Grundlagen der Elektrotechnik 3

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1 Grundlagen der Elektrotechnik 3 Kapitel 4 Ortskurven S. 1

2 4 Ortskurven Eine Ortskurve ist die Kurve, welche alle Endpunkte von eigern verbindet Eine Ortskurve kann Verlauf in Abhängigkeit von der Frequenz oder einem anderem Parameter zeigen S. 2

3 î 4 Ortskurven û 0,ω R û R L û L û jωl φ R ω = const. û 0 = û û R φ û L î Beispiel: Ein passives Netzwerk ugehörige eigerdiagramme Hier gilt wie üblich: L arctan R S. 3

4 4 Ortskurven In manchen Fällen ist die Impedanz für verschiedene Frequenzen von Interesse. j L 3 Ortskurve R 1 j L 2 j L 1 1 R j1l 2 R j 2L 3 R j 3L R Impedanz für verschiedene Frequenzen Hieraus entsteht eine Ortskurve S. 4

5 4 Ortskurven Jetzt wird Impedanz mit Admittanz auf Basis bekannter usammenhänge verglichen. Die Transformation führt eine Spiegelung am Einheitskreis durch. Eine Gerade durch den Nullpunkt ergibt wieder eine Gerade durch den Nullpunkt. - Ebene j e j e - Ebene ω = 0 φ φ Ortskurve der Impedanz Konstruktion der Ortskurve der Admittanz S.

6 4 Ortskurven Jede Gerade nicht durch den Nullpunkt wird in einen Kreis durch den Nullpunkt transformiert. Geraden sind immer parallel zur imaginären Achse und haben positiven alteil. 2 ω 2 > ω 0 ω 1 ω 1 1 φ 2 φ 1 R ω 0 ω ω = 0 ψ1 = - φ1 ψ2 = - φ2 G = 1/R ω 0 2 ω 1 < ω 0 ω 2 Ortskurve der Impedanz Ortskurve der zugehörigen Admittanz und Durchmesser-Konstruktion S. 6

7 4 Ortskurven Transformation ist immer winkeltreu im Kleinen chte Winkel bleiben erhalten, z.b. Kurve bei G = 1/R Bei passiven Netzwerken verlaufen die Geraden immer parallel zur imaginären Achse (Nur pos. alteile möglich). 1 G 1/ R Ortskurve der Admittanz für Parallelschaltung R/L/C Ortskurve für zugehörige Impedanz S. 7

8 4 Ortskurven Kreise durch den Nullpunkt werden in Geraden parallel zur imaginären Achse transformiert, die positiven alteil besitzen. Kreise ohne Nullpunktberührung werden transformiert in Kreise ohne Nullpunktberührung. T 1 M ψ 1 = - φ 1 ψ 2 = - φ 2 T 2 φ 2 T 2 M' φ 1 T 1 Ortskurve der Impedanz Ortskurve zugehöriger Admittanz S. 8

9 4 Ortskurven Ein Beispiel: 1 R (ω) R 1 C 1' Ein passives Netzwerk S. 9

10 4 Ortskurven C C R 2 R C Ortskurve der Admittanz zu C ugehörige Ortskurve der Impedanz zu C Impedanz der ihenschaltung S. 10

11 4 Ortskurven M 1/R R 2 1 1/ R M 1/ R 1/ R R1R2 R R M'' R 1 0 R 1 C R 2 C Ortskurve der Admittanz der ihenschaltung Admittanz des gesamten Netzwerks Ortskurve der zugehörigen Impedanz S. 11

12 Nachteile: 4 Ortskurven Keine bzw. aufwändige Parametrisierung.T. aufwändige Konstruktion der Geometrie chnung mit R 1 = 10Ω R 2 = 2 Ω C = 0,1F: eichnung mit z.b. 1 cm = 0,1 S für und 1 Ω = 1 cm für S. 12

13 4 Ortskurven '' ' Skalierung der Ortskurve führt zu folgendem Bild: j10 j1s 10s Ortskurve 1( ) Raster ist jeweils im Abstand 1 cm angebracht ur Vereinfachung der eichenarbeit werden imaginäre Achsen inkl. Nullpunkt passend verschoben (anstelle Verschiebung der Geraden) j j0, 2/s 0 0 /s 2/s 1/s 10/s /s Ortskurve 2(ω) und (ω) /s 10/s 2 (/s) 0 10/s 0 /s -j -j0, 2/s 1/s Ortskurve ( ) Ortskurve 1(ω)und 2(ω) -j10 -j1 1/s S. 13

