Lösungsvorschlag zu den Hausaufgaben der 3. Übung

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1 Michael Winkler Johannes Lankeit Lösungsvorschlag zu den Hausaufgaben der 3. Übung Hausaufgabe : 2 Punkte Bei welchen der folgenden Funktionen u: G R kann es sich um den Realteil einer in G holomorphen Funktion f : G C mit f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) für x + iy G mit x, y R handeln? Bestimme dann außerdem f. a) u(x, y) = e x (x cos(y) y sin(y)), G = C, G = R 2, b) u(x, y) = sin(x) cos(y), G = C, G = R 2, c) u(x, y) = x3 3xy 2 (x 2 +y 2 ) 3, G = C \ {0}, G = R 2 \ {0}. (a) Damit u Realteil einer holomorphen Funktion f sein kann, muss u nach Folgerung 2.7 harmonisch in R 2 sein. Es gilt: u x = e x (x cos(y) y sin(y) + cos(y)), u y = e x ( x sin(y) sin(y) y cos(y)), u xx = e x (x cos(y) y sin(y) + cos(y) + cos(y)) = e x (x cos(y) y sin(y) + 2 cos(y)), u yy = e x ( x cos(y) cos(y) cos(y) + y sin(y)) = e x (x cos(y) y sin(y) + 2 cos(y)). Somit gilt u xx + u yy = 0 in R 2, so dass u der Realteil einer holomorphen Funktion f sein kann. Dazu muss nun nach den Cauchy-Riemann schen Differentialgleichungen gelten Also muss gelten Mit partieller Integration gilt xe x dx = xe x v x = u y und v y = u x. v x = u y = xe x sin(y) + e x (sin(y) + y cos(y)). e x dx = xe x e x + c = e x (x ) + c mit c R. Somit folgt v = v x dx = e x (x ) sin(y) + e x (sin(y) + y cos(y)) + c(y) = e x (x sin(y) + y cos(y)) + c(y) für eine Funktion c : R R. Damit auch v y = u x erfüllt ist, muss also gelten also c 0. Somit sind für u x = v y = e x (x cos(y) + cos(y) y sin(y)) + c (y), v(x, y) := e x (x sin(y) + y cos(y)) + c mit c R beide Cauchy-Riemann-Gleichungen erfüllt, so dass u also Realteil der holomorphen Funktion f : C C, f(x + iy) := u(x, y) + i v(x, y) ist.

2 (b) Damit u Realteil einer holomorphen Funktion f sein kann, muss u nach Folgerung 2.7 harmonisch in R 2 sein. Es gilt: u x = cos(x) cos(y), u y = sin(x) sin(y), u xx = sin(x) cos(y), u yy = sin(x) cos(y). Somit folgt u xx + u yy = 2 sin(x) cos(y). Also ist z.b. (u xx + u yy )( π 4, π 4 ) 0, so dass u nicht harmonisch in R 2 ist. Nach Folgerung 2.7 kann daher u kein Realteil einer in C holomorphen Funktion sein. (c) Damit u Realteil einer holomorphen Funktion f sein kann, muss u nach Folgerung 2.7 harmonisch in R 2 \ {0} sein. Es gilt für (x, y) (0, 0): u x = (3x2 3y 2 )(x 2 + y 2 ) 3 (x 3 3xy 2 ) 3(x 2 + y 2 ) 2 2x (x 2 + y 2 ) 6 = 3(x4 y 4 ) 3 2x(x 3 3xy 2 ) (x 2 + y 2 ) 4 = 3( x4 y 4 + 6x 2 y 2 ) (x 2 + y 2 ) 4, u y = 6xy(x2 + y 2 ) 3 (x 3 3xy 2 ) 3(x 2 + y 2 ) 2 2y (x 2 + y 2 ) 6 = 6xy(x2 + y 2 ) 6y(x 3 3xy 2 ) (x 2 + y 2 ) 4 = 2( x3 y + xy 3 ) (x 2 + y 2 ) 4, u xx = 3 ( 4x3 + 2xy 2 )(x 2 + y 2 ) 4 ( x 4 y 4 + 6x 2 y 2 ) 4(x 2 + y 2 ) 3 2x (x 2 + y 2 ) 8 = 3 4( x3 + 3xy 2 )(x 2 + y 2 ) 8x( x 4 y 4 + 6x 2 y 2 ) (x 2 + y 2 ) 5 = 2 x5 0x 3 y 2 + 5xy 4 (x 2 + y 2 ) 5, u yy = 2 ( x3 + 3xy 2 )(x 2 + y 2 ) 4 ( x 3 y + xy 3 ) 4(x 2 + y 2 ) 3 2y (x 2 + y 2 ) 8 = 2 ( x3 + 3xy 2 )(x 2 + y 2 ) 8y( x 3 y + xy 3 ) (x 2 + y 2 ) 5 = 2 x5 + 0x 3 y 2 5xy 4 (x 2 + y 2 ) 5. Somit gilt u xx + u yy = 0 in R 2 \ {0}, so dass u der Realteil einer in C \ {0} holomorphen Funktion f sein kann. Dazu muss nun nach den Cauchy-Riemann schen Differentialgleichungen gelten v x = u y und v y = u x. Also muss gelten v y = u x = 3( x4 y 4 + 6x 2 y 2 ) (x 2 + y 2 ) 4. Da u x symmetrisch in x und y ist, gilt offenbar mit ṽ(x, y) := u(y, x) = y3 3x 2 y (x 2 +y 2 ) 3 ṽ y (x, y) = u x (y, x) = u x (x, y) = 3( x4 y 4 + 6x 2 y 2 ) (x 2 + y 2 ) 4. Also gilt v = v y dy = ṽ + c(x) mit einer Funktion c : R \ {0} R. Damit auch v x = u y erfüllt ist, muss also gelten also c 0. Somit sind für u y (x, y) = v x (x, y) = ṽ x (x, y) + c (x) = u y (y, x) + c (x) = 2( y3 x + yx 3 ) (x 2 + y 2 ) 4 = u y (x, y) + c (x), v(x, y) := ṽ(x, y) + c = y3 3x 2 y (x 2 + y 2 ) 3 + c mit c R beide Cauchy-Riemann-Gleichungen erfüllt, so dass u also Realteil der holomorphen Funktion f : C \ {0} C, f(x + iy) := u(x, y) + i v(x, y) ist.

3 Hausaufgabe 2: Zeige: Eine reell differenzierbare Funktion f : C C ist genau dann in z 0 C komplex differenzierbar, wenn z (z 0) = 0. 2 Punkte Direkte Folgerung aus Blatt 2 HA 5 c) (Darstellung der Wirtinger-Ableitung aus f x und f y ) und den CRDGen. Hausaufgabe 3: An welchen Stellen sind die folgenden Funktionen jeweils komplex differenzierbar? 6 Punkte f(z) = zre(z), z C, f(x + iy) = x 3 y 2 + ix 2 y 3, x, y R, f(z) = zz + z z, z C \ {0} Im ersten Fall ist f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) = x 2 + ixy und Prüfung der CRDGen u x = 2x = x = v y und u y = 0 = y = v x zeigt, dass auch diese Funktion nur in z = 0 komplex differenzierbar ist. Bei der zweiten Funktion gehen wir analog vor: u x = 3x 2 y 2 = 3x 2 y 2 u y = 2x 3 y = 2xy 3 = v x ist genau an allen Stellen z = x + iy komplex diffbar, die x 3 y = xy 3, also x = 0 oder y = 0 oder x 2 = y 2 (wegen x, y R liefert das keine neuen Stellen) erfüllen. Komplex differenzierbar ist diese Funktion also genau auf den Koordinatenachsen. Für die dritte Funktion betrachten wir die Wirtinger-Ableitung z (z) = z z z 2. z (z) ist 0 (was zur komplexen Differenzierbarkeit äquivalent ist, siehe vorhergehende Aufgabe) genau dann, wenn das heißt z {, } ist. z = z z 2, also z2 =, Hausaufgabe 4: Die Funktion f : C C sei holomorph, reellwertig und erfülle f(42) = 42. Bestimme f. 3 Punkte Reellwertig bedeutet, dass die Ableitung des (überall verschwindenden) Imaginärteils 0 sind, also muss gleiches für die Ableitungen des Realteils gelten (CRDGen!), die Funktion ist also konstant. Ein Funktionswert ist vorgegeben und wir können f(z) = 42 für alle z C folgern. Für die Definition der Wirtinger-Ableitung siehe HA 5 des zweiten Übungsblattes. z

4 Hausaufgabe 5: Wo konvergiert (für z ) die Reihe n= z n z n? Konvergiert sie auf dieser Menge auch kompakt? Auch gleichmäßig? 6 Punkte Für z > handelt es sich bei den Reihengliedern ( z )n konvergiert also nicht. Wenn z < R <, so ist für hinreichend große n ( z )n R n 2 R n, nicht um eine Nullfolge (vgl. Präsenzaufgabe), die Reihe z also n z = n ( z )n 2Rn. Wegen n=0 2Rn < konvergiert die Reihe also nach dem Weierstraßschen Majorantenkriterium auf B R (0) gleichmäßig. Damit folgt also (mit demselben Argument wie zu Beginn des Beweises von Satz 3.5) kompakte Konvergenz auf B (0). Da z = zn n z + auf B n (0) nicht gleichmäßig konvergiert (Präsenzaufgabe), bilden die durch f n (z) = zn z n gegebenen Funktionen keine Nullfolge im Sinne gleichmäßiger Konvergenz auf B (0) und die Reihe konvergiert daher nicht gleichmäßig. Hausaufgabe 6: Zeige: n= ( z n )( z n+ ) zn konvergiert in B (0) und in C \ B (0). Bestimme die Grenzfunktion und weise nach, dass es sich um kompakte Konvergenz handelt. Tipp: Betrachte das Produkt mit ( z)z. 0 Punkte Dem Tipp folgend werden die einzelnen Summanden zu z n z n+ ( z n )( z n+ ) und wir versuchen wieder, sie mittels Partialbruchzerlegung übersichtlicher zu machen: ist für A =, B = erfüllt, sodass z( z) z n z n+ ( z n )( z n+ ) = A z n + B z n+ = A + B Azn+ Bz n ( z n )( z n+ ) N n= Auf B (0) konvergiert nun z N+ ( z n )( z n+ ) zn = N n= N z n z n+ = z z N+. n= gegen (siehe Präsenzaufgabe). Der Grenzwert ist hier z( z) ( z ) = z( z) z z = ( z) 2. Dass es sich wieder um kompakte Konvergenz handelt, müssen wir noch gesondert nachprüfen. Zwar haben wir in der Präsenzaufgabe gezeigt, dass kompakt konvergiert, aber wir mussten hier noch mit einer unbeschränkten z N Funktion multiplizieren.

5 Wir betrachten also zu K B (0) ein derart gewähltes R (0, ), dass für alle z K auch z < R gilt, und bereichnen N ( z n )( z n+ ) zn ( z) 2 = z( z) 2 z( z)( z N+ ) ( z) 2 n= = z( z) ( z)z( z N+ ) = z N+ z( z)( z N+ ) = z N z z N+ R R N+ RN 0 für N und unabhängig von z B R (0) (das war im letzten Schritt bereits abgeschätzt), sodass die Funktionenreihe auf B (0) also kompakt konvergiert. Für z > konvergiert gegen 0, da z N+ z N+, daher ist hier der Reihenwert z N+ z( z). 2 Für K C \ B (0) gibt es R >, sodass für alle z K z > R gilt. Für so großes N N, dass z N+ > R N+ > 2 RN+, ist dann z( z) ( ) z z N+ z( z) 2 = z N+ < 2 0, RN+ daher konvergiert die Reihe auch auf C \ B R (0) gleichmäßig, also auf C \ B (0) kompakt. (Zusammengenommen kann man damit auch folgern, dass n= ( z n )( z n+ ) zn auf C \ {z C; z = } kompakt konvergiert.)