Wiederholung. Algorithmen und Datenstrukturen Kapitel 10. Motivation. Begriffe und Definitionen

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1 Algorihmen nd Daenrkren Kapiel Frank Heimann 6. Janar 2016 Frank Heimann 1/ Graphen Grndlagen Definiion nd Darellng Tiefen- nd Breienche Topologiche Sorieren Sarke Zammenhangkomponenen Minimale Spannbäme Definiion Algorihm on Krkal Algorihm on Prim Beimmen der kürzeen Pfade Definiion nd Varianen (Breienche) Algorihm on Dijkra Algorihm on Bellman-Ford Algorihm on Floyd-Warhall Hee: Frank Heimann 2/ Moiaion Begriffe nd Definiionen /16 1 / /9 /1 20 / Einen Graphen al Flnezerk z inerpreieren i eine andere (nee) Ar der Modellierng mi Graphen. Maerialflüe Logiik (Tranporflüe) Informaionflüe... Frank Heimann heimann@informaik.ni-hambrg.de / Definiion (Flnezerk) Ein Flnezerk i ein gericheer Graph G = (V, E), in dem jeder Kane (, ) E zäzlich eine nichnegaie Kapaziä c(, ) 0 zgeieen ird. (I (, ) E, o nehmen ir c(, ) = 0 an.) E gib die beonderen Knoen, V, die Qelle () nd die Senke (). Alle Knoen liegen af Pfaden on der Qelle zr Senke. Frank Heimann heimann@informaik.ni-hambrg.de /

2 Begriffe nd Definiionen Da Problem de maimalen Fle Definiion (Fl) Sei G = (V, E) mi Kapaziäfnkion c ein Flnezerk, nd ie oben. Ein Fl in G i eine Fnkion f : V V R, für die gil: 1 Kapaziäbechränkng: f (, ) c(, ), V 2 Aymmerie: f (, ) = f (, ), V Flerhalng: V f (, ) = 0 V \ {, } Definiion (Problem de maimalen Fle) Eingabe: Ein Flnezerk G mi Kapaziäfnkion c nd Qelle nd Senke. Gech: Ein Fl mi maimalen Wer. Dabei i der Wer eine Fle definier drch Anmerkng f = V f (, ). Diee Problem ri bei den oben angeprochenen Anendngen (Logiik, Maerial-/Informaionflüe,...) af. Frank Heimann heimann@informaik.ni-hambrg.de / Frank Heimann heimann@informaik.ni-hambrg.de 6/ Maimaler Fl - Beipiel Maimaler Fl - Beipiel /16 / / /1 / Frank Heimann heimann@informaik.ni-hambrg.de / Frank Heimann heimann@informaik.ni-hambrg.de /

3 Maimaler Fl - Beipiel Maimaler Fl - Beipiel /16 / /9 20 /16 / / /9 / /20 1 /1 / 1 /1 / Frank Heimann heimann@informaik.ni-hambrg.de 9/ Frank Heimann heimann@informaik.ni-hambrg.de / Maimaler Fl - Beipiel Maimaler Fl - Beipiel /16 / / /9 / /20 /16 / / /9 / /20 1 /1 / 1 /1 / Frank Heimann heimann@informaik.ni-hambrg.de / Frank Heimann heimann@informaik.ni-hambrg.de /

4 Maimaler Fl - Beipiel Maimaler Fl - Beipiel /16 1/ / /9 / 1/20 /16 1/ / /9 / 1/20 /1 /1 / /1 /1 / Frank Heimann heimann@informaik.ni-hambrg.de 1/ Frank Heimann heimann@informaik.ni-hambrg.de 1/ Fleigenchafen Saz 1. I (, ), (, ) E, o gil f (, ) = f (, ) = Sei Beei. V f (, ) > 0 f (, ) der geame poiie Fl in einen Knoen nd analog der geame poiie Fl a einem Knoen, dann i der geame poiie Fl in einen Knoen V \ {, } gleich dem poiien Fl a dieem Knoen. ( Einreender Fl i gleich areender Fl. ) Mündlich / Zr Übng... Frank Heimann heimann@informaik.ni-hambrg.de 1/ Implizie Smmennoaion f ha zei Knoen al Argmene. Wir führen eine implizie Smmennoaion ein, m ach mi Mengen on Knoen arbeien z können. Wir ezen f (X, Y ) = f (, y). X y Y Die Flerhalng lä ich o formlieren al f (, V ) = 0 V {, }. Ferner chreiben ir in der implizien Smmennoaion ach z.b. V a V {}. Beipiel: f (, V ) = f (, V ) Frank Heimann heimann@informaik.ni-hambrg.de 16/

