4. Anwendung der Differentialrechnung: Kurvendiskussion 4.1. Maxima und Minima einer Funktion.
|
|
- Günter Lenz
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 4. Anwendung der Differentialrechnung: Kurvendiskussion 4.1. Maxima und Minima einer Funktion. Definition 4.3. Es sei f : R D R eine auf D erklarte Funktion. Die Funktion f hat in a D eine globales oder auch absolutes Maximum (bzw. Minimum) wenn f(x) f(a) (bzw. f(x) f(a)) fur alle x D gilt. In diesem Fall heit a globale Maximalstelle (bzw. Minimalstelle) und f(a) globales Maximum (bzw. Minimum). b D heit lokales oder auch relatives Maximum (bzw. Minimum), wenn es ein (evtl. kleines) Intervall I um b gibt, so dass f(x) f(b) (bzw. f(x) f(b)) fur alle x D I. Minima und Maxima sind Extrema. Lemma 4.1. x 0 ist Minimalstelle von f x 0 ist Maximalstelle von f. Satz 4.9. Ist f eine auf dem oenen Intervall I dierenzierbare Funktion, so gilt: Ist x 0 I eine Extremstelle von f, dann ist f (x 0 ) = 0. Ein Punkt x D mit f (x) = 0 heit stationarer Punkt. Beweis: Es sei x 0 eine Maximalstelle in (x 0 ε, x 0 + ε), ε > 0. D.h. und damit f(x) f(x 0 ) fur alle x (x 0 ε, x 0 + ε) f(x) f(x 0 ) 0 fur x 0 ε < x < x 0 gilt f f(x) (x 0 ) = x x 0 x x 0 x 0. Analog ergibt sich f (x 0 ) = f(x) x x 0 + x 0 und damit f (x 0 ) = 0.# Die Bedingung f (x 0 ) = 0 ist zwar notwendig fur ein Extremum, aber nicht hinreichend wie das Beispiel f(x) = x 3 in x = 0 zeigt. Der Satz gibt auch keine Ausskunft uber Extremalstellen an den Intervallenden, an Spitzen oder anderen Stellen, in den f nicht dierenzierbar ist. D.h. 49
2 50 Die Kandidaten fur Extremalstellen von f : I R sind: (1) die Randpunkte des Intervalls I, (2) die Punkte, in denen f nicht dierenzierbar ist, (3) die stationaren Punkte aus dem Innern des Intervalls I. Beispiel Es sei f(x) = sin x und I = [ 0, 5π 2 die Extremalstellen zu bestimmen, betrachten wir ] R. Um die Extrema und (1) Randpunkte: sin 0 = 0 und sin 5π 2 = 1. (2) In x = π und x = 2π ist die Funktion sin x nicht dierenzierbar, da f (π+) = cos π = 1 aber f (π ) = cos π = 1. Analog fur x = 2π. Es ist sin π = sin(2π) = 0. (3) In den Intervallen (0, π), (π, 2π) und (2π, 5π ) ist f(x) = sin x dierenzierbar und es 2 gilt: f (x) = { (sin x) = cos x, fur x (0, π) und ( sin x) = cos x, fur x (π, 2π). ( ) 2π, 5π 2, Die stationaren Stellen sind die Nullstellen der ersten Ableitung in den Intervallen: cos x = 0 fur x = 2k + 1 π, k Z, 2 davon liegen in den von uns betrachteten Intervallen: x = π und x = 3π. 2 2 Die dazugehorigen Funktionswerte sind sin π 2 = sin 3π 2 = 1. Damit sind x = 0, π, 2π lokale und globale Minimalstellen mit dem Minimum 0 und x = π, 3π, 5π lokale und globale Maximalstellen mit dem Maximum 1. Wie 2 2 2
3 4. ANWENDUNG DER DIFFERENTIALRECHNUNG: KURVENDISKUSSION 51 man auch leicht an dem Graphen der Funktion ablesen kann y x = sin x 4.2. Mittelwertsatz. Die folgenden Beobachtungen bilden das Fundament f ur weiterfuhrende Betrachtungen. Satz Mittelwertsatz. Ist die Funktion f auf dem abgeschlossenen Intervall [a, b] stetig und auf dem oenen Intervall (a, b) diferenzierbar, dann gibt es (wenigstens) einen inneren Punkt x 0 (a, b) mit f (x 0 ) = f(b) f(a). b a Beweis: Wir betrachten die Funktion F (x) = f(x) (x b) (f(b) f(a)). (b a) Sie ist im abgeschlossenen Intervall [a, b] stetig und hat deshalb nach Satz 3.11 wenigstens eine Extremalstelle x 0 wegen F (a) = F (b) = f(b) liegt diese in (a, b), somit gilt F (x 0 ) = 0 und das bedeutet: F (x 0 ) = f (x 0 ) (f(b) f(a)) (b a) = 0. # Bemerkung: Anschaulich bedeutet der Mittelwertsatz, dass fur mindestens ein x 0 (a, b) die Kurventangente parallel zur Sehne AB ist.
