Grundlegendes: Mengen und Aussagen

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1 Kapitel 1 Grundlegendes: Mengen und Aussagen Wie jedes Fachgebiet hat auch die Mathematik eine eigene Fachsprache Ohne ihre Kenntnis wird man ein mathematisches Buch, selbst wenn es für Anwender geschrieben ist, nicht ohne weiteres lesen können und wird manche Sachverhalte falsch verstehen Bevor wir mit der richtigen Mathematik beginnen, müssen wir deshalb erst einmal die wichtigsten sprachlichen Hilfsmittel kennen lernen, die zur Formulierung mathematischer Sachverhalte nötig sind Das geschieht in diesem Kapitel Die in der Mathematik und ihren Anwendungen gebräuchliche Fachsprache basiert auf dem Begriff Menge und bedient sich dementsprechend der Mengenlehre Diese ist eine auf dem Mengenbegriff aufgebaute axiomatische Theorie, die man als die Grundlage der Mathematik überhaupt verstehen kann Für uns ist es nun allerdings keineswegs erforderlich, tief in die Mengenlehre einzudringen Es reicht aus, wenn wir uns die wenigen grundlegenden Begriffsbildungen, Bezeichnungen und Schreib- und Sprechweisen aus der Mengenlehre aneignen, mit deren Hilfe wir mathematische Sachverhalte präzise formulieren können Das tun wir im ersten Teil dieses Kapitels Die einzelnen mathematischen Theorien, die zusammen die Mathematik bilden, sind axiomatisch aufgebaut Die Axiome sind die einzigen Aussagen, die als wahr hingenommen werden; jede von ihnen verschiedene Behauptung muss bewiesen werden Durch diese Forderung unterscheidet sich die Mathematik deutlich von den Naturwissenschaften, in denen ja zum Beispiel auch Experimente und Erfahrungen zur Begründung von Aussagen dienen können Sie bedeutet gleichzeitig, dass man sich in der Mathematik überhaupt nur mit Aussagen beschäftigt, dh mit Aussagesätzen unserer Umgangssprache, die entweder wahr oder aber falsch sind Um eine Behauptung zu beweisen, muss man sie aus schon als wahr erkannten Aussagen herleiten, indem man Schritt für Schritt Aussagen zu neuen Aussagen verknüpft Da die hierbei benutzten Wörter und Redewendungen der Umgangssprache oft mehrdeutig sind, ist es unumgänglich, für die Formulierung mathematischer Sachverhalte präzise Verabredungen zu treffen Das geschieht in der Aussagenlogik Wie für die Mengenlehre gilt auch hier: Es ist nicht unbedingt erforderlich, tiefer in die Aussagenlogik einzudringen Es genügt, wenn wir uns über die Problematik bewusst werden, die in der Benutzung der nicht immer eindeutigen Um-

2 2 Kapitel 1 Grundlegendes: Mengen und Aussagen gangssprache besteht, und wenn wir aus diesem Grund einige Schreib- und Sprechweisen vereinbaren, die Mehrdeutigkeiten zu vermeiden helfen Das werden wir im zweiten Teil des Kapitels tun 11 Grundlegendes über Mengen Unter einer Menge verstehen wir eine abgegrenzte Gesamtheit von unterscheidbaren Objekten; diese heißen die Elemente der Menge Zur Beschreibung von Mengen benutzt man Mengenklammern {}, zwischen denen auf eine der beiden folgenden Arten die Elemente der Menge angegeben werden: (1) Die Elemente werden aufgezählt Beispiele: M = {1, 2, 3, 4}; M = {a 1,,a n } (2) Die Elemente werden durch eine Variable repräsentiert, mit deren Hilfe eine genau die Elemente charakterisierende Eigenschaft angegeben wird: M = { x x hat die Eigenschaft E } Das liest und spricht man so: M ist die Menge aller x, welche die Eigenschaft E haben Beispiel: M = { x x ist eine gerade Zahl zwischen 1 und 5 } Lies: M ist die Menge aller x,für die gilt: x ist eine gerade Zahl zwischen 1 und 5 Zwei Mengen sind gleich, wenn sie dieselben Elemente haben; auf welche Art die Mengen dargestellt sind, spielt keine Rolle Beispiel: { x x ist eine gerade Zahl zwischen 1 und 5 } = {2, 4} Für Mengen, die häufig auftreten, verwendet man feste Symbole, um sie nicht immer wieder ausführlich beschreiben zu müssen: N : Menge der natürlichen Zahlen 1, 2, 3,; N 0 : Menge, die 0 und die natürlichen Zahlen als Elemente hat; Z : Menge der ganzen Zahlen, 2, 1, 0, 1, 2,; Q : Menge der rationalen Zahlen a b ( Brüche ); R : Menge der reellen Zahlen; : leere Menge, also die Menge, die kein Element enthält Wollen wir angeben, dass ein Objekt a Element oder aber nicht Element einer Menge M ist, so benutzen wir folgende Schreibweise: a M bedeutet: a ist Element von M (gehört zu M); a M bedeutet: a ist nicht Element von M (gehört nicht zu M)

3 11 Grundlegendes über Mengen 3 Beispiele: 2 {1, 3, 5}, 1 N, 0 N, 5 {x R 3 x 7 } Mengen reeller Zahlen von der Art, wie wir sie als letzte in den Beispielen gerade angegeben haben, treten häufig auf; auch für sie werden daher einfache Symbole eingeführt: Sind a, b R und ist a<b, so heißt die Menge [a, b] ={ x R a x b } (a, b) ={ x R a<x<b} ein abgeschlossenes Intervall, ein offenes Intervall, und a, b heißen die Endpunkte des Intervalls Beim abgeschlossenen Intervall gehören also die Endpunkte a und b zum Intervall dazu, beim offenen Intervall nicht Wenn nur einer der beiden Endpunkte zum Intervall gehört, spricht man von einem halboffenen Intervall: [a, b) ={ x R a x<b} und (a, b] ={ x R a<x b } Als unendliche Intervalle bezeichnet man schließlich Zahlenmengen der Form [a, ) ={ x R x a } und (a, ) ={ x R x>a} und die entsprechend definierten Zahlenmengen (,a] und (,a) Zur geometrischen Veranschaulichung der Intervalle benutzen wir die Zahlengerade Das ist eine Gerade, auf der ein Punkt als Nullpunkt O und eine der beiden möglichen Richtungen durch einen Pfeil als positive Richtung ausgezeichnet sind Auf ihr können wir die reellen Zahlen als Punkte veranschaulichen und jeden Punkt durch die ihm zugeordnete Zahl markieren Einem endlichen Intervall [a, b] entspricht dann die Strecke auf der Zahlengeraden mit den Endpunkten a und b, einem unendlichen Intervall [c, ) der vom Punkt c ausgehende, in positive Geradenrichtung zeigende Strahl (Abb 11) [a, b] [c, ) a b c Abb 11 Intervalle auf der Zahlengeraden Ist jedes Element einer Menge N auch Element einer Menge M, so heißt N eine Teilmenge von M, und wir schreiben dann: N M Beispiele: {1, 2} {1, 2, 3, 4}; N N 0 Z Q R; für a<bist [a, b] R; für eine beliebige Menge M ist immer M und M M Beachten Sie: Der Begriff Teilmenge lässt auch zu, dass Gleichheit vorliegt Wollen wir ausdrücklich ausschließen, dass Gleichheit vorliegt, so schreiben wir: N M

4 4 Kapitel 1 Grundlegendes: Mengen und Aussagen Mit zwei Mengen L und M kann man wie folgt sinnvoll neue Mengen bilden: L M = { x x L und x M } heißt Durchschnitt von L und M; L M = { x x L oder x M } heißt Vereinigung von L und M; L \ M = { x x L und x M } heißt Differenz von L und M Der Durchschnitt zweier Mengen besteht aus genau den Elementen, die zu jeder der beiden Mengen gehören, die Vereinigung aus denen, die zu wenigstens einer der Mengen gehören, die Differenz aus denen, die zur ersten und nicht zur zweiten Menge gehören Beispiele: (1) [1, 3] [2, 5] = [2, 3]; (2) [1, 3] [2, 5] = [1, 5]; (3) [1, 3] \ [2, 5] = [1, 2); (4) R \ ( 1, 1] = (, 1] (1, ) ={ x R x 2 1 und x 1} Machen Sie sich die Definition von Durchschnitt, Vereinigung und Differenz zweier Mengen an Hand dieser Beispiele klar, indem Sie die den Invervallen entsprechenden Punktmengen auf einer Zahlengeraden skizzieren Zwei Mengen L und M heißen disjunkt (oder punktfremd), wenn ihr Durchschnitt leer ist: L M = Beispiel: [0, 1) [1, 2] =, aber [0, 1] [1, 2] = {1} Eine weitere wichtige Möglichkeit, neue Mengen zu konstruieren, ist die Bildung des kartesischen Produktes von n Mengen M 1,,M n M 1 M n = { (x 1,,x n ) x k M k für 1 k n } oder auch des kartesischen Produktes von n Exemplaren derselben Menge M M n = M M = { (x 1,,x n ) x k M für 1 k n } Beispiel: R 2 = R R = { (x, y) x, y R } heißt die Menge der geordneten Paare reeller Zahlen R 2 lässt sich veranschaulichen als die Menge aller Punkte in einer Ebene, wenn wir in der Ebene ein rechtwinkliges kartesisches Koordinatensystem wählen (Abb 12): Für (x, y) R 2 bestimmt die erste Zahl x einen Punkt auf der ersten Achse, die zweite Zahl y einen Punkt auf der zweiten Achse Der Schnittpunkt P der Parallelen

5 11 Grundlegendes über Mengen 5 zur zweiten Achse durch den Punkt x und der Parallelen zur ersten Achse durch den Punkt y veranschaulicht dann das geordnete Paar (x, y), und man bezeichnet (x, y) als die Koordinatendarstellung des Punktes P y x P =(x, y) Abb 12 Ein rechtwinkliges kartesisches Koordinatensystem in der Ebene besteht aus zwei Zahlengeraden mit gleicher Längeneinheit, die sich rechtwinklig schneiden Ihr Schnittpunkt ist der Nullpunkt beider Zahlengeraden und heißt der Nullpunkt des Koordinatensystems Die Zahlengeraden hei- ßen die Koordinatenachsen Entsprechend heißt das kartesische Produkt R 3 = { (x, y, z) x, y, z R } die Menge der geordneten Tripel reeller Zahlen Wählen wir im Raum ein rechtwinkliges kartesisches Koordinatensystem, so können wir R 3 als die Menge aller Punkte im (dreidimensionalen) Raum veranschaulichen; jedes geordnete Tripel (x, y, z) reeller Zahlen ist dann die Koordinatendarstellung eines Punktes P im Raum Schließlich heißt allgemein für n N das kartesische Produkt R n = { (x 1,x 2,,x n ) x k R für 1 k n } von n Exemplaren R die Menge der geordneten n-tupel reeller Zahlen, und man kann die geordneten n-tupel reeller Zahlen als die Koordinatendarstellungen der Punkte des n-dimensionalen Raumes auffassen Wenn wir reelle Zahlen als Punkte auf einer Zahlengeraden und geordnete Paare und Tripel reeller Zahlen als Punkte in der Ebene bzw im Raum veranschaulichen, so gibt uns das die Möglichkeit, Beziehungen zwischen Zahlengrößen geometrisch an Hand von Punktmengen darzustellen Ein Beispiel dafür sind reelle Funktionen und ihre graphische Darstellung (Abschnitt 42), an die wir kurz erinnern, weil sie aus der Schulmathematik ohnehin bekannt sind: Ist I R, so heißt eine Vorschrift, die jeder Zahl x I eindeutig eine reelle Zahl y zuordnet, eine (reelle) Funktion von I nach R Es ist üblich, die Vorschrift durch ein Symbol f zu kennzeichnen und die Funktion dann anzugeben durch f: I R Wir kennen eine Funktion f: I R vollständig, wenn wir für jede Zahl x I die zugeordnete Zahl f(x) kennen, wenn wir also die zu allen x I gehörigen geordneten Zahlenpaare ( x, f(x) ) kennen Die Menge dieser geordneten Zahlenpaare heißt der Graph der Funktion: Graph f = {( x, f(x) ) x I } Die Veranschaulichung des Graphen von f in der Ebene, in der ein kartesisches Koordinatensystem gewählt ist, nennt man die graphische Darstellung der Funktion f: I R oder auch ebenfalls den Graphen von f (Abb 13)

