5. Differentialrechnung

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1 Prof. Dr. Wolfgang Konen Mathematik, WS Differentialrechnung 5.. Wozu Informatikerinnen Differentialrechnung brauchen In vielen technischen Problemen interessiert man sich für die momentane Steigung ( Änderungsgeschwindigkeit) von Funktionen (Bsp. Weg Geschwindigkeit Beschleunigung). Der Differentialquotient liefert die genaue Berechnung. In der Computergraphik möchte man oft durch vorgegebene Punkte eine möglichst "glatte" Kurve zeichnen. Die Differentialrechnung gibt uns die mathematischen Mittel, um genau zu beschreiben, was "glatt" heißt. Bei der Optimierung reeller Funktionen sucht man Stellen mit Steigung (lokale Etrema, f'()) >> Etremwertaufgaben. Um sin(), e, ln() numerisch auf dem Rechner zu bestimmen, braucht man den Satz von Taylor. Um funktionale Zusammenhänge zu vereinfachen ebenfalls. Die Differentialrechnung ist die Grundlage für Differentialgleichungen (DGLs) >> DGLs (s. Mathe ) braucht man, wenn man dynamische Systeme auf dem Rechner simulieren will (z.b. Ökosysteme, Wirtschaftssysteme oder Flugzeugsimulatoren) Mittels Ableitungen können wir entscheiden, ob Fipunktiteration konvergiert. Wir können also den Erfolg numerischer Berechnungen sicherstellen. 5.. Differenzierbarkeit, Ableitung, Differential Die Differentialrechnung wurde Ende des 7. Jahrhunderts fast gleichzeitig von Newton und Leibniz entwickelt. Sie bildet zusammen mit der Integralrechnung die Grundlage der rapiden technischen Entwicklung im 9. und. Jahrhundert. Motivation: Wir möchten eine Menge von Punkten durch eine möglichst "schöne" Kurve verbinden. Aktivierung: Wie erklären wir dem Computer, was "schön" bedeutet? In Vorlesung wird Begriff der Steigung einer Funktion an der Stelle entwickelt W. Konen ZDgesamt-et.doc Seite 6

2 Prof. Dr. Wolfgang Konen Mathematik, WS y Q 4 Sekante glatte Funktion P Tangente an,f( ) h Abbildung 5-: Tangente an den Punkt P einer glatten Funktion Maple-Animation in function-plots.mws zeigen! Def D 5-: Differenzierbarkeit einer Funktion und Ableitung Sei f : D R, mit f(), D. f heißt differenzierbar in, wenn der Grenzwert W. Konen ZDgesamt-et.doc Seite 6

3 Prof. Dr. Wolfgang Konen Mathematik, WS f(o + h) f( ) lim h h eistiert. Dieser Grenzwert heißt Ableitung der Funktion f an der Stelle oder Differentialquotient von f an der Stelle. Schreibweise: f ( f( ) lim h o + h) f( h ) Die Funktion f : Df R, mit f'() Ableitung von f. heißt Ableitungsfunktion von f oder kurz Bemerkungen: a) Das Berechnen der Ableitung nennt man Differenzieren. b) Die Betrachtung des Grenzwertes mit h ist vollkommen identisch mit der Betrachtung des Grenzwertprozesses ( +h). Der Quotient f( o + h) f( ) ( + h) bzw. f() f( heißt Differenzenquotient. Von ihm rührt eine weitere Schreibweise der Ableitung her: ) df f ( ) ( ) d Die Größe df f () d heißt Differential von f an der Stelle zur Verschiebung d. Ü Beispiel ): Bestimmen Sie die Ableitung von f : R R, mit f() in, indem Sie den Limes aus der Definition ausrechnen! Können Sie das auch für das allgemeine Polynom f() n (n N)? Lösung in Vorlesung oder [Stingl, 7. Aufl., S. 7] W. Konen ZDgesamt-et.doc Seite 6