14 4 Ortskurven Ein weiteres Beispiel mit R =12 Ω, C = 100 μf und L = 0,8 H: ( ) 1 1' L R C 1, 2 2 0/s 1( ) ( ) 90/s 0/s 2( ) 80/s 0 70/s ,002 0,004 0,006 0,008 0, /s 20/s 0/s 10/s 20/s S Skalierung: 10 Ω = 1 Teilstrich für 1mS = 1 Teilstrich für ( ) 2 100/s 90/s 70/s 60/s 0/s ugehörige Ortskurve 40/s 30/s S. 14

15 Grundlagen der Elektrotechnik 3 Kapitel Netzwerksätze S. 1

16 .1 Der Überlagerungssatz Der Überlagerungssatz ist für alle linearen Netzwerke gültig. Es wird ein beliebiges Netzwerk betrachtet, siehe folgendes Beispiel. Das Beispielnetzwerk enthält 3 unabhängige Spannungsquellen. 1 uˆq2 î 2 î 3 uˆq1 M 1 2 M 2 4 M 3 uˆq3 î Dafür gelten die folgenden Maschengleichungen: M : ( ) iˆ iˆ uˆ M : iˆ ( ) iˆ iˆ uˆ M : iˆ ( ) iˆ uˆ q q q3 S. 16

17 In Matrizenschreibweise ergibt sich:.1 Der Überlagerungssatz iˆ uˆ mit m m qm Nach der Cramerschen gel erhält man u.a.: uˆ qm uˆ uˆ u ˆ ˆ ( ) ( ) i uˆ uˆ q1 q2 det m det m 4( 1 2) uˆ q3 det m Dies lässt sich so interpretieren: Dieser Strom ist verursacht durch die Überlagerung der Wirkung aller 3 Spannungsquellen. q1 q2 q3 S. 17

18 .1 Der Überlagerungssatz uˆq1 1 2 î 21 4 Der Gesamtstrom setzt sich zusammen aus der Überlagerung von Strömen, die jeweils aus immer nur einer der 3 Spannungsquellen verursacht werden. 1 2 uˆq2 3 î iˆ iˆ iˆ iˆ î 23 Für das Überlagerungsprinzip gilt die gel: Sind in einem Netzwerk q Strom- oder Spannungsquellen enthalten, können alle Ströme und alle Spannungen im Netzwerk durch Überlagerung der einzelnen Quellen berechnet werden. uˆq uˆq2 3 î uˆq3 uˆq3 3 6 S. 18

19 .1 Der Überlagerungssatz Hinweis 1: Der Satz gilt nicht nur für sinusförmige Quellen mit einer festen Frequenz sondern auch für Quellen mit anderen eitabhängigkeiten. In einem derartigen Fall ist nur die Berechnung mit komplexen eigern nicht möglich. Hinweis 2: Sind in einer Masche mehrere Spannungsquellen enthalten, ist es sinnvoll diese erst zu addieren und dann den Überlagerungssatz anzuwenden. Die Überlagerung ist bei gegebener Linearität von Netzwerken auch die Grundlage zur Bestimmung von Strömen im Netzwerk auf Basis der unabhängigen Maschenströme. S. 19

20 .2 Der Satz zur Ersatzspannungsquelle Bei Netzwerken mit vielen Bauteilen, an die eine Last angeschaltet wird, ist es von Interesse, die Wirkung des gesamten Netzwerkes in Bezug auf die Last auf einfache Weise zu ermitteln. Das nebenstehende Beispiel zeigt das Vorgehen: î 3 a ) b) uˆq ' uˆq uˆ l 3 a) Betrieb des Netzwerks mit Last b) Bestimmung der Leerlaufspannung (ohne Last) c) Bestimmung des Kurzschluss-Stroms d) sultierendes Ersatzschaltbild c) ' uˆq î k 3 d) uˆl i uˆ iˆ l k ' î S. 20