4 52 Satz Monotonieverhalten. Fur eine im Intervall I dierenzierbare Funktion f gilt: (1) f (x) > 0 auf I f ist auf I echt monoton wachsend. (2) f (x) < 0 auf I f ist auf I echt monoton fallend. (3) f (x) 0 auf I f ist auf I monoton wachsend. (4) f (x) 0 auf I f ist auf I monoton fallend. (5) f (x) = 0 auf I f ist auf I konstant. Beweis: Wir beschranken uns auf die Aussagen fur (1). Zu x 1 < x 2 I gibt es nach dem Mittelwertsatz 4.10 und der Voraussetzung ein x 0 mit x 1 < x 0 < x 2 mit f(x 2 ) f(x 1 ) x 2 x 1 = f (x 0 ) > 0. Folglich ist f(x 2 ) > f(x 1 ). Alle anderen Falle lassen sich analog behandeln. # Folgerung: Fur zwei auf einem Intervall I dierenzierbare Funktionen f und g folgt: f (x) = g (x) fur alle x I f(x) = g(x) + C fur alle x I (2) mit einer Konstanten C R. (3) 4.3. Kurvendiskussion. Satz Extremwert-Test. Eine auf dem oenen Intervall (a, b) dierenzierbare Funktion f hat im stationaren Punkt x 0 (a, b) ein lokales Maximum (bzw. lokales Minimum), wenn die Ableitung f (x) unmittelbar links von x 0 (also in einer kleinen einseitigen linken Umgebung (x 0 ε, x 0 ) (ε > 0)) positiv, rechts von x 0 negativ (bzw. links negativ, rechts positiv) ist. Satz Extremwert-Test. Ist f auf (a, b) zweimal stetig dierenzierbar und x 0 (a, b) ein stationarer Punkt, dann gilt (1) f (x 0 ) < 0 f hat in x 0 ein lokales Maximum, (2) f (x 0 ) > 0 f hat in x 0 ein lokales Minimum.
5 4. ANWENDUNG DER DIFFERENTIALRECHNUNG: KURVENDISKUSSION 53 Beweisidee: Die erste Ableitung f ist in einer kleinen Umgebung von x 0 streng monoton wachsend bzw. fallend und hat in x 0 einen Vorzeichenwechsel. # Auch das Krummungsverhalten der Kurve y = f(x) kann man am Vorzeichen von f erkennen. Definition 4.4. Eine Funktion f heit konkav auf einem Intervall I, wenn die Sekante durch zwei beliebige Punkte (x 0, f(x 0 )) und (x 1, f(x 1 )) im Bereich zwischen diesen Punkten auf oder unterhalb des Funktionsgraphen von f liegt: f((1 t)x 0 + tx 1 ) (1 t)f(x 0 ) + tf(x 1 ) 0 t 1, x 0 < x 1, konvex auf einem Intervall I, wenn die Sekante durch zwei beliebige Punkte (x 0, f(x 0 )) und (x 1, f(x 1 )) im Bereich zwischen diesen Punkten auf oder oberhalb des Funktionsgraphen von f liegt: f((1 t)x 0 + tx 1 ) (1 t)f(x 0 ) + tf(x 1 ) 0 t 1, x 0 < x 1, Satz Krümmung (1) f > 0 im Intervall I, so ist die Kurve y = f(x) konvex (Linkskrummung). (2) f < 0 im Intervall I, so ist die Kurve y = f(x) konkav (Rechtskrummung). Definition 4.5. Diejenigen Punkte, in denen y = f(x) von konvex (einer Linkskrummung) nach konkav (in eine Rechtskrummung) oder umgekehrt ubergehen, heien Wendepunkte. Kandidaten fur Wendepunkte von f : I R sind: (1) die Punkte aus I, in denen f nicht existiert; (2) die Punkte aus I, in denen f = 0 ist.
6 54 Beispiele: f ' '=0 x 0 x 0 x 0 Satz Wendepunkt-Test. f (x 0 ) = 0, f (x 0 ) 0 f hat in x 0 einen Wendepunkt. Beweis: Nach Satz 4.13 ist in x 0 eine Extremalstelle der Ableitung, also ein Wendepunkt. # 4.4. Kurvendiskussion eines Graphen. Ziel einer Kurvendiskussion ist die Feststellung Verhaltens eines Graphen einer Funktion y = f(x). Im folgenden geben wir eine Liste der Punkte an, die bei einer Kurendiskussion untersucht werden konnen: (1) Definitions- und Wertebereich. Hier ist der maximale Denitionsbereich fur die Funktion y = f(x) gemeint. Man achte insbesondere auf isolierte Singulariaten und untersuche diese dahingehend, ob die Funktione stetig erganzt werden kann ( zudeniniert\ werden kann). " (2) Symmetrie. Ist die Funktion f(x) symmetrisch zur y-achse, d.h. gilt fur alle x : f( x) = f(x), so nennt man f eine gerade Funktion. Ist f(x) symmetrisch zum Ursprung, d.h. es gilt fur alle x : f( x) = f(x), so nennt man f eine ungerade Funktion. (3) Pole. Hat f(x) die Form f(x) = g(x) (x x 0 mit g(x) stetig und g(x ) k 0 ) 0, so besitzt f(x) fur ungerade k einen Pol mit Vorzeichenwechsel, fur gerade k eine Pol ohne Vorzeichenwechsel in x 0. (4) Verhalten im Unendlichen. Bestimmung der Grenzwerte f(x) und x f(x), falls sie existieren. x Untersuchung auf Asymptoten. Eine Gerade y = ax + b heit Asymptote von f(x) fur x ±, falls gilt [f(x) ax b] = 0. Dabei ist b = [f(x) ax] und a = (5) Nullstellen. f(x) x.
7 4. ANWENDUNG DER DIFFERENTIALRECHNUNG: KURVENDISKUSSION 55 (6) Bestimmung der Extrema und Extremalstellen, Monotonieverhalten Man untersuche alle Kandidaten fur Extrema. (7) Wendepunkte und Krümmungsverhalten. Man untersuche alle Kandidaten fur Wendepunkte. (8) Skizze. Beispiel Fur die folgende Funktion sei eine Kurvendiskussion durchzufuhren: y = f(x) = 2x2 + 3x 4 x 2. (1) Denitionsbereich: R\{0}. Die Funktion kann fur x = 0 nicht stetig erganzt werden, da der Grenzwert nicht existiert, da 2x 2 + 3x 4 x 0 x 2 2x 2 + 3x 4 x 0 x 2 = x x 4 x 2 =. Den Wertebereich erhalt man aus den spateren Resultaten zu (, f( 8) 2.56]. 3 (2) Symmetrie: Die Funktion ist weder gerade noch ungerade. (3) Pole: x 0 = 0 ist eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel. (4) Asymptoten: 2x 2 + 3x 4 = 2, x 2 (und f(x) x = ) Die Asymptote ist also y = 2. (5) Nullstellen: f(x) = 0 2x 2 + 3x 4 = 0 2x 2 + 3x 4 x 3 = 0. x 1/2 = ± = 1 4 ( 3 ± 41). x und x (6) Extrema: 1. Randpunkte gibt es nicht zu untersuchen, da die gesamte reelle Achse betrachtet wird. 2. Die Funktion ist in x 0 = 0 weder deniert noch stetig, noch dierenzierbar. 3. y = (4x + 3)x2 2x(2x 2 + 3x 4) = 4x3 + 3x 2 4x 3 6x 2 + 8x (x 2 ) 2 x 4 = 3x + 8 x 3 = 0 fur x 3 = 8 3.
