Fur das unbestimmte Integral gilt. f(x) dx + b
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- Mona Hofmeister
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1 . Integrtionsregeln.. Linerität. Fur ds unbestimmte Integrl gilt (f(x) bg(x)) = f(x) b g(x),, b R... Prtielle Integrtion. Fur je zwei uf einem Intervll I = (, b) stetig differenzierbre Funktionen u und v ist wegen der Produktregel der Dierentilrechnung (uv) = u v uv die Funktion uv eine Stmmfunktion von u v uv, d.h. u (x)v(x) u(x)v (x) = u(x)v(x) C bzw. Formel der prtiellen Integrtion. u (x)v(x) = v(x) d(u(x)) = u(x)v(x) = u(x)v(x) u(x)v (x) u(x) d(v(x)). Fur ds bestimmte Integrl lutet die entsprechende Formel: b u (x)v(x) = u(x)v(x) b b u(x)v (x). Bemerkung 6.. Es gilt d(f(x)) = f (x). Beispiel 6.. Es seien, b R,, Konstnten, dnn gilt e x sin(bx) = ex sin(bx) ex b cos(bx) = ex sin(bx) b [ ] ex cos(bx) ex ( b) sin(bx) = ex sin(bx) b [ ex cos(bx) b ] e x sin(bx),. 68
2 . INTEGRATIONSREGELN 69 Durch zweimlige prtielle Integrtion entsteht wieder ds Ausgngsintegrl, ber mit einem nderen Vorfktor, so dss mn umformen knn zu: ) ( b e x sin(bx) = ex sin(bx) b ex cos(bx) c e x sin(bx) = ex sin(bx) be x cos(bx) C. b Beispiel 6.. Rekursionsformeln: Es sei S n := π (sin x) n, n =,.... Oensichtlich ist S = π und S =. Fur n ergibt die prtielle Integrtion mit u (x) = sin x, v(x) = (sin x) n : und dmit gilt S n (x) = ( cos x)(sin x) n π = (n ) π π (n )(cos x) (sin x)n ( (sin x) )(sin x) n = (n )(S n S n ). S n := n n S n fur n..3. Substitutionsmethode. Grundlge fur die Substitutionsmethode der Integrlrechnung ist die Kettenregel der Dierenttion d F (g(x)) = F (g(x))g (x), d.h. mit f(x) = F (x), ist F (g(x)) eine Stmmfunktion von f(g(x))g (x). Substitutionsregel I. f(g(x))g (x) = F (g(x)) C. Fur ds bestimmte Integrl erhlt mn dmit b f(g(x))g (x) = F (g(b)) F (g()). Beispiel 6.3. e sin x cos x = e sin x (sin x) Substitution sin x =: t, d.h. und dmit = e t dt = e t C
3 7 Rucksubstitution: t = sin x = e sin x C. Mn knn diese Formel ber uch nders mit Hilfe des Dierentils dy = df(x) = f (x) ufschreiben. Beispiel 6.4. Fur y = f(x) = sin x ist dy = f (x) = (cos x), fur y = f(x) = x b ist dy = und fur y = cosh x ist dy = (sinh x). Bemerkung 6.. Mn knn uch die Substitutionsregel I vorteilhft mittels Dierentilen schreiben: f(g(x))g (x) = f(g(x)) d(g(x)) = f(t) dt = F (t) C = F (g(x)) C, bzw. b f(g(x))g (x) = b f(g(x)) d(g(x)) = g(b) g() f(t) dt = F (g(b)) F (g()). Substitutionsregel II. Berechnung des Integrls f(x). Wir substituieren: x = h(t) mit einer umkehrbren Funktion h, dnn ist = h (t) dt und = h(t ) t = h () und b = h(t b ) t b = h (b) und dmit gilt fur ds unbestimmte Integrl: f(x) = f(h(t)) dh(t) = f(h(t)) h (t) dt = H(t) C = H(h (x)) C und fur ds bestimmte Integrl: b f(x) = h (b) h () f(h(t)) dh(t) = h (b) h () f(h(t)) h (t) dt. Beispiel 6.5. e 3x e x Substitution: x = ln t, = dt und fuhrt uf t ex = t sowie t = t t = t ( t dt = ) dt = t t t dt = t ln t t C Rucksubstitution mit t = e x ergibt = e x ln e x e x C.
4 . INTEGRATIONSREGELN 7 Beispiel (ln x) = x = t3 3 5 ln 5 (ln x) d ln x = = 3 ln 5 ( (ln 5) 3 ) = =ln t dt (ln 5) Integrtion rtionler Funktionen. Es geht hierbei um die Integrtion echt gebrochen rtionler Funktionen. Im Allgemeinen ist eine gebrochen rtionle Funktion von der Gestlt f(x) = P (x) Q(x) = g(x) p(x) Q(x) mit Polynomen P, Q, g, p. Die Funktion heit echt gebrochen rtionl, wenn der Polynomgrd des Zhlerpolynoms kleiner ls der Polynomgrd des Nennerpolynoms ist. Ist die gebrochen rtionle Funktion nicht echt gebrochen rtionl, so knn mn immer ein Polynom bdividieren, so dss die verbleibende gebrochen rtionle Funktion echt gebrochen rtionl ist. Dies ist in der Formel (4) drgestellt. Die gebrochen rtionle Funktion P (x), wobei der Polynomgrd von P (x) groer ls der Polynomgrd Q(x) von Q(x), knn durch Division in ein Polynom g(x) und eine echt gebrochen rtionle Funktion p(x) zerlegt werden. Ds Polynom g(x) knn leicht integriert werden, Q(x) so dss wir nur echt gebrochen rtionle Ausdrucke untersuchen mussen. (4)
5 7.4.. Prtilbruchzerlegung. Ausgngpunkt fur die Prtilbruchzerlegung ist eine echt gebrochen rtionle Funktion f(x) = p(x) mit der Eigenschft, dss der q(x) Grd des Zhlerpolynoms p(x) echt kleiner ls der Grd des Nennerpolynoms q(x) ist. Dnn besteht der. Schritt drin, eine Produktdrstellung des Nennerpolynoms der folgenden Form herzustellen: q(x) = c(x ) k (x ) k (x r ) kr (x b x c ) l (x b x c ) l (x b s x c s ) ls, dbei stehen die " bluen\ Terme fur reelle Nullstellen des Nennerpolnoms und die Exponenten k i geben die Vielfchheit der reellen Nullstelle i n. Die " roten\ Terme stehen fur Pre konjugiert komplexer Nullstellen des Nennerpolynoms und der Exponent l i gibt die Vielfchheit dieses Pres reeller Nullstellen n. Gem der im ersten Schritt erhltenen Zerlegung des Nennerpolynoms mcht mn nun den folgenden. Schritt Anstz: p(x) q(x) = c ({ A (x ) A (x )... A k (x ) k { A (x )... A } k (x ) k { B x C }... A rk r (x r ) kr (x b x c ) B x C (x b x c )... B l x C l (x b x c ) l { B x C (x b x c )... B } l x C l (x b x c ) l }... B sl s x C sls (x b s x c s ) ls mit unbeknnten Koezienten A jk, B il, C il. (Die Existenz der Prtilbruchzerlegung knn mit Methoden der Funktionentheorie nchgewiesen werden.) Nun werden im 3. Schritt die unbeknnten Koezienten A j, B k, C k berechnet. Dzu wird zunchst die Anstzgleichung mit dem Nennerpolynom q(x) multipliziert. Nun ergeben sich Bestimmungsgleichungen fur die unbeknnten Koezienten entweder durch Koezientenvergleich oder durch Einsetzen spezieller x-werte (z.b. x =,,...). Beispiel 6.7. Es sei f(x) = x x (x ) 3 (x ), d.h. ds Zhlerpolynom ist p(x) = x x und ht den Grd, ds Nennerpolynom ist (x ) 3 (x ) und ht den Grd 4, folglich liegt eine echt gebrochen rtionle Funktion vor. )
6 . INTEGRATIONSREGELN 73. Schritt: Ds Nennerpolynom ht schon die gewunschte Zerlegung, es ist q(x) = (x ) 3 (x ), d.h. x = ist eine dreifche und x = einfche Nullstelle von q(x). Dmit mcht mn im. Schritt den Anstz: x x (x ) 3 (x ) = A (x ) A (x ) A 3 (x ) A 3 (x ). Im 3. Schritt wird nun mit q(x) die Anstzgleichung multipliziert: ( x A x = (x ) A (x ) A 3 (x ) A ) (x ) 3 (x ) 3 (x ) = A (x ) (x ) A (x )(x ) A 3 (x ) A (x ) 3. (5) Wir bestimmen nun zunchst die unbeknnten Koezienten mit der Einsetzmethode: Sie besteht drin, fur x bestimmte Werte einzusetzen, um moglichst einfch, die Koezienten zu erhlten. Dbei ist es gunstig, die Nullstellen zu verwenden: Sei x =, dnn wird (5) zu: = A 3 ( ) und dmit ist A 3 = 3. Wir setzen ds Ergebnis in (5) ein und erhlten: x x = A (x ) (x ) A (x )(x ) 3(x ) A (x ) 3. Setzen wir nun x =, ergibt sich: lso ist A = 7. Einsetzen ergibt jetzt: 4 = A, x x = A (x ) (x ) A (x )(x ) 3(x ) 7(x ) 3. Leider sind dmit unsere Nullstellen verbrucht ber es verbleiben immer noch zwei unbeknnte Koezienten. Um diese zu bestimmen, setzt mn irgendwelche (geeignete) Werte fur x ein und erhlt ein Gleichungssystem zur Bestimmung der verbliebenen unbeknnten Koezienten. Setzt mn x = 3 so ergibt sich und fur x = ergibt sich Also ds Gleichungssystem 4A A = 4 ( )A A = 9 3 = A 4 A = A ( ) A 6 7. ( 4 ) ( A A ) = ( 4 )
7 74 mit der Losung A = 7 und A = 6. Alterntiv knn mn Koeffizientenvergleich zur Bestimmung der unbeknnten Koezienten benutzen. Dzu wird uf der rechten und linken Seite von (5) (nch eventuellem Ausmultiplizieren) nch den Potenzen von x geordnet und die Koezienten der rechten und der linken Seite zu gleichen Potenzen von x gleichgesetzt: x x = A (x ) (x ) A (x )(x ) A 3 (x ) A (x ) 3 = (A A )x 3 ( 4A A 3A )x (5A 3A A 3 3A )x( A A A 3 A ). Ds ergibt ds Gleichungssystem: A A =, 4A A 3A =, 5A 3A A 3 3A =, A A A 3 A =, A A A 3 A = mit der Losung A = 7, A = 6, A 3 = 3 und A = 7. Bemerkung 6.3. In vielen Fllen ist eine Kombintion us Einsetzmethode und Koezientenvergleich m gunstigsten, lso zunchst die Nullstellen einsetzen und dnn die restlichen Koezienten uber einen Koezientenvergleich bestimmen. In unserem Beispiel hiee ds, zunchst werden die Nullstellen eingesetzt und wir erhlten A 3 = 3 und A = 7. Fur den Koezientenvergleich benutzen wir dnn x x = A (x ) (x ) A (x )(x ) 3(x ) 7(x ) 3. x x 3(x ) 7(x ) 3 = A (x ) (x ) A (x )(x ) ( 7)x 3 x 7 x = A (x 3 4x 5x ) A (x 3x ) ( 7)x 3 x 7 x = A x 3 ( 4A A )x (5A 3A )x A A. Der Koezientenvergleich bei x 3 ergibt A = 7 und dmit erhlt mn us dem Koezientenvergleich fur ds Absolutglied = ( )( 7) A A = 6. Beispiel 6.8. Es sei f(x) = x (x ) (x ) 3. Wie mn leicht sieht ist dies eine echt gebrochen rtionle Funktion. Der Anstz der Prtilbruchzerlegung lutet x (x ) (x ) 3 = A (x ) A (x ) B x C (x ) B x C (x ) B 3x C 3 (x ) 3.
8 . INTEGRATIONSREGELN 75 Multipliktion mit dem Nennerpolynom von f(x) ergibt: x = A (x )(x ) 3 A (x ) 3 (B x C )(x ) (x ) (B x C )(x ) (x ) (B 3 x C 3 )(x ). Mittels Einsetzmethode und/oder Koezientenvergleich berechnet mn die unbeknnten Koezienten zu A = 4, A = 5 8, B = 5 8, C = 3 8, B = 3 4, C = 4, B 3 =, C 3 =. Mn erhlt: x (x ) (x ) = ( ( 5) 3 8 (x ) (x ) 5x 3 (x ) 6x (x ) 4x 4 ). (x ) 3 Im Anschluss n die Prtilbruchzerlegung erfolgt die Integrtion, wobei die Integrle der in der Prtilbruchzerlegung entstehenden Ausdr ucke wie folgt luten: () () x = ln x C, = (x ) k C, k N, k >, (k ) (x ) k In den Formeln (3) bis (6) wird vorussgesetzt, dss p 4q < ist (komplexe Nullstellen). (3) = xp rctn x pxq 4q p 4q p C, xb (4) = ln x pxq x px q ( ) b p x pxq xp (5) = (k 3), k N, k >, (x pxq) k (k )(4q p )(x pxq) k (k )(4q p ) (x pxq) k xb (6) = ( ) b p, k N. (x pxq) k (k )(x pxq) k (x pxq) k Beispiel 6.9. Es sei f(x) = 3x5 x 4 4x 3 4x 7x 6 (x ) (x ) Oensichtlich ist der Grd des Zhlerpolynoms kleiner ls der Grd des Nennerpolynoms. Wir fuhren nun die Prtilbruchzerlegung durch: f(x) = A (x ) A (x ) B x C B x C (x ) (x ). Multipliktion mit dem Nennerpolynom ergibt: 3x 5 x 4 4x 3 4x 7x 6 = A (x )(x ) A (x ) (B x C )(x ) (x ) (B x C )(x ). Mit Hilfe der Einsetzmethode ergibt sich zunchst fur x = : = A 4,
9 76 lso A =. Die ubrigen Koezienten bestimmen wir durch Koezientenvergleich: 3x 5 x 4 4x 3 4x 7x 6 = A (x )(x ) (x ) (B x C )(x ) (x ) B x C )(x ) 3x 5 4x 4 4x 3 7x 4 = A (x )(x ) (B x C )(x ) (x ) B x C )(x ) =A (x )(x ) (B x C )(x ) (x ) (B x C )(x ) =A (x 5 x 4 x 3 x x ) (B x C )(x 4 x 3 x ) (B x C )(x x ) =A (x 5 x 4 x 3 x x ) B (x 5 x 4 x 3 x x) C (x 4 x 3 x x ) B (x 3 x x) C (x x ) =(A B )x 5 ( A B C )x 4 (A B C B )x 3 ( A C B C )x (A B B C )x ( A C C ) Ist quivlent zum System A B C B C = Teilweise Ausfuhrung des Guss-Algorithmus liefert: Aus der 4. Zeile von oben folgt B =, dies eingesetzt, erhlt mn us der 3. Zeile von oben und nlog us der. Zeile von unten, dss C = 4 ist. Auch dies eingesetzt ergibt us der. Zeile von oben, dss C = ist, eingesetzt folgt
10 . INTEGRATIONSREGELN 77 us der. Zeile von unten, dss B = und us der. Zeile von oben, dss A = ist. Die Prtilbruchzerlegung ht folglich ergeben, dss gilt f(x) = x (x ) x x 4 (x ). Wir fuhren nun die Integrtion fur jeden Teilterm einzeln us: = ln x C, x (x ) = x x = d(x ) = (x ) t dt = t C = (x ) x x = 4 x = (x ) x rctn x C x C, t dt rctn x C = ln x rctn x C, Bemerkung 6.4. Um ds letzte Integrl uszurechnen betrchte mn: x = x x x ( x) (x ) = = x x x (x ) = x x (x ) (x ) und dmit ist (x ) = x x x. Dmit knn mn nun ds Integrl hinschreiben, es ist: f(x) = ln x ( ) x ln x rctn x x rctn x C. x.5. Integrtion unstetiger Funktionen. Zur Integrtion stuckweise stetiger Funktionen, d.h. von Funktionen mit endlich vielen Sprungstellen, deren rechts- und linksseitiger Grenzwert existiert und endlich ist, wird ds Integrtionsintervll in die Teilintervlle zwischen den Unstetigkeitsstellen zerlegt, uf denen der Integrnd nun stetig ist. D.h. besitzt der Integrnd im Innern des Denitionsintervlls endlich viele Ausnhmestellen (Unstetigkeitsstellen oder Lucken) = x < x <... x n < x n = b, dnn zerlegt mn ds Integrl in eine Summe eigentlicher oder uneigentlicher Teilintegrle: b n xi f(x) = f(x). x i i=
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