Ziel dieses Abschnittes ist die Verallgemeinerung des Hauptsatzes der Differentialund Integralrechnung. u(x)v (x)dx + u(x)v(x) b a

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1 7 Integrlsätze Ziel dieses Abschnittes ist die Verllgemeinerung des Huptstzes der ifferentilund Integrlrechnung b und der Formel der prtiellen Integrtion b f x)dx fb) f) fx) b u x)vx)dx b ux)v x)dx + ux)vx) b uf mehrdimensionle Integrle. Es stellt sich die Frge, durch welche ifferentilopertoren die Ableitungen f,u,v und wodurch die Rndterme f b und uv b zu ersetzen sind. ie gewonnenen Integrlsätze finden zhlreiche Anwendungen in den Ntur- und Technikwissenschften. 7. ie ivergenz eines Vektorfeldes Unser erstes Ziel ist der ußsche Integrlstz im R 3. Seine nschuliche Bedeutung ist völlig einleuchtend: ie Flüssigkeitsmenge, die durch die Oberfläche eines räumlichen ebietes herusströmt, ist gleich der Flüssigkeitsmenge, die die Quellen in diesem ebiet hervorbringen. Wie knn mn die Flüssigkeitsmenge, die eine Quelle im Punkt x 0,y 0,z 0 ) R 3 hervorbringt, mthemtisch beschreiben? Wir betrchten eine sttionäre zeitunbhängige) Strömung einer inkompressiblen Flüssigkeit d.h. mit konstnter ichte), die im Punkt x,y,z) R 3 die eschwindigkeit V x,y,z) V x,y,z),v 2 x,y,z),v 3 x,y,z) ) ht. Im Punkt x 0,y 0,z 0 ) heften wir einen kleinen chsenprllelen Quder Q mit den Seitenlängen x, y und z n. z y x x 0,y 0,z 0 ) x y z nn ist ds Flüssigkeitsvolumen, ds pro Zeiteinheit in Richtung der positiven x- Achse durch die linke bzw. rechte Seitenwnd des Quders fließt, näherungsweise gleich V x 0,y 0,z 0 ) y z bzw. V x 0 + x,y 0,z 0 ) y z. 250

2 s Volumen, ds pro Zeiteinheit us dem Quder Q in der positiven x-richtung ustritt, ist lso etw gleich V x 0 + x,y 0,z 0 ) V x 0,y 0,z 0 ) ) y z V x 0 + x,y 0,z 0 ) V x 0,y 0,z 0 ) x V x x 0,y 0,z 0 ) x y z. x y z Wir stellen in ähnlicher Weise die Mssenbilnz für den Fluß in positiver y- und z-richtung uf und erhlten ls Endresultt, dss ds Flüssigkeitsvolumen, ds pro Zeiteinheit us Q ustritt, ungefähr gleich V x x 0,y 0,z 0 ) + V 2 y x 0,y 0,z 0 ) + V 3 z x 0,y 0,z 0 ) ist. Wir treffen folgende llgemeine efinition. ) x y z 7.) efinition 7. Sei R n offen und F : R n ein stetig differenzierbres Vektorfeld. nn heißt die durch div F)x) n i F i x i x), x mit F F,...,F n )) definierte Funktion div F : R die ivergenz von F. ie ivergenz eines Vektorfeldes ist lso eine sklrwertige Funktion. Wir können 7.) somit schreiben ls div V )x 0,y 0,z 0 ) x y z. ividieren wir diesen Wert durch ds Volumen x y z von Q und ziehen wir Q uf den Punkt x 0,y 0,z 0 ) zusmmen, so können wir div V )x 0,y 0,z 0 ) ls Quellendichte der Strömung im Punkt x 0,y 0,z 0 ) interpretieren. Ist div V )x 0,y 0,z 0 ) > 0, so ist x 0,y 0,z 0 ) eine Quelle im eigentlichen Sinn ihr entströmt Flüssigkeit). Im Fll div V )x 0,y 0,z 0 ) < 0 heißt x 0,y 0,z 0 ) uch eine Senke d in diesem Punkt Flüssigkeit verschwindet). Einige Rechenregeln für die ivergenz Sei R n offen, und seien F, : R n und ϕ : R stetig differenzierbr. nn gilt div F + ) div F + div, div λf) λ div F für λ R, div ϕf) ϕ div F + grdϕ F. 25

