Test von Hypothesen: Signifikanz des Zusammenhangs (F-Test)

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1 Test von Hyothesen: Signifikanz des Zusammenhangs (F-Test) Die Schätzung der Regressionsfunktion basiert auf Daten einer Stichrobe Inwiefern können die Ergebnisse dieser Schätzung auf die Grundgesamtheit übertragen werden? Es könnte sein, dass in der Realität die Veränderung der Funktionswerte gar nicht auf die lineare Veränderung der unabhängigen Modellvariablen zurückzuführen ist. Der Wert von r 2 kann sich aufgrund zufälliger Einflusse ergeben haben. Die Frage ist nun, wie signifikant die Abhängigkeit des Regressands von Regressoren ist? M.a.W. wie (un)wahrscheinlich ist es, dass es keinen Zusammenhang zwischen der unabhängigen und abhängigen Variablen gibt? Die Prüfung von Gültigkeit der Regressionsfunktion als Ganzer: F-Test Jun.-Prof. Dr. Paul Marx Universität Siegen Regressionsanalyse Folie 53

2 Test von Hyothesen: zwei Fehlerarten Die Entscheidung eine Hyothese zu verwerfen, kann fehlerhaft sein Es wird zwischen 2 Arten von Fehlern unterschieden: H 0 richtig H 0 falsch verwerfen Fehler I Art (α) kein Fehler akzetieren kein Fehler Fehler II Art Fehler I Art (α) = Signifikanzniveau (1-α = Vertrauenswahrscheinlichkeit) - Statement: Einfluss besteht ; in Wirklichkeit: kein Einfluss Fehler II Art () = Teststärke - Statement: kein Einfluss ; in Wirklichkeit: Einfluss besteht Simultane Minimierung beider Fehlerarten ist unmöglich. Falsche Positives sind wichtiger, da mehr Schaden. Daher wird zunächst α minimiert. Jun.-Prof. Dr. Paul Marx Universität Siegen Regressionsanalyse Folie 54

3 Test von Hyothesen: F-Test Ablauf des F-Tests: 1. Aufstellen der Nullhyothese (H 0 ): Es besteht kein Zusammenhang zwischen der abhängigen und den unabhängigen Variablen! j = 0, für j ϵ [ 0; J ] Regressionsgleichung ist unbrauchbar Alternativhyothese (H 1 ): Der Zusammenhang besteht! r 2 ist signifikant von null verschieden! 2. Verlässlichkeit des Testergebnisses (Vertrauenswahrscheinlichkeit) wird vorgegeben üblicherweise 0,95 oder 0,99 D.h. mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% bzw. 99% kann man sich darauf verlassen, dass H 0 nicht zu unrecht abgelehnt wird. M.a.W. wird H 0 abgelehnt, so ist mit 95%- bzw. 99%-igen Wahrscheinlichkeit die H 1 richtig. Jun.-Prof. Dr. Paul Marx Universität Siegen Regressionsanalyse Folie 55

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5 Test von Hyothesen: F-Test 3. Berechnung des emirischen F-Wertes aufgrund von Stichrobendaten bzw. - werte F em = ( yˆ J ( y y) yˆ) N J = 2 r J 2 1 r N J 1 = nicht erklärte Streuung / J erklärte Streuung / ( N J 1) mit N = Anzahl der Beobachtungswerte (Fälle) J = Anzahl von Regressoren N J 1 = Zahl der Freiheitsgrade der Regression F em = 0,79 /1 (1 0,79) / (7 1 1) = 18,809 Jun.-Prof. Dr. Paul Marx Universität Siegen Regressionsanalyse Folie 57

6 Test von Hyothesen: F-Test 4. Vergleich des emirischen F-Wertes (F em ) mit einem theoretischen F-Wert (F tab ) anhand einer Tabelle Entscheidungskriterium: F em > F tab H o verworfen, es gilt H 1 F em F tab H o nicht verworfen Jun.-Prof. Dr. Paul Marx Universität Siegen Regressionsanalyse Folie 58

7 Test von Hyothesen: F-Test F-Tabelle: 95% Vertrauenswahrscheinlichkeit (Ausschnitt) hier f1: J = Zahl der erklärenden Variablen f2: N-J-1 = Anzahl Freiheitsgrade (N = Zahl der Beobachtungswerte) Für unser Beisiel: J = 1; N = 7; N-J-1 = 5; F em = 18,809 18,809 > 6,61 H o verworfen! Jun.-Prof. Dr. Paul Marx Universität Siegen Regressionsanalyse Folie 59

8 Test von Hyothesen: F-Test F-Tabelle: 99% Vertrauenswahrscheinlichkeit (Ausschnitt) Für unser Beisiel: J = 1; N = 7; N-J-1 = 5; F em = 18,809 18,809 > 16,26 H o verworfen! Jun.-Prof. Dr. Paul Marx Universität Siegen Regressionsanalyse Folie 60

