Einführung in die Mehrdimensionale Variationsrechnung (Vorlesungsskript)

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1 Fakultät für Luft- und Raumfahrttechnik Institut für Mathematik und Rechneranwendung Universität der Bundeswehr München Einführung in die Mehrdimensionale Variationsrechnung (Vorlesungsskript) Univ. Prof. Dr. sc. math. Joachim Gwinner

2 ME Variationsrechnung und Optimale Steuerung FT Variationsprobleme von Mehrfachintegralen - notwendige Bedingungen Problemstellung, Voraussetzungen, Bezeichnungen Statt x [a, b]... x = (x 1, x 2,..., x m ) Gebiet R m Statt Punkt-Punkt-Problem... Problem mit vorgegebenen Randwerten: Gesucht ist eine Vektorfunktion y 0 mit den Komponenten y i = yi 0 (x 1,..., x m ), (i = 1,..., n), die auf dem Rand feste vorgegebene Werte annimmt und die das Integral I[y] = f(x, y, y ) dx zum (relativen) Minimum macht. Dabei bezeichnen x = (x 1,..., x m ); dx = dx 1 dx 2... dx m (m-fache Integration) y = (y 1,..., y n ) y = (y 1,1,..., y 1,m, y 2,1,..., y 2,m,..., y n,1,..., y n,m ) wobei y i, = y i ; i = 1,..., n; = 1,..., m Voraussetzung an : Normalgebiet (stückweise glatter Rand); es soll der Gaußsche Integral-Satz gelten: Für eine stetig differenzierbare Vektorfunktion Φ gilt div Φ(x) dx = Φ n do Dabei ist do das Oberflächenelement und n der Einheitsnormalenvektor, der fast überall auf dem Rand definiert ist und nach außen zeigt. Spezialisieren wir Φ = F C 1 () für eine skalare Funktion F und für einen fixierten Index, setzen Φ j = 0 für alle übrigen Indices j, dann erhalten wir folgende Formel der mehrdimensionalen partiellen Integration: F dx = F n do Dabei ist n = cos(n, x ) die Komponente in Richtung des Einheitsnormalenvektors n.

3 ME Variationsrechnung und Optimale Steuerung FT Naheliegend sind die folgenden Funktionenräume: C 1 ()... Vektorraum, der auf stetig differenzierbaren (Vektor-)Funktionen CS 1()... Vektorraum, der auf stetigen (Vektor-)Funktionen F, für die es eine Zerlegung von in endlich viele Normalgebiete k gibt, so daß F auf jedem k stetig differenzierbar (fortsetzbar auf den Rand) ist Normen auf C 1 (), bzw. CS 1 () bei beschränktem : Tschebyscheff-Norm: y 0 := max y(x), bzw. y 0 := max max y i (x), bei Vektorfunktionen y. x i=1,...,n x y 1 := y 0 + max { y,1 0,..., y,m 0 } bei (Vektor-) funktionen y in CS 1(). Dabei bezeichnet y, = y die partielle Ableitung. Bei Komponenten von Vektorfunktionen schreiben wir y i, = y i. Lebesgue-Norm: y L 2 = { y i (x) 2 dx} 1 2 i entsteht aus dem Skalarprodukt < y (1), y (2) > L 2= y (1) i y (2) i i dx Damit ist C()) ein Skalarproduktraum (Praehilbertraum) versehen mit diesem Skalarprodukt.. Durch Vervollständigung (Äquivalenzklassen von Cauchyfolgen) entsteht der Raum L 2 (). Es ist L 2 () Sobolev-Norm: C() C 1 S () = C 1 (), aber C 1 () ist dicht in L 2 () y H 1 = { [ y i (x) 2 + [ y i, (x) 2 ] dx} 1 2 i entsteht aus dem Skalarprodukt < y (1), y (2) > H 1 = [y (1) i y (2) i i + y (1) i, y(2) i, ] dx Damit wird C 1 () zu einem Skalarproduktraum. Durch Vervollständigung entsteht der Sobolevraum H 1 ().

4 ME Variationsrechnung und Optimale Steuerung FT i.a.: H 1 () C k () falls k 1, aber C () dicht H 1 () Falls = (a, b), d.h.ein Intervall = 1 -dimensionales Gebiet, dann sind die H 1 Funktionen absolut stetig und fast überall differenzierbar. Bemerkung. Vollständigkeit, d.h. die Verwendung von Hilbert-Räumen ist wichtig bei Existenzfragen (Anwendung von Lax-Milgram und Verallgemeinerungen), auf die wir im folgenden aber nicht näher eingehen. Das Gateaux-Differential und die 1. notwendige Bedingung vgl. 1. Kapitel 4 IV Wir gehen aus von dem linear normierten Funktionenraum V = C 1 (), bzw C 1 S (). Bedingungen an zur Konkurrenz zugelassenen Funktionen y V : y = g (vorgegebene Funktion); weiterhin c i (x) < y i (x) < d i (x) (c i, d i vorgegebene Funktionen) auf und definieren so eine Teilmenge U V. Ansatz von Lagrange: y = y 0 + ε η mit Testfunktion η Raum der Testfunktionen η (mit η = 0) ist Teilraum W V ; U ist W offen. Unabhängig von der Normierung liefert Satz 1 aus 4 DI(y 0, η) = 0 für alle η W als notwendige Bedingung dafür, daß y 0 ein relatives Minimum für I erzeugt. Sei im folgenden f mindestens C 2. Dann können wir zu I(ε) = f(x, yi 0 (x) + ε η i (x), yi,(x) 0 + ε η i, (x)) dx DI(y 0, η) berechnen : di(ε) dε ε=0 = { n [fy 0 i (x) η i (x) + i m fy 0 i, (x) η i, (x)]} dx