8 56 Weiterhin ist ( ) 8 y 3 = 3x3 3x 2 ( 3x + 8) x 6 x= 8 3 = 6x 24 x 4 x= 8 3 = ( 8 3) 4 < 0 Somit hat f(x) in x 3 = 8 ein lokales Maximum mit f(x 3 3) Monotonie: 8 < 0 : < x <, echt monoton fallend, y 3 (x) = > 0 : 0 < x < 8, echt monoton wachsend, 3 < 0 : < x < 0, echt monoton fallend. (7) Wendepunkte: Die Funktion ist in x 0 = 0 nicht deniert. Da aber rechts und links von x 0 = 0 die zweite Ableitung existiert und dasselbe Vorzeichen hat, ist x 0 = 0 kein Wendepunkt. Weiterhin ist und es ist y = 0 x = x 4 = 4 mit f(x 4 ) = 5 2 y (x 4 ) = 6x4 4x 3 (6x 24) x 8 = 18x4 + 96x 3 = 6 0 x=4 x=4 und deshalb ist x 4 = 4 ein Wendepunkt. Krummungverhalten: > 0 : 4 < x <, konvex von unten, y (x) = < 0 : 0 < x < 4, konvex von oben, < 0 : < x < 0, konvex von oben. (8) Skizze x 8 y= f x = 2x2 3x 4 x 2 Asymptote y=2 Wendepunkt bei x=4, globales Maximum bei x=x 3 =8/3.
Anwendungen der Differentialrechnung
KAPITEL 5 Anwendungen der Differentialrechnung 5.1 Maxima und Minima einer Funktion......................... 80 5.2 Mittelwertsatz.................................... 82 5.3 Kurvendiskussion..................................
MehrFunktionen untersuchen
Funktionen untersuchen Mögliche Fragestellungen Definition: lokale und globale Extrema Monotonie und Extrema Notwendige Bedingung für Extrema Hinreichende Kriterien, Vergleich Krümmungsverhalten Neumann/Rodner
MehrAbb lokales Maximum und Minimum
.13 Lokale Extrema, Monotonie und Konvexität Wir kommen nun zu den ersten Anwendungen der Dierentialrechnung. Zwischen den Eigenschaten einer Funktion, dem Verlau des zugehörigen Graphen und den Ableitungen
Mehr6 Die Bedeutung der Ableitung
6 Die Bedeutung der Ableitung 24 6 Die Bedeutung der Ableitung Wir wollen in diesem Kapitel diskutieren, inwieweit man aus der Kenntnis der Ableitung Rückschlüsse über die Funktion f ziehen kann Zunächst
MehrKurvendiskussion. Mag. Mone Denninger 10. Oktober Extremwerte (=Lokale Extrema) 2. 5 Monotonieverhalten 3. 6 Krümmungsverhalten 4
Mag. Mone Denninger 10. Oktober 2004 Inhaltsverzeichnis 1 Definitionsmenge 2 1.1 Verhalten am Rand und an den Lücken des Definitionsbereichs............................ 2 2 Nullstellen 2 3 Extremwerte
MehrDa der Nenner immer positiv ist, folgt. g (x) > 0 2x(2 x) > 0 0 < x < 2 g (x) < 0 2x(2 x) < 0 x < 0 oder x > 2
Da der Nenner immer positiv ist, folgt g (x) > 0 x( x) > 0 0 < x < g (x) < 0 x( x) < 0 x < 0 oder x > Also ist g auf (0,) streng monoton wachsend sowie auf (,0) und auf (, ) strengmonotonfallend.außerdemistg
MehrDierentialrechnung mit einer Veränderlichen
Dierentialrechnung mit einer Veränderlichen Beispiel: Sei s(t) die zum Zeitpunkt t zurückgelegte Wegstrecke. Dann ist die durchschnittliche Geschwindigkeit zwischen zwei Zeitpunkten t 1 und t 2 gegeben
Mehrx 1 keinen rechtsseitigen Grenzwert x 0+ besitzen. (Analog existiert der linksseitige Grenzwert nicht.)
Differentialrechnung 1 Grenzwerte Gegeben sei ein Intervall I R, a I {, } und f : I\{a} R. Die Funktion f kann sehr wohl auch an der Stelle x = a erklärt sein, wir wollen aber nur wissen wie sich die Funktion
Mehr6.2 Die Regeln von de l Hospital. Ausgangsfrage: Wie berechnet man den Grenzwert. Beispiel: Sei f(x) = x 2 und g(x) = x. Dann gilt. lim.
6.2 Die Regeln von de l Hospital Ausgangsfrage: Wie berechnet man den Grenzwert falls g(x), beide Funktionen gegen Null konvergieren, d.h. = g(x) = 0 beide Funktionen gegen Unendlich konvergieren, d.h.