9 Test von Hyothesen: F-Test F-Tabelle: 99,9% Vertrauenswahrscheinlichkeit (Ausschnitt) Für unser Beisiel: J = 1; N = 7; N-J-1 = 5; F em = 18,809 18,809 < 47,04 H o nicht verworfen! Jun.-Prof. Dr. Paul Marx Universität Siegen Regressionsanalyse Folie 61

10 Test von Hyothesen: F-Test Vertrauenswahrscheinlichkeit 95% (0,95) 99% (0,99) 99,9% (0,999) H 1 H 1 H 0 0,05 0,01 0,001 Signifikanzniveau Die geschätzte Funktion y = 43,174 1, 057 x erklärt 79% des Zusammenhangs von y und x signifikant auf dem Niveau von 0,01. Jun.-Prof. Dr. Paul Marx Universität Siegen Regressionsanalyse Folie 62

11 Test von Hyothesen: Gültigkeit von Regressionskoeffizienten für die Grundgesamtheit (T-Test) Die Schätzung der Funktionsarameter basiert auf bekannten Daten Wie zuverlässig sind die geschätzten -Werte für Prognosen? T-Test Gerüft wird, ob tatsächlicher b-wert gleich Null ist (Also j =0), d.h. H o : Faktor x j hat in der Grundgesamtheit keinen Einfluss auf y. Der ermittelte Wert von j gilt nur für die Stichrobe. H 1 : Der Einfluss vom Faktor x j in der Grundgesamtheit ist signifikant größer Null Jun.-Prof. Dr. Paul Marx Universität Siegen Regressionsanalyse Folie 63

12 Test von Hyothesen: T-Test Ähnlich wie beim F-Test wird eine Prüfgröße errechnet und mit dem Tabellenwert verglichen t em = ˆ j S j j getestet wird j =0 t em = ˆ S j j S j j 0 = s N i= 1 1 ( x i x) 2 S 0 1 = s + N N i= 1 x 2 ( x i x) 2 t S em ˆ j j j = = = = Errechneter t-wert Regressionskoeffizient des j-ten Regressor Wahrer Regressionskoeffizient (unbekannt) Standardfehler des Regressionskoeffizienten des j-ten Regressors Jun.-Prof. Dr. Paul Marx Universität Siegen Regressionsanalyse Folie 64

13 Test von Hyothesen: T-Test = 43,174 1, 057 x s = N 2 ui i= 1 = 5,125 ( N J 1) Nr. i i Summe ,00 Mittelwert 24,14 18,00 x i 2 x i x ( x i x) S j 1 1 5,125 0,24 j = s = = 0 N ( x i x) i= 1 t em 1 = ˆ S 1 1,057 0,24 1 = = 4,404 S x 1 18 = s + = 5,125 + = 4,743 0 N N ( x i x) i= 1 t em 0 = ˆ 0 S 0 = 43,174 4,743 = 9,102 Jun.-Prof. Dr. Paul Marx Universität Siegen Regressionsanalyse Folie 65

14 Test von Hyothesen: T-Test Vergleich mit dem Tabellenwert: t em > t tab H o verworfen t em t tab H o nicht verworfen Für unser Beisiel: J = 1; N = 7; N-J-1 = 5; t em = -4,404 α=0,95: α=0,99: α=0,999: 4,395 > 2,57 H o verworfen! 4,395 > 4,03 H o verworfen! 4,395 < 6,86 H o nicht verworfen! Jun.-Prof. Dr. Paul Marx Universität Siegen Regressionsanalyse Folie 66

15 Test von Hyothesen: Konfidenzintervall des Regressionskoeffizienten Der Einfluss von Variable x 1 kann in der Grundgesamtheit mit 99%-iger Wahrscheinlichkeit (= auf dem Signifikanzniveau von 0,01) vermutet werden. Wie weit können die wahren b j -Werte von den in der Stichrobe ermittelten Werten abweichen? yˆ i = x i Verlauf von Regressionsgerade bei Variation von 0 und 1 Verlauf von Regressionsgerade bei Variation von 1 Jun.-Prof. Dr. Paul Marx Universität Siegen Regressionsanalyse Folie 67

16 Test von Hyothesen: t-test und Konfidenzintervall des Regressionskoeffizienten Wahrschinlichkeitsdichte H o akzetieren (kein Einfluss in der Grundgesamtheit) Relation vom geschätzten zu seinem Standardfehler ist kleiner als kritischer t-wert ˆ H o verwerfen (Einfluss besteht) t( α ) ˆ + t( α ) H o akzetieren (kein Einfluss in der Grundgesamtheit) t = S t( α ) = t S Bei normal verteilten Residuen sind die geschätzten Koeffizienten auch normal verteilt 0 t(α ) ˆ Jun.-Prof. Dr. Paul Marx Universität Siegen Regressionsanalyse Folie 68

