Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse

Transkript

1 Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Eine computergestützte Einführung mit Excel, SPSS und STATA , überarbeitete und erweiterte Auflage springer-gablerde

2 Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse, 3 Auflage 2015 Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler 2 Foliensammlung zu Kapitel 5 Springer Gabler Wiesbaden 2015

3 Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse (5) Regressionsanalyse - Bivariate Regression - Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

4 Wovon hängt die Nachfrage eines Kleides ab? 1 Gleitender Durchschnitt (ungewichtet) Kleid FJ06 = (Kleid FJ05 + Kleid FJ04 + Kleid FJ03 ) / 3 2 Gleitender Durchschnitt (gewichtet) Kleid FJ00 = (0,2 * Kleid FJ03 + 0,3 * Kleid FJ04 + 0, 5 * Kleid FJ05 ) 3 (Lineare) Regression Kleid FJ06 = f(kleid FJXX; X; Y; Z) Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

5 Welche Variablen haben einen Einfluss auf die Nachfrage? 1 Absatz eines äquivalenten Kleides in der Vorperiode (in Mengeneinheiten) 2 Größe der Abbildung des Kleides im Katalog (in qcm) 3 Preis bzw Preiskategorie eines Produktes 4 Werbebudget 5 Ist Claudia Schiffer das Modell (ja/nein) 6 Sind Kleider in dieser Saison modern 7 Wie modern ist die Farbe (ordinal: sehr moderne bis nicht moderne Farbe) Beispiel: Für 100 Kostüme / Kleider errechnen wir eine Prognose 1 mit Hilfe der Äquivalentmethode (1) und 2 mit Hilfe der Abbildungsmethode (2) Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

6 Nachfrageprognose nach Äquivalentmethode Tatsächliche Nachfrage in der Periode (t) r = 0,42 Fehlmengenkosten Überschuss Nachfrage für ein Äquivalent in der Vorperiode (t 1) Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

7 Nachfrageprognose mit Bildgröße Stützbereich r=0,95 82 = Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

8 Beispiel: Wie hoch ist die Nachfrage? Zwei Kleider zum Preis von ca 200- sollen zu Beginn der Frühjahressaison eingekauft werden Der Lagerhalter hat folgende Informationen: Kleid A wird im Hauptkatalog auf einer Fläche von 70 qcm und Kleid B auf 50 qcm abgebildet Der Erwartungswert der Nachfrage lässt sich mit Hilfe der Methode der linearen Regression wie folgt prognostizieren: Lösung: Der Lagerhalter prognostiziert folgende Absätze: Kleid A: 285 (= ,1 * 70) Kleid B: 243 (= ,1 * 50) Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

9 Lineare Regression: Welche Fragen sind zu klären? 1 Welche Regel soll für die Bestimmung der Regressionsgeraden gelten? Grundlage minimaler Fehler Wie lässt sich die Regressionsgeraden algebraisch bestimmen? Zusammenhang zwischen Regression und Korrelation? Bestimmung der Koeffizienten mit Excel 2 Regression mit mehr als einer unabhängigen Variable 3 Abpassungsgüte: Wie gut ist die Regression bzw welchen Fehler mache ich bei der Annahme der Regression? 4 Was bedeutet eigentlich linear? 5 Hebelwirkung von einzelnen Beobachtungen Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

10 Welche Regel soll für die Bestimmung der Regressionsgeraden gelten? Tatsächliche Nachfrage in der Periode (t) Größe der Abbildung im Hauptkatalog dieser Saison (t) (in qcm) Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

11 Es gibt nur EINE Regressionsgeraden The least squares line is unique for each sample Tatsächliche Nachfrage in der Periode (t) Größe der Abbildung im Hauptkatalog dieser Saison (t) (in qcm) Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

12 OLS: Die Wirkung von Ausreißern Regression 2 Regression 3 Veränderung für Regression 2 Veränderung für Regression 3 2 OLS Fitting the Line Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