3 7.2 er ußsche Integrlstz im Rum Wir können nun die nschuliche Aussge des ußschen Integrlstzes in Formeln fssen. Es sei ein geeigneter räumlicher Bereich und sein Rnd seine Oberfläche). ie genuen Vorussetzungen geben wir später n. In jedem Rndpunkt hben wir zwei Normleneinheitsvektoren: einen, der in den Körper hineinzeigt die sogennnte innere Normle) und einen, der von weg zeigt die äußere Normle). Es sei N : R 3 ds Vektorfeld der äußeren Normleneinheitsvektoren. Weiter sei V ds eschwindigkeitsfeld einer inkompressiblen Flüssigkeit. Nch Abschnitt 6.2 Interprettion des Flächeninhlts 2. Art) ist der urchfluß durch in Richtung der äußeren Normlen lso ds, ws us herusfließt), gleich V N dσ. 7.2) ie durch Quellen und Senken in hervorgebrchte Flüssigkeitsmenge erhlten wir dgegen durch Aufintegrieren der Quellendichte über : div V )x)dx. 7.3) Nch dem ußschen Integrlstz sind die Integrle 7.2) und 7.3) gleich. Nun zur exkten Formulierung. efinition 7.2 ) Eine Menge R 3 heißt C -Normlbereich bzgl. der x x 2 -Ebene, wenn es eine kompkte Menge K R 2 und stetig differenzierbre Funktionen ϕ,ϕ 2 : K R so gibt, dss { x,x 2,x 3 ) R 3 : } x,x 2 ) K, ϕ x,x 2 ) x 3 ϕ 2 x,x 2 ) gilt und dss der Rnd K durch einen stückweise stetig differenzierbren Weg drstellbr ist. Anlog erklärt mn C -Normlbereiche bezüglich der x 2 x 3 - und x x 3 -Ebene. b) ie Menge heißt ein C -Normlbereich, wenn sie ein C -Normlbereich bezüglich der x x 2 -, der x 2 x 3 - und der x x 3 -Ebene ist. Es sei noch einml n unsere Vereinbrung erinnert: Eine Funktion f : K R uf einer kompkten Menge K heißt stetig differenzierbr, wenn sie zu einer stetig differenzierbren Funktion uf einer offenen Menge K fortgesetzt werden knn.) Anmerkung Einen C -Normlbereich bzgl. der x x 2 -Ebene knn mn sich so vorstellen: 252

4 x 3 S 2 ϕ 2 K) S ϕ K) x 2 K x er obere eckel S 2 ϕ 2 K) ist ein Flächenstück im R 3 mit der Prmeterdrstellung F 2 : K R 3, x,x 2 ) x,x 2,ϕ 2 x,x 2 ) ). er durch F 2 bestimmte Normleneinheitsvektor vgl. Beispiel 5 us 6.) N 2 u,v) ϕ2 ) 2 x + ϕ2 ) ϕ 2, ϕ ) 2, 2 + x ist der äußere Normleneinheitsvektor für d die z-komponente > 0 ist). er untere eckel S wird beschrieben durch F : K R 3, x,x 2 ) x,x 2,ϕ x,x 2 ) ), und der zugehörigen Normleneinheitsvektor ist N u,v) ) 2 ) 2 ϕ x + ϕ + ϕ, ϕ ),. x ieser zeigt ebenflls in Richtung der positiven z-achse lso in hinein), so dss der äußere Normlenvektor n uf S gleich N u,v) ist. Stz 7.3 ußscher Integrlstz im R 3 ) Sei R 3 ein C -Normlbereich und H : R 3 ein stetig differenzierbres Vektorfeld. Weiter bezeichne N : R 3 ds äußere Normlenfeld von. nn ist div H)x)dx H Ndσ. 7.4) Beweis Es genügt, die Aussge zu beweisen, wenn H die estlt H 0, 0,H 3 ) T ht mn knn j H ls Summe dreier derrtiger Ausdrücke schreiben, und die 253