17 Test von Hyothesen: t-test und Konfidenzintervall des Regressionskoeffizienten Wahrschinlichkeitsdichte H o verwerfen (Einfluss besteht) Kritische Region H o akzetieren (kein Einfluss in der Grundgesamtheit) H o verwerfen (Einfluss besteht) Kritische Region t = S t( α ) = t S Bei normal verteilten Residuen sind die geschätzten Koeffizienten auch normal verteilt 0 - ts =0 + ts Kritischer t-wert Kritischer t-wert Jun.-Prof. Dr. Paul Marx Universität Siegen Regressionsanalyse Folie 69

18 Test von Hyothesen: Konfidenzintervall des Regressionskoeffizienten ˆ t S j j j ˆ + t S j j Der wahre Wert des Regressionskoeffizienten (für das vorgegebene Signifikanzniveau ) liegt im Bereich ˆ ± t S Dieser Bereich nennt sich Konfidenzintervall von b j j j Für α=0,01 Für α=0,05 1,057 4,03 0,24 1 1, ,03 0,24 2,03 1 0,086 1,057 2,57 0,24 1 1, ,57 0,24 1,67 1 0,44 Jun.-Prof. Dr. Paul Marx Universität Siegen Regressionsanalyse Folie 70

19 Test von Hyothesen: Konfidenzintervall des Regressionskoeffizienten 2,03 1 0,086 24, ,236 y = 43,174 0, 086 x y = 43,174 1, 057 x y = 43,174 2, 03 x Verlauf von Regressionsgerade bei Variation von 1 Jun.-Prof. Dr. Paul Marx Universität Siegen Regressionsanalyse Folie 71

20 Test von Hyothesen: Konfidenzintervall des Regressionskoeffizienten 2,03 1 0,086 24, ,236 y = 24,112 0, 086 x y = 62,236 2, 03 x y = 43,174 1, 057 x Verlauf von Regressionsgerade bei Variation von b 0 und b 1 Jun.-Prof. Dr. Paul Marx Universität Siegen Regressionsanalyse Folie 72

21 Test von Hyothesen: Konfidenzintervall der Regressionsfunktion Preis (y) Konfidenzintervall = Region der Annahme von H 1 _ Y Konfidenzintervall gibt an, in welchem Bereich der wahre Regressionskoeffizient mit einer bestimmten festgelegten Vertrauenswahrscheinlichkeit liegt α=0, α=0,05 Menge (x) Vereinfachte Abbildung! Jun.-Prof. Dr. Paul Marx Universität Siegen Regressionsanalyse Folie 73

22 Test von Hyothesen: Konfidenzintervall der Regressionsfunktion Preis (y) Je weiter x vom Mittelwert, desto ungenauer ist die Schätzung von y(x) Übertragen auf die Regressionsgerade zeigt Konfidenzintervall an, in welchem Bereich die wahren Werte liegen können bzw. wie stark sie von den geschätzten Werten abweichen können (mit einer bestimmten festgelegten Vertrauenswahrscheinlichkeit) α=0, Menge (x) Jun.-Prof. Dr. Paul Marx Universität Siegen Regressionsanalyse Folie 74

23 Konfidenzintervall der Regressionsfunktion Häufigkeit von y Preis (y) Jun.-Prof. Dr. Paul Marx Universität Siegen Regressionsanalyse Folie 75

24 Ergebnisse der Regressionsanalyse yˆ = 43,174 1, 057 i x i S bj = (4,743) (0,24) r 2 = 0,795 t = (9,102) (-4,404) df = 6 a = (0,001) (0,01) F 1,6 = 18,809 Jun.-Prof. Dr. Paul Marx Universität Siegen Regressionsanalyse Folie 76

25 Ergebnisse der Regressionsanalyse: SPSS Modellzusammenfassung a Einflußvariablen : (Konstante), Absatzmenge Standardf Modell R R-Quadrat Korrigiertes R-Quadrat ehler des Schätzers 1,891(a),794,753 5,12578 ANOVA(b) a Einflußvariablen : (Konstante), Absatzmenge b Abhängige Variable: Preis Modell Quadrats umme df Mittel der Quadrate F Signifikanz 1 Regression 507, ,489 19,316,007(a) Residuen 131, ,274 Gesamt 638,857 6 Koeffizienten(a) a Abhängige Variable: Preis Standardisie rte Nicht standardisierte Koeffizienten Koeffiziente n Modell B Standardfehl er Beta T Signifikanz 1 (Konstante) 43,174 4,744 9,101,000 Absatzmenge -1,057,241 -,891-4,395,007 Jun.-Prof. Dr. Paul Marx Universität Siegen Regressionsanalyse Folie 77