5 ME Variationsrechnung und Optimale Steuerung FT Also 1. notwendige Bedingung für ein relatives Minimum ( ) { n [fy 0 i (x) η i (x) + i=1 für alle η W. Dabei ist fy 0 i (x) = f y i (x, y 0 (x), y 0 (x)) f 0 y i,(x) = m fy 0 i,(x) η i, (x)]} dx = 0 =1 f y i, (x, y 0 1(x),..., y 0 n(x), y 0 1,1(x),..., y 0 n,m(x)) η i, (x) = η i (x) In dieser notwendigen Bedingung stören die η i,! Das Fundamentallemma und die Euler-Lagrangeschen Differentialgleichungen Hilfssatz 3.1 (FL) Sei R m ein Normalgebiet, F C(). Es gelte F (x) h(x) dx = 0 für alle h C 1 () mit h = 0. Dann ist F 0 in. Beweis indirekt. Annahme: x 0 : F (x 0 ) 0 Wegen Stetigkeit können wir annehmen o.b.d.a., daß x 0. Es sei F (x 0 ) > 0. Wegen Stetigkeit gibt es abgeschlossenen Ball B(x 0, ρ), in dem F (x) > 0 ist. Konstruiere eine Funktion h C 1 () so, dass h > 0 in B(x 0 0, ϱ), = 0 sonst, damit wird h = 0. Eine solche Funktion h ist zum Beispiel die Glockenfunktion 0 für x x 0 ϱ h(x) = exp x x 0 2 x x 0 2 ϱ 2 für x x 0 < ϱ

6 ME Variationsrechnung und Optimale Steuerung FT Dabei bezeichnet die euklidische Norm. Darum wird F h > 0 Widerspruch! q.e.d. Sei die Menge U der zur Konkurrenz zugelassenen Funktionen enthalten in C 1 (). Betrachte in ( ) fy 0 i, (x) η i, (x) = (fy 0 x i, (x) η i (x)) (fy 0 x i, (x)) η i (x) Andererseits mit Gaußschem Integral-Satz (fy 0 x i, (x) η i (x)) dx = yi,(x) 0 η i (x) n do = 0 Somit schreibt sich ( ) F L n {fy 0 i (x) i=1 f 0 y i (x) m =1 m =1 f 0 y i, (x)} η i (x) dx = 0 f 0 y i, (x) = 0 (i = 1,..., n). Dies sind die Euler-Lagrangeschen Differentialgleichungen Lösungen y 0 mit Komponenten y i = y 0 i (x) heißen wieder Extremalen. Das Haarsche Lemma (anstelle des Lemmas von Du Bois-Reymond) Zu p [1, ) definiert man bekanntlich die Lebesgue-Normen für (Vektor-) Funktionen auf einem Gebiet R m und den Funktionenraum f L p := f(x) p dx L p () := {f : R, bzw. R n messbar mit f L P < + } 1/P

7 ME Variationsrechnung und Optimale Steuerung FT Im folgenden der Fall p = 1, also der Raum der summierbaren Funktionen auf. Aus der Maßtheorie und der Theorie der reellen Funktionen benötigen wir (siehe zum Beispiel I.P. Natanson: Theorie der Funktionen einer reellen Veränderlichen, Akademie-Verlag. 1961) Lemma 3.1 (L1) (Satz von Fubini) Sei beschränktes Gebiet R m, I = (c, d) beschränktes Intervall R. Sei G L 1 ( ) auf dem Gebiet = I. Dann gilt a) Für fast alle x I, d.h. für alle x I 1 I, wobei Lebesguessches Mass λ(i 1 ) = λ(i) = d c, ist die durch x G(x, x ) definierte Funktion G(x, x ) L 1 () b) Die durch G(x, x ) dx für x I 1 g(x ) = beliebig sonst in I definierte Funktion g L 1 (I). c) Es gilt G(x, x ) dx dx = d c g(x ) dx Integral über Produktmenge = iteriertes Integral Lemma 3.2 (L2) Ist ϕ L 1 (0, R), so ist die durch r (0, R) ψ(r) = r 0 ϕ(t) dt definierte Funktion ψ stetig, fast überall (f.ü.) in [0, R] differenzierbar und ψ (r) = ϕ(r). Lemma 3.3 (HS) (Haarsches Lemma) Seien A ( = 1,..., m), B C S () [allgemeiner: L 1 ()] und es gelte { m } A (x) h (x) + B(x) h(x) dx = 0 =1

