2.5 Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung

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1 2.5 Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung Eine Dgl der Gestalt a n (x)y (n) +a n 1 (x)y (n 1) +...+a 2 (x)y +a 1 (x)y +a 0 (x)y = b(x) heißt lineare Dgl n-ter Ordnung. ( ) Dabei sind a 0, a 1,..., a n, b stetige Funktionen von x, die auf demselben Intervall I R definiert sind. Zur Bezeichnung: y, y,..., y (n 1), y (n) treten nur linear auf b(x) heißt Störglied der Dgl. (nicht aber (im allgemeinen) x). Für b = 0, d.h. b(x) = 0 für alle x I, heißt die Dgl homogen, sonst inhomogen. Die Dgl a n (x)y (n) +a n 1 (x)y (n 1) +...+a 2 (x)y +a 1 (x)y +a 0 (x)y = 0 (+) heißt die der Dgl (*) zugeordnete homogene Dgl oder die die zu der Dgl (*) gehörige homogene Dgl. Was kann man über die Lösungen von (+) sagen, obwohl man sie noch nicht kennt? Seien y h1 und y h2 Lösungen von (+). Dann gilt: 1

2 a n (x)y (n) h1 + a n 1(x)y (n 1) h a 1 (x)y h1 + a 0 (x)y h1 = 0 a n (x)y (n) h2 + a n 1(x)y (n 1) h a 1 (x)y h2 + a 0 (x)y h2 = 0 Addition des c 1 -fachen der ersten zum c 2 -fachen der zweiten Dgl liefert: a n (x)(c 1 y h1 + c 2 y h2 ) (n) + a n 1 (x)(c 1 y h1 + c 2 y h2 ) (n 1) a 1 (x)(c 1 y h1 + c 2 y h2 ) + a 0 (x)(c 1 y h1 + c 2 y h2 ) = 0 Jede Linearkombination zweier Lösungen einer homogenen linearen Dgl n-ter Ordnung ist wieder eine Lösung dieser Gleichung. Was kann man über die Lösungen von (*) sagen, obwohl man sie noch nicht kennt? Seien y und y p Lösungen von (*). Dann gilt: a n (x)y (n) +a n 1 (x)y (n 1) +...+a 2 (x)y +a 1 (x)y +a 0 (x)y = b(x) a n (x)y p (n) +a n 1 (x)y p (n 1) +...+a 2 (x)y p+a 1 (x)y p+a 0 (x)y p = b(x) Differenzbildung liefert: a n (x)(y y p ) (n) + a n 1 (x)(y y p ) (n 1) a 2 (x)(y y p ) + a 1 (x)(y y p ) + a 0 (x)(y y p ) = 0 2

3 Die Differenz y y p zweier Lösungen y, y p einer linearen Dgl n-ter O. ist eine Lösung y h der zugehörigen homogenen Dgl. Die Lösungsgesamtheit einer linearen Dgl n-ter O. erhält man in der Gestalt y = y p + y h, wenn y p eine beliebige spezielle (partikuläre) Lösung der Dgl ist und y h die Lösungsgesamtheit der zugehörigen homogenen Dgl durchläuft. Zwei Teilaufgaben liegen nahe: 1. Was ist die vollständige Lösung von (+)? 2. Wie findet man eine partikuläre Lösung von (*)? Leider gibt es dafür keine allgemeinen Lösungsverfahren. Versuch: Einfacherer Fall: Die Koeffizientenfunktionen a 0, a 1,..., a n seien konstant. Dann hat man im homogenen Fall die Dgl a n y (n) + a n 1 y (n 1) a 2 y + a 1 y + a 0 y = 0. (LH)

4 Die Nullfunktion y = 0 löst (LH). Herumraten und probieren: Löst eine konstante Funktion, die nicht die Nullfunktion ist, die Dgl (LH)? Genau dann, wenn a 0 = 0. Löst eine Polynomfunktion p(x) = b 0 + b 1 x b m x m mit b m 0 die Dgl (LH)? Dann käme x m nur bei a 0 y vor. Der Koeffizient a 0 b m wäre notwendig 0, also a 0 = 0. Dann käme x m 1 nur bei a 1 y vor. Der Koeffizient wäre notwendig 0, also a 1 mb m = 0. Also a 1 = 0. Und so weiter. Dann käme x 1 = x m (m 1) nur bei a m 1 y (m 1) vor. Der Koeffizient wäre notwendig 0, also a m 1 m (m 1)... 2 b m = 0. Also a m 1 = 0. 4

5 Dann käme x 0 = x m m nur bei a m y (m) vor. Der Koeffizient wäre notwendig 0, also a m m (m 1) b m = 0. Also a m = 0. Andererseits: Falls a 0 = a 1 =... a m = 0, ist jedes Polynom der Gestalt p(x) = b 0 + b 1 x b m x m eine Lösung der Dgl (LH). a n y (n) + a n 1 y (n 1) a 2 y + a 1 y + a 0 y = 0. (LH) Definition: Das Polynom f(λ) := a n λ n + a n 1 λ n a 1 λ + a 0 heißt das charakteristische Polynom der Dgl (LH) und jeder Dgl der Gestalt a n y (n) + a n 1 y (n 1) a 2 y + a 1 y + a 0 y = b(x). (L) Satz: Ist 0 eine (m+1)-fache Nullstelle des charakteristischen Polynoms der Dgl (LH), so ist jedes Polynom höchstens m-ten 5

6 Grades eine Lösung der Dgl (LH). Weiterer Versuch: Ist e λx mit λ R eine Lösung von (LH)? Einsetzen liefert als Bedingung: 0 = a n y (n) + a n 1 y (n 1) a 2 y + a 1 y + a 0 y = a n λ n e λx + a n 1 λ n 1 e λx a 2 λ 2 e λx + a 1 λe λx + a 0 e λx = e λx (a n λ n + a n 1 λ n a 2 λ 2 + a 1 λ + a 0 ). Sätzchen: y = e λx ist eine Lösung von (LH) λ ist eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms von (LH). Weiteres Probieren: Wir setzen F (y) := a n y (n) + a n 1 y (n 1) a 2 y + a 1 y + a 0 y. Dann ist F (e λx ) := e λx (a n λ n +a n 1 λ n a 2 λ 2 +a 1 λ+a 0 ) =: e λx f(λ) für alle x, λ R. Die erste Ableitung von xe λx ist: e λx + λxe λx = e λx (1 + λx). 6

7 Die zweite Ableitung von xe λx ist: e λx λ(1 + λx) + e λx λ = e λx λ(2 + λx). Die dritte Ableitung von xe λx ist: e λx λ 2 (2 + λx) + e λx λ 2 = e λx λ 2 ( + λx). Man sieht schon: Die k-te Ableitung von xe λx ist: e λx λ k 1 (k + λx). (Vollständige Induktion!) Es gilt: F (xe λx ) = e λx (a n (λ n x + nλ n 1 ) + a n 1 (λ n 1 x + (n 1)λ n 2 ) a 2 (λ 2 x + 2λ) + a 1 (λx + 1) + a 0 x) = e λx (xf(λ) + f (λ)). Damit gilt: Ist λ eine doppelte Nullstelle von f (ist also f(λ) = 0, f (λ) = 0), so ist xe λx eine Lösung von (LH). Ebenfalls durch Rechnung zeigt man: Sätzchen: Ist λ eine k-fache Nullstelle von f (ist also f(λ) = 0, f (λ) = 0,..., f (k 1) (λ) = 0), so sind e λx, xe λx,..., x k 1 e λx Lösungen von (LH). 7

8 2.5.1 Lineare Differentialgleichungen und komplexe Zahlen: Ein Beispiel Beispiel: Wir betrachten die Dgl Was ist das? y + y + y = 0. Eine homogene lin. Dgl. 2. O. mit konst. Koeffizienten. Charakteristisches Polynom? Nullstellen? f(λ) = λ 2 + λ + 1. λ 1,2 = 1 ± = ± = ± i 2. Die beiden Nullstellen des char. Polynoms führen auf die beiden Lösungen der Dgl: y = e ( 1 2 ±i 2 )x, also y 1 = e 1 2 x+i 2 x und y 2 = e 1 2 x i 2 x. Damit ist und y 1 = ( 1 ) x e i x 2 = ( 1 ) x (cos( x) + i sin( e e 2 2 x)) y 2 = ( 1 ) x e i x 2 = ( 1 ) x (cos( x) i sin( e e 2 2 x)). 8

9 Ebenfalls Lösungen sind y := 1 2 (1 y y 2 ) und y 4 := 1 2 ( i y 1 + i y 2 ), also y = ( 1 ) x cos( e 2 x), y 4 = ( 1 e ) x sin( 2 x). 2.6 Allgemeine Aussagen über Lösungen von lin. Dgln Lineare Abhängigkeit und lineare Unabhängigkeit von Funktionen Gegeben seien n Funktionen f 1, f 2,..., f n mit demselben Definitionsbereich D. f 1, f 2,..., f n linear unabhängig, kurz: l.u. : λ 1,..., λ n R und λ 1 f 1 + λ 2 f λ n f n = o (= Nullfunktion ) λ 1 = λ 2 =... = λ n = 0. Andernfalls heißen f 1, f 2,..., f n linear abhängig, kurz: l.a. 9

10 2.6.2 Existenz- und Eindeutigkeitssatz Dgl n a k (x)y (k) (x) = b(x) k=0 Sind a 0, a 1,..., a n 1, b auf demselben Intervall I stetige Funktionen, a n = 1 für alle x I, und sind x 0 I, y k 0 R oder y k 0 C k = 0, 1, 2,..., n 1, so hat das Anfangswertproblem y (k) (x 0 ) = y k 0 k = 0, 1, 2,..., n 1 genau eine Lösung auf I. Diese Lösung hängt in jedem kompakten Teilintervall von I stetig von a 0 (x), a 1 (x),..., a n 1 (x), b(x) ab. Bew.: ohne Achtung: Die Aussage gilt für eine reelle Variable x, aber sowohl für reelle als auch für komplexe a 0 (x), a 1 (x),..., a n 1 (x), b(x). Die Lösung y ist eine reelle oder eine komplexe Funktion einer reellen Variablen, je nachdem. Sie ist in der Regel nicht komplex differenzierbar sondern nur reell differenzierbar. 10

11 2.6. Hom. lin. Dgln n-ter O. Dgl n a k (x)y (k) (x) = 0 k=0 Vor.: a 0, a 1,..., a n 1 auf demselben Intervall I stetige Funktionen, a n = 1 für alle x I. Dann gibt es n linear unabhängige Lösungen y 1, y 2,..., y n der Dgl. Je n solche Lösungen bilden ein Fundamentalsystem von Lösungen. Das bedeutet: Jede Lösung der Dgl ist von der Gestalt: ( ) y(x) = c 1 y 1 (x) + c 2 y 2 (x) c n y n (x) mit irgendwelchen c 1, c 2,..., c n R. Bew.: ohne Die Wronski-Matrix von n Lösungen der Dgl (*) Kurzer Abschnitt für Interessierte: Sind y 1, y 2,..., y n Lösungen von (*), so gilt: 11

12 y 1, y 2,..., y n bilden ein Fundamentalsystem von Lösungen y 1 y 2... y n y 1 y 2... y n y (n 1) 1 y (n 1) 2... y n (n 1) Die linke Seite dieser Ungleichung heißt Wronski-Determinante. Sie ist die Determinante der Wronski-Matrix. Achtung: Die Wronski-Determinante von n Funktionen ist Null genau dann, wenn die Funktionen linear abhängig sind - unter der Voraussetzung, dass diese Funktionen Lösungen einer homogenen lin. Dgl. n-ter Ordnung sind Lin. Dgln n-ter O. mit konst. Koeffizienten Dgl n a k y (k) (x) = 0 k=0 ( ) mit a 0, a 1,..., a n 1 R, a n = 1 oder a 0, a 1,..., a n 1 C, a n = 1. Ist λ eine k-fache Nullstelle des charakt. Polynoms, so sind e λx, xe λx, x 2 e λx,..., x k 1 e λx k linear unabhängige Lösungen der Dgl (**). 12

13 Aus den n Nullstellen des charakt. Polynoms (in algebraischer Zählung) erhält man n linear unabhängige Lösungen, also ein Fundamentalsystem von Lösungen. Auch wenn die a 0, a 1,..., a n 1 reell sind, sind die Nullst. des char. Polynoms vielleicht komplex, also auch die Lösungen des Fundamentalsystems komplex. Mit jeder komplexen Nullstelle a + ib des char. Polynoms ist auch die konjugiert komplexe Zahl a ib Nullstelle des char. Polynoms. Ein reelles Fundamentalsystem erhält man, wenn man für jede k-fache Nullstelle a + ib des char. Polynoms die Lösungen x q e (a+ib)x, x q e (a ib)x q = 0, 1,... k 1 ersetzt durch die Lösungen x q e ax cos bx, x q e ax sin bx q = 0, 1,... k 1. 1