Mengenlehre. Begriff der Mengenzugehörigkeit x M, x Ê M >x : x { a 1. e e x = a n. } 2 x = a 1. >x : x { y P(y) } 2 P(x) Begriff der leeren Menge

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Mengenlehre. Begriff der Mengenzugehörigkeit x M, x Ê M >x : x { a 1. e e x = a n. } 2 x = a 1. >x : x { y P(y) } 2 P(x) Begriff der leeren Menge"

Transkript

1 Mengenlehre Grundbegriff ist die Menge Definition (Naive Mengenlehre). Eine Menge ist die Zusammenfassung von Elementen unserer Anschauung zu einem wohldefinierten Ganzen. (Georg Cantor) Notation 1. Aufzählung aller Elemente: { 1, { 2 }, { 3, 4 }, { 5 } } 2. Beschreibung der Eigenschaften der Elemente: { x x mod 2 = 0 } Informell wird auch geschrieben: { 2, 4, 6, 8, } Begriff der Mengenzugehörigkeit x M, x Ê M >x : x { a 1, a n } 2 x = a 1 e e x = a n Begriff der leeren Menge >x : x { y P(y) } 2 P(x) Die leere Menge ist die Menge, die kein Element enthält. Sie wird A oder {} geschrieben: >x : x Ê A Mengenlehre 1

2 Russelsches Paradox in der naiven Mengenlehre Man definiere M als die Mengen aller Mengen, die sich selbst nicht enthalten: Frage: Enthält M sich selber? M = { X X Ê X } Ja. Wenn M sich selbst enthält, dann darf M sich selbst nicht enthalten Nein. Wenn M sich selbst nicht enthält, dann muss M sich selbst enthalten Wir wissen aber aus der Logik, dass aus einem Widerspruch alles abgeleitet werden kann. Mengenlehre 2

3 Vergleichen von Mengen Gleichheit Zwei Mengen A und B heissen gleich, wenn sie genau die gleichen Elemente enthalten: Teilmengenrelation A = B 2 ( >x : x A 2 x B ) Beispiel: { 1, 2, 3 } = { n n d n < 4 } Die Menge T heisst eine Teilmenge der Menge A, wenn jedes Element, das in der Teilmenge T liegt, auch in der Menge A liegt: T A 2 ( >x : x T / x A ) Beispiel: { 2 } { 1, 2 } Die Menge T heisst eine echte Teilmenge der Menge A, wenn T eine Teilmenge von A ist, aber nicht gleich A ist: T A 2 (>x : x T / x A) d T Ž A Beispiel: { 2 } { 1, 2 } Mengenlehre 3

4 Beweis: A ist Teilmenge jeder Menge Gegeben: T A 2 >x : x T / x A >x : x Ê A Zu beweisen: A A Beweis: A A 2 >x : x A / x A (1) A A 2 >x : f / x A (2) A A 2 >x : t (3) A A 2 t (4) (1) Definition von (2) Axiom für A (3) f / x A ist Tautologie (4) >x : t ist Tautologie Mengenlehre 4

5 Operationen auf Mengen Durchschnitt Der Durchschnitt zweier Mengen A und B ist die Menge aller Elemente, die sowohl in A als auch in B enthalten sind. Vereinigung A b B = { x x A d x B } Beispiel: { 1, 2 } b { 1 } = { 1 } Die Vereinigung zweier Mengen A und B ist die Menge aller Elemente, die entweder in A oder in B enthalten sind. Komplement A a B = { x x A e x B } Beispiel: { 1, 2 } a { 3 } = { 1, 2, 3 } Sei eine Menge X gegeben und sei U eine Teilmenge von X. Das Komplement von U bezüglich der Menge X ist die Menge XU aller Elemente der Menge X, die nicht in U liegen. U X / XU = { x x X d x Ê U } Beispiel: { 1, 2, 3 } { 1, 2 } = { 3 } Mengenlehre 5

6 Operationen auf Mengen (2) Differenz Seien A und B beliebige Mengen. Die Differenz A minus B ist die Menge A \ B aller Elemente, die in A und nicht in B liegen. Symmetrische Differenz A \ B = { x x A d x Ê B } Beispiel: { 1, 2, 3 } \ { 3, 4 } = { 1, 2 } Die symmetrische Differenz zweier Mengen A und B ist die Menge A B aller Elemente, die genau in einer der beiden Mengen liegen. Potenzmenge A B = (A a B) \ (A b B) Beispiel: { 1, 2, 3 } { 3, 4 } = { 1, 2, 4 } Sei A eine Menge. Die Potenzmenge von A ist die Menge V(A) aller Teilmengen von A. V(A) = { U U A } Beispiel: V({ 1, 2 }) = { A, { 1 }, { 2 }, { 1, 2 } } Mengenlehre 6

7 Operationen auf Mengen (3) Anzahl von Elementen (informell) Sei A eine Menge mit endlich vielen Elementen. Die Anzahl A nennt man die Mächtigkeit oder Kardinalität der Menge. Zwei endliche Mengen haben dieselbe Kardinalität, wenn die Anzahl Elemente in beiden Mengen gleich ist. Man stelle sich vor, dass man immer je ein Element aus beiden Mengen herausnimmt, und es bleiben zwei leere Mengen. Cantor hat diese Idee für unendliche Menge weiterentwickelt: Zwei unendliche Mengen haben dieselbe Kardinalität, wenn sich die Elemente beider Mengen paaren lassen: r r r r r r r r r r Die Kardinalität von wird F 0 (Aleph null) genannt. Sie ist die kleinste unendliche Kardinalität. Eine weitere Kardinalität ist c. Dies ist die Kardinalität von V( ) und. Cantors Diagonalisierungsargument beweist c <> F 0. Mengenlehre 7

