hat. Dann hat zumindest die dritte Ableitung ebenfalls die Nullstelle x 0.
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- Eike Schubert
- vor 6 Jahren
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1 Differentialrechnung Graphen mit Flachpunkt un Wenepunkt Quelle: Akaemiebericht Theorie Es gibt Funktionen, eren zweite Ableitung eine mehrfache Nullstelle x 0 hat. Dann hat zuminest ie ritte Ableitung ebenfalls ie Nullstelle x 0. Definition Gegeben sei eine minestens zweimal ifferenzierbare Funktion f mit x D f IR. Eine Stelle x 0 D f heißt Flachstelle von f, wenn gilt: f'' x 0 Der Punkt x 0 f x 0 heißt Flachpunkt. = 0. Ist ie Nullstelle er zweiten Ableitung eine Nullstelle mit ungeraer Vielfachheit (Nullstelle mit Vorzeichenwechsel), so ist er Flachpunkt ein Wenepunkt. Ist zusätzlich ie Nullstelle er zweiten Ableitung auch eine Nullstelle er ersten Ableitung, so gibt es zwei Fälle: () f' x 0 = un x 0 hat ungerae Vielfachheit n. 0 Der Flachpunkt ist Extrempunkt. () f' x 0 0 = un x 0 hat gerae Vielfachheit n. Der Flachpunkt ist Wenepunkt mit horizontaler, also ein Terrassenpunkt. Graph: im Wenepunkt.5 0 Graph: im Flachpunkt Wenepunkt '' Kurveniskussion Flach- un Wenepunkt Seite von
2 Aufgabe Gegeben ist ie Funktion f mit f x x x 0x un x IR. a) Untersuchen Sie en Graphen er Funktion auf Flachpunkte. b) Bestimmen Sie ie ngleichungen er n t an en Flachpunkten. c) Beobachten Sie mithilfe es Schiebereglers en Graphen G f er Funktion f un ie n t un beschreiben Sie en Verlauf er n an en Graphen in er Umgebung er Flachpunkte. Teilaufgabe a) Funktionsterm: f x x x 5x. Ableitung: f' x f x x x 5. Ableitung: f'' x f' x x Nullstelle er. Ableitung: f'' = 0 x x = 0 auflösen x x 0 ist zweifache Nullstelle er. Ableitung, also keine Wenestelle. Funktionswert: fx 0 Flachpunkt: FP Teilaufgabe b) ngleichung: x x 0 tx ( ) f' x 0 f x 0 tx ( ) x Teilaufgabe c) Graph er Funktion mit Flachpunkt Die t berührt G f. Der Graph verläuft in er Umgebung es Flachpunktes näherungsweise geralinig. 0 5 Kurveniskussion Flach- un Wenepunkt Seite von
3 Aufgabe Gegeben sin ie Funktionen f x x x x un f 5 x 5 0x 0x 0x 0x 0 mit x IR. a) Untersuchen Sie ie Graphen er Funktionen auf Flachpunkte un charakterisieren Sie iese. b) Bestimmen Sie jeweils ie ngleichungen t in en Flachpunkten. c) Zeichnen Sie ie Graphen G f un G f5 un ie ermittelten n. Beschreiben Sie en Verlauf er Graphen in er Umgebung ihrer Flachpunkte. Teilaufgabe a) Funktionsterme: f x x x x f 5 x 5 0x 0x 0x 0x 0. Ableitung: f' f' 5 x f x f 5 x x x 5x 0x 0x 0x 0 Beingung für horizontale n: Horizontale n: f' = 0 x x x = 0 f' = 0 f' 5 = 0 5x 0x 0x 0x 0 = 0 f' 5 = 0. Ableitung: f'' f'' 5 x f' x f' 5 x x 0x 0x 0x 0 Kurveniskussion Flach- un Wenepunkt Seite von
4 Beingung für Flachpunkt: Flachpunkt: f'' = 0 x x = 0 x F f'' = 0 f'' 5 = 0 0x 0x 0x 0 = 0 x F5 f'' 5 = 0 x 0 ist zweifache Nullstelle von f '': Flachpunkt mit horizontaler, kein Wenepunkt, also Extrempunkt. x 0 ist reifache Nullstelle von f 5 '': Flachpunkt mit horizontaler, Wenepunkt, also Terrassenpunkt. Teilaufgabe b) f' ( ) 0 f' 5 ( ) 0 t f' ( ) ( x ) f ( ) t 5 f' 5 ( ) ( x ) f 5 ( ) t t 5 Teilaufgabe c) Die berührt en Graphen. Graph zu f 5 Die urchsetzt en Graphen. Graph zu f Kurveniskussion Flach- un Wenepunkt Seite von
5 Aufgabe Gegeben sin ie Funktionen f 900 x5 5x 00x 50x mit x IR. a) Untersuchen Sie ie Graphen er Funktionen auf Flachpunkte un charakterisieren Sie iese. b) Bestimmen Sie jeweils ie ngleichungen t in en Flachpunkten. c) Zeichnen Sie en Graphen G f er Funktionen f i un ie ermittelten n. Teilaufgabe a). Ableitung: f' 900 0x 0x 00x 00x. Ableitung: f'' 900 0x 0x 00x 00 Nullstellen er. Ableitung: x F f'' = 0 auflösen x x F oppelte Nullstelle an er Stelle x, also Flachpunkt (x /f(x )). x x F einfache Nullstelle an er Stelle x.5, also Wenepunkt (x /f(x )). Teilaufgabe b) im Flachpunkt: t FP [ f' ( ) ( x ) f( ) ] x Die berührt en Graphen, ie Krümmung änert sich nicht. im Wenepunkt: t WP f' x f x Die urchsetzt en Graphen, ie Krümmung änert sich. Kurveniskussion Flach- un Wenepunkt Seite 5 von
6 Teilaufgabe c) Graph: im Wenepunkt.5 0 Graph: im Flachpunkt '' Wenepunkt '' Flachpunkt Kurveniskussion Flach- un Wenepunkt Seite von
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