4 Prof. Dr. Wolfgang Konen Mathematik, WS Beispiel ): f : R R, mit f() ist in nicht differenzierbar! Zum Beweis genügt es f eingeschränkt auf R\{} zu betrachten. Auf R\{} ist f nämlich differenzierbar und es gilt f ( ), für >, für < An der Ableitung erkennt man unmittelbar, dass der linksseitige und rechtsseitige Grenzwert des Differenzenquotienten bei verschieden sind, nämlich z + lim + f () f () f () f () bzw. z lim. Nach Satz S 4- eistiert aber dann der Grenzwert an der Stelle nicht, und dies bedeutet nach Def D 5-, dass die Funktion bei nicht differenzierbar ist. Anschaulich: f hat an der Stelle einen "Knick". Nicht jede in stetige Funktion ist also dort auch differenzierbar. Umgekehrt gilt aber: Satz S 5- Jede in differenzierbare Funktion ist dort auch stetig. Beweis [Stingl, 7. Aufl., S. 7]: Wenn f an der Stelle Df differenzierbar ist, dann heißt das, dass f () f ( ) f '( ) lim eistiert. Daraus können wir die Stetigkeit herleiten: lim f () f ( ( f () f ( )) lim ( ) f () f ( ) lim lim f '( ) ( ) ) Def D 5- n-te Ableitung und stetige Differenzierbarkeit Sei f : D R, mit f(), D differenzierbar in, und es sei die Ableitung f ebenfalls differenzierbar, dann ist zweite Ableitung von f, nämlich f, definiert durch die Ableitung der Funktion f. W. Konen ZDgesamt-et.doc Seite 64

5 Prof. Dr. Wolfgang Konen Mathematik, WS f () f () Schreibweise: ( ) d f () d Entsprechen werden die., 4. Ableitung usw. definiert. Wir formulieren allgemein die n-te Ableitung von f mit n N (n) n (n ) d ( f ()) n f () f() f heißt n-mal stetig differenzierbar, falls f n-mal differenzierbar und f (n) stetig ist. d 5.. Ableitungsregeln Satz S 5- Summenregel Sind die Funktionen u,v differenzierbar, so auch (u+v) mit (u + v) u + v Satz S 5- Faktorregel Ist u differenzierbar, so auch c. u mit c R mit (c u) c u Satz S 5-4 Produktregel Sind die Funktionen u,v differenzierbar, so auch (u. v) mit (u. v) u. v + u. v Satz S 5-5 Quotientenregel Sind u,v differenzierbar und ist v(), so auch (u/v) mit ' u u v uv v v u ( ) Beispiel: f : R\{-} R, f ( ) v ( ) + u (), v (). Damit folgt nach der Quotientenregel W. Konen ZDgesamt-et.doc Seite 65

6 Prof. Dr. Wolfgang Konen Mathematik, WS f () u ()v() u()v () v () ( + ) ( + ) + ( + ) Satz S 5-6 Kettenregel Seien f: Df Wf, g: Dg Wg. Sei f differenzierbar in Df und u f() Dg. Weiterhin sei g differenzierbar an der Stelle u. Dann ist g f differenzierbar an der Stelle Df, und es gilt (g f) () g (u) uf(). f () g ( f() ). f () Man nennt g die äußere Ableitung, f die innere Ableitung von g f. MERKREGEL: "äußere Ableitung mal innere Ableitung". Man spricht auch von "Nachdifferenzieren": Nachdem man g an der Stelle uf() abgeleitet hat, muss man f noch an der Stelle "nachdifferenzieren". Zur Verkettung von Funktionen vergleiche man Satz S 4-. g'(f()) ist eine mathematisch etwas lae Schreibweise für g (u) uf(). Man muss im Kopf behalten, dass bei g'() die Ableitung nach u, nicht nach, gemeint ist. Beispiel: h : R\{-} R, h() + Innere Funktion u f() + Äußere Funktion g(u) u. Dann ist h g f. Erst g nach u differenzieren: g (u) u und dort für u wieder f() einsetzen. Dann f () nachdifferenzieren (s. Beispiel Quotientenregel): + () g (f()) f () ( + ) + g (f()) f () h W. Konen ZDgesamt-et.doc Seite 66

7 Prof. Dr. Wolfgang Konen Mathematik, WS Übersicht zu Ableitungen bekannter Funktionen Funktion Ableitung Inverse Funktion Ableitung a, i.a. > a a a, a N, i.a. > sin cos arcsin, < a a a cos -sin arccos, < sinh cosh arsinh cosh sinh arcosh, + tan, π π + n cos tan + arctan + cot, nπ arccot sin + e e ln, > a, a>, a a ln a loga, > lna WICHTIG: Die e-funktion ist die einzige Funktion, die gleich ihrer eigenen Ableitung ist. Ü Einige Formeln werden als Beispiel in Vorlesung vorgerechnet. Übung: Ableiten! (a) f() g () sin (b) ( ) ( + ) sin (c) h () ep( sin( ) e ( ) Ableitung der Betragsfunktion: Hier zur Sicherheit immer Fallunterscheidung machen! Beispiel: W. Konen ZDgesamt-et.doc Seite 67