5 Ein ichige Lemma / Weiere Fleigenchafen Saz (Lemma 26.1 im (Cormen)) Sei G = (V, E) mi c ein Flnezerk nd f ein Fl in G. E gil 1. f (X, X ) = 0 X V 2. f (X, Y ) = f (Y, X ) X, Y V. f (X Y, Z) = f (X, Z) + f (Y, Z) nd f (Z, X Y ) = f (Z, X ) + f (Z, Y ) X, Y, Z V mi X Y = Ein ichige Lemma / Weiere Fleigenchafen Saz (Lemma 26.1 im (Cormen)) Sei G = (V, E) mi c ein Flnezerk nd f ein Fl in G. E gil 2. f (X, Y ) = f (Y, X ) X, Y V Beei. f (X, Y ) = f (, y) X y Y = f (y, ) = f (y, ) X y Y X y Y = f (y, ) = f (Y, X ) y Y X Frank Heimann heimann@informaik.ni-hambrg.de 1/ Frank Heimann heimann@informaik.ni-hambrg.de 1/ Ein ichige Lemma / Weiere Fleigenchafen Nzng de Lemma Saz (Lemma 26.1 im (Cormen)) Sei G = (V, E) mi c ein Flnezerk nd f ein Fl in G. E gil 1. f (X, X ) = 0 X V. f (X Y, Z) = f (X, Z) + f (Y, Z) nd f (Z, X Y ) = f (Z, X ) + f (Z, Y ) X, Y, Z V mi X Y = Beei. Mündlich / Zr Übng... Saz f = f (V, ) Beei. f = f (, V ) = f (V, V ) f (V, V ) = f (V, V ) = f (V, V ) = f (V, ) + f (V, V ) = f (V, ) Frank Heimann heimann@informaik.ni-hambrg.de 19/ Frank Heimann heimann@informaik.ni-hambrg.de 20/

6 Ekr: Mliple Qellen nd Senken Ekr: Mliple Qellen nd Senken i i i i i i Anmerkng Da Problem mi mehreren Qellen nd mehreren Senken kann af den Fall einer Qelle nd einer Senke zrückgeführ erden, indem eine Sperqelle nd eine Sperenke eingeführ ird. Anmerkng Da Problem mi mehreren Qellen nd mehreren Senken kann af den Fall einer Qelle nd einer Senke zrückgeführ erden, indem eine Sperqelle nd eine Sperenke eingeführ ird. Frank Heimann heimann@informaik.ni-hambrg.de 21/ Frank Heimann heimann@informaik.ni-hambrg.de 22/ Inhalkizze Renezerke: Definiion Die lö da Problem de maimalen Fle. Sie mfa erchieden Implemenierngen (Algorihmen) mi nerchiedlichen Lafzeien. Kern der Mehode ind drei ichie Ideen, die ach an anderer Selle on Bedeng ind: Renezerke Ereierngpfade Schnie Definiion Sei G = (V, E) mi c ein Flnezerk nd f ein Fl in G. Wir definieren z je zei Knoen, die Rekapaziä drch c f (, ) = c(, ) f (, ). Da Renezerk i dann gegeben drch G f = (V, E f ) nd c f, obei E f = {(, ) V V c f (, ) > 0} die Menge der Rekanen i. Da Renezerk beeh alo a jenen Kanen, die noch mehr Fl afnehmen können. Frank Heimann heimann@informaik.ni-hambrg.de 2/ Frank Heimann heimann@informaik.ni-hambrg.de 2/