8 Cantors Diagonalisierungsargument für V( ) > Beweis durch Widerspruch. Wir nehmen an, das V( ) <=. D.h., man kann jeder Teilmenge von eine Zahl aus so zuordnen, dass jede Zahl aus höchstens einmal benutzt wird. Uns interessieren die Paare, bei denen die Teilmenge von die Zahl aus nicht enthält, mit der sie gepaart wird. Beim Paar (1, { 2 }) z.b. enthält die Teilmenge die Zahl nicht, beim Paar (2, { 2, 3 }) enthält sie sie. Wir definieren eine Teilmenge M so, dass M die Zahlen enthält, die entweder nicht gepaart sind oder mit einer Teilmenge von gepaart sind, die die Zahl nicht enthalten. M ist eine Teilmenge von. Also muss es ein Paar (z, M) geben. Ist z ein Element von M? Ja: Dann ist z gepaart mit einer Menge, die z enthält. Das ist eine Widerspruch zur Definition von M. Nein: Dann ist z gepaart mit einer Menge aus V( ) (nämlich M), die z nicht enthält. Nach der Definition von M muss z dann aber ein Element von M sein. Widerspruch. Also muss V( ) > gelten. Mengenlehre 8

9 Gesetze für Mengenoperationen Idempotenz A b A = A A a A = A Kommutativität A b B = B b A A a B = B a A Assoziativität (A b B) b C = A b (B b C) (A a B) a C = A a (B a C) Distributivität A b (B a C) = (A b B) a (A b C) A a (B b C) = (A a B) b (A a C) Absorption A b (A a B) = A A a (A b B) = A De Morgan Regeln (A b B) = ( A) a ( B) (A a B) = ( A) b ( B) Neutrale Elemente* A b X = A A a A = A Invariable Elemente* A b A = A A a X = X Komplementarität* A b A = A A a A = X Involutionsgesetz A = A Reflexivität A A A A Extremalität* A A X A Kontraktion (A b B) A (A a B) A Monotonie A B / A b C B b C A B / A a C B a C Antitonie A B / A B * wobei A X A B / A B Mengenlehre 9

10 Das Beweisen von Mengengesetzen Venn-Diagramme: graphische Veranschaulichung Tableau Methode: Tabelle von Fallunterscheidungen Transfer Methode: Eine mengentheoretische Formel wird in eine äquivalente aussagenlogische Formel umgewandelt, die dann bewiesen wird. Diese Methode beruht auf der Verwandschaft zwischen Aussagenlogik und Mengenlehre, die damit zu tun hat, dass beide Systeme Boole sche Algebren sind. Mengenlehre a Aussagenlogik e / b d. Direkter Beweis durch Einsetzen von Definitionen, Axiomen und Gesetzen. Mengenlehre 10

11 Direkter Beweis De Morgan Regel für b Gegeben: Die Definitionen von b, a,, Ê, 8 Zu beweisen: X(A b B) = A) a B) ( X ( X Beweis: { x x 8 A d x 8 B } = { x x 8 A e x 8 B } (1) X X X { x x 8 X d xê { x x 8 A d x 8 B }} = { x x 8 { x x 8 X d x Ê A} e x 8 { x x 8 X d x Ê B }} (2) { x x 8 X d (x Ê A e x Ê B) } = { x x 8 X d x Ê A e x 8 X d x Ê B) } (3) { x x 8 X d (x Ê A e x Ê B) } = { x x 8 X d (x Ê A e x Ê B) } (4) (1) Definition von b und a, (2) Definition von, (3) Definition von Ê und 8, de Morgan, (4) Distributivität Mengenlehre 11

12 Familien von Mengen Eine Familie von Mengen ist eine Ansammlung von Mengen A die durch eine Indexmenge I indiziert sind. Genauer gesagt ist eine Familie eine Funktion, die jedem Index i I eine Menge A i zuordnet. Beispiel: I = { 1, 2, 3 } A 1 = { a, b, c }, A 2 = { b, c, d }, A 3 = { c } Operationen auf Familien: Der Durchschnitt einer Familie von Mengen A ist die Menge jener Elemente, die in jedem A i vorkommen. XA = X i I A i = { x >i I : x A i } Beispiel: XA = { c } Die Vereinigung einer Familie von Mengen A ist die Menge jener Elemente, die in mindestens einem A i vorkommen. WA = W i I A i = { x?i I : x A i } Beispiel: WA = { a, b, c, d } Mengenlehre 12

13 Eigenschaften von Familien Zwei Mengen heissen disjunkt, wenn ihr Durchschnitt leer ist. Eine Familie von Mengen heisst disjunkt, wenn der Durchschnitt aller Mengen der Familie leer ist. XA = A Eine Familie von Mengen heisst paarweise disjunkt, wenn der Durchschnitt von jedem Paar von Mengen leer ist. >i, j I : i <> j / A i b A j = A Mengenlehre 13

Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2015 Mengen und Relationen

Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2015 Mengen und Relationen Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2015 Mengen und Relationen Susanna Pohl Vorkurs Mathematik TU Dortmund 10.03.2015 Mengen und Relationen Mengen Motivation Beