Klausur Mathematik 2

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1 Mathematik für Ökonomen WS 2009/10 Campus Duisburg U. Herkenrath/H. Hoch, Fachbereich Mathematik Klausur Mathematik Febr. 2010, 16:00 18:00 Uhr (120 Minuten) Erlaubte Hilfsmittel: Nur reine Schreib- und Zeichengeräte. Der Einsatz anderer Hilfsmittel so z.b. schriftliche Unterlagen, elektronische Geräte wie Handy oder Rechner jeder Art wird ohne genauere Prüfung der tatsächlichen Verwendung als Täuschungsversuch gewertet. Die Klausur muss geheftet bleiben. Bei Klausurunterbrechung müssen die Klausur und ein Ausweis bei der Aufsicht hinterlegt werden. Eine (gehäufte) vorzeitige Abgabe stört. In den letzten 30 Minuten ist daher keine vorzeitige Abgabe möglich. Während der Klausur können keine Fragen zu den Aufgaben gestellt werden, die Aufgabenstellung entspricht genau der frühzeitig angekündigten und geübten Form. Die Klausur besteht aus 10 Aufgaben, davon 9 Aufgaben mit jeweils 4 6 erreichbaren Punkten und 1 Aufgabe (Nr. 10) mit 9 erreichbaren Punkten. Insgesamt sind 50 Punkte erreichbar. Ab erreichten 23 Punkten ist die Klausur bestanden, gutes Gelingen! Matrikelnummer NAME Vornamen Geburtsdatum Ich habe obige Punkte gelesen. Meine Personendaten habe ich korrekt angegeben: Unterschrift (Abschnitt für Aufsicht und Korrektur) [1 von 12]

2 Aufgabe 1 [4] Die folgende Funktion f ist aus stetigen Stücken zusammengesetzt. Legen Sie die Werte der Zahlen α und β rechnerisch so fest, dass die Funktion an der Nahtstelle x 0 = 2 stetig wird: α 2x für 1 x < 2 f(x) = 8 für x = 2 (β + x) 3 für 2 < x 3 [2 von 12]

3 Aufgabe 2 [6] Gegeben f(x) = (x 9)(x 3)2 mit D(f) = [0, 8]. Beachte: 1. Ableitung ist gegeben! 8 f hat die Ableitung f (x) = 16 3 (x 3)(x 7), die lokale Maximalstelle x = 3 mit Wert f(3) = 6 und die lokale Minimalstelle x = 7 mit Wert f(7) = 4. (a) Untersuchen Sie auf Basis dieser Informationen das Krümmungsverhalten von f (konvex/konkav mit Wendepunkt) und skizzieren Sie f. [ Bitte keine detaillierte Wertetabelle anlegen; folgende Hilfswerte sind bereits eingetragen: f(0) = = , f(1) = 4, f(3) = 6, f(7) = 4, f(8) = = ] (Ersatzvorlage auf Anhangseite 1 oben links) (b) Bestimmen Sie die Elastizitätsfunktion E f (x) der obigen Funktion f und damit an der Basisstelle x 0 = 5 die (ungefähre) relative Änderung des Funktionswertes f(x) gegenüber f(5) bei einer relativen Erhöhung von x gegenüber x 0 = 5 um 4%. [3 von 12]

4 Aufgabe 3 [4] Bestimmen Sie den Grenzwert: lim x 1 e 2(x 1) 2x + 1 (x 1) 2 [4 von 12]

5 Aufgabe 4 [4] Zur Berechnung von (1.2) 1/ ist die folgende Bestimmungsgleichung für x zu lösen: x 4! = 1.2 Beginnen Sie die Berechnung des Wertes von x mit Hilfe des Newton-Verfahrens, d.h. gefragt sind: Der allgemeine Ansatz und, beim Startwert x 0 = 1, eine Rechnung (erste Iteration) und der Ansatz für die zweite Iteration (einsetzen, nicht ausrechnen). [5 von 12]

6 Aufgabe 5 [4] Berechnen Sie das Integral { 9 3 t 1/2 für 1 t 4 1 f(t) dt, wobei f(t) = 3 t 1/2 für 4 < t 9 [6 von 12]

7 Aufgabe 6 [5] Für 25 x 80 sei F (x) := F (25) + x 25 ( 105 t 200 1) dt, wobei F (25) fix vorgegeben ist. (a) Berechnen Sie den Wert F (65). [Hilfswert: ln ] 65 (b) Skizzieren Sie das durch das Integral 25 ( 105 t 200 1) dt berechnete Flächenstück. 8 7 f(t) = t (Ersatzvorlage auf Anhangseite 1 oben rechts) [7 von 12]

8 Aufgabe 7 [4] Bestimmen Sie die quadratische Approximation (Taylorpolynom vom Grad n = 2) der Funktion f(x) = (1 + x) 5 an der Entwicklungsstelle x 0 = 0 und damit eine Näherung für den Wert f(0.01) = [8 von 12]

9 Aufgabe 8 [5] Berechnen Sie für die Funktion f(x, y) = x y + ln(y + x 3 ) (x > 0, y > 0) die partiellen Ableitungen f x, f y, sowie f xx, f yy und f xy (oder f yx). [9 von 12]

10 Aufgabe 9 [5] Gegeben sind die Funktion f(x, y) = x y e 2 x y und die Basisstelle (x 0, y 0 ) mit x 0 = 1 und y 0 = 2. (a) (b) Bestimmen Sie die partiellen Elastizitäten E f x und E f y an der obigen Basisstelle. Geben Sie eine Abschätzung für die relative Veränderung der Funktion f an der obigen Basisstelle, wenn sich dort die x-variable um +6% und die y-variable um +8% verändert. [10 von 12]

11 Aufgabe 10 [9] Untersuchen Sie die Funktion f(x, y) = 9 6 x x 3 x x y 2 y 2 (x R, y R) auf (lokale) Extremwerte und Sattelpunkte. (Ggf. angeben: Extremalstellen, Sattelpunktstellen und die zugehörigen Funktionswerte) [Hinweis: Dies ist die angekündigte Aufgabe mit einem weniger geübten Aufgabenteil ] [11 von 12]

12 Anhang 1 Bitte die zugehörige Aufgabe klar erkennbar machen Ersatzvorlage zu Aufgabe 2(a) Ersatzvorlage zu Aufgabe 6 Seiten = A2 A5 sind 4 Leerseiten für zusätzlichen Platzbedarf [12 von 12]