7 Renezerke: Beipiel Renezerke: Beipiel /16 /1 1/ / /9 /1 / 1/20 / Anmerkng 1 Man beache, da mi f (, ) = dann f (, ) = gil, a ggf. z einer eieren Kane im Renezerk führ! Frank Heimann heimann@informaik.ni-hambrg.de 2/ Frank Heimann heimann@informaik.ni-hambrg.de 26/ Renezerke: Eigenchafen Renezerke: Eigenchafen Saz (Lemma 26.2 im (Cormen)) Sei G = (V, E) mi c,, ein Flnezerk nd f ein Fl in G. G f ei da drch den Fl indziere Renezerk nd f ein Fl in G f. Dann i die Flmme f + f ein Fl in G mi f + f = f + f. Anmerkng Die Flmme f + f i definier drch (f + f )(, ) = f (, ) + f (, ). Saz (Lemma 26.2 im (Cormen)) Sei G = (V, E) mi c,, ein Flnezerk nd f ein Fl in G. G f ei da drch den Fl indziere Renezerk nd f ein Fl in G f. Dann i die Flmme f + f ein Fl in G mi f + f = f + f. Beei Z zeigen i, da f + f die drei Eigenchafen eine Fle ha (Kapaziäbechränkng, Aymmerie, Flerhalng) nd da f + f = f + f gil. Wir zeigen die eren beiden Eigenchafen. Die drie nd iere zr Übng/zm Nachleen.... Frank Heimann heimann@informaik.ni-hambrg.de 2/ Frank Heimann heimann@informaik.ni-hambrg.de 2/

8 Renezerke: Eigenchafen Renezerke: Eigenchafen Saz (Lemma 26.2 im (Cormen)) Sei G = (V, E) mi c,, ein Flnezerk nd f ein Fl in G. G f ei da drch den Fl indziere Renezerk nd f ein Fl in G f. Dann i die Flmme f + f ein Fl in G mi f + f = f + f. Beei Kapaziäbechränkng: Wir müen (f + f )(, ) c(, ) zeigen. Mi f (, ) c f (, ) (da f ein Fl in G f i) nd c f (, ) = c(, ) f (, ) (nach Definiion) folg (f + f )(, ) = f (, ) + f (, ) f (, ) + c(, ) f (, ) = c(, ).... Saz (Lemma 26.2 im (Cormen)) Sei G = (V, E) mi c,, ein Flnezerk nd f ein Fl in G. G f ei da drch den Fl indziere Renezerk nd f ein Fl in G f. Dann i die Flmme f + f ein Fl in G mi f + f = f + f. Beei Aymmerie: (f + f )(, ) = f (, ) + f (, ) = f (, ) f (, ) = (f (, ) + f (, )) = (f + f )(, ). Wir nzen hier lediglich die Aymmerie der einzelnen (nd die Definiion der Flmme).... Frank Heimann heimann@informaik.ni-hambrg.de 29/ Frank Heimann heimann@informaik.ni-hambrg.de 0/ Renezerke: Eigenchafen Renezerke: Zammenfang Saz (Lemma 26.2 im (Cormen)) Sei G = (V, E) mi c,, ein Flnezerk nd f ein Fl in G. G f ei da drch den Fl indziere Renezerk nd f ein Fl in G f. Dann i die Flmme f + f ein Fl in G mi f + f = f + f. Beei. Noch z zeigen: V (f + f )(, ) = 0 (Flerhalng) nd f + f = f + f. Mündlich / Zr Übng / Zm Nachleen. Iniie Definiion: Da Renezerk z einem gegebenen Flnezerk nd einem Fl beeh a jenen Kanen, die mehr Fl afnehmen können. Formal ind die Rekapaziä nd die Rekanen ichig. Man beache, da nee Kanen enehen können (bz. reng formal: Kanen, deren Kapaziä orher 0 ar, kann nn größer al 0 erden. Wichige Eigenchaf: Finde man in einem Renezerk G f (f i ein Fl in dem Flnezerk G) einen eieren Fl f, o i f + f erne ein Fl in G (!) mi dem Wer f + f (> f!). Frank Heimann heimann@informaik.ni-hambrg.de 1/ Frank Heimann heimann@informaik.ni-hambrg.de 2/