MehrMonotonie, Konkavität und Extrema
Kapitel 8 Monotonie, Konkavität und Extrema Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 8 Monotonie, Konkavität und Extrema 1 / 55 Monotonie Eine Funktion f heißt monoton steigend, falls x 1
Mehr12 Extremwerte und Monotonie
5 II. Differentialrechnung 1 Extremwerte und Monotonie Lernziele: Resultate: Existenz von Maxima und Minima stetiger Funktionen auf kompakten Intervallen, Monotoniesatz Kompetenzen: Bestimmung lokaler
MehrDifferential- und Integralrechnung
Brückenkurs Mathematik TU Dresden 2016 Differential- und Integralrechnung Schwerpunkte: Differentiation Integration Eigenschaften und Anwendungen Prof. Dr. F. Schuricht TU Dresden, Fachbereich Mathematik
MehrHöhere Mathematik I für Ingenieurinnen und Ingenieure Beispiele zur 11. Übung
TU Bergakademie Freiberg Vorl. Frau Prof. Dr. Swanhild Bernstein Übung Dipl.-Math. Daniel Lorenz Freiberg, 06. Dezember 06 Höhere Mathematik I für Ingenieurinnen und Ingenieure Beispiele zur. Übung In
MehrGF MA Differentialrechnung A2
Kurvendiskussion Nullstellen: Für die Nullstellen x i ( i! ) einer Funktion f gilt: Steigen bzw. Fallen: f ( x i ) = 0 f '( x) > 0 im Intervall I f ist streng monoton wachsend in I f '( x) < 0 im Intervall
MehrMathematik I Herbstsemester 2014 Kapitel 4: Anwendungen der Differentialrechnung
Mathematik I Herbstsemester 2014 Kapitel 4: Anwendungen der Differentialrechnung www.math.ethz.ch/education/bachelor/lectures/hs2014/other/mathematik1 BIOL Prof. Dr. Erich Walter Farkas http://www.math.ethz.ch/
Mehr6 Weiterer Ausbau der Differentialrechnung
6 Weiterer Ausbau der Differentialrechnung 6.1 Mittelwertsätze, Extremwerte, Satz von Taylor Motivation: Wie wählt man Höhe und Durchmesser einer Konservendose, so dass bei festem Volumen V möglichst wenig
Mehr1 Höhere Ableitungen 2. 2 Mittelwertsatz und Monotonie 3. 3 Konvexe und konkave Funktionen 5. 4 Lokale und globale Extremalstellen 7
Universität Basel 4 Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Abteilung Quantitative Methoden Mathematik 1 Dr. Thomas Zehrt Kurvendiskussionen Inhaltsverzeichnis 1 Höhere Ableitungen 2 2 Mittelwertsatz und
MehrDefinition: Differenzierbare Funktionen
Definition: Differenzierbare Funktionen 1/12 Definition. Sei f :]a, b[ R eine Funktion. Sie heißt an der Stelle ξ ]a, b[ differenzierbar, wenn der Grenzwert existiert. f(ξ + h) f(ξ) lim h 0 h = lim x ξ
MehrBasistext Kurvendiskussion
Basistext Kurvendiskussion In einer Kurvendiskussion sollen zu einer vorgegebenen Funktion (bzw. Funktionsschar) Aussagen über ihrem Verlauf gemacht werden. Im Nachfolgenden werden die einzelnen Untersuchungspunkte
MehrWichtige Klassen reeller Funktionen
0 Wichtige Klassen reeller Funktionen Monotone Funktionen sind i.a. unstetig, aber man kann etwas über das Grenzwertverhalten aussagen, wenn man nur einseitige Grenzwerte betrachtet. Definition 0. : Sei
MehrTiefpunkt = relatives Minimum hinreichende Bedingung:
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 1 0.0.01 Kurvendiskussion Vorbetrachtungen Um den Graphen einer Funktion zeichnen und interpretieren zu können, ist es erforderlich einiges über markante Punkte
MehrMathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016
und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 5. Juni 2016 Definition 5.21 Ist a R, a > 0 und a 1, so bezeichnet man die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion x a x als
Mehr6. ANWENDUNGEN DER ABLEITUNG
48 Dieses Skript ist ein Auszug mit Lücken aus Einführung in die mathematische Behandlung der Naturwissenschaften I von Hans Heiner Storrer, Birkhäuser Skripten. Als StudentIn sollten Sie das Buch auch
MehrKapitel 16 : Differentialrechnung
Kapitel 16 : Differentialrechnung 16.1 Die Ableitung einer Funktion 16.2 Ableitungsregeln 16.3 Mittelwertsätze und Extrema 16.4 Approximation durch Taylor-Polynome 16.5 Zur iterativen Lösung von Gleichungen
MehrC. Eicher Analysis Study Center ETH Zürich HS Extremwerte
C. Eicher Analysis Study Center ETH Zürich HS 05 Extremwerte Gelöste Aufgabenbeispiele:. Bestimme die lokalen und globalen Extrema der Funktion f(x) = x x + x auf dem Intervall [ 4, ]. a. Bestimmung der
MehrWendepunkte. Jutta Schlumberger
Wendepunkte Jutta Schlumberger Ausarbeitung zum Vortrag im Proseminar Überraschungen und Gegenbeispiele in der Analysis (Sommersemester 2009, Leitung PD Dr. Gudrun Thäter) Zusammenfassung: In dieser Ausarbeitung
MehrTechnische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 4
Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik (Elektrotechnik) Prof. Dr. Anusch Taraz Dr. Michael Ritter Übungsblatt 4 Hausaufgaben Aufgabe 4. Gegeben sei die Funktion f : D R mit f(x) :=
MehrÜbungsaufgaben zur Kurvendiskussion
SZ Neustadt Mathematik Torsten Warncke FOS 12c 30.01.2008 Übungsaufgaben zur Kurvendiskussion 1. Gegeben ist die Funktion f(x) = x(x 3) 2. (a) Untersuchen Sie die Funktion auf Symmetrie. (b) Bestimmen
MehrZusammenfassung der Kurvendiskussion
Zusammenfassung der Kurvendiskussion Diskussionspunkte 1 Größtmögliche Definitionsmenge D f 2 Symmetrieeigenschaften des Graphen G f 3 Nullstellen, Polstellen, Schnittpunkte mit der y-achse, Vielfachheit
MehrI. Verfahren mit gebrochen rationalen Funktionen:
I. Verfahren mit gebrochen rationalen Funktionen: 1. Definitionslücken bestimmen: Nenner wird gleich 0 gesetzt! 2. Prüfung ob eine hebbare Definitionslücke vorliegt: Eine hebbare Definitionslücke liegt
MehrAnwendungen der Differentialrechnung
KAPITEL 3 Anwendungen der Differentialrechnung 3.1 Lokale Maxima und Minima Definition 16: Sei f : D R eine Funktion von n Veränderlichen. Ein Punkt x heißt lokale oder relative Maximalstelle bzw. Minimalstelle
MehrSkripten für die Oberstufe. Kurvendiskussion. f (x) f (x)dx = e x.
Skripten für die Oberstufe Kurvendiskussion x 3 f (x) x f (x)dx = e x H. Drothler 0 www.drothler.net Kurvendiskussion Zusammenfassung Seite Um Funktionsgraphen möglichst genau zeichnen zu können, werden
Mehr7.9. Kurvendiskussion
7.9. Kurvendiskussion Bei der systematischen Untersuchung einer gegebenen Funktion und der durch sie dargestellten Kurve interessiert man sich vor allem für die folgenden Charakteristika, die einen guten
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2016): Differential und Integralrechnung 7
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2016): Differential und Integralrechnung 7 7.1 (Herbst 2015, Thema 1, Aufgabe 4) Gegeben sei das Dreieck und die Funktion f : R mit Bestimmen Sie f(
MehrVorlesung Mathematik für Ingenieure I (Wintersemester 2007/08)
1 Vorlesung Mathematik für Ingenieure I (Wintersemester 2007/08) Kapitel 4: Konvergenz und Stetigkeit Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 22. November 2007) Folgen Eine Folge
Mehr1 2 x x. 1 2 x 4
S. Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten und ihre Ableitung Zuordung f(x) = x g(x) = x h(x) = x k(x) = x p(x) = x 0, q(x) = x r(x) = x s(x) = x, 6 7 Wurzelfunktionen a) f(x) = x + D = [ ; [ f '(x)
Mehr2 Differenzialrechnung für Funktionen einer Variablen
2 Differenzialrechnung für Funktionen einer Variablen Ist f eine ökonomische Funktion, so ist oft wichtig zu wissen, wie sich die Funktion bei kleinen Änderungen verhält. Beschreibt etwa f einen Wachstumsprozess,
MehrVorlesung: Analysis I für Ingenieure
Vorlesung: Analysis I für Ingenieure Michael Karow Thema: Satz von Taylor Die Taylor-Entwicklung I Satz von Taylor. Sei f : R D R an der Stelle x n-mal differenzierbar. Dann gilt für x D, n f (k) (x )
Mehr18 Höhere Ableitungen und Taylorformel
8 HÖHERE ABLEITUNGEN UND TAYLORFORMEL 98 8 Höhere Ableitungen und Taylorformel Definition. Sei f : D R eine Funktion, a D. Falls f in einer Umgebung von a (geschnitten mit D) differenzierbar und f in a
Mehrg(x) = lim 6.2 Die Regeln von de l Hospital Ausgangsfrage: Wie berechnet man den Grenzwert Beispiel: Seif(x) = x 2 undg(x) = x.
6.2 Die Regeln von de l Hospital Ausgangsfrage: Wie berechnet man den Grenzwert falls x x 0 g(x), beide Funktionen gegen Null konvergieren, d.h. x x 0 = x x 0 g(x) = 0 beide Funktionen gegen Unendlich
Mehr23 Konvexe Funktionen und Ungleichungen
23 Konvexe Funktionen und Ungleichungen 231 Konvexe Funktionen 232 Kriterien für Konvexität 233 Streng konvexe Funktionen 235 Wendepunkte 237 Ungleichung von Jensen 2310 Höldersche Ungleichung 2311 Minkowskische
MehrMathemathik-Prüfungen
M. Arend Stand Juni 2005 Seite 1 1980: Mathemathik-Prüfungen 1980-2005 1. Eine zur y-achse symmetrische Parabel 4.Ordnung geht durch P 1 (0 4) und hat in P 2 (-1 1) einen Wendepunkt. 2. Diskutieren Sie
Mehr16. Differentialquotient, Mittelwertsatz
16. Differentialquotient, Mittelwertsatz Gegeben sei eine stetige Funktion f : R R. Wir suchen die Gleichung der Tangente t an die Kurve y = f(x) im Punkt (x, f(x ), x R. Das Problem dabei ist, dass vorderhand
Mehr1.2 Einfache Eigenschaften von Funktionen
1.2 Einfache Eigenschaften von Funktionen 1.2.1 Nullstellen Seien A und B Teilmengen von R und f : A B f : Df Wf eine Funktion. Eine Nullstelle der Funktion f ist ein 2 D f, für das f ( = 0 ist. (Eine
MehrKurvendiskussion. Gesetzmäßigkeiten. Lineare Funktionen. Funktionsgleichung
Kurvendiskussion Gesetzmäßigkeiten Lineare Funktionen Funktionsgleichung y = mx + c m: Steigung c: y-achsenabschnitt (Funktionswert für y, bei dem der Graph die y-achse schneidet Beispiel : y = x 3 mit
MehrAnalysis II WS 11/12 Serie 9 Musterlösung
Analysis II WS / Serie 9 Musterlösung Aufgabe Bestimmen Sie die kritischen Punkte und die lokalen Extrema der folgenden Funktionen f : R R: a fx, y = x + y xy b fx, y = cos x cos y Entscheiden Sie bei
MehrKurvendiskussion Ganzrationale Funktion Aufgaben und Lösungen
Kurvendiskussion Ganzrationale Funktion Aufgaben und http://www.fersch.de Klemens Fersch 9. August 0 Inhaltsverzeichnis Ganzrationale Funktion Quadratische Funktionen f x) = ax + bx + c 8. Aufgaben...................................................