26 Methodologie von Ökonometrie 1. Formulierung einer Theorie oder Hyothese 2. Sezifizierung eines mathematischen Modells der Theorie 3. Sezifizierung des statistischen oder ökonometrischen Modells 4. Datenerhebung 5. Schätzung der Parameter des ökonometrischen Modells 6. Test von Hyothesen 7. Prognosen / Vorhersagen 8. Nutzung vom Modell zu Kontroll- oder Politischen Zwecken Jun.-Prof. Dr. Paul Marx Universität Siegen Regressionsanalyse Folie 78

27 Bestimmung der Absatzmenge yˆ = 43,174 1, 057 x Preis (y) für y=25 x=17, x= 18, x= 13, α=0,05 Menge (x) Zur Erinnerung: Konfidenzintervall gibt an, in welchem Bereich der wahre Regressionskoeffizient mit einer bestimmten festgelegten Vertrauenswahrscheinlichkeit liegt Jun.-Prof. Dr. Paul Marx Universität Siegen Regressionsanalyse Folie 79

28 Bestimmung des Preises yˆ = 43,174 1, 057 x Preis (y) für x=25 y=16, y= 19, y= 13, α=0,05 Menge (x) Zur Erinnerung: Konfidenzintervall gibt an, in welchem Bereich der wahre Regressionskoeffizient mit einer bestimmten festgelegten Vertrauenswahrscheinlichkeit liegt Jun.-Prof. Dr. Paul Marx Universität Siegen Regressionsanalyse Folie 80

29 Otimale Produktionsmenge und Preis yˆ = 43,174 1, 057 x Gewinnfunktion z.b. G = (y - k) x mit k = 4 G = yx 4x= (43,174 x )x 4x = = 43,174 x x 2 4 x = 39,174 x x 2 Preis (y), Gewinn/ G= 39,174x-x 2 G max ist gegeben im Punkt, wo G/ x = ,174 2x = Menge (x) x ot = 39,174 / 2 = 19,587 = 20 y ot = 43, = 23,17 Jun.-Prof. Dr. Paul Marx Universität Siegen Regressionsanalyse Folie 81

30 Methodologie von Ökonometrie 1. Formulierung einer Theorie oder Hyothese 2. Sezifizierung eines mathematischen Modells der Theorie 3. Sezifizierung des statistischen oder ökonometrischen Modells 4. Datenerhebung 5. Schätzung der Parameter des ökonometrischen Modells 6. Test von Hyothesen 7. Prognosen / Vorhersagen 8. Nutzung vom Modell zu Kontroll- oder Politischen Zwecken Jun.-Prof. Dr. Paul Marx Universität Siegen Regressionsanalyse Folie 82

31 Preis-Absatz-Funktion im Monool Aus unserem Beisiel folgt: x ot = 20 y ot = 23,17 G ot = 383,4 Reale Nachfrage ist aber höher: Preis, Absatz, Stk G x=24; =19,17 = 364,08 < G ot Der Monoolist hat keinen Anreiz, mehr zu roduzieren. Es entsteht Defizit. Bevölkerung ist unzufrieden. Der Staat kann/muss eingreifen: * Verflichtung zur Mindestroduktion * Senkung der Steuer für den Monoolisten * Subventionierung von Produzenten komlementärer Güter * Stimulierung des Wettbewerbes * Jun.-Prof. Dr. Paul Marx Universität Siegen Regressionsanalyse Folie 83

32 LOGISCHER FEHLER!!! In der Realität hängt der Preis nicht von der Absatzmenge ab. Vielmehr hängt der Absatz vom Preis ab. Regressionsanalyse bestimmt lediglich die Stärke des Zusammenhangs, jedoch nicht die Richtung! Im Zweivariablen-Fall ist es unroblematisch, da die Richtung des Zusammenhanges einfach umgekehrt werden kann. Wenn mehr Variablen regressiert wären, wäre unsere Schätzung komlett falsch und irreführend. Die logische Begründung beim Sezifizieren des Modells ist wichtiger als Kennzahlen! Übungsaufgabe: Sezifizieren Sie das Model richtig und führen Sie entsrechende Regressionsanalyse durch. Jun.-Prof. Dr. Paul Marx Universität Siegen Regressionsanalyse Folie 84

33 Übungsaufgabe Bestimmen Sie die Absatzmenge eines Unternehmens, die sich bei Werbeausgaben in Höhe von ergeben wird. Werbeausgaben ( 1000) Absatz ( 1000) Jun.-Prof. Dr. Paul Marx Universität Siegen Regressionsanalyse Folie 85