8 ME Variationsrechnung und Optimale Steuerung FT für alle Funktionen h CS 1() mit h = 0. Dann ist für beliebige x 0 und fast alle ϱ > 0 mit K(x 0, ϱ) A n do = B dx. K(x 0,ϱ) K(x 0,ϱ) Beweis Wähle aus eine beliebige Kugel K(x 0, R) aus, setze mit r = x x 0 (Euklidische Länge) und Parametern ϱ, ϱ mit R ϱ > ϱ > 0 speziell für h die Funktion 0 für r ϱ h(x) = ϱ r für ϱ r ϱ ϱ ϱ für ϱ > r 0 in obige Voraussetzung ein. Mit der Bezeichnung (x 0, ϱ, ϱ ) = K(x 0, ϱ )\ K(x 0, ϱ) erhalten wir hieraus (Beachte partielle Ableitung h = 0 außerhalb von!) ( ) K(x 0,ϱ) Bh dx + (x 0,ϱ,ϱ ) B h dx + (x 0,ϱ,ϱ ) A h dx = 0 Einführung von Kugelkoordinaten zum Koordinatenursprung x 0 mit Koordinaten x 0 und n = cos(n, x ) = x x 0 r Wir schreiben h(x) = h(r, ϕ 1,..., ϕ m 1 ). Dann ist h, = h = h r r = h r r h wegen = 0 für alle λ = 1,..., m 1. Es ist ϕ λ r 2 = m (x x 0 ) 2, also r = 1 r (x x 0 ), folglich =1 h, = h r 1 r (x x 0 ) = h r cos(n, x ) (= h r n )

9 ME Variationsrechnung und Optimale Steuerung FT Bezüglich der Kugelkoordinaten wird K(x 0, ϱ) = (0, ϱ) mit Einheitssphäre = {x IR m x x 0 = 1}, dx = r m 1 d dr mit Oberflächenelement d auf Mit L1 wird aus ϱ (ϱ ϱ)b r m 1 d dr + ϱ (ϱ r) B r m 1 d dr 0 ϱ ϱ A cos(n, x ) r m 1 d dr = 0 ϱ Mit L2 liefert die Differentiation nach ϱ für fast alle ϱ 0 = (ϱ ϱ) B ϱ m 1 d ϱ B r m 1 d dr (ϱ ϱ) B ϱ m 1 d + A 0 cos(n, x ) ϱ m 1 d Rücktransformiert ergibt dies B dx = A n do q.e.d. K(x 0,ϕ) K(x 0,ϱ) Die Euler-Lagrangeschen Gleichungen in Integralform Wende auf ( ) das Lemma von Haar an für und erhalte m =1 K(x 0,ϱ) η i CS(), 1 A = fy 0 i,, B = fy 0 i fy 0 i, n do = fy 0 i dx (i = 1,..., n) K(x 0,ϱ)

10 ME Variationsrechnung und Optimale Steuerung FT Dies sind die Euler-Lagrangeschen Gleichungen in Integralform. Wiederum läßt sich hieraus für glatte y 0 C 1 () die Euler-Lagrangeschen Differentialgleichungen herleiten, denn dann ist A = fy 0 i, C 1 () und B = fy 0 i C() Mit dem Gaußschen Integralsatz, d.h. genauer mit partieller Integration folgt nämlich aus der Aussage des Haarschen Lemmas K(x 0,ϱ) A dx = K(x 0,ϱ) B dx Division durch das Volumen von K(x 0, ϱ), Anwendung des Mittelwertsatzes, Grenzübergang ϱ 0 liefert So erhalten wir A (x 0 ) = div A(x 0 ) = B(x 0 ) für beliebige x 0. Satz 3.1 Dafür, daß y 0 unter den Vergleichsfunktionen y CS 1 () ein relatives Minimum für das Funktional I[y] = f(x, y, y ) dx erzeugt, ist notwendig, daß für fast alle Kugeln K(x 0, ϱ) die Euler- Lagrangeschen Gleichungen in Integralform gelten. Auf allen glatten Stücken sind notwendig die Euler-Lagrangeschen Differentialgleichungen erfüllt. Spezialfall n = 1, m = 2; u := y 1, x = x 1, y = x 2 ; Oberflächenelement do = Bogenelement ds Tangentenvektor t = ( dx, ) ( dy ds ds, Normalenvektor n = dy, ) dx ds ds Euler-Lagrangeschen Gleichungen in Integralform für Kreise K = K(x 0 y 0, ϱ) und deren Rand K fu 0 dx dy = {fu,x 0 dy fu,y 0 dx}. K K