Mehr, a n 2. p(x) = a n x n + a n 1. x n a 2 x 2 + a 1 x + a 0. reelles Polynom in der Variablen x vom Grad n. Man schreibt deg p(x) = n
. Graphen gebrochen rationaler Funktionen ==================================================================. Verhalten in der Umgebung der Definitionslücken ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
MehrMathematik für Biologen
Mathematik für Biologen Prof. Dr. Rüdiger W. Braun Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf 25. November 2010 1 Differentialrechnung Kurvendiskussion Trigonometrische Funktionen Bedeutung der Ableitung in
MehrMusterlösung zu Blatt 1
Musterlösung zu Blatt Analysis III für Lehramt Gymnasium Wintersemester 0/4 Überprüfe zunächst die notwendige Bedingung Dfx y z = 0 für die Existenz lokaler Extrema Mit x fx y z = 8x und y fx y z = + z
MehrB.7 Kurzzusammenfassung zum Thema Kurvendiskussion
B.7 Kurzzusammenfassung zum Thema Kurvendiskussion B.7.a Übersicht Charakteristische Punkte/Verläufe einer Kurve Eine Funktion bzw. Gleichung wird üblicherweise auf folgende charakteristische Punkte analysiert:
MehrKapitel 7 Differentialrechnung
Kapitel 7 Differentialrechnung 245 Kapitel 7.1 Grundbegriffe 246 Der Differentialquotient und das Integral sind die Kernbegriffe der Analysis. Ableitung und Integralbegriff werden durch gewisse Grenzwerte
MehrKurvendiskussion Gebrochenrationale Funktion Aufgaben und Lösungen
Kurvendiskussion Gebrochenrationale Funktion Aufgaben und http://www.fersch.de Klemens Fersch 7. September 0 Inhaltsverzeichnis Gebrochenrationale Funktion Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad
MehrMathematik 1 Bachelorstudiengang Maschinenbau
Mathematik 1 Bachelorstudiengang Maschinenbau Prof. Dr. Stefan Etschberger Hochschule Augsburg Sommersemester 2012 7. Differentialrechnung einer Veränderlichen 7.2. Differentialquotient und Ableitung
MehrMisterlösung zur Klausur zur Vorlesung Analysis I, WS08/09, Samstag, (Version C)
Misterlösung zur Klausur zur Vorlesung Analysis I, WS08/09, Samstag, 14..009 (Version C Vokabelbuch In diesem Teil soll getestet werden, inwieweit Sie in der Lage sind, wichtige Definitionen aus der Vorlesung
Mehr5.5. Prüfungsaufgaben zur graphischen Integration und Differentiation
5.5. Prüfungsaufgaben zur graphischen Integration und Differentiation Aufgabe : Verschiebung und Streckung trigonometrischer Funktionen (5) a) Bestimmen Sie die Periode p sowie die Nullstellen der Funktion
MehrGrenzwerte und Stetigkeit
KAPITEL 3 Grenzwerte und Stetigkeit 3.1 Grenzwerte..................................... 49 3.2 Stetigkeit....................................... 57 Lernziele 3 Grenzwerte ε-δ-definition des Grenzwerts,
MehrPrüfungsfragen Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler
Prüfungsfragen Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler Die nachfolgende Zusammenstellung enthält vor allem Klausuraufgaben aus den Jahren 2 bis 211. Hierbei wurden die Aufgaben thematisch geordnet,
MehrVorlesungen Analysis von B. Bank
Vorlesungen Analysis von B. Bank vom 23.4.2002 und 26.4.2002 Zunächst noch zur Stetigkeit von Funktionen f : D(f) C, wobei D(f) C. (Der Text schliesst unmittelbar an die Vorlesung vom 19.4.2002 an.) Auf
MehrAnalysis1-Klausuren in den ET-Studiengängen (Ba) ab 2007
Analysis-Klausuren in den ET-Studiengängen (Ba) ab 7 Im Folgenden finden Sie die Aufgabenstellungen der bisherigen Klausuren Analysis im Bachelorstudium der ET-Studiengänge sowie knapp gehaltene Ergebnisangaben.
Mehr1 Umkehrfunktionen und implizite Funktionen
Mathematik für Physiker III WS 2012/2013 Freitag 211 $Id: implizittexv 18 2012/11/01 20:18:36 hk Exp $ $Id: lagrangetexv 13 2012/11/01 1:24:3 hk Exp hk $ 1 Umkehrfunktionen und implizite Funktionen 13
MehrExtremwerte von Funktionen mehrerer reeller Variabler
Extremwerte von Funktionen mehrerer reeller Variabler Bei der Bestimmung der Extrema von (differenzierbaren) Funktionen f : R n R ist es sinnvoll, zuerst jene Stellen zu bestimmen, an denen überhaupt ein
MehrLösungsvorschlag - Zusatzaufgaben (2)
HOCHSCHULE KARLSRUHE Sommersemester 014 Elektrotechnik - Sensorik Übung Mathematik I B.Sc. Paul Schnäbele Lösungsvorschlag - Zusatzaufgaben ) a) x ) fx) = D = R \ { } x + Es liegt keine gängige Symmetrie
MehrMathematik I für MB und ME
Übungsaufgaben Aufgaben zur Wiederholung Mathematik I für MB und ME Fachbereich Grundlagenwissenschaften Prof Dr Viola Weiÿ Wintersemester 06/07 a) Stellen Sie die Gleichung a b 3+c = a +c, a, b > 0, nach
MehrRückblick auf die letzte Vorlesung. Bemerkung
Bemerkung 1) Die Bedingung grad f (x 0 ) = 0 T definiert gewöhnlich ein nichtlineares Gleichungssystem zur Berechnung von x = x 0, wobei n Gleichungen für n Unbekannte gegeben sind. 2) Die Punkte x 0 D
MehrDifferentialrechnung
Differentialrechnung Um Funktionen genauer zu untersuchen bzw. sie zu analysieren, ist es notwenig, etwas über ihren Verlauf, as qualitative Verhalten er Funktion, sagen zu können. Das heisst, wir suchen
MehrMathematik M 1/Di WS 2001/02 1. Sei f : D R eine Funktion mit nichtleerem Definitionsbereich D. Sei a D. f heißt stetig in a, falls gilt
