mathphys-online Umkehrfunktionen Aufgabe 1 1 Gegeben ist die Funktion f mit f( x) 2 x 1 und x [ 0.5 ; 4 [.

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1 Umkehrfunktionen Aufgabe Gegeben ist ie Funktion f mit f( ) un [ 0. ; [. a) Bestimmen Sie ie Wertemenge un tragen Sie en Graphen von f in as Koorinatensystem ein. Kennzeichnen Sie Definitionsmenge (grün) un Wertemenge (blau) un ie Richtung er Zuornung. b) Kennzeichnen Sie im Koorinatensystem ie Definitionsmenge (grün) un ie Wertemenge (blau) er umgekehrten Zuornung un tragen Sie auch ie Richtung ein. c) Üblicherweise liegt ie Definitionsmenge auf er un ie Wertemenge auf er. Bestimmen Sie en Funktionsterm er Umkehrfunktion u urch Vertauschung er Variablen un tragen Sie ie Graphen von Funktion un Umkehrfunktion in as Koorinatensystem ein. ) Markieren Sie en Punkt, für en ie Funktionswerte gleich sin un überprüfen Sie rechnersich. Welche geometrische Besonerheit ergibt sich zwischen en Graphen? Gegeben: f( ) Teilaufgabe a) Definitionsmenge: D f = [ 0. ; ] f ( 0.). f( ) Wertemenge: W f = [. ; ] Konkrete Eingaben Programme Teilaufgabe b) Koorinatensystem 0. Koorinatensystem 0. f f G - f. f f - G f. 0 0 Seite von 0

2 Teilaufgabe c) Vertauschung er Variablen un auflösen nach y: u ( ) y = ersetzen = y y = y = auflösen y Funktionsterm er Umkehrfunktion: u ( ) f u u(.) Koorinatensystem 0 Graph von f Winkelhalbierene Graph von u Gemeinsamer Punkt Teilaufgabe ) f( ) = u ( ) = auflösen Die beien Graphen haben en Punkt (/) gemeinsam, sie sin symmetrisch bzgl. er Geraen y =. Der Graph er Umkehrfunktion u kann also urch Spiegelung es Graphen er Funktion f an er Winkelhalbierenen konstruiert weren. Seite von 0

3 Aufgabe Gegeben ist er Graph er Funktion f sowie er Funktionsterm mit f( ) 7 un IR. a) Bestimmen Sie as Intervall, in em ie Funktion f umkehrbar ist un ie zugehörige Wertemenge. b) Markieren Sie en umkehrbaren Teil es Funktionsgraphen un zeichnen Sie en Graphen er zugehörigen Umkehrfunktion. c) Bestimmen Sie rechnerisch en Term er Umkehrfunktion un geben Sie ie Wertemenge an. Teilaufgabe a) Ableitung: f' ( ) f( ) Monotonieintervalle: f' ( ) 0 0 auflösen G f ist streng monoton steigen für [ 0. / [ f' ( ) 0 0 auflösen G f ist streng monoton fallen für ] / 0. ] Scheitel: S 0. f S. Wertemenge: W f = [. ; [ Teilaufgabe b) 6 Diagramm Diagramm 0.. G f G f. 0. Gu G u Seite von 0

4 Teilaufgabe c) Vertauschung er Variablen un auflösen nach y: y 7 = ersetzen = y y = = y y 7 auflösen y Abrufen er Umkehrfunktion Umkehrfunktion : D = [. ; [ W = ] / 0. ] u ( ) Umkehrfunktion : D = [. ; [ W = ] 0. / ] u ( ) Seite von 0

5 Aufgabe Gegeben sin ie Funktionen f mit f( ) 6 6 un g mit g ( ), wobei IR, sowie er Graph von f (vgl. Diagramm). a) Zeigen Sie rechnerisch, ass er Graph er Funktion f urch Verschiebung aus em Graphen er Funktion g hervorgeht un geben Sie en Verschiebungsvektor v an. b) Begrünen Sie rechnerisch, ass ie Funktion f umkehrbar ist un geben Sie für oer für en jeweiligen Funktionsterm f - er Umkehrfunktion an. Hinweis: Beachten Sie, ass G f an er Stelle = einen Terrassenpunkt besitzt. c) Zeigen Sie, ass ie Umkehrfunktion u an er Stelle = stetig fortsetzbar ist un überprüfen Sie, ob ie stetige Fortsetzung ort auch ifferenziebar ist. ) Geben Sie ie gemeinsamen Punkte er Graphen von Funktion un Umkehrfunktion an un konstruieren Sie en Graphen er Umkehrfunktion u im gegebenen Diagramm. Gegeben: g ( ) f( ) 6 6 Teilaufgabe a) Verschiebung: g ( ) ( ) 6 6 vgl. mit Funktionsterm f() Verschiebungsvektor: v = Teilaufgabe b) f' ( ) f( ) f' ( ) 0 0 auflösen Horizontale Tangenten: f' ( ) 0 = = 0 auflösen = ist Terrassenpunkt G f ist streng monoton steigen in IR, also umkehrbar. Vertauschung er Variablen: y = f ( ) y = 6 6 ersetzen = y = y 6y y 6 ersetzen y = Seite von 0

6 Inirektes Auflösen nach y: ( y ) y 6y y 8 y 6y y 6y y 6 y 8 = = ( y ) = y = ( ) Mathca-Lösung Abrufen es Funktionsterms: u ( ) u0( ) ( ) Aufteilung er Zweige nach er Definitionsmenge: Umkehrfunktion : D = [ ; [ W = ] / [ u ( ) ( ) Umkehrfunktion : D = ] ; [ W = ] / ] u ( ) ( ) Teilaufgabe c) Linksseitiger Grenzwert: lim u ( ) Rechtsseitiger Grenzwert: lim u ( ) Stetige Fortsetzung: u ( ) = ( ) ( ) if = if if Seite 6 von 0

7 Ableitung er Umkehrfunktionen: u' ( ) u ( ) u' ( ) ( ) u' ( ) u ( ) u' ( ) ( ) Linksseitiger Grenzwert: lim u' ( ) Rechtsseitiger Grenzwert: lim u' ( ) Die stetige Fortsetzung ist an er Stelle = nicht ifferenzierbar Graphen von Funktion un Umkehrfunktion 6 G f G u G u 0 6 G f Teilaufgabe ) Schnittpunkte mit er Winkelhalbierenen: f( ) = 6 6 = auflösen Gemeinsame Punkte: P (/), P (/) un P (/) Seite 7 von 0

8 Aufgabe Gegeben ist ie Funktion f mit f( ), wobei IR \ {0}, sowie er Graph von f (vgl. Diagramm). a) Geben Sie as Intervall an, in em ie Funktion f umkehrbar ist un ie zugehörige Wertemenge. b) Bestimmen Sie rechnerisch en Term er Umkehrfunktion un geben Sie Definitions- un Wertemenge an. c) Zeichnen Sie ie Graphen er zugehörigen Umkehrfunktionen. Teilaufgabe a) Diagramm : Diagramm : G f ist streng monoton fallen in D f = ] ; 0 [ G f ist streng monoton fallen in D f = ] 0 ; [. Wertemenge : W f = ] ; 0 [ Wertemenge : W f = ] 0 ; [ Teilaufgabe b) y = Vertauschung er Variablen un auflösen nach y: u ( ) y = f ( ) y = ersetzen = y y = = y auflösen y Funktionsterm er Umkehrfunktion: u ( ) Definitionsmenge : D u = ] ; 0 [ Definitionsmenge : D u = ] 0 ; [ Wertemenge : W u = ] ; 0 [ Wertemenge : W u = ] 0 ; [ Teilaufgabe c) Graph von u Graph von u 0 G u 0 G u Seite 8 von 0

9 Bezeichnungen Eine Funktion heißt surjektiv, wenn jees Element er Wertemenge minestens einmal als Funktionswert angenommen wir, also minestens ein Urbil hat. Beispiel: f : IR [ ; ] mit f ( ) = sin( ) ist surjektiv. f : IR IR mit f ( ) = sin( ) ist nicht surjektiv, as z. B. y = kein Urbil hat. Eine Funktion heißt injektiv, wenn jees Element er Wertemenge höchstens einmal als Funktionswert angenommen wir, also minestens ein Urbil hat. Beispiel: f : IR IR mit f ( ) = e ist injektiv. f : IR IR mit f ( ) = ist nicht injektiv, as z. B. y = zwei Urbiler = un = hat. Eine Funktion heißt bijektiv, wenn sie sowohl injektiv (kein Wert er Wertemenge wir mehrfach angenommen) als auch surjektiv (jeer Werte er Wertemenge wir angenommen) ist. Insgesamt heißt as, es finet eine eineineutige Zuornung zwischen en Elementen er Definitionsmenge un er Wertemenge statt. Beispiel: f : IR IR + mit f ( ) = e ist bijektiv. f : IR IR mit f ( ) = ist bijektiv. Seite 9 von 0

10 Satz Jee injektive (jees Bil hat genau ein Urbil) Funktion f besitzt eine Umkehrfunktion f - = u. Formale Schreibweise: Funktion Umgekehrte Zuornung Umkehrfunktion f : D f W f y = f( ) f - : W f D f y = f( y) u: D u W u y = u( ) Satz Jee streng monotone Funktion ist in ihrer Wertemenge umkehrbar. Aufgabe Die Umkehrung es Satzes jee umkehrbare Funktion ist echt monoton gilt nicht. Bestätigen oer wierlegen Sie iese Aussage am Beispiel f( ) = mit IR \ { 0}. Diagramm Diagramm f( ) 0 f( ) 0 f( ) f( ) Wählen Sie: Wählen Sie: -Werte: Funktionswerte: -Werte: Funktionswerte: f f f f 0. Es gilt: f f Es gilt: f f Es folgt jeoch nicht: G f ist streng monoton steigen in IR \ {0}. Es folgt jeoch nicht: G f ist streng monoton fallen in IR \ {0}. Seite 0 von 0