8 Prof. Dr. Wolfgang Konen Mathematik, WS ( ) f () + Fall : ( ) > > + : Dann ist f () ( + ) f' () ( + ) Fall : ( ) < < + : Dann ist f () ( + ) f' () ( + ) Zusatzfrage: Ist f (-) definiert? Ü Übung: Berechnen Sie die Ableitung von g (). Ist g () definiert? --- diesen Teil im Selbststudium, wenn wenig Zeit --- Satz S 5-7 Ableitung der Umkehrfunktion Sei f: Df Wf differenzierbar in Df und sei f (). Dann gilt für alle im Definitionsbereich der Umkehrfunktion f - : (f )'() f' ( f ()) Beweis (ist eine einfache Folgerung aus der Kettenregel): Wir starten mit der Identität f(f - ()) und bilden auf beiden Seiten die Ableitung: ( f ()) (f )'() f' äußere innere Ableitung Ableitung. Durchdividieren mit dem. Term liefert die Behauptung. Beispiel: Leiten Sie (ln()) / (>) aus der Formel (e ) e her. Lösung: f() e f f'() e () ln() > Es gilt also nach Satz S 5-7 für alle >: ( ln() )' e e f () ln() q.e.d. Ü Übung: Leiten Sie ebenso die Formel für arcsin() und arctan() her. [Hinweis: trigonometrischen Phytagoras zur Vereinfachung verwenden!] W. Konen ZDgesamt-et.doc Seite 68

9 Prof. Dr. Wolfgang Konen Mathematik, WS Lösung der Übung: f()sin() hat Ableitung cos() für alle ],π[. f - ()arcsin() ist definiert für alle ]-,[. Es gilt also nach Satz S 5-7 für alle ]-,[: ( arcsin() )' cos arcsin() ( ) ( sin( arcsin() )) f()tan() hat Ableitung +tan () für alle D f. f - ()arctan() ist definiert für alle R. Es gilt also nach Satz S 5-7 für alle R: ( arctan() )' + ( tan( arctan() )) + W. Konen ZDgesamt-et.doc Seite 69

10 Prof. Dr. Wolfgang Konen Mathematik, WS Satz von Taylor Welches Polynom n. Grades hat in die gleichen.,.,, n. Ableitungen wie f()? k P (k) n (- ) P (k) n ( ) soll gleich sein zu: a + a (- ) + a (- ) + + a n (- ) n a f( ) + a + a (- ) + + na n (- ) n- a f ( ) + a + a f () ( ) n + n!a n n!a n f (n) ( ) Eine Antwort liefert der Satz von Taylor, der eine enorme praktische Bedeutung hat: damit rechnet der Taschenrechner komplizierte Funktionen wie sin(), ln() aus, damit können wir uns von komplizierten Funktionen lokale Näherungen als einfaches Polynom machen und wir können abschätzen, welchen Fehler wir bei der Näherung maimal machen Satz S 5-8 Satz von Taylor Sei f : [a,b] R eine n+-mal differenzierbare Funktion. und seien aus [a,b]. Dann ist P (n) f ( ) f ( ) n n ( ) f( ) + f ( ) ( ) + ( ) ( )! ein Polynom vom Grad n in der Variablen h. Wir bezeichnen Pn(h) als das Taylor-Polynom von f im Punkt. Das Taylorpolynom hat in die gleichen Ableitungen. bis n. Ordnung wie f und ist in der Nähe von eine "gute" Näherung für f. Präziser: Der Fehler kann durch die Restglied- Formel (Satz S 5-9) abgeschätzt werden: n! BEACHTE:. f(), f'(), f''(),..., f (n) () sind reine Zahlen, keine Funktionen!!. Die Fehlerabschätzung ist wie ein Vertrag mit einem Lieferanten: Der Lieferant sichert zu, dass die von ihm gelieferten Bauteile an der Stelle nie eine größere Abweichung vom Idealmaß haben als R n (). Beispiel: Wir möchten den natürlichen Logarithmus für alle [,], spzeiell für.5 mit einem Taylor-Polynom der Ordnung n um abschätzen. Wir verwenden den Satz von Taylor mit f ln,, h.5, n und stellen die folgende Tabelle auf W. Konen ZDgesamt-et.doc Seite 7

11 Prof. Dr. Wolfgang Konen Mathematik, WS n f (n) () f (n) ( ) f (n) () ln() P ( ) ln() + f () + ln(.5) P(.5 ) ( ) + ( ) + ( ) ( ) ( ) + ( ) f ()! 6 + f ()! 4.46 Welcher Fehler steckt maimal in dieser Abschätzung? Satz S 5-9 Restglied-Formel Sei f : [a,b] R eine n+-mal differenzierbare Funktion und sei Pn(-) das Taylorpolynom von f in. seien aus [a,b], mit <. Sei C eine obere ( n+ ) Schranke von f () Rn n Fehlerabschätzung im Intervall I [,] ist. Die Absolutdifferenz () f() P ( ) bezeichnet man als Restglied. Dann gilt für alle I die R C (n + )! n+ n() (Gilt dagegen, so ist das Intervall I [,] zu nehmen.) Bew.: [Stingl, 7. Aufl., S. 8] ( n+ ). Schritt: C bestimmen: Wo ist f () im Intervall [,] maimal? Weil f (4) () 6-4 im Intervall [,] monoton fallend ist (denn die Steigung (6-4 ) -4-5 ist in [,] immer negativ), ist der linke Rand eine obere Schranke C f (4) () 6.. Schritt: Einsetzen in Restgliedformel Daher lautet die Restgliedabschätzung für [,] C n + (n + )! W. Konen ZDgesamt-et.doc Seite 7

12 Prof. Dr. Wolfgang Konen Mathematik, WS R Speziell für.5: 6 ( + )! + () f() Pn ( ) R (.5).5.56 ( + )! 4 6 der relative Fehler.56/.466 ist also kleiner als 4%. Probe: Mit dem Taschenrechner überprüft man leicht, dass ln(.5).466. diese Restgliedabschätzung auch erfüllt. Die Abschätzung kann (für viele Funktionen) mit höherem n beliebig verbessert werden! Ü Übung: Bestimmen Sie das Taylorpolynom zu f() sin an der Stelle zum Grade 5. Wie genau ist die Abschätzung für.? Wie Abbildung 5- zeigt, wird die Sinus-Funktion durch ein Taylorpolynom vom Grade 7 bereits gut auf dem Intervall (-π, +π) dargestellt. W. Konen ZDgesamt-et.doc Seite 7

13 Prof. Dr. Wolfgang Konen Mathematik, WS Ü Abbildung 5-: Approimation der Sinus-Funktion durch seine Taylorpolynome im Punkt. (-- in Maple zeigen! ) Anwendungsfall FPGA: Das mit dem Restglied kommt vielen Studierenden meist erstmal spanisch vor. Zum besseren Verständnis betrachten wir folgendes Beispiel: Sie wollen auf einem Embedded System (FPGA Field Programmable Gate Array, Handy o.ä.) eine bestimmte Applikation programmieren, die es erfordert, dass die Funktion f() cos() + sin () gerechnet wird. Nun kann Ihr FPGA keine trigonometrischen Berechnungen, die Grundrechenarten kann er aber wohl. Sie können nun f() durch sein Taylorpolynom approimieren. Dem Anwender soll auch bei jeder Eingabe von der Applikation gesagt werden, wie groß der Fehler ist. Natürlich haben Sie auch keine trigonometrischen Funktionen für die Fehlerbestimmung zur Verfügung, Sie können also nicht f() Pn() auf dem FPGA rechnen. Hier kommt nun die Rettung in Form des Restgliedes: Mit der Formel C n+ Rn() (n + )! können Sie den Fehler für jedes abschätzen, ohne eine trigonometrische Berechnung zu brauchen. Dazu müssen Sie nur zum Zeitpunkt der Programmierung, wenn Sie alle trigonometrischen Funktionen zur Hand haben, die Konstante C abschätzen und in Ihre Applikation einbauen. Übung: Gegeben sei die Funktion f() cos() + sin (/) und der Entwicklungspunkt.. Bestimmen Sie das Taylorpolynom P ().. Wie lautet nach Satz S 5-9 die Restgliedformel für R(), die Sie für jedes auf Ihrem FPGA rechnen können?. Was gibt die die Restgliedformel für.5 und - für einen Wert an? 4. Wieviel Multiplikationen brauchen Sie auf dem FPGA je -Wert? Hinweis : Mit der Formel sin(a)cos(a) sin(a) (an richtiger Stelle eingesetzt!) können Sie sich das Ableiten deutlich vereinfachen. W. Konen ZDgesamt-et.doc Seite 7

14 Prof. Dr. Wolfgang Konen Mathematik, WS Hinweis : Schätzen Sie im Restglied einfach Sinus und Cosinus durch ab (!) Lösung in Vorlesung. Fazit: Man braucht nur Multiplikationen für P (- ) und Multiplikationen für R ()!! Das ist eine ganz erhebliche Vereinfachung und macht Ihre Applikation auf dem FPGA erst lauffähig. Ü Übung: Näherungsformel für "Blutroter Sonnenuntergang am Äquator": Wir hatten in Übungsblatt (Trigonometrische Funktionen) die Formel h R cosα (απt/44 über Dreisatz und T Zeit in Minuten) für die Höhe des Berges hergeleitet. Typischerweise sind die Winkel α sehr klein. Wie kann man daraus eine einfache Formel für den Zusammenhang Höhe vs. Verlöschzeit herleiten? Leiten Sie die Faustformel her: "Höhe Berg 57 m mal Verlöschzeit[min] zum Quadrat." 4 Oder leiten Sie her: h( α ) Rα + O( α ) 5.5. Regeln von de l Hospital - ausführlicher in Übung - Für die Analyse von Kurven haben die Regeln von de l Hospital eine besondere Bedeutung. Sie stellen ein Hilfsmittel für die Bestimmung von Grenzwerten von Funktionen in Ausnahmefällen dar. Satz S 5- Regeln von de l Hospital Seien f und g: U() R auf einer Umgebung von differenzierbare Funktionen, und es sei g (). Unter der Voraussetzung lim f ( ) lim g ( ) der Voraussetzung lim f( ) lim g( ) lim f () g() lim f '() g' () falls der letztgenannte Grenzwert eistiert. ("/-Situation", Regel ) oder unter (" / -Situation", Regel ) gilt: W. Konen ZDgesamt-et.doc Seite 74

15 Prof. Dr. Wolfgang Konen Mathematik, WS Beispiel: Man berechne den Grenzwert lim sin( ) mit Hilfe der Regeln von de l Hospital! Mit f()sin und g() sind die Voraussetzungen der. Regel von de l Hospital erfüllt: Differenzierbarkeit von f und g in einer Umgebung von, g (), f()g(). ( ) Wir betrachten deshalb lim sin( ) lim cos( ). Aus der Eistenz dieses ( ) Grenzwertes folgt nunmehr also lim sin( ) Ü f Bemerkungen: a) Bleibt der Ausdruck lim ( ) g ( ) de l Hospital iterativ angewendet werden. Beispiel: Man berechne den Grenzwert lim cos( ) unbestimmt, so können die Regeln von f b) Eistieren der Grenzwerte lim ( ) g ( ) von de l Hospital ebenfalls links- bzw. rechtsseitig. nur links- oder rechtsseitig, so gelten die Regeln Betrachte als Beispiel: lim ln + Wähle f() ln und g() -. Zeige, dass mit f () - und g () - - der f Grenzwert lim ( ) f eistiert. Das bedeutet lim ( ) + g ( ) + g ( ) f c) Die Regeln von de l Hospital gelten auch für lim ( ) g ( ) f und lim ( ) ( ) g f () lim g () d) Eistiert aber der letztgenannte Grenzwert in Satz 5- nicht, ist also z.b., dann darf mit dem Ergebnis nicht weitergerechnet werden. Beispiel hierzu in den Übungen! W. Konen ZDgesamt-et.doc Seite 75

16 Prof. Dr. Wolfgang Konen Mathematik, WS Eigenschaften differenzierbarer Funktionen Der große Nutzen der Differentialrechnung liegt darin, dass man den Verlauf von Kurven quantitativ "in den Griff bekommt". Über Ableitungen können wir die Minima und Maima differenzierbarer Funktionen direkt ausrechnen. Dies hat vielfältige Anwendungen. Hier eine Etremwertaufgabe als einführendes Beispiel: Eine Produktionsmaschine kostet K9. Wenn sie t Jahre gehalten wird, dann sind die jährlichen Abschreibungskosten A(t) K/t. Die mittleren jährlichen Reparaturkosten seien R(t) +t. Wie viele Jahre soll man die Maschine halten, um die Summe A(t) + R(t) zu minimieren? Lösung am Ende des Kapitels. Folgende Eigenschaften von Funktionen können über Ableitungen errechnet werden - Monotonie u. Krümmungsverhalten - Etremwerte - Wendepunkte und Wendetangente - Asymptoten [s. Stingl4] Monotonie und Krümmungsverhalten Satz S 5- Monotonie Sei I [a,b] Df ein Intervall und f: Df Wf eine differenzierbare Funktion. Es gilt: f'() (bzw. ) für alle I f ist monoton wachsend (bzw. fallend) in I. f'()> (bzw. <) für alle I f ist streng monoton wachsend (bzw. fallend) in I. Beachte: Bei "streng monoton" gilt nur das "" Zeichen. Die strenge Monotonie gilt auch, wenn "f'()> in I bis auf endlich viele I" Beispiel: f() ist streng monoton wachsend, obwohl f'(), aber eben nur an dieser einen Stelle. Satz S 5- Krümmungsverhalten (konve/konkav) Sei I [a,b] Df ein Intervall und f: Df Wf eine differenzierbare Funktion. Sei s(,) die Sekante, die, verbindet. Es gilt: f ist konkav auf I für alle, I f ist konve auf I für alle, I Das Krümmungsverhalten ergibt sich aus der. Ableitung: f ist konkav auf I f''() für alle I f ist konve auf I f''() für alle I verläuft s(,) unterhalb des Funktionsgraph verläuft s(,) oberhalb des Funktionsgraph Etremwerte Def D 5- Etremwerte von Funktionen W. Konen ZDgesamt-et.doc Seite 76

17 Prof. Dr. Wolfgang Konen Mathematik, WS f besitzt an der Stelle ein relatives Maimum, falls in einer Umgebung U() von gilt f() > f() für alle U() f besitzt an der Stelle ein relatives Minimum, falls in einer Umgebung U() von gilt f() < f() für alle U() Satz S 5- Notwendige Bedingung für Etremwerte differenzierbarer Funktionen Sei f differenzierbar und f besitze in einen relativen Etremwert (Minimum oder Maimum), dann folgt f (). Satz S 5-4 Hinreichende Bedingung für Etremwerte differenzierbarer Funktionen Eine Funktion f sei -mal differenzierbar und es gelte f (). Dann folgt aus f () < : f hat in ein Maimum, aus f () > : f hat in ein Minimum. BEACHTE: Für f () kann Satz S 5-4 keine Aussage treffen s. Satz S 5-5 Beispiel: f() **-*** ***-6* 6*-6 f () -6 f ()6-6 - f() - Minimum Abbildung 5-: f() - mit. und. Ableitung W. Konen ZDgesamt-et.doc Seite 77

18 Prof. Dr. Wolfgang Konen Mathematik, WS f() - ist eine zumindest -mal stetig differenzierbare Funktion: f () - 6 f () 6-6. Wir prüfen zunächst die notwendige Bedingung für Etrema: f (). Hier also - 6 Die Nullstellen von f lauten:, bzw.,. Für diese beiden Nullstellen von f prüfen wir jetzt das hinreichende Kriterium f () < bzw. f () >. Es gilt f (,) 6, < f (,) 6, > Aus Satz S 5-4 folgt, ist ein Maimum und, ist ein Minimum von f (siehe auch Abbildung). Bemerkung: In 95% aller Fälle reichen Satz S 5- und Satz S 5-4. ABER: Es gibt Fälle, in denen die beiden Kriterien zu keiner Entscheidung über Minimum bzw Maimum führen. -- wenn Zeit knapp, dann diesen Teil im Selbststudium -- Beispiel : f(). Hier ist das notwendige Kriterium bei erfüllt, das hinreichende nicht. ist auch kein Etremwert, sondern eine sogenannte Wendestelle. Beispiel : f() 4. Hier ist das notwendige Kriterium bei erfüllt, das hinreichende nicht. Trotzdem ist ein Etremwert, und zwar ein Minimum (s. Abb. 5.4) W. Konen ZDgesamt-et.doc Seite 78

19 Prof. Dr. Wolfgang Konen Mathematik, WS ** ** Minimum für 4 Sattelpunkt für Abbildung 5-4: Veranschaulichung von mit Sattelpunkt bei und 4 mit Minimum bei Wir führen deshalb ein allgemeineres hinreichendes Kriterium ein: Satz S 5-5 Notwendige und hinreichende Bedingung für Etremwerte, bzw. Sattelpunkte differenzierbarer Funktionen Sei f n-mal differenzierbar mit n, und es gelte f ()...f (n-) () und f (n) (). Dann gilt: a) Ist n gerade, so hat f in ein Etremum, und zwar falls f (n) () < : f hat in ein Maimum, f (n) () > : f hat in ein Minimum. b) Ist n ungerade, so hat f in kein Etremum, sondern einen sogenannten Sattelpunkt. Def D Wendepunkte Wendepunkt Sei f n-mal differenzierbar mit n>, und es gelte f ()...f (n-) () und f (n) (), und n sei eine ungerade Zahl, so hat f in einen sogenannten Wendepunkt. Häufigster Fall n: f () und f () () W. Konen ZDgesamt-et.doc Seite 79

20 Prof. Dr. Wolfgang Konen Mathematik, WS Ein Sattelpunkt ist ein Spezialfall eines Wendepunktes mit horizontaler Steigung, das heißt mit f (). 8 6 y Wendetangente *(-)** -*(-)+ 4 (-) Wendepunkt Abbildung 5-5: Wendepunkt und Wendetangente an die Funktion (-) Die Wendetangente im Wendepunkt ergibt sich aus der Steigung und Funktionswert im Wendepunkt w() f ()(-) + f() (Taylor-Polynom. Grades in ) Ü Übung: Bestimmen Sie rechnerisch Nullstellen, Wendepunkte und Wendetangente(n) für f() (-). Ü Übung: Lösen Sie die Eingangsaufgabe zu Kap. 5.6: Eine Produktionsmaschine kostet K9. Wenn sie t Jahre gehalten wird, dann sind die jährlichen Abschreibungskosten A(t) K/t. Die mittleren jährlichen Reparaturkosten seien R(t) +t. Wie viele Jahre soll man die Maschine halten, um die Summe A(t) + R(t) zu minimieren? D.h. lösen Sie K f( t) + + t! Min für K9. t Weitere Etremwertaufgaben in Übungen! W. Konen ZDgesamt-et.doc Seite 8

21 Prof. Dr. Wolfgang Konen Mathematik, WS Fazit Kurvendiskussion Wir stellen nun die Kriterien zusammen, nach denen eine umfassende Kurvendiskussion durchgeführt werden kann: Def D 5-5 Kurvendiskussion In einer Kurvendiskussion sind folgende Merkmale einer (differenzierbaren) Funktion zu untersuchen:. Definitionsbereich bzw. Definitionslücken. Wertebereich. Symmetrie 4. Periodizität 5. Nullstellen und Pole 6. Grenzwerte bei Annäherung an Definitionslücken 7. Verhalten der Funktion für ± (Grenzwerte, Asymptoten) 8. Etremstellen (Hoch- und Tiefpunkte) 9. Wendepunkte (mit Wendetangente, Spezialfall: Sattelpunkt). Graph der Funktion zeichnen Zweckmäßigerweise geht man meist in der angegebenen Reihenfolge vor. In einer verkürzten Kurvendiskussion können die Punkte Wertebereich, Symmetrie, Periodizität, Grenzwerte an den Definitionslücken, Asymptoten, Wendetangente, Sattelpunkt entfallen Wichtige Ergebnisse dieses Kapitels Ableitung Steigung einer Funktion Lösung von Etremwertaufgaben: notwendige Bedingung für Minimum: f'(), hinreichende Bedingung: erste nichtverschwindende Ableitung f (n) () > UND n gerade. cos Satz von Taylor: approimiert komplizierte Funktion (z.b. e sin ) durch i einfaches Polynom a i ( ). Nutzen der Taylor-Approimation: i a. numerische Approimation b. einfachere Formeln für symbolisches Rechnen W. Konen ZDgesamt-et.doc Seite 8