21 .2 Der Satz zur Ersatzspannungsquelle Die Berechnung zu b) (Leerlaufspannung) des Beispiels erfolgt mittels: uˆ uˆ uˆ l 1 2 uˆ 1 2 q uˆ q ' uˆl 3 û q 2 4 û ˆ l u ' 3 û a) b) û q S. 21

22 .2 Der Satz zur Ersatzspannungsquelle Die Berechnung zu c) (Kurzschlusstrom) des Beispiels erfolgt über: iˆ iˆ iˆ k uˆ q ' iˆk 3 û q 2 4 iˆk ' 1 3 î 1 û 1 K î 3 û 3 a ) b) û q Die wischenschritte dazu sind wie folgt: S. 22

23 .2 Der Satz zur Ersatzspannungsquelle Es werden zunächst die Spannungen (über die Spannungsteilerregel) und daraus die Ströme bestimmt: uˆ ˆ 1 u uˆ3 uˆq q iˆ 2 u q uˆ iˆ 4 u q uˆ S. 23

24 .2 Der Satz zur Ersatzspannungsquelle Satz: In einem Netzwerk aus passiven Komponenten (mit R,C,L,M Bauteilen) sowie mit ungesteuerten Quellen können Strom und Spannung an einer Last so bestimmt werden, dass das Netzwerk durch eine Ersatzspannungsquelle ersetzt wird. Die Leerlaufspannung der Ersatzspannungsquelle ist dabei identisch mit der Leerlaufspannung ohne Last. Die Innenimpedanz der Ersatzspannungsquelle bestimmt sich aus der Leerlaufspannung und dem Kurzschlussstrom. Dieser Kurzschlussstrom ist zu bestimmen durch einen Kurzschluss des Netzwerks (anstelle der Last). uˆ l stnetzwerk î i iˆ k î û R, L, C, M, uˆ, iˆ q q û uˆ l ' a ) b) S. 24 '

25 .2 Der Satz zur Ersatzspannungsquelle Alternative zur Bestimmung der Innenimpedanz: - Ersatz aller Stromquellen durch Leerläufe - Ersatz aller Spannungsquellen durch Kurzschlüsse - Bestimmung der Ausgangsimpedanz des stnetzwerks durch Netzwerkanalyse S. 2

26 .3 Der Satz zur Ersatzstromquelle Vergleichbar zur Anwendung von Ersatzspannungsquellen können alternativ auch Ersatzstromquellen genutzt werden: Satz: In einem passiven Netzwerk mit ungesteuerten Quellen können Strom und Spannung an einer Last so bestimmt werden, dass das Netzwerk durch eine Ersatzstromquelle ersetzt wird. Die Innenadmittanz der Ersatzstromquelle bestimmt sich aus der Leerlaufspannung und dem Kurzschlussstrom. Dieser Kurzschlussstrom ist zu bestimmen durch einen Kurzschluss des Netzwerks (anstelle der Last). Die Leerlaufspannung ergibt sich für den Fall ohne Last. Alternative zur Bestimmung der Innenadmittanz: - Ersatz aller Stromquellen durch Leerläufe - Ersatz aller Spannungsquellen durch Kurzschlüsse - Bestimmung der Ausgangsadmittanz S. 26

27 .2 Der Satz zur Ersatzspannungsquelle Das folgende Bild zeigt das Ersatzschaltbild für das stnetzwerk: stnetzwerk R, L, C, M, uˆ, iˆ q q î û iˆ q ˆ i k i iˆ k ˆ l u î 1/ ˆ u ' a ) b) ' S. 27

28 2 4 î.3 Weitere Beispiele ûq 1 3 Anwendung des Satzes von der Ersatzspannungsquelle zur Bestimmung des Stroms durch die Last: 2 4 ' iˆ 0 Die Innenimpedanz wird hier durch Netzwerkanalyse des stnetzwerks durchgeführt. û q 1 3 ' uˆ 3 l 2 3 uˆ q i iˆ uˆ 1 ˆ l 3 uq i uˆ q uˆ l 23 i ' î ' S. 28

29 .3 Weitere Beispiele û q î 4 Anwendung des Satzes von der Ersatzstromquelle zur Bestimmung des Stroms durch die Last: ' Es gilt: iˆ q uˆ q iˆ k iˆ q Daraus resultiert nach einigen Umrechnungen: iˆ iˆ ˆ i k i 2 4 q uˆ ' ' i î k i î 1 ' S. 29