5 Integrle in 7.4) sind liner in H). Nch Stz 5.5 erhlten wir wegen div H H 3 x 3 div H)x)dx K K ϕ 2 x,x 2 ) ϕ x,x 2 ) H ) 3 x,x 2,x 3 )dx 3 dx,x 2 ) x 3 H 3 x,x 2,ϕ 2 x,x 2 ) ) H 3 x,x 2,ϕ x,x 2 ) )) dx,x 2 ). Auf dem oberen eckel S 2 ϕ 2 K) ist H N ) 2 ) H 3 2 ϕ 2 x + ϕ 2 + und dmit H 3 x,x 2,ϕ 2 x,x 2 ) ) dx,x 2 ) K K ϕ2 ) 2 ) 2 ϕ2 H N) + + dx,x 2 ) x H N dσ. S 2 Anlog zeigt mn, dss H 3 x,x 2,ϕ x,x 2 ) ) dx,x 2 ) H N dσ. K S Auf dem noch fehlenden Rndstück \S S 2 ) von, lso uf S 3 : {x,x 2,x 3 ) R 3 : x,x 2 ) K, ϕ x,x 2 ) x 3 ϕ 2 x,x 2 )}, existiert der äußere Normlenvektor N ebenflls bis uf endlich viele erdenstücke {y} [ϕ y),ϕ 2 y)] mit y K, in denen die Prmetrisierung von K nicht differenzierbr ist), und die Komponente von N in x 3 -Richtung ist 0. her ist H N 0 uf S 3. Zusmmengefsst erhlten wir div H)x)dx 3 H N dσ S j j H N dσ. 254

6 Beispiel Wir kommen noch einml zurück uf Beispiel 9 us 6.2. ort wren und F wie in Beispiel us 6. Kugeloberfläche) und Hx,y,z) x,y,z), und wir hben erhlten, dss H d σ H N dσ 4πr 3. Andererseits ist div H 3, so dss mit dem Volumen V der Kugel gilt div H)x)dx 3 dx 3V. er ußsche Stz liefert nch leichsetzen V 4 3 πr3. Folgerung 7.4 Prtielle Integrtion in R 3 ) Sei R 3 ein C -Normlbereich und f,g : R seien stetig differenzierbre Funktionen. Weiter sei N N,N 2,N 3 ) : R ds äußere Normlenfeld n. nn gilt für i, 2, 3 f g dx x i f g dx + x i Beweis Sei z.b. i. Für die stetig differenzierbre Funktion ist fgn i dσ. 7.5) F : R 3, Fx) fx)gx), 0, 0) 7.6) div F fg) x f x g + f g x und F N fgn. ie Behuptung folgt lso sofort, wenn mn die Funktion 7.6) in den ußschen Integrlstz 7.4) einsetzt. Anmerkung Wir hben in Stz 7.3 und Folgerung 7.4 sttt und die Schreibweisen und benutzt, um deutlich zu mchen, dss dreidimensionle) Volumenintegrle und zweidimensionle) Oberflächenintegrle uftreten. Anmerkung 2 Sind F,...,F n Flächenstücke, die sich nicht überlppen, so definiert mn ds Flächenintegrl über F F... F n durch F F ies hben wir im Beweis des ußschen Stzes benutzt S S 2 S 3 ). 255 F n.

7 Anmerkung 3 Stz 7.3 und Folgerung 7.4 gelten uch noch unter schwächeren Vorussetzungen. Z.B. genügt es, dss sich ls endliche Vereinigung sich nicht überlppender C -Normlbereiche schreiben läßt. Mn bechte uch, dss der Normlenvektor nicht in jedem Rndpunkt definiert ist z.b. nicht entlng der Knten eines Quders). 7.3 er ußsche Integrlstz in der Ebene er ußsche Integrlstz und seine Folgerung gelten bei geeigneter efinition des Flächenintegrls) in jeder Rumdimension n. en ußschen Integrlstz im R 2 knn mn durch geeignete Reduzierung um eine Koordinte wie folgt us dem ußschen Integrlstz im R 3 gewinnen. Sei R 2 ein Normlbereich bezüglich der x - und der x 2 -Achse vgl. Abschnitt 5.3). In diesem Fll nennen wir einfch einen Normlbereich. er Rnd sei eine geschlossene Kurve, die durch einen stückweise stetig differenzierbren Weg X : [,b] R 2 prmetrisiert wird. urchläuft t ds Intervll [,b] von nch b, so wndert Xt) entlng in einer bestimmten Richtung, und wir wollen nnehmen, dss dbei stets links des Weges liegt. Mn sgt uch, dss vom Weg X positiv umlufen wird oder dss der Rnd positiv orientiert ist nschulich: im egenuhrzeigersinn). er Tngentileinheitsvektor n im Punkt Xt) X t),x 2 t) ) ist T : Ẋ t),ẋ 2 t) ), und N : Ẋ 2 t), Ẋt) ) ist ein uf T senkrecht stehender Vektor, der nch ußen zeigt. T ẊH) N Mn bechte, dss diese Vektoren nur in Punkten definiert sind, in denen X stetig differenzierbr ist. Auf sei ein stetig differenzierbres Vektorfeld V V,V 2 ) T : R 2 gegeben. Wir bilden us den räumlichen Bereich : [0, ] {x,x 2,x 3 ) R 3 : x,x 2 ),x 3 [0, ]}, d.h. ist eine Scheibe ein Zylinder) der icke, bei dem Boden und eckel die Form von hben. Offenbr ist ein Normlbereich im R

8 M Außerdem setzen wir V uf fort und erweitern es um eine Komponente: Ṽ : R 3, Ṽ x,x 2,x 3 ) : V x,x 2 ),V 2 x,x 2 ), 0) T. er ußsche Integrlstz 7.4), ngewndt uf und Ṽ, liefert Ṽ N dσ div Ṽ dx. 7.7) Beim Flächenintegrl uf der linken Seite heben sich die Anteile des Bodens und des eckels weg, d die zugehörigen Normlenvektoren entgegengesetzt sind, sonst jedoch lles gleich ist insbesondere ist Ṽ x,x 2, 0) Ṽ x,x 2, ) V x,x 2 )). Es verbleibt lso nur ds Integrl über die Mntelfläche M [0, ]. Aus 7.7) folgt somit Ṽ N dσ div Ṽ dx. 7.8) ie Mntelfläche ht eine Prmeterdrstellung M Ft,z) X t),x 2 t),z ) T mit t,z) [,b] [0, ], worus mn den äußeren ber noch nicht normierten!) Normlenvektor im Punkt Ft,z) n Ft,z) ) Ẋ 2 t), Ẋt), 0 ) T erhält. Mit 6.) erhlten wir für die linke Seite von 7.8) Ṽ N dσ Ṽ n n dσ M 6.) M Ṽ Ft,z) ) n Ft,z) ) dt,z) [,b] [0,] b 0 b V Xt) ) Ẋ 2 t), Ẋt) ) dt dz V Xt) )Ẋ2 t) V 2 Xt) )Ẋ t) ) dt, 257

9 während uf der rechten Seite von 7.8) div Ṽ V x + V 2 div V ist. her ist div Ṽ dx,x 2,x 3 ) 0 Zusmmengefßt erhlten wir div V dx,x 2 )dx 3 div V dx,x 2 ). Stz 7.5 ußscher Integrlstz im R 2 ) Sei R 2 ein Normlbereich bzgl. der x - und der x 2 -Achse), dessen Rnd durch einen stückweise stetig differenzierbren Weg X X,X 2 ) T : [,b] R 2 prmetrisiert wird, der positiv umläuft. Weiter sei V V,V 2 ) T : R 2 ein stetig differenzierbres Vektorfeld. nn gilt b ) V Xt) )Ẋ2 t) V 2 Xt) )Ẋ t) dt div V )x)dx. 7.9) Mn bechte, dss uf der linken Seite von 7.9) ein Wegintegrl entlng des Weges X steht. Nehmen wir die Umbenennung W : V 2, W 2 : V, W : W,W 2 ) T vor, so geht nch Multipliktion mit die linke Seite von 7.9) über in b ) W Xt) )Ẋ t) + W 2 Xt) )Ẋ2 t) dt, d.h. in ds Wegintegrl W dx über den durch X prmetrisierten Rnd von, und uf der rechten Seite von 7.9) ist div V V x V 2 zu ersetzen durch W 2 x W. Mn schreibt oft rotw : W 2 x W 7.0) und nennt rot W die sklrwertige) Rottion des Vektorfeldes W. Mit diesen Bezeichnungen erhlten wir die folgende Version des ußschen Stzes im R 2. Stz 7.6 reenscher Integrlstz) Seien und X wie in Stz 7.5, und W W,W 2 ) T : R 2 sei ein stetig differenzierbres Vektorfeld. nn ist W2 W dx W ) dx,x 2 ) rotw)x)dx. x 258

10 ie Sätze 7.5 und 7.6 gelten uch unter llgemeineren Bedingungen n die Menge. Z.B. drf die Abschließung eines beschränkten einfch zusmmenhängenden ebietes sein, dessen Rnd sich durch einen stückweise stetig differenzierbren Weg prmetrisieren läßt. Es genügt sogr, dss sich in endlich viele derrtige Mengen zerlegen läßt. 2 3 Mn bechte die Orientierung des us mehreren Stücken bestehenden) Rndes. 7.4 er Stokessche Integrlstz Wir beginnen mit einer kurzen Motivtion. Sei M R 3 offen und V : M R 3 ein stetig differenzierbres Vektorfeld, ds wir ls eschwindigkeitsfeld einer strömenden Flüssigkeit deuten. In M sei ein Flächenstück F gegeben, dessen Rnd durch einen stückweise stetig differenzierbren und doppelpunktfreien Weg Y : [,b] R 3 prmetrisiert wird. Unter der Zirkultion von V entlng F versteht mn ds Kurvenintegrl F V dy b enkt mn sich dieses Integrl durch Riemnn-Summen V Y j ) Y j j 3 V i Y t) )Ẏi t)dt. 7.) i pproximiert, so entspricht jeder Summnd V Y i ) Y i einer eschwindigkeitskomponenten in der urchlufrichtung der Kurve. ie Summtion dieser Komponenten ist ein Mß dfür, wie strk die Kurve F umströmt wird, d.h. wie strk die Flüssigkeit längs der Kurve zirkuliert. 259

11 F V Y i V Yi ) Wir zerlegen ds Flächenstück F in endlich viele kleine Mschen F i. F i F Bei entsprechender Orientierung der Ränder der F i erhlten wir für die Zirkultion V dy V dy V dy IF i ), 7.2) F i F i IF i i ) F i wobei IF i ) für den Flächeninhlt von F i steht. Nun verfeinern wir die Mschen. Mn knn zeigen vgl. Burg/Hf/Wille IV, S ): Wenn mn eine Msche F i uf einen Punkt x i F zusmmenzieht, dnn strebt der Quotient IF i ) F i V dy 7.3) gegen einen festen Wert, nämlich gegen rotv )x i ) Nx i ). ieser Ausdruck heißt uch die Wirbelstärke von V in x i. Hierbei ist Nx i ) die gemeinsme Flächennormle der zu x i zusmmengezogenen Mschen, und rotv ist wie folgt erklärt. efinition 7.7 Sei R 3 offen und F F,F 2,F 3 ) T : R 3 ein stetig differenzierbres Vektorfeld. nn heißt ds durch rotf)x) F3 x) F 2 x), F x) F 3 x), F 2 x) F ) T x) x 3 x 3 x x definierte Vektorfeld rotf : R 3 die Rottion von F. 260

12 Mn bechte, dss mn für ein Vektorfeld der estlt Fx,x 2,x 3 ) F x,x 2 ), F 2 x,x 2 ), 0 ) ls Rottion gerde ds Vektorfeld 0, 0, rot F,F 2 ) ) mit der in 7.0) eingeführten Rottion eines zweidimensionlen Vektorfeldes erhält. Sind F, : R 3 stetig differenzierbre Vektorfelder, so gelten offenbr die Regeln rot F + ) rotf + rot rot λf) λ rotf für λ R. Für kleine F i können wir lso 7.3) näherungsweise durch rotv )x i ) Nx i ) ersetzen, und us 7.2) wird F V dy i rotv )x i ) Nx i )IF i ). 7.4) ie rechte Seite ist eine Riemnnsumme für ds Flächenintegrl rotv N dσ. F er folgende Stz von Stokes sgt, dss unter geeigneten Vorussetzungen n F die Zirkultion V dy ttsächlich gleich diesem Flächenintegrl über die F Wirbelstärken ist. Stz 7.8 Stokes scher Integrlstz) Sei R 2 ein Normlbereich, dessen Rnd durch einen stückweise stetig differenzierbren Weg X X,X 2 ) T : [,b] R 2 prmetrisiert wird, der einml positiv umläuft. Weiter sei F : R 3 eine zweiml stetig differenzierbre Abbildung, die ein Flächenstück F F) prmetrisiert. er Weg Y : [,b] R 3, Y t) F Xt) ) definiert eine orientierte Kurve in F, die wir den Rnd F von F nennen. Schließlich sei N : F R 3 ds durch F wie in 6.6) festgelegte Normlenfeld. nn gilt für jedes stetig differenzierbre Vektorfeld H : F R 3 roth N dσ H dy. 7.5) F Beweis Es genügt, ein Vektorfeld H vom Typ P, 0, 0) T zu betrchten. er Beweis für H 0,Q, 0) T und H 0, 0,R) T verläuft nlog. Zuerst schreiben wir F 26

13 ds Kurvenintegrl H dy über der Kurve F in ein Kurvenintegrl über F um: b P, 0, 0) T dy P Y t) ) Ẏ t)dt F b b P F Xt) )) F X) t)dt P F Xt) )) F Xt) )Ẋ t) + F x P F) F, P F) F ) dx, x ) Xt) )Ẋ2 t) wobei wir in der dritten Zeile die Kettenregel benutzt hben. Nch Stz 7.6 reenscher Integrlstz) ist dieses Integrl gleich rot P F) F, P F) F ) x) dx. 7.6) x Wir berechnen die sklre zweidimensionle) Rottion nch 7.0) rot P F) F, P F) F ) x P F) F ) P F) F ) x x ) P F) F P F) F 2 F + P F) 2 F, x x x x wobei wir die Produktregel benutzt hben. er letzte Summnd ist nch dem Stz von Schwrz Stz 3.) gleich 0. Mit der Kettenregel erhlten wir für die ersten beiden Summnden P F + P F 2 x x x 2 P P x 3 + P ) F 3 F x x 3 x F + P F 2 + P ) F 3 F x x 3 x ) F3 F F 3 F x x P F x, F 2 x, F 3 F F 2 F 2 F x x ) Sei n n,n 2,n 3 ) F x F x n/ n ist der Normleneinheitsvektor zu F vgl. 6.6)). Nch efinition des Vektorprodukts ist ). dt F, F 2, F 3 ), d.h. N n 2 F 3 x F F 3 F x und n 3 F x F 2 F 2 x F 262

14 und dmit zusmmengefsst rot P F) F, P F) F ) P n 2 P n ) x x 3 ) T Wegen roth rot P, 0, 0) T 0, P x 3, P können wir 7.7) schreiben ls rot P F) F, P F) F ) roth) F ) n. x Wir setzen dies in 7.6) ein und erhlten schließlich H dy rot P F) F, P F) F ) dx F x x 2 ) roth) F ndx roth d σ roth N dσ nch der efinition 6.6 des Flächenintegrls. F Beispiel 2 Sei {u,v) R 2 : u [0, 2π], v [0,π/2]}, r > 0 und F F : R 2 R 3, Fu,v) r cos u cos v, r sin u cos v, r sin v). s Flächenstück F) ist die obere Hlbkugelfläche um den Ursprung mit dem Rdius r. Ein Vektorfeld H sei durch H : R 3 R 3, Hx,y,z) y,x, ) gegeben. er Rnd des Rechtecks läßt sich durch 4 Wege beschreiben: X t) t, 0) mit t [0, 2π], X 2 t) 2π,t) mit t [0,π/2], X 3 t) t,π/2) mit t [ 2π, 0], X 4 t) 0, t) mit t [ π/2, 0]. ie zugehörigen Prmeterdrstellungen Y k t) F X k t) ), k,...,4, für die Kurve F) sind Y t) r cos t, r sin t, 0) mit t [0, 2π], Y 2 t) r cos t, 0,r sin t) mit t [0,π/2], Y 3 t) 0, 0,r) mit t [ 2π, 0], Y 4 t) r cos t, 0, r sin t) mit t [ π/2, 0]. 263

15 v z Y 3 X 4 X 3 X 2 F Y 2 Y 4 y X u x Y Mn bechte, dss F ) nicht mit der Kreislinie in der xy-ebene zusmmenfällt!) Nun ist 2π H dy H Y t) ) π/2 Ẏt)dt + H Y 2 t) ) Ẏ2t)dt F) π Wir berechnen ds erste Integrl: 2π 0 H Y t) ) Ẏt)dt H Y 3 t) ) Ẏ3t)dt + 2π 0 2π π/2 H Y 4 t) ) Ẏ4t)dt. r sin t, r cos t, ) r sin t, r cos t, 0)dt r 2 sin 2 t + r 2 cos 2 t)dt 2πr 2. s dritte Integrl ist wegen Ẏ3 0 gleich 0, und ds zweite und vierte Integrl heben sich gegenseitig uf dies ist uch sofort klr, wenn mn sich die Wege Y 2,Y 3 und Y 4 nsieht). Also ist H dy 2πr 2. F) Nch dem Stz von Stokes ist dnn uch F) Übung nchrechnen. Zunächst ist roth 0, 0, 2) und roth N dσ 2πr 2, ws wir zur N cosucos v, sin u cos v, sin v) sowie F u F v r 2 cos v nch Beispiel 4 us Abschnitt 6.. mit wird roth N dσ roth) Fu,v) ) Nu,v) F u F v du,v) F) 2 sin v r 2 cos v du,v) r 2 2π π/ sin 2v dv du 2πr 2.

16 Auch der Stz von Stokes läßt sich unter schwächeren Vorussetzungen zeigen vgl. Burg/Hf/Wille IV, S. 6). Wir vermerken noch eine interessnte Konsequenz des Stokes schen Stzes. Folgerung 7.9 Sei B ein stückweise gltt berndeter Bereich im R 3 und H : B R 3 stetig differenzierbr. nn ist roth N dσ 0. B Kurz gesgt: er Wirbelfluß durch eine geschlossene Fläche ist Null. Zum Beweis schneidet mn einfch us B ein kleines geeignetes Flächenstück F herus. Auf der verbleibenden Fläche ist nch Stokes roth N dσ H dx. B\F Zieht mn F uf einen Punkt zusmmen, so geht ds Integrl uf der rechten Seite gegen Null, d die Weglänge von F gegen Null stebt. 7.5 Einige weitere ifferentil- und Integrlformeln 7.5. er Nbl-Opertor er symbolische Vektor x, y, z) heißt Nbl-Opertor. Forml rechnet mn mit ihm wie mit einem Vektor us R 3. In diesem Sinne ist lso für stetig differenzierbre Vektorfelder V und Sklrfelder ϕ F ϕ grd ϕ F div F F rotf. Ist ds Sklrfeld ϕ zweiml stetig differenzierbr, so erhält mn )ϕ grdϕ ϕ xx + ϕ yy + ϕ zz. er Opertor heißt Lplce-Opertor. : y z 2 265

17 7.5.2 Mehrfche Anwendungen der ifferentilopertoren s Vektorfeld F und ds Sklrfeld ϕ seien zweiml stetig differenzierbr. nn gilt div rot F 0, 7.8) rot grd ϕ 0, 7.9) div grd ϕ ϕ. 7.20) Mn rechnet dies mit dem Stz von Schwrz leicht nch. ie ersten beiden Formeln besgen: Wirbelfelder sind divergenzfrei und rdientenfelder sind wirbelfrei Produktregeln ie Vektorfelder F, und die Sklrfelder ϕ, ψ seien stetig differenzierbr. nn gelten z.b. die folgenden Produktregeln, die mn leicht nchrechnet: grd ϕψ) ϕ grdψ + ψ grdϕ, 7.2) div ϕf) ϕ div F + F grdϕ, 7.22) rot ϕf) ϕ rotf + grdϕ F, 7.23) div F ) rotf F rot. 7.24) Weitere Beziehungen finden Sie in der Litertur ie reenschen Formeln Es sei wie im ußschen Integrlstz im Rum Stz 7.3), und f,g : R seien so oft stetig differenzierbr, wie es die folgenden Formeln verlngen. Aus Formel 7.22) mit F grdg) erhlten wir div fgrdg) f g + grdf grdg, wobei wir noch 7.20) benutzt hben. Integrtion über und Anwendung des ußschen Integrlstzes uf der linken Seite liefern fgrdg N dσ f g + grdf grdg)dx mit dem äußeren Normlenvektor N n. Erinnern wir uns noch n die Richtungsbleitung g N grdg N 266

18 vgl. efinition 3.7 in Abschnitt 3.5), so gelngen wir zur ersten reenschen Integrlformel f g N dσ f g + grdf grdg)dx. 7.25) Vertuscht mn hierin f mit g und subtrhiert die erhltene Formel von 7.25), so erhält mn die zweite reensche Integrlformel f g N g f ) dσ f g g f)dx. 7.26) N Im Spezilfll g erhlten wir hierus f N dσ f dx. 7.27) Mn knn Rumintegrle über Lplcesche ifferentilusdrücke f lso in Flächenintegrle umschreiben. ie reenschen Formeln sind ußerordentlich wichtig beim Studium von prtiellen ifferentilgleichungen. 267