Mathematik M 1/Di WS 2001/02 1 b) Stetigkeit Sei f : D R eine Funktion mit nichtleerem Definitionsbereich D Sei a D f heißt stetig in a, falls gilt lim f() = f(a) a f heißt stetig auf D, wenn f in jedem
MehrModul Grundbildung Analysis WiSe 10/11. A.: Wurde in diesem Kapitel behandelt. C.: Weitere Fragen (Nicht nur für die Klausur interessant)
Modul Grundbildung Analysis WiSe 10/11 Im Folgenden bedeutet A: Wurde in diesem Kapitel behandelt B: Interessante Aufgaben C: Weitere Fragen (Nicht nur für die Klausur interessant) V1 Konvergenz, Grenzwert
MehrAnalysis II 14. Übungsblatt
Jun.-Prof. PD Dr. D. Mugnolo Wintersemester 01/13 F. Stoffers 04. Februar 013 Analysis II 14. Übungsblatt 1. Aufgabe (8 Punkte Man beweise: Die Gleichung z 3 + z + xy = 1 besitzt für jedes (x, y R genau
MehrStichpunkte zum Abschnitt Analysis der Höheren Mathematik für Ingenieure I
Stichpunkte zum Abschnitt Analysis der Höheren Mathematik für Ingenieure I Komplexe Zahlen Definition komplexer Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene, algebraische Form, trigonometrische Form, exponentielle
Mehr13. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau
Fachbereich Mathematik Prof. Dr. M. Joswig Dr. habil. Sören Kraußhar Dipl.-Math. Katja Kulas 3. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau Gruppenübung WS 00/ 07.0.-.0. Aufgabe G Stetigkeit) a) Gegeben
MehrUnivariate Analysis. Analysis und nichtlineare Modelle Sommersemester
Analysis und nichtlineare Modelle Sommersemester 9 5 Univariate Analysis C. Berechnen Sie ohne Taschenrechner(!). Runden Sie die Ergebnisse auf ganze Zahlen. (a) 7 :, (b) 795 :.. Berechnen Sie ohne Taschenrechner(!):
MehrDifferenzialrechnung
Mathe Differenzialrechnung Differenzialrechnung 1. Grenzwerte von Funktionen Idee: Gegeben eine Funktion: Gesucht: y = f(x) lim f(x) = g s = Wert gegen den die Funktion streben soll (meist 0 oder ) g =
MehrV.1 Konvergenz, Grenzwert und Häufungspunkte
V.1 Konvergenz, Grenzwert und Häufungspunkte S. 108 110 A. Bereits bekannt: Folge Extrem wichtig: Grenzwert bzw. Konvergenz: a n a oder lim n a n = a : ε R, ε > 0 n 0 N : a n a < ε n n 0 Begriffe: Fast
MehrKurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion
Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion Lernzuflucht 24. November 20 L A TEX M. Neumann Folgende Funktion soll in einer Kurvendiskussion bearbeitet werden: f(x) = x 4 2x 2 ; D = R () Diese Funktion
MehrFormelsammlung Analysis
Formelsammlung Analysis http://www.fersch.de Klemens Fersch. August 0 Inhaltsverzeichnis Analysis. Grenzwert - Stetigkeit.............................................. Grenzwert von f(x) für x gegen x0...................................
MehrTaylor-Entwicklung der Exponentialfunktion.
Taylor-Entwicklung der Exponentialfunktion. Betrachte die Exponentialfunktion f(x) = exp(x). Zunächst gilt: f (x) = d dx exp(x) = exp(x). Mit dem Satz von Taylor gilt um den Entwicklungspunkt x 0 = 0 die
MehrWirtschaftsmathematik Plus für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA)
Wirtschaftsmathematik Plus für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wintersemester 2012/13 Hochschule Augsburg Aufgabe 98 12.12.2012 Untersuchen Sie die Funktion f W R! R mit f.x/
MehrRückblick auf die letzte Vorlesung
Rückblick auf die letzte Vorlesung 1. Anwendungen des Satzes über implizite Funktionen 2. Stationäre Punkte implizit definierter Funktionen 3. Reguläre Punkte 4. Singuläre Punkte Ausblick auf die heutige
MehrArbeitsblätter zur Vergleichsklausur EF. Aufgabe 1 Bestimme die Lösungen der folgenden Gleichungen möglichst im Kopf.
Arbeitsblätter zur Vergleichsklausur EF Arbeitsblatt I.1 Nullstellen Aufgabe 1 Bestimme die Lösungen der folgenden Gleichungen möglichst im Kopf. Beachte den Satz: Ein Produkt wird null, wenn einer der
MehrVorlesung Mathematik für Ingenieure (WS 11/12, SS 12, WS 12/13)
1 Vorlesung Mathematik für Ingenieure (WS 11/12, SS 12, WS 12/13) Kapitel 5: Konvergenz Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 15. Dezember 2011) Folgen Eine Folge x 0, x 1,
MehrMathematische Behandlung der Natur- und Wirtschaftswissenschaften I. f(x) := e x + x.
Technische Universität München WS 009/0 Fakultät für Mathematik Prof. Dr. J. Edenhofer Dipl.-Ing. W. Schultz Übung Lösungsvorschlag Mathematische Behandlung der Natur- und Wirtschaftswissenschaften I Aufgabe
MehrStetigkeit und Differenzierbarkeit
Kapitel 5 Stetigkeit un Differenzierbarkeit 5.1 Stetigkeit Unstrenge Definitionen : Eine Funktion heißt stetig, wenn - man ihren Graphen mit em Bleistift ohne Absetzen zeichnen kann; - kleine Änerungen
MehrCelle. Betragsfunktion 1-E1. Vorkurs, Mathematik
Celle Betragsfunktion 1-E1 1-E2 Betragsfunktion y = x : Aufgabe 1 Abb. 1: Graph der Betragsfunktion y = x Die Abb. 3-1 zeigt die Betragsfunktion y = x. Beschreiben Sie die Eigenschaften dieser Funktion:
Mehr2 Wiederholung der Ableitungsregeln und höhere Ableitungen
2 Wiederholung der Ableitungsregeln und höhere Ableitungen In der Abbildung sehen Sie die Graphen der Funktionen f und g mit f (x) = x 2 und g (x) = _ 1 x 2 4 sowie die Graphen der Ableitungsfunktionen
Mehr2004, x 0 (e 2x + x) x 1, x > 0. Untersuchen Sie die Funktion auf Stetigkeit an der Stelle x 0 = 0!
