Hypothesentests Martin Huber 1 / 41 Übersicht Struktur eines Hypothesentests Stichprobenverteilung t-test: Einzelner-Parameter-Test F-Test: Multiple lineare Restriktionen 2 / 41 Struktur

Mehr

Tests einzelner linearer Hypothesen I

Tests einzelner linearer Hypothesen I 4 Multiple lineare Regression Tests einzelner linearer Hypothesen 4.5 Tests einzelner linearer Hypothesen I Neben Tests für einzelne Regressionsparameter sind auch Tests (und Konfidenzintervalle) für Linearkombinationen

Mehr

Kapitel 1 Einführung. Angewandte Ökonometrie WS 2012/13. Nikolaus Hautsch Humboldt-Universität zu Berlin

Kapitel 1 Einführung. Angewandte Ökonometrie WS 2012/13. Nikolaus Hautsch Humboldt-Universität zu Berlin Kapitel 1 Einführung Angewandte Ökonometrie WS 2012/13 Nikolaus Hautsch Humboldt-Universität zu Berlin 1. Allgemeine Informationen 2 17 1. Allgemeine Informationen Vorlesung: Mo 12-14, SPA1, 23 Vorlesung

Mehr

I Grundbegriffe 1 1 Wahrscheinlichkeitsräume Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit Reellwertige Zufallsvariablen...

I Grundbegriffe 1 1 Wahrscheinlichkeitsräume Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit Reellwertige Zufallsvariablen... Inhaltsverzeichnis I Grundbegriffe 1 1 Wahrscheinlichkeitsräume......................... 1 2 Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit........... 7 3 Reellwertige Zufallsvariablen........................

Mehr

Zufallsvariablen. Diskret. Stetig. Verteilung der Stichprobenkennzahlen. Binomial Hypergeometrisch Poisson. Normal Lognormal Exponential

Zufallsvariablen. Diskret. Stetig. Verteilung der Stichprobenkennzahlen. Binomial Hypergeometrisch Poisson. Normal Lognormal Exponential Zufallsvariablen Diskret Binomial Hypergeometrisch Poisson Stetig Normal Lognormal Exponential Verteilung der Stichprobenkennzahlen Zufallsvariable Erinnerung: Merkmal, Merkmalsausprägung Deskriptive Statistik:

Mehr

Statistische Tests. Kapitel Grundbegriffe. Wir betrachten wieder ein parametrisches Modell {P θ : θ Θ} und eine zugehörige Zufallsstichprobe

Statistische Tests. Kapitel Grundbegriffe. Wir betrachten wieder ein parametrisches Modell {P θ : θ Θ} und eine zugehörige Zufallsstichprobe Kapitel 4 Statistische Tests 4.1 Grundbegriffe Wir betrachten wieder ein parametrisches Modell {P θ : θ Θ} und eine zugehörige Zufallsstichprobe X 1,..., X n. Wir wollen nun die Beobachtung der X 1,...,

Mehr

Test auf den Erwartungswert

Test auf den Erwartungswert Test auf den Erwartungswert Wir interessieren uns für den Erwartungswert µ einer metrischen Zufallsgröße. Beispiele: Alter, Einkommen, Körpergröße, Scorewert... Wir können einseitige oder zweiseitige Hypothesen

Mehr

Y = g 2 (U 1,U 2 ) = 2 ln U 1 sin 2πU 2

Y = g 2 (U 1,U 2 ) = 2 ln U 1 sin 2πU 2 Bsp. 72 (BOX MÜLLER Transformation) Es seien U 1 und U 2 zwei unabhängige, über dem Intervall [0, 1[ gleichverteilte Zufallsgrößen (U i R(0, 1), i = 1, 2), U = (U 1,U 2 ) T ein zufälliger Vektor. Wir betrachten

Mehr

Gegenbeispiele in der Wahrscheinlichkeitstheorie

Gegenbeispiele in der Wahrscheinlichkeitstheorie Gegenbeispiele in der Wahrscheinlichkeitstheorie Mathias Schaefer Universität Ulm 26. November 212 1 / 38 Übersicht 1 Normalverteilung Definition Eigenschaften Gegenbeispiele 2 Momentenproblem Definition

Mehr

Hypothesentests für Erwartungswert und Median. für D-UWIS, D-ERDW, D-USYS und D-HEST SS15

Hypothesentests für Erwartungswert und Median. für D-UWIS, D-ERDW, D-USYS und D-HEST SS15 Hypothesentests für Erwartungswert und Median für D-UWIS, D-ERDW, D-USYS und D-HEST SS15 Normalverteilung X N(μ, σ 2 ) : «X ist normalverteilt mit Erwartungswert μ und Varianz σ 2» pdf: f x = 1 2 x μ exp

Mehr

Dynamische Systeme und Zeitreihenanalyse // Multivariate Normalverteilung und ML Schätzung 11 p.2/38

Dynamische Systeme und Zeitreihenanalyse // Multivariate Normalverteilung und ML Schätzung 11 p.2/38 Dynamische Systeme und Zeitreihenanalyse Multivariate Normalverteilung und ML Schätzung Kapitel 11 Statistik und Mathematik WU Wien Michael Hauser Dynamische Systeme und Zeitreihenanalyse // Multivariate

Mehr

Institut für Stochastik, SoSe K L A U S U R , 8:00-11:00. Aufgabe Punkte erreichte Punkte Korrektur

Institut für Stochastik, SoSe K L A U S U R , 8:00-11:00. Aufgabe Punkte erreichte Punkte Korrektur Institut für Stochastik, SoSe 2014 Mathematische Statistik Paravicini/Heusel 2. K L A U S U R 29.9.2014, 8:00-11:00 Name: Geburtsdatum: Vorname: Matrikelnummer: Übungsgruppe bei: Studiengang & angestrebter

Mehr

GRUNDPRINZIPIEN statistischen Testens

GRUNDPRINZIPIEN statistischen Testens Fragestellungen beim Testen GRUNDPRINZIPIEN statistischen Testens. Vergleiche Unterscheidet sich die Stichprobenbeobachtung von einer vorher spezifizierten Erwartung ( Hypothese ) mit ausreichender Sicherheit?

Mehr

Kap. 2: Kurzwiederholung Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik

Kap. 2: Kurzwiederholung Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik Kap. 2: Kurzwiederholung Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik Empirische Fragestellung Datenanalyse: Schätzung, Test, Konfidenzintervall Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik

Mehr

Punktschätzer Optimalitätskonzepte

Punktschätzer Optimalitätskonzepte Kapitel 1 Punktschätzer Optimalitätskonzepte Sei ein statistisches Modell gegeben: M, A, P ϑ Sei eine Funktion des Parameters ϑ gegeben, γ : Θ G, mit irgendeiner Menge G, und sei noch eine Sigma-Algebra

Mehr

Eine Einführung in R: Statistische Tests

Eine Einführung in R: Statistische Tests Eine Einführung in R: Statistische Tests Bernd Klaus, Verena Zuber Institut für Medizinische Informatik, Statistik und Epidemiologie (IMISE), Universität Leipzig http://www.uni-leipzig.de/ zuber/teaching/ws11/r-kurs/

Mehr