6 6 Kapitel 1 Grundlegendes: Mengen und Aussagen Abb 13 y-achse Graph f (x, f(x)) f(x) 0 x x-achse Graphische Darstellung einer Funktion f 12 Grundlegendes über Aussagen Unter einer Aussage verstehen wir einen mit Hilfe unserer Umgangssprache formulierten Aussagesatz, der entweder wahr oder falsch ist, dem also genau einer der beiden Wahrheitswerte wahr oder falsch zugeordnet ist In einer Vorlesung über Mathematik oder in einem entsprechenden einführenden Lehrbuch werden immer gewisse Grundaussagen als bekannt vorausgesetzt Solche Grundaussagen, die wir ohne Beweis als wahr hinnehmen, dürfen wir als Axiome verstehen (die Axiome einer mathematischen Theorie sind eigentlich diejenigen Grundaussagen, die ohne Beweis als wahr akzeptiert werden und aus denen alle anderen Aussagen der Theorie abgeleitet sind) Sie werden feststellen, dass ausgehend von solchen allgemein als wahr akzeptierten Aussagen dann Schritt für Schritt neue Aussagen gewonnen werden, die das mathematische Wissen immer mehr erweitern Bei diesem Vorgehen ist es nötig, aus Aussagen neue Aussagen zu bilden oder mehrere Aussagen zu einer neuen Aussage zusammenzusetzen Man nutzt dazu im Grunde nur einige wenige Möglichkeiten, zum Beispiel das Verneinen einer Aussage, das Verknüpfen von Aussagen durch Bindewörter wie und und oder sowie durch die sprachlichen Wendungen wenn gilt, so gilt oder aus folgt oder ist äquivalent zu Diese Wörter und Redewendungen werden in der Umgangssprache häufig mehrdeutig verwendet Um ihnen eine eindeutige Bedeutung zu geben, wird in der Aussagenlogik festgelegt, welchen Wahrheitswert eine zusammengesetzte Aussage in Abhängigkeit von den Wahrheitswerten der dabei benutzten Einzelaussagen besitzt Wenn aus Aussagen eine wichtige neue Aussage gewonnen wurde, dokumentiert man das, indem man einen Satz formuliert (der auch als Folgerung oder Ergebnis oder nur als Bemerkung bezeichnet sein kann je nachdem, welche Bedeutung der neuen Erkenntnis zugemessen wird) Bezeichnen wir zwei Aussagen einmal symbolisch mit A und B, so hat ein Satz in der Mathematik dann im Prinzip immer die Form: Aus A folgt B Man nennt A die Voraussetzung, B die Behauptung und die Verknüpfung aus A folgt B der beiden Aussagen A und B eine Implikation Symbolisch bezeichnen wir eine solche Implikation mit A = B, und wir benutzen folgende (gleichbedeutenden) Redewendungen, um eine Implikation in Worten auszudrücken: aus A folgt B oder wenn A gilt, so gilt B

7 12 Grundlegendes über Aussagen 7 oder A ist hinreichend für B Die Implikation A = B ist eine aus den Aussagen A und B zusammengesetzte neue Aussage Ihr Wahrheitswert wird mit Hilfe der möglichen Wahrheitswerte der Aussagen A und B wie folgt festgelegt: Sie ist nur dann falsch, wenn A wahr und B falsch ist, in allen anderen Situationen ist sie wahr Um sich von der Gültigkeit eines Satzes zu überzeugen, genügt es, die Voraussetzung als wahr anzunehmen und dann die Wahrheit der Behauptung festzustellen Allerdings ist diese im Allgemeinen nicht unmittelbar einsichtig; daher muss sie bewiesen werden Einen solchen Beweis durchzuführen, bedeutet in der Regel, eine Folge A = A 1, A 2,, A n = B von Aussagen zu bilden, so dass aus jeder dieser Aussagen die jeweils dahinter stehende Aussage unmittelbar und für alle offensichtlich folgt (wobei man wegen der Offensichtlichkeit nun darauf verzichten darf, dies an Hand der möglichen Wahrheitswerte nachzuprüfen) Manchmal gelten gleichzeitig die Implikation A = B und die umgekehrte Implikation B = A Es ist dann praktisch, beide zu einer einzigen Aussage zusammenzufassen Man nennt diese eine Äquivalenz und benutzt für sie die Schreibweise A B: A B bedeutet: Aus A folgt B und aus B folgt A Für A B verwenden wir nach Belieben folgende sprachlichen Formulierungen: A ist äquivalent (gleichbedeutend) zu B oder A gilt genau dann, wenn B gilt oder A gilt dann und nur dann, wenn B gilt oder A ist hinreichend und notwendig für B Für jemanden, der Mathematik anwenden will, ist natürlich der Inhalt eines Satzes interessanter als der Beweis (Mathematiker dagegen haben oft gerade an der Beweisführung ein großes Interesse) Manchmal ist der Beweis aber hilfreich, um die inhaltliche Aussage des Satzes so zu verstehen, wie es für deren Anwendung erforderlich ist Daher werden wir in diesem Buch häufig auf Beweise verzichten, aber Beweise immer dann führen, wenn wir glauben, dass sie dazu beitragen, das für den Umgang mit dem jeweiligen mathematischen Sachverhalt nötige Verständnis zu entwickeln Wer auf das Lesen eines Beweises verzichten möchte, kann leicht feststellen, wo der Beweis aufhört, denn das Ende eines Beweises, der im Anschluss an einen Satz geführt wird, ist immer durch ein kleines offenes Quadrat gekennzeichnet, wie jetzt das Ende dieses Kapitels

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