Klausur 25.02.2004 Aufgabe 5 Gegeben ist die Funktion f(x) = 2004, x 0 (e 2x + x) x 1, x > 0. Untersuchen Sie die Funktion auf Stetigkeit an der Stelle x 0 = 0! Klausur 06.08.2003 Aufgabe 5 Gegeben ist
MehrExtrempunkte eine Einführung
Extrempunkte eine Einführung Kurzer Überblick Grundsätzlich ist ein Extrempunkt der entweder ein Hochpunkt oder ein Tiefpunkt sein kann ein Punkt am Graphen einer Funktion, dessen Wert (y- Koordinate)
MehrGebrochen-Rationale Funktionen
Gebrochen-Rationale Funktionen Bernhard Scheideler Albrecht-Dürer-Gymnasium Hagen Hilfen zur Analysis (Q1) 20. Januar 2012 Inhalt: Die Diskussion einer gebrochen-rationalen Funktion wird an einem Beispiel
MehrDer Funktionsbegri und elementare Kurvendiskussion
Der Funktionsbegri und elementare Kurvendiskussion Christoph Jansen Institut für Statistik, LMU München Formalisierungspropädeutikum 5. Oktober 2016 1 / 24 Allgemeiner Funktionsbegri Eine Funktion f ist
MehrTechnische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 5
Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik Elektrotechnik) Prof. Dr. Anusch Taraz Dr. Michael Ritter Übungsblatt 5 Hausaufgaben Aufgabe 5. Bestimmen Sie folgende Grenzwerte. Benutzen
MehrQuiz Analysis 1. Lösungen zu den Aufgaben M1 bis M7 der Probeklausur. Mathematisches Institut, WWU Münster. Karin Halupczok.
Quiz Analysis 1 Mathematisches Institut, WWU Münster Karin Halupczok WiSe 2011/2012 Lösungen zu den Aufgaben M1 bis M7 der Probeklausur 1 Aufgabe M1: Fragen zu Folgen, Reihen und ihre Konvergenz 2 Aufgabe
MehrNumerische Ableitung
Numerische Ableitung Die Ableitung kann angenähert werden durch den Differentenquotient: f (x) f(x + h) f(x) h oder f(x + h) f(x h) 2h für h > 0, aber h 0. Beim numerischen Rechnen ist folgendes zu beachten:
Mehr10 Differenzierbare Funktionen
10 Differenzierbare Funktionen 10.1 Definition: Es sei S R, x 0 S Häufungspunkt von S. Eine Funktion f : S R heißt im Punkt x 0 differenzierbar, wenn der Grenzwert f (x 0 ) := f(x 0 + h) f(x 0 ) lim h
Mehr( ) Dann gilt f(x) g(x) in der Nähe von x 0, das heisst. Für den Fehler r(h) dieser Näherung erhält man unter Verwendung von ( )
64 Die Tangente in x 0 eignet sich also als lokale (lineare) Näherung der Funktion in der Nähe des Punktes P. Oder gibt es eine noch besser approximierende Gerade? Satz 4.9 Unter allen Geraden durch den
MehrKapitel 6 Grenzwerte von Funktionen und Stetigkeit
Kapitel 6 Grenzwerte von Funktionen und Stetigkeit 225 Relle Funktionen Im Folgenden betrachten wir reelle Funktionen f : D R, mit D R. Wir suchen eine formale Definition für den folgenden Sachverhalt.
MehrAnalysis: Klausur Analysis
Analysis Klausur zu Ableitung, Extrem- und Wendepunkten, Interpretation von Graphen von Ableitungsfunktionen, Tangenten und Normalen (Bearbeitungszeit: 90 Minuten) Gymnasium J Alexander Schwarz www.mathe-aufgaben.com
MehrGrundfunktion Wendepunkt Extrempunkt Nullstelle 1. Ableitung Extrempunkt Nullstelle - 2. Ableitung Nullstelle - -
KURVENDISKUSSION Vorüberlegungen Die Kurvendiskussion ist ein wichtiges Teilgebiet der Mathematik, das speziell für die Matura von großer Bedeutung ist. Dabei untersucht man einen Graphen auf dessen geometrische
MehrPriv. Doz. Dr. A. Wagner Aachen, 19. September 2016 S. Bleß, M. Sc. Analysis. Übungsaufgaben. im Vorkurs Mathematik 2016, RWTH Aachen University
Priv. Doz. Dr. A. Wagner Aachen, 9. September 6 S. Bleß, M. Sc. Analysis Übungsaufgaben im Vorkurs Mathematik 6, RWTH Aachen University Intervalle, Supremum und Infimum Für a, b R, a < b nennen wir eine
MehrMathematische Grundlagen der Ökonomie Übungsblatt 11
Mathematische Grundlagen der Ökonomie Übungsblatt 11 Abgabe Donnerstag 1. Januar, 10:15 in H3 3+4+8+5 = 0 Punkte Mit Lösungshinweisen zu einigen Aufgaben 43. Die Funktion f sei auf einem Intervall I R
Mehr40 Lokale Extrema und Taylor-Formel
198 VI. Differentialrechnung in mehreren Veränderlichen 40 Lokale Extrema und Taylor-Formel Lernziele: Resultate: Satz von Taylor und Kriterien für lokale Extrema Methoden aus der linearen Algebra Kompetenzen:
Mehr