13 Welche Regel soll für die Bestimmung der Regressionsgeraden gelten? Fehler sollen sich nicht aufheben, der gesamte Fehler soll minimiert werden jedes Verfahren soll nur eine mögliche Regressionsgeraden generieren Vorherrschendes Verfahren: Methode der kleinsten Quadrate Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

14 Wie lässt sich die Regressionsgeraden algebraisch ermitteln? Die Herleitung = Regressionsgerade geht immer durch den Schwerpunkt Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

15 Wie lässt sich die Regressionsgeraden algebraisch ermitteln? Die Herleitung in (i) Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

16 Wie lässt sich die Regressionsgeraden algebraisch ermitteln? Die Herleitung in (ii) Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

17 Es gilt also: aus: Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

18 Regressionsrechnung mit Excel Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

19 Datenanalyse mit Excel Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

20 Regressionsrechnung mit Excel Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

21 Regressionsrechnung mit Excel Beispiel (2): Alter und Wortschatz bei Kindern Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

22 Regressionsrechnung: Die Anpassungsgüte der Regression Tatsächliche Nachfrage in der Periode (t) Größe der Abbildung im Hauptkatalog dieser Saison (t) (in qcm) Durch die Regression erklärter Anteil Gesamte Streuung Unerklärter Anteil Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

23 Regressionsrechnung: Anpassungsgüte der Regression Gesamte Streuung Durch die Regression erklärter Anteil Unerklärter Anteil TSS total sum of squares (Gesamte Quadratsumme) RSS explained sum of squares (QS der Regression) ESS residual sum of squares (Fehlerquadratsumme) Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

24 Anpassungsgüte der Regression Gesamte durchschnittliche Abweichung (TSS) Je größer RSS im Verhältnis zu TSS, um so besser ist die Regression Teil, der durch Regression erklärt wird (RSS) Je kleiner ESS im Verhältnis zu TSS, um so besser ist die Regression Unerklärter Teil (ESS) Var(y=Absatz) Bivariate Regression ( Simple Regression ): Schnittmenge=Erklärungsanteil Var(x 1 =Abbildungsgröße) Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

25 Wie gut ist nun die Regression? Um ein unabhängiges Maß für die Güte einer Regression zu bekommen, wird die Summe der quadrierten Abweichungen der Regression (zum Mittelwert) [RSS] in das Verhältnis zur Summe der gesamten quadrierten Abweichungen (zum Mittelwert) [TSS] gesetzt Man erhält das Bestimmtheitsmaß Je näher der Wert bei 1 liegt, um so besser ist die Regression Je näher der Wert bei 0 liegt, um so schlechter ist die Regression Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

26 Wie gut ist nun die Regression? Interpretation des Bestimmtheitsmaßes: R 2 =0,91: Die Variable Abbildung im Hauptkatalog erklärt 91% der Variable Absatz Das Bestimmtheitsmaß gibt den Anteil der durch X erklärten Varianz von Y an Für den linearen Fall gilt außerdem: R 2 =r 2 Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

27 Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse (5) Regressionsanalyse - Multivariate Regression - Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

28 Multivariate Regression: Warum alles nur mit einer Variable erklären? 2 Erklärungsvariablen Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

29 Multivariate Regression: Warum alles nur mit einer Variable erklären? Var(y=Absatz) E Var(y=Absatz) A B C F D G Var(x 1 =Abbildungsgröße) Var(x 1 =Abbildungsgröße) Var(x 2 =Vorjahresabsatz) Bivariate Regression ( Simple Regression ): Schnittmenge=Erklärungsanteil Multiple Regression ( Multiple Regression ): Schnittmenge Abbildungsgröße wird kleiner Gesamterklärung Absatz wird aber größer Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