9 Ereierngpfade: Definiion Ereierngpfade: Beipiel Definiion Sei G = (V, E) mi c ein Flnezerk, f ein Fl in G nd G f da Renezerk. Ein Ereierngpfad i ein einfacher Pfad on nach in G f. Mi c f (p) = min{c f (, ) (, ) i eine Kane on p} ird die Rekapaziä eine Ereierngpfade p bezeichne. Pae o Ponder Die Idee der : Beimme o lange ie möglich Ereierngpfade nd erhöhe den Fl jeeil m die Rekapaziä. 1 Frank Heimann heimann@informaik.ni-hambrg.de / Frank Heimann heimann@informaik.ni-hambrg.de / Ereierngpfade: Beipiel Ereierngpfade: Beipiel /16 /1 1/ / /9 /1 / 1/20 / 1 Frank Heimann heimann@informaik.ni-hambrg.de / Frank Heimann heimann@informaik.ni-hambrg.de 6/

10 Ereierngpfade: Beipiel Ereierngpfade: Beipiel 1 /16 /1 1/ / 9 /1 / 19/20 / Frank Heimann heimann@informaik.ni-hambrg.de / Frank Heimann heimann@informaik.ni-hambrg.de / Ereierngpfade: Beipiel Ereierngpfade: Eigenchafen Saz (Lemma 26. im (Cormen)) Sei G = (V, E) mi c ein Flnezerk, f ein Fl in G nd p ein Ereierngpfad in G f. Sei f p : V V R eine Fnkion mi c f (p) fall (, ) z p gehör, f p (, ) = c f (p) fall (, ) z p gehör, 0 on. Dann i f p ein Fl in G f mi f p = c f (p) > 0. Frank Heimann heimann@informaik.ni-hambrg.de 9/ Frank Heimann heimann@informaik.ni-hambrg.de 0/

11 Renezerke: Eigenchafen (Wdh.) Ereierngpfade: Eigenchafen Saz (Lemma 26.2 im (Cormen)) Sei G = (V, E) mi c,, ein Flnezerk nd f ein Fl in G. G f ei da drch den Fl indziere Renezerk nd f ein Fl in G f. Dann i die Flmme f + f ein Fl in G mi f + f = f + f. Saz (Korollar 26. im (Cormen)) Sei G = (V, E) mi c ein Flnezerk, f ein Fl in G nd p ein Ereierngpfad in G f. Sei f p ie eben definier nd ei f = f + f p, dann i f ein Fl in G mi f = f + f p > f. Beei. Folg ofor a den obigen beiden Säzen. Frank Heimann heimann@informaik.ni-hambrg.de 1/ Frank Heimann heimann@informaik.ni-hambrg.de 2/ Renezerke nd Ereierngpfade: Zammenfang Die Iniie Definiion: Da Renezerk z einem gegebenen Flnezerk nd einem Fl beeh a jenen Kanen, die mehr Fl afnehmen können. Ein Ereierngpfad i ein einfacher Pfad on nach im Renezerk. Finde man in einem Renezerk G f (f i ein Fl in dem Flnezerk G) einen eieren Fl f, o i f + f erne ein Fl in G mi dem Wer f + f > f. Lezere gil inb. ach, enn man über einen Ereierngpfad o iel ie möglich leie (Rekapaziä). Die : 0. Sei f = Beimme G f = (V, E f ) nd c f. 2. Beimme einen Ereierngpfad p. (Gib e keinen, gehe z.). Erhöhe f enlang p m c f (p).. Gehe z 1.. f i ein maimaler Fl. Pae o Ponder Terminier diee Verfahren? I f irklich maimal? Frank Heimann heimann@informaik.ni-hambrg.de / Frank Heimann heimann@informaik.ni-hambrg.de /

12 Schnie: Moiaion Schnie: Definiion Da maimaler-fl-minimaler-schni-theorem beag, da ein Fl maimal i gd. da Renezerk keinen Ereierngpfad enhäl. Diee Theorem i gena, a ir brachen! Zm Beei benöigen ir Schnie... Definiion (Schni) Ein Schni (S, T ) eine Flnezerke G = (V, E) i eine Parionierng on V in S nd T = V S, obei S nd T gil. Der Neofl nd die Kapaziä eine Schnie (S, T ) i drch f (S, T ) bz. c(s, T ) definier. Ein minimaler Schni i ein Schni, deen Kapaziä die kleine on allen Schnien de Nezerke i. Frank Heimann heimann@informaik.ni-hambrg.de / Frank Heimann heimann@informaik.ni-hambrg.de 6/ Schnie: Beipiel Schnie: Eigenchafen Anmerkng /16 /1 1/ / /9 /1 / 1/20 Beim Neofl ird ein (poiier) Fl on S nach T addier, ein (poiier) Fl on T nach S brahier. Bei der Kapaziä ind nr Kanen on S nach T relean. / Saz (Lemma 26. im (Cormen)) Seien G ein Flnezerk, c,, ie üblich, f ein Fl nd (S, T ) ein Schni on G. Dann gil f (S, T ) = f. (D.h. der Neofl drch beliebige Schnie i immer gleich, nämlich gleich dem Wer de Fle.) Beei. f (S, T ) = f (S, V ) f (S, S) = f (S, V ) = f (, V ) + f (S, V ) = f (, V ) = f. Frank Heimann heimann@informaik.ni-hambrg.de / Frank Heimann heimann@informaik.ni-hambrg.de /

13 Schnie: Eigenchafen Saz In einem Flnezerk G i der Wer eine beliebigen Fle drch die Kapziä jede beliebigen Schnie nach oben bechränk. Beei. Sei (S, T ) ein Schni on G nd f ein beliebiger Fl. Wir ollen f c(s, T ) zeigen. f = f (S, T ) = f (, ) c(, ) S T S T = c(s, T ) Zm Ma-Flo-Min-C-Theorem Saz In einem Flnezerk G i der Wer eine beliebigen Fle drch die Kapziä jede beliebigen Schnie nach oben bechränk. Anmerkng Der maimale Fl m folglich drch die Kapaziä eine minimalen Schni bechränk ein (da oben beide beliebig, aber die Schranke e gil). - Da ichige Ma-Flo-Min-C-Theorem ag a, da diee Were aächlich gleich ind. Frank Heimann heimann@informaik.ni-hambrg.de 9/ Frank Heimann heimann@informaik.ni-hambrg.de 0/ Ma-Flo-Min-C-Theorem Ma-Flo-Min-C-Theorem Saz Sei G = (V, E) mi c,, ein Flnezerk, f ein Fl in G. Die folgenden Bedingngen ind äqialen: 1. f i ein maimaler Fl in G. 2. Da Renezerk G f enhäl keine Ereierngpfade.. E i f = c(s, T ) für einen Schni (S, T ) on G. Beei (1) (2): Widerprchbeei... mündlich/zr Übng/zm Nachleen... Saz 2. Da Renezerk G f enhäl keine Ereierngpfade.. E i f = c(s, T ) für einen Schni (S, T ) on G. Beei (2) (): G f enhäl keinen Pfad on nach. Definiere: S := { V e gib einen Pfad in G f on nach } nd T := V S. (S, T ) i ein Schni (arm?), ferner m f (, ) = c(, ) für, V mi S nd T gelen, da on (, ) E f äre nd omi S gelen müe. Mi den zei orherigen Säzen folg dann f = f (S, T ) = c(s, T ). Frank Heimann heimann@informaik.ni-hambrg.de 1/ Frank Heimann heimann@informaik.ni-hambrg.de 2/

14 Ma-Flo-Min-C-Theorem Schnie - Zammenfang Saz 1. f i ein maimaler Fl in G.. E i f = c(s, T ) für einen Schni (S, T ) on G. Beei. () (1): Wir haben orhin f c(s, T ) für alle Schnie (S, T ) beieen. A f = c(s, T ) folg alo, da f ein maimaler Fl ein m. Schnie ind ein Hilfmiel für da Ma-Flo-Min-C-Theorem, da aag, da der maimale Fl in einem Flnezerk der Kapaziä eine minimalen Schnie enprich. Dara (nd a der aführlicheren Formlierng de Theorem oben) folg die Korrekhei der. Frank Heimann heimann@informaik.ni-hambrg.de / Frank Heimann heimann@informaik.ni-hambrg.de / Die Ford-Flkeron: Beipiel Die : 0. Sei f = Beimme G f = (V, E f ) nd c f. 2. Beimme einen Ereierngpfad p. (Gib e keinen, gehe z.). Erhöhe f enlang p m c f (p).. Gehe z 1.. f i ein maimaler Fl. Pae o Ponder Wo haben ir hier Sellchraben? Frank Heimann heimann@informaik.ni-hambrg.de / Frank Heimann heimann@informaik.ni-hambrg.de 6/

15 Ford-Flkeron: Beipiel Ford-Flkeron: Beipiel /16 / / /1 / Frank Heimann heimann@informaik.ni-hambrg.de / Frank Heimann heimann@informaik.ni-hambrg.de / Ford-Flkeron: Beipiel Ford-Flkeron: Beipiel Frank Heimann heimann@informaik.ni-hambrg.de 9/ Frank Heimann heimann@informaik.ni-hambrg.de 60/

16 Ford-Flkeron: Beipiel Ford-Flkeron: Beipiel /16 / 1 / /9 /1 / /20 / 1 1 Frank Heimann heimann@informaik.ni-hambrg.de 61/ Frank Heimann heimann@informaik.ni-hambrg.de 62/ Ford-Flkeron: Beipiel Ford-Flkeron: Beipiel 1 1 /16 /1 1/ / /9 /1 / 1/20 / Frank Heimann heimann@informaik.ni-hambrg.de 6/ Frank Heimann heimann@informaik.ni-hambrg.de 6/

17 Ford-Flkeron: Beipiel Ford-Flkeron: Beipiel 1 1 Frank Heimann heimann@informaik.ni-hambrg.de 6/ Frank Heimann heimann@informaik.ni-hambrg.de 66/ Ford-Flkeron: Beipiel Ford-Flkeron: Beipiel /16 /1 1/ / 9 /1 / 19/20 / Frank Heimann heimann@informaik.ni-hambrg.de 6/ Frank Heimann heimann@informaik.ni-hambrg.de 6/

18 Ford-Flkeron-Baialgorihm Ford-Flkeron-Baialgorihm - Analye Algorihm 1 FordFlkeron(G,, ) 1: for alle (, ) E(G) do 2: f [, ] = 0, f [, ] = 0 : end for : hile e gib einen Pfad p on nach in G f do : c f (p) = min{c f (, ) (, ) gehör z p} 6: for alle Kanen (, ) on p do : f [, ] = f [, ] + c f (p) : f [, ] = f [, ] 9: end for : end hile Analye: Die for-schleife i in Θ(E). Die hile-schleife ird maimal f -mal ageführ, obei f ein maimaler Fl i. Nzen ir innolle Daenrkren nd ermieln p in O(E) (z.b. miel Breien- oder Tiefenche), o i jede Ieraion der hile-schleife in O(E). Ingeam i die Roine dami in O(E f ). Anmerkng Wir gehen dabei on ganzzahligen oder raionalen Kapaziäen a. Bei irraionalen Kanenkapaziäen kann Uninn paieren, a aber fakich nr on mahemaichem Ineree i. Frank Heimann heimann@informaik.ni-hambrg.de 69/ Frank Heimann heimann@informaik.ni-hambrg.de 0/ Ford-Flkeron - Ein Problemfall Edmond-Karp-Algorihm Beobachng 1 Hier kann bei iederholer ngüniger Wahl on p die obere Lafzeigrenze on O(E f ) erreich erden, obohl zei Ieraionen reichen ürden. (I z.b. = 0 nd ird iederhol --- nd --- (im Renezerk!) geähl, brach man 200 Ieraionen (a 2).) Frank Heimann heimann@informaik.ni-hambrg.de 1/ Der Edmond-Karp-Algorihm: Ermile einen Ereierngpfad p in der drch eine Breienche, d.h. p i ein kürzeer Pfad on nach im Renezerk (obei jede Kane da Geich 1 ha). Saz Die Anzahl der drch den Edmond-Karp-Algorihm orgenommenen Flereierngen i in O(V E). Da jede Ieraion (der Prozedr FordFlkeron) in Zei O(E) implemenier erden kann, i der Edmond-Karp-Algorihm in O(V E 2 ). Anmerkng Wenn ach hier ea ncheinbar af nr einer Folie plazier, i die ein ehr ichige Rela! Frank Heimann heimann@informaik.ni-hambrg.de 2/

19 Ablick nd Anendngen Begriffe nd Definiionen Anmerkng Maimale ind nich nr für da Problem an ich inerean, ondern reen of ach bei anderen Problemen af, die alo al Flprobleme formlier erden können. Ein Beipiel i die Beimmng eine maimalen biparien Maching. Wir gehen hier nich mehr daraf ein (er mag: Kapiel 26. im [Cormen]). Ablick (für Inereiere) Den Beei für den Edmond-Karp-Algorihm finde man im [Cormen] (zei Seien). Zdem kann die Lafzei mi ogenannen Ph/Relabel-Algorihmen eier af O(V 2 E) nd ogar O(V ) erbeer erden. Mehr daz finde man ach im [Cormen]. - Und e geh ogar noch chneller (iehe Kapielbemerkngen nd Lierarhineie im [Cormen])... Frank Heimann heimann@informaik.ni-hambrg.de / /16 1 / Definiion (Flnezerk) / /9 /1 / /20 Ein Flnezerk i ein gericheer Graph G = (V, E), in dem jeder Kane (, ) E zäzlich eine nichnegaie Kapaziä c(, ) 0 zgeieen ird. (I (, ) E, o nehmen ir c(, ) = 0 an.) E gib die beonderen Knoen, V, die Qelle () nd die Senke (). Alle Knoen liegen af Pfaden on der Qelle zr Senke. Frank Heimann heimann@informaik.ni-hambrg.de / / Begriffe nd Definiionen Definiion (Fl) Sei G = (V, E) mi Kapaziäfnkion c ein Flnezerk, nd ie oben. Ein Fl in G i eine Fnkion f : V V R, für die gil: 1 Kapaziäbechränkng: f (, ) c(, ), V 2 Aymmerie: f (, ) = f (, ), V Flerhalng: V f (, ) = 0 V \ {, } Da Problem de maimalen Fle Definiion (Problem de maimalen Fle) Eingabe: Ein Flnezerk G mi Kapaziäfnkion c nd Qelle nd Senke. Gech: Ein Fl mi maimalen Wer. Dabei i der Wer eine Fle definier drch Anmerkng f = V f (, ). Diee Problem ri bei ielen Anendngen (Logiik, Maerial- /Informaionflüe,...) direk af, of laen ich ganz ander ercheinende Probleme aber ach al Flprobleme formlieren nd dann o löen. Frank Heimann heimann@informaik.ni-hambrg.de / Frank Heimann heimann@informaik.ni-hambrg.de 6/

20 Renezerke: Definiion Ereierngpfade: Definiion Definiion Sei G = (V, E) mi c ein Flnezerk nd f ein Fl in G. Wir definieren z je zei Knoen, die Rekapaziä drch c f (, ) = c(, ) f (, ). Da Renezerk i dann gegeben drch G f = (V, E f ) nd c f, obei E f = {(, ) V V c f (, ) > 0} die Menge der Rekanen i. Da Renezerk beeh alo a jenen Kanen, die noch mehr Fl afnehmen können. Frank Heimann heimann@informaik.ni-hambrg.de / Definiion Sei G = (V, E) mi c ein Flnezerk, f ein Fl in G nd G f da Renezerk. Ein Ereierngpfad i ein einfacher Pfad on nach in G f. Mi c f (p) = min{c f (, ) (, ) i eine Kane on p} ird die Rekapaziä eine Ereierngpfade p bezeichne. Frank Heimann heimann@informaik.ni-hambrg.de / Renezerke nd Ereierngpfade: Zammenfang Die Die : Iniie Definiion: Da Renezerk z einem gegebenen Flnezerk nd einem Fl beeh a jenen Kanen, die mehr Fl afnehmen können. Ein Ereierngpfad i ein einfacher Pfad on nach im Renezerk. Finde man in einem Renezerk G f (f i ein Fl in dem Flnezerk G) einen eieren Fl f, o i f + f erne ein Fl in G mi dem Wer f + f > f. Lezere gil inb. ach, enn man über einen Ereierngpfad o iel ie möglich leie (Rekapaziä). 0. Sei f = Beimme G f = (V, E f ) nd c f. 2. Beimme einen Ereierngpfad p. (Gib e keinen, gehe z.). Erhöhe f enlang p m c f (p).. Gehe z 1.. f i ein maimaler Fl. Anmerkng Die Idee: Beimme o lange ie möglich Ereierngpfade nd erhöhe den Fl jeeil m die Rekapaziä. Lafzei: O(E f ), obei f ein maimaler Fl i. Frank Heimann heimann@informaik.ni-hambrg.de 9/ Frank Heimann heimann@informaik.ni-hambrg.de 0/

21 Schnie: Definiion Ma-Flo-Min-C-Theorem Definiion (Schni) /16 /1 1/ / /9 /1 / 1/20 Ein Schni (S, T ) eine Flnezerke G = (V, E) i eine Parionierng on V in S nd T = V S, obei S nd T gil. Der Neofl nd die Kapaziä eine Schnie (S, T ) i drch f (S, T ) bz. c(s, T ) definier. Ein minimaler Schni i ein Schni, deen Kapaziä die kleine on allen Schnien de Nezerke i. Frank Heimann heimann@informaik.ni-hambrg.de 1/ / Saz Sei G = (V, E) mi c,, ein Flnezerk, f ein Fl in G. Die folgenden Bedingngen ind äqialen: 1. f i ein maimaler Fl in G. 2. Da Renezerk G f enhäl keine Ereierngpfade.. E i f = c(s, T ) für einen Schni (S, T ) on G. Anmerkng Mi dieem Saz folg die Korrekhei der Frank Heimann heimann@informaik.ni-hambrg.de 2/ Edmond-Karp-Algorihm Der Edmond-Karp-Algorihm: Ermile einen Ereierngpfad p in der drch eine Breienche, d.h. p i ein kürzeer Pfad on nach im Renezerk (obei jede Kane da Geich 1 ha). Saz Die Anzahl der drch den Edmond-Karp-Algorihm orgenommenen Flereierngen i in O(V E). Da jede Ieraion (der Prozedr FordFlkeron) in Zei O(E) implemenier erden kann, i der Edmond-Karp-Algorihm in O(V E 2 ). Frank Heimann heimann@informaik.ni-hambrg.de / Graphen Grndlagen Definiion nd Darellng Tiefen- nd Breienche Topologiche Sorieren Sarke Zammenhangkomponenen Minimale Spannbäme Definiion Algorihm on Krkal Algorihm on Prim Beimmen der kürzeen Pfade Definiion nd Varianen (Breienche) Algorihm on Dijkra Algorihm on Bellman-Ford Algorihm on Floyd-Warhall Frank Heimann heimann@informaik.ni-hambrg.de /