Biegelinie eines Trägers

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Werner Böhme
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HTBL Graz (Ortweinschule Biegelinie eines Trägers Seite von Heinz Slepcevic slep@htlortwein-graz.ac.

1 HTBL Graz (Ortweinschule Biegelinie eines Trägers Seite von Heinz Slepcevic Biegelinie eines Trägers Mathematische / Fachliche Inhalte in Stichworten: Biegelinie, Differentialgleichung, Krümmung, Lastfälle Kurzzusammenfassung Berechnung der Gleichung einer Biegelinie eines Balkens in verschiedenen einfachen Lastfällen mit Hilfe der Differentialrechnung. In einem kleinen theoretischen Teil wird die Gleichung der Biegelinie kurz hergeleitet. Die Ermittlung der Querkraft- und Momentenfunktion wird (in Varianten am Beispiel mit einer mittigen Kraft vorgeführt. Didaktische Überlegungen / Zeitaufwand: Die Theorie und die anschließenden Beispiele sollen als Anregung dienen, wie dieses Kapitel behandelt werden kann. Die Ausführung ist als Unterstützung zum Theorie-Vortrag gedacht und nicht zum Selbststudium. Lehrplanbezug (bzw. Gegenstand / Abteilung / Jahrgang: Bautechnik: Statik, Angewandte Mathematik Mathcad-Version: Mathcad 00 INHALT : THEORIE Einseitig eingespannter Träger mit Dreieckslast Biegelinie eines Träger mit mittiger Einzellast Bemerkungen zur Bestimmung von Q und M bei Träger mit Einzellasten am Beispiel mit einer mittigen Kraft Heinz Slepcevic 000 / 00

2 HTBL Graz (Ortweinschule Biegelinie eines Trägers Seite von Theorie zurück zum INHALT Bei gegebnener Durchbiegungsfunktion ρ v f ( berechnet sich die Krümmung in einem Kurvenpunkt aus: F A d ds F B κ ρ v" ( v 3 In der spannungslosen neutralen Faser tritt keine Dehnung auf, ihr Verlauf wird Biegelienie genannt. Bei kleinen Verformungen gilt das HOOK'scher Gesetz σ E ε 0 E : Elastizitätsmodul ε 0 : Dehnung Hinweis : v" gibt man mit v <Strg><Shift><K> " <Strg><Shift><K> ein Leider funktioniert v' nicht, es funktioniert aber mit v <Strg><Shift><K> ' <Backspace> <Strg><Shift><K>. (als Apostroph muß der linksgerichtete hergenommen werden! Aus den ähnlichen Dreicken folgt: Nach HOOK gilt: ρ ds auflösen, ds d d ρ ε 0 ds σ E σ d auflösen, ρ d E ρ E σ + ( v' 3 v" d E σ ersetzen, v' 0 auflösen, v" σ d E Für die Spannung σ kann nun eingesetzt werden: Daraus ergibt sich schließlich die Gleichung der Biegelinie: v" M( E J σ M( d J Es gelten - nun ohne weitere Begründungen - die folgenden Beziehungen: E J E J E J v v'''' v''' Q( v'' M( f ( q( q( Belastungsfunktion Q( Querkraftsfunktion M( Momentenfunktion v Verformung ( Durchbiegung q +Q +M v Heinz Slepcevic 000 / 00

3 HTBL Graz (Ortweinschule Biegelinie eines Trägers Seite 3 von Einseitig eingespannter Träger mit Dreieckslast zurück zum INHALT Belastungsfunktion q ( E J v'''' q( Es soll E J weggelassen werden. Nur die Differentialgleichung v"" q( wird betrachtet. Es ist nun E J Q ( v''' Q( wenn man _Q ( setzt folgt: E J _Q ( + C _Q( 3 + C 6 Es ist nun E J M ( v'' M( wenn man _M ( setzt folgt: E J _M ( 3 + C + C 6 _M( C + C Heinz Slepcevic 000 / 00

4 HTBL Graz (Ortweinschule Biegelinie eines Trägers Seite 4 von Es folgt somit v' : v' ( C + C + C 3 v' ( C 3 + C + C 3 Damit ist die Funktion der Biegelinie bis auf die Konstanten C bestimmt. v ( C 3 + C + C 3 + C 4 Konstante durch die folgenden Randbedingungen festlegen Wenn 0 gilt v 0 0 v( ersetzen, 0 auflösen, C 4 0 C 4 0 Wenn 0 gilt v'' C + C + C 3 ersetzen, 0 auflösen, C 3 0 C 3 0 Wenn z gilt Moment v'' C + C ersetzen, C + C Wenn z gilt Durchbiegung v0 C3 0 und C4 0 sind schon berücksichtigt C 3 + C + C 3 + C 4 ersetzen, 0 0 la Heinz Slepcevic 000 / 00

5 HTBL Graz (Ortweinschule Biegelinie eines Trägers Seite 5 von Berechnen von C und C Vorgabe C + C C 3 + C suchen( C, C Nun können die Funktionen Q(, M( und v( angegeben werden. Querkraftsfunktion Q ( Momentenlinie M ( ( Heinz Slepcevic 000 / 00

6 HTBL Graz (Ortweinschule Biegelinie eines Trägers Seite 6 von Biegelinie v( 40 ( Nun die fehlenden arameter für die Belastung und die Länge definieren: 5 q( Q( M( ( v( 40 ( _ 0, 0... Bemerkung: "_" statt "" wird hier verwendet, weil weiter unten mit "" wieder symbolisch gerechnet wird q( _ Q( _ M( _ v( _ _ Heinz Slepcevic 000 / 00

7 HTBL Graz (Ortweinschule Biegelinie eines Trägers Seite 7 von Biegelinie eines Trägers mit mittiger Einzellast. zurück zum INHALT v E J f ( v'' M( v Verformung ( Durchbiegung M( Momentenfunktion E J E J v''' Q( v'''' q( Q( Querkraftsfunktion q( Belastungsfunktion Gegeben : Länge l Einzellast A FA l B FB Die Momentenfunktion hat daher folgende Form: M( ist nur im Intervall 0 bis l/ definiert! Ableitung der Momentenlinie E J 4 E J An der Stelle l/ hat die Biegelienie die Steigung 0; daher kann C berechnet werden. 4 E J + C 0 auflösen, C ersetzen, l 6 l E J Heinz Slepcevic 000 / 00

8 HTBL Graz (Ortweinschule Biegelinie eines Trägers Seite 8 von 4 E J 6 l + vereinfachen ( E J ( 6 4 l E J...v ( 6 4 l ( E J 6 E J l Die Biegelienie hat im Auflager 0 die Durchbiegung 0 6 ( E J l + C 0 ersetzen, 0 auflösen, C 0 Durchbiegungsfunktion fdurch ( 6 E J l Berechnung der Maimaldurchbiegung an der Stelle l/ 6 ( E J l ersetzen, l l 3 48 E J Heinz Slepcevic 000 / 00

9 HTBL Graz (Ortweinschule Biegelinie eines Trägers Seite 9 von Beispiel l E 00 J , fdurch( 6 E J l fdurch( 0 0 fdurch( fdurch l l 0 fdurch( Achtung Die Durchbiegungsfunktion ist nur im Intervall [0,l/] definiert! fdurch( l.40 Heinz Slepcevic 000 / 00

10 HTBL Graz (Ortweinschule Biegelinie eines Trägers Seite 0 von Bemerkungen zur Bestimmung von Q und M bei Träger mit Einzellasten am Beispiel mit einer mittigen Kraft zurück zum INHALT l 0 5 Unstetigkeitsstellen der Einzellast werden mit der "wenn(" Funktion behandelt F A F B F A Belastungsfunktion l q( wenn,, 0 + F A + F B 0 q( 5 5 Querkraftlinie Q( wenn l, F A, F B Momentenlinie M( wenn l, F A, F B ( l 0, l M( q( Q( M( Heinz Slepcevic 000 / 00

11 HTBL Graz (Ortweinschule Biegelinie eines Trägers Seite von Ansatz mit Vektoren für die -Koordinaten. Der Träger wird bei diesem Ansatz in N gleiche Teile geteilt. Für die Anschaulichkeit dieser Darstellung soll: die Länge l ganzzahlig sein die Anzahl N der Teilungen gleich der Länge des Trägers sein. Aufbau des -Vektors Die einzelnen Elemente enthalten die -Koordinaten der Trägerunterteilungen l 0 Länge l muß für diesen Ansatz ganzzahlig und positiv sein N l.. N Erzeugen des -Vektors Diese ist ein Bereich und kein Vektor! i 0.. N vek i i vek T Belastungsvektor vek Kraft im unkt a kraft( a,, N for i 0.. N kraft i if i a kraft i 0 otherwise kraft l vek kraft,, N vek T Auflagerkräfte in die Elemene mit den Inde 0 und N eintragen: vek 0 F A vek N F B Vektor der Einzelkräfte vek T Heinz Slepcevic 000 / 00

12 HTBL Graz (Ortweinschule Biegelinie eines Trägers Seite von Querkraftvektor Q( vek, N Qvek 0 ( vek 0 for i.. N Qvek i Qvek i vek i Qvek Qvek Q( vek, N Qvek T Momentenvektor M( Qvek, N M 0 0 sq 0 for i.. N sq sq + Qvek i M i sq M Mvek M( Qvek, N Mvek T Darstellung der Vektoren i 0.. N vek i Qvek i 5 Mvek i i l Heinz Slepcevic 000 / 00

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