Klausur zu. Lineare Algebra II. Viel Erfolg! Fachbereich Mathematik WS 2012/13 Dr. habil. Matthias Schneider. Bonus Note. Aufgabe

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1 Klausur zu Lineare Algebra II Fachbereich Mathematik WS 0/3 Dr. habil. Matthias Schneider Aufgabe Bonus Note Punktzahl erreichte Punktzahl Es sind keine Hilfsmittel zugelassen. Die Bearbeitungszeit beträgt 90 Minuten. Alle Lösungsschritte sind zu begründen. Viel Erfolg!

2 . Aufgabe ( Punkte) (a) Was besagt der Satz von Cayley-Hamilton. (b) Es sei V ein Vektorraum mit Skalarprodukt und φ ein Endomorphismus von V. Geben Sie eine mathematische Definition der Adjungierten von φ. (a) Jede Matrix A M n ( ) ist Nullstelle ihres charakteristischen Polynoms, d. h. es gilt p A (A) = 0. (b) Die Adjungierte ist eine Abbildung φ für die für alle x, y V gilt x, φ(y) = φ (x), y.. Aufgabe ( Punkte) (a) Entscheiden Sie mit Begründung, ob die folgende komplexe Matrix diagonalisierbar ist: i i. i i (b) Entscheiden Sie mit Begründung, ob es eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren folgender komplexer Matrix gibt: 0 i i σ := (a) Die Matrix hat zwei verschiedene Eigenwerte 0 und i und ist daher diagonalisierbar. (b) Die Eigenwerte sind 0 (mit algebraischer Vielfachheit ) und (mit Vielfachheit ). Der Eigenraum zum Eigenwert 0 ist ker σ = Span{(, 0, 0) T } und damit -dimensional. Es gibt also keine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren. 3. Aufgabe (4 Punkte) Betrachten Sie die komplexe Matrix + i 0 i A := i i. + i 0 + i (a) Bestimmen Sie alle Eigenwerte von A. (b) Bestimmen Sie für jeden Eigenwert von A eine Basis des entsprechenden Eigenraums. (c) Bestimmen Sie das Minimalpolynom von A.

3 Alle Antworten sind zu begründen, etwa durch eine Rechnung. (a) Das charakteristische Polynom von A lautet p A (t) = det(a t I) = t 3 + ( + 4i)t + (4 8i)t 8 = ( t)(i t) und hat die Nullstellen λ = (einfach) und λ = i (doppelt). (b) Der Eigenraum zum Eigenwert ist Span{( i, 0, ) T }, für den Eigenwert i erhält man Span{(0,, 0) T }. (c) Als Minimalpolynom kommen nur (t )(t i) und (t )(t i) in Frage. Man rechnet nach, dass (A E)(A ie) 0. Somit ist das Minimalpolynom m A (t) = (t )(t i). 4. Aufgabe (3 Punkte) Betrachten Sie den Vektorraum der komplexen n n-matrizen M n ( ) sowie die Abbildung, : M n ( ) M n ( ) definiert durch (a) Zeigen Sie, dass, ein Skalarprodukt ist. A, B := Tr(AB ) (b) Geben Sie eine Orthonormalbasis von (M n ( ),, ) an. (a) Wir weisen die Axiome des Skalarprodukts nach: Seien A, B, C M n ( ), λ, µ. i. Sesquilinearität: λa + µb, C = Tr (λa + µb)c = λ Tr AC + µ Tr BC = λ A, C + µ B, C ii. Antisymmetrie: AB, = Tr AB = Tr ((AB ) ) = Tr (BA ) = Tr BA = B, A iii. Definitheit: A, A = Tr AA = n i= n j= a i ja i j 0 und A, A = 0 A = 0. (b) Definiere A i j M n (C) durch a i j = und a kl = 0 für k i, l j. Dann ist A i j, A i j = Tr A ii = und A i j, A kl = Tr 0 = 0. Also bilden die Matrizen A i j, i, j =,..., n eine Orthonormalbasis. 5. Aufgabe (3 Punkte) Betrachten Sie 3 versehen mit dem Skalarprodukt 3 v, w := kv i w i und bestimme Sie durch eine Rechnung eine Orthonormalbasis des Orthogonalkomplements von i. k= 3

4 Ein Vektor x = (x, x, x 3 ) T ist genau dann im Orthogonalkomplement von (, i, ) T, wenn x x, i = x i x + 3x 3 = 0 x 3 gilt. Eine Basis von ((, i, ) T ) ist 3 i b = 0, b =. 0 Mit Gram-Schmidt erhält man die Orthonormalbasis 3 v = 0, v = i. i 6. Aufgabe (3 Punkte) Es sei A O n ( ) eine orthogonale Matrix. Zeigen Sie: Es gilt det(a) > 0 genau dann, wenn es eine Matrix B M n ( ) gibt mit B = A. Sei zunächst B M n ( ) mit B = A. Dann ist det A = det B = (det B) > 0. Sei umgekehrt det A > 0 (also det A = ). Dann kann man A durch einen geeigneten Basiswechsel schreiben als A... A A = k ±... ± mit orthogonalen -Rotationsmatrizen A i, i =,..., k (d. h. det A i = für alle i) und einer geraden Anzahl an -Einträgen. Wir können A in -Blöcke A i mit Determinante zerlegen, für die wir die Behauptung zeigen: cos t A i = sin t sin t, cos t also eine orthogonale -Matrix C mit Determinante. (Die -Elemente kann man als ( 0 0 ) ebenfalls in diese Form bringen.) Für cos t sin t B i = sin t cos t (also eine Drehung um den Winkel t ) gilt dann B i = A i. 7. Aufgabe (3 Punkte) Bestimmen Sie die Hauptachsen der Quadrik {x 3 x + x x 3 3x x 3 = } 4

5 und skizzieren Sie die Quadrik in einem geeigneten Koordinatensystem. Sei 0 3 A = Dann gilt Q = {x 3 x T Ax = }. Der charakteristische Polynom lautet p A (t) = t 3 + t + 4t 8 = (t ) (t + ), die Eigenwerte sind also (doppelt) und. Es handelt sich also um ein einschaliges Hyperboloid. Der Eigenraum zum Eigenwert ist Span{( 3, 0, ) T, (0,, 0) T }, der zum Eigenwert ist Span{( 3, 0, ) T }. 5

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