30 Datenanalyse mit Excel Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

31 Datenanalyse mit Excel Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

32 Datenanalyse mit Excel Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

33 Anpassungsgüte: Adjustiertes Bestimmtheitsmaß Ungeübte Anwender der Regressionsanalyse könnten nun auf die Idee kommen, möglichst viele erklärende Variablen in das Modell zu integrieren, um das Bestimmtheitsmaß nach oben zu treiben Welchen Wert hätte das Bestimmtheitsmaß eigentlich angenommen, wenn wir anstelle der Verkaufszahlen eines äquivalenten Kleides aus der Vorperiode eine völlig verrückte Variable wie das jeweilige Körpergewicht der Näherin hinzugefügt hätten Gemäß Definition wäre das Bestimmtheitsmaß im schlechtesten Fall konstant bei 0,91 geblieben, denn nach wie vor würde die Abbildungsgröße im Katalog ihre Erklärungskraft behalten Die Hinzunahme einer weiteren erklärenden Variable (x-variable) führt nicht zu einer Verbesserung des Modells Im Gegenteil: Dies wiederspricht dem Konstruktionsziel von Modellen, einen Sachverhalt mit möglichst wenigen Einflussvariablen zu erklären Durch wahllose Hinzunahme zus Variablen steigt die Gefahr, dass sich unter den Variablen solche mit keiner Erklärungskraft befinden ( Überparametrisierung des Modells) Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

34 Anpassungsgüte: Adjustiertes Bestimmtheitsmaß In der Praxis wird deshalb häufig ein korrigiertes Bestimmtheitsmaß berechnet, das die Überparametrisierung eines Modells gewissermaßen bestraft Mit jeder weiteren hinzugenommenen Variable erhöht sich der Bestrafungsabschlag Bezeichnet man n als Anzahl der Beobachtungen und k die Anzahl der im Modell berücksichtigten Variablen (inklusive der Konstanten), berechnet sich das korrigierte Bestimmtheitsmaß wie folgt: Es lohnt sich nur dann eine zusätzliche Variable in das Modell aufzunehmen, wenn der dadurch zusätzlich gewonnene Erklärungswert größer als der Bestrafungsabschlag des korrigierten Bestimmtheitsmaßes ist Bei der Konstruktion von Modellen sollte die Hinzunahme neuer Variablen dann beendet werden, wenn das korrigierte Bestimmtheitsmaß nicht mehr gesteigert werden kann Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

35 Regressionsrechnung: Datenanalyse mit Excel Vorher ohne Nachfrage t-2: 0,9704 Vorher ohne Nachfrage t-2: 0,9405 Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

36 Regressionsrechnung mit unabhängiger Dummy-Variablen Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

37 Regressionsrechnung mit unabhängiger Dummy-Variablen + 2 =149 o =142,9 Parallele Verschiebung nach oben um 2 =6,1 Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

38 Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse (5) Regressionsanalyse - Nichtlineare Regression - Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

39 Die Bedeutung des Begriffes LINEAR Y Variable Y Variable Y Variable y = 1+1*x X Variable X Variable X Variable y = 1+12*x-09*x 2 y = 1+19*x-4*x *x 3 Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

40 Die Bedeutung des Begriffes LINEAR Y Variable Y Variable Y Variable X Variable y = *x -1-2*x 3 X Variable X Variable y = 1+025*x-1 y = 1+025*x -2 Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

41 Beispiel einer nicht-linearen Regression burgerxls Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

42 Beispiel einer nicht-linearen Regression Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

43 Beispiel 2 einer nicht-linearen Regression Streudiagramm Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

44 Beispiel 2 einer nicht-linearen Regression Streudiagramm Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

45 Beispiel 2 einer nicht-linearen Regression Streudiagramm x Achse unlogarithmiert aber x Werte logarithmiert Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

46 Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse (5) Regressionsanalyse - Regressionsdiagnostik - Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

47 Regressionsdiagnostik Um systematische Fehler in einer Regression zu vermeiden und die Qualität einer Regression zu erhöhen, sollten bestimmte Kriterien an den Fehlerterm gestellt werden: 1 Positive und negative Werte heben sich gegenseitig auf Diese Bedingung ist in der Regressionsrechnung automatisch erfüllt 2 Die unabhängigen Variablen (x-variablen) der Regression korrelieren nicht mit dem Fehlerterm (u) Beispielsweise sollte der Fall nicht auftreten, bei dem in bestimmten Bereichen der x-achse Abweichungen nur in eine Richtung (z B nur nach oben) auftreten Dies würde bedeuten, dass die y-werte systematisch über- bzw unterschätzt würden Ein Vorschlag zur Lösung dieses Problems findet sich im nächsten Punkt 3 Ähnlich ist nämlich die Forderung, dass die Fehlerterme nicht untereinander korrelieren sollten: Cov( ; )=0 i j Man nennt dies auch die Bedingung einer fehlenden Autokorrelation Es bedeutet zunächst nichts anderes, als dass keine Systematik zwischen Fehlertermen auftreten darf Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

48 Regressionsdiagnostik: Autokorrelation u Autokorrelation X u Autokorrelation X u Autokorrelation X u Keine Autokorrelation X Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

49 Regressionsdiagnostik: Homoskedastizität Um systematische Fehler in einer Regression zu vermeiden und die Qualität einer Regression zu erhöhen, sollten bestimmte Kriterien an den Fehlerterm gestellt werden: 1 Positive und negative Werte heben sich gegenseitig auf Diese Bedingung ist in der Regressionsrechnung automatisch erfüllt 2 Die unabhängigen Variablen (x-variablen) der Regression korrelieren nicht mit dem Fehlerterm (u) Beispielsweise sollte der Fall nicht auftreten, bei dem in bestimmten Bereichen der x-achse Abweichungen nur in eine Richtung (z B nur nach oben) auftreten Dies würde bedeuten, dass die y-werte systematisch über- bzw unterschätzt würden Ein Vorschlag zur Lösung dieses Problems findet sich im nächsten Punkt 3 Ähnlich ist nämlich die Forderung, dass die Fehlerterme nicht untereinander korrelieren sollten: Cov( ; )=0 i j Man nennt dies auch die Bedingung einer fehlenden Autokorrelation Es bedeutet zunächst nichts anderes, als dass keine Systematik zwischen Fehlertermen auftreten darf 4 Die Varianz für jedes ist konstant: Var( )= Diese Voraussetzung wird als Varianzhomogenität oder Homoskedastizität (homo steht für gleich bzw gleichartig und Skedastizität für die Varianz) bezeichnet Ist diese Bedingung nicht erfüllt, spricht man von Varianzungleichheit oder Heteroskedastizität Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

50 Regressionsdiagnostik: Homoskedastizität Homoskedastizität Heteroskedastizität Heteroskedastizität Y Y Y X X X Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

51 Regressionsdiagnostik: Multikollinearität Um systematische Fehler in einer Regression zu vermeiden und die Qualität einer Regression zu erhöhen, sollten bestimmte Kriterien an den Fehlerterm gestellt werden: 1 Positive und negative Werte heben sich gegenseitig auf Diese Bedingung ist in der Regressionsrechnung automatisch erfüllt 2 Die unabhängigen Variablen (x-variablen) der Regression korrelieren nicht mit dem Fehlerterm (u) 3 Ähnlich ist nämlich die Forderung, dass die Fehlerterme nicht untereinander korrelieren sollten: Cov( ; )=0 i j Man nennt dies auch die Bedingung einer fehlenden Autokorrelation 4 Die Varianz für jedes ist konstant: Var( )= Diese Voraussetzung wird als Varianzhomogenität oder Homoskedastizität (homo steht für gleich bzw gleichartig und Skedastizität für die Varianz) bezeichnet 5 Bei Regressionen mit mehr als einer unabhängigen x-variablen dürfen die unabhängigen x-variablen keinen Zusammenhang aufweisen Wird der Zusammenhang zwischen zwei oder mehr x-variablen zu groß, tritt eine sogenannte Multikollinearität auf, welche die Regressionsergebnisse verfälscht Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

52 Was ist Multikollinearität? Ein Beispiel für perfekte Multikollinearität Variablen Bruttopreis und Nettopreis korrelieren perfekt miteinander Veränderungen der einen Variable implizieren äquivalente Veränderungen der anderen Variable Es kommt also nicht zu einem Zugewinn an Information Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

53 Was ist Multikollinearität? Ein Beispiel für perfekte Multikollinearität Die Invertierbarkeit setzt voraus, dass die Matrix X einen vollen Rang aufweist Im Falle perfekter Multikollinearität sind aber mindestens zwei Spalten der Matrix linear abhängig, so dass keine Invertierung durchgeführt werden kann -> keine Lösung Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

54 Was ist Multikollinearität? Ein Beispiel für Multikollinearität Perfekte Multikollinearität kommt in der Praxis nur sehr selten vor I d R sind solche perfekte Korrelationen zwischen zwei Variablen inhaltlich zu erklären In der Praxis sind Multikollinearitäten high but not perfect Wenn also von Multikollinearität der Variablen gesprochen wird, versteht man darunter eine sogenannte imperfect multicollinearity Multikollinearität ist also nicht die Frage des Auftretens oder Nichtauftretens sondern eine Frage des Grades Nehmen wir deshalb einmal folgendes Beispiel an: Gegeben ist 1 der Marktanteil unseres Produktes (Superbenzin SPARAL) 2 der Preis unseres Produktes (Superbenzin SPARAL) 3 der Preis unseres Konkurrenzproduktes (Superbenzin JETY), der sich allerdings fast genau so entwickelt hat, wie der Preis unseres Produktes: Preis des Konkurrenzproduktes=Preis des eigenen Produktes + Normal(01) Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

55 Was ist Multikollinearität? Ein Beispiel für Multikollinearität Preise entwickeln sich in gleichen Mustern Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

56 Was ist Multikollinearität? Ein Beispiel für Multikollinearität Zunächst: Marktanteil=f(Eigener Preis) Model R R Square Adjusted R Square Std Error of the Estimate 1,723(a),522,503,07258 Sum of Mean Model Squares df Square F Sig 1 Regression,144 1,144 27,338,000(a) Residual,132 25,005 Total, Unstandardized Coefficients Standardized Coefficients Model B Std Error Beta t Sig 1 (Constant) 1,442,201 7,171,000 Netto-Preis eigenes Produkt (Superbenzin SPARAL) -,871,167 -,723-5,229,000 Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

57 Was ist Multikollinearität? Ein Beispiel für Multikollinearität Marktanteil=f(Eigener Preis, Preis Konkurrenz) R 2 nimmt kaum zu Obwohl der F-Test eine Signifikanz des gesamten Modells ausweist, ist keiner der Regressoren signifikant Falsches Vorzeichen beim Konkurrenzpreis Größe des Regressors schwankt stark Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

58 Was ist Multikollinearität? Ein Beispiel für Multikollinearität Marktanteil=f(Eigener Preis, Preis Konkurrenz) mit und ohne Beobachtung 27 Regressionskoeffizienten instabil Unstandardized Coefficients Standardized Coefficients B Std Error Beta t Sig (Constant) 1,324,226 5,866,000 Netto-Preis eigenes Produkt (Superbenzin -,559,433 -,470-1,290,210 SPARAL) Preis des Konkurrenten (Superbenzin JETY) -,188,330 -,207 -,568,576 Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

59 Wie erkenne ich Multikollinearität genau? Multikollinearität kann in einer Stichprobe vorliegen, auch wenn in der Grundgesamtheit die entsprechenden Variablen nicht multikollinear sind Multikollinearität muss somit nicht nur ein Phänomen der Grundgesamtheit, sondern kann auch ein Phänomen der Stichprobe sein Die Feststellung von Multikollinearität kann nicht über ein einziges Multikollinearitätsmaß erfolgen Vielmehr erfolgt die Betrachtung der Vielzahl der vorangegangenen Beobachtungen bei Multikollinearität Darüber hinaus lassen sich zwei weitere Methoden anwenden 1 Auxiliary Regressions, bzw 2 Variance Inflation Factor (VIF) Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

60 Wie erkenne ich Multikollinearität genau? Auxiliary Regressions Da Multikollinearität dann auftritt, wenn eine oder mehr Variablen in einem linearen Zusammenhang mit einer weiteren Variable stehen, kann dieses Problem durch eine Regression der verschiedenen unabhängigen Variablen untereinander festgestellt werden Beispiel: Sie haben fünf unabhängige Variablen Sie bilden folgende Auxiliary Regressions : 1 x 1 =f(x 2 ; x 3 ; x 4 ; x 5 ) 2 x 2 =f(x 1 ; x 3 ; x 4 ; x 5 ) 3 x 3 =f(x 1 ; x 2 ; x 4 ; x 5 ) 4 x 4 =f(x 1 ; x 2 ; x 3 ; x 5 ) 5 x 5 =f(x 1 ; x 2 ; x 3 ; x 4 ) Für jeder der fünf Regressionen erhalten Sie ein R 2 Mit Hilfe der F-Statistik kann überprüft werden, ob das R 2 ungleich null ist Wenn nicht, liegt tendenziell Multikollinearität vor Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

61 Wie erkenne ich Multikollinearität genau? Tolerance / VIF Das Konzept des Variance Inflation Factors (VIF) baut auf der Idee der Auxiliary Regression auf: Je größer das für jede unabhängige Variable (Regressor) ermittelte R 2, um so größer ist die Multikollinearität Das bedeutet: Je kleiner die Tolerance (der nicht erklärte Teil), um so eher liegt Multikollinearität vor Je größer VIF ist, um so eher liegt Multikollinearität vor Warum Variance Inflation : Multikollinearität erhöht die Varianz der Regressionskoeffizienten und verringert dadurch die Signifikanz Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

62 Wie erkenne ich Multikollinearität genau? Das Beispiel Auxiliary Regression der unabhängigen Variablen Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

63 VIF Wie erkenne ich Multikollinearität genau? Das Beispiel Unstandardized Coefficients Standardized Coefficients Collinearity Statistics Std Error Beta t Sig Tolerance VIF B (Constant) 1,446,206 7,023,000 Netto-Preis eigenes Produkt (Superbenzin SPARAL) Preis des Konkurrenten (Superbenzin JETY) -,799,393 -,663-2,035,053,187 5,348 -,065,319 -,066 -,202,841,187 5,348 Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

64 Zusammenfassung: Multikollinearität 1 Multikollinearität ist nicht zwangsläufig schlecht Wenn es darum geht, Werte einer abhängigen Variable (z B bei einem Forecasting) zu schätzen, spielt Multikollinearität keine verzerrende oder negative Rolle Wenn es aber darum geht, die Signifikanz von Einflussvariablen zu prüfen, führt Multikollinearität zu falschen Schlussfolgerungen 2 Multikollinearität kann nur beseitigt werden, in dem einer der korrelierenden Variablen aus der Regression entfernt wird ( dropping ), die korrelierenden Variablen mit Hilfe der Faktorenanalyse zu einer Variable zusammengefasst werden ( Transformation ) Eine neue Stichprobe oder zusätzliche Objekte/Subjekte in die bestehende Stichprobe gezogen werden (im Falle einer Multikollinearität, die aufgrund des Samples zustande gekommen ist die theoretischen Zusammenhänge des Modells neu überlegt werden ( Rethinking the model ) Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler

65 Lineare Regression: Aufgabe Sie arbeiten in der Marktforschungsabteilung eines Herstellers von Babynahrung In einem Marktforschungsprojekt haben Sie den Absatz Ihres Produktes in verschiedenen Märkten ermittelt Sie schätzen die Einflussfaktoren auf den Absatz mit Hilfe der unten angegebenen Regression 1 Berechnen Sie das Bestimmtheitsmaß 2 Sie möchten einen durchschnittlichen Absatz auf 3905 Stück bringen Zu welchem Preis müssen Sie Ihr Produkt durchschnittlich abgeben, wenn der Konkurrenzpreis bei 1,50 liegt? 3905= ,3x-3057,1*1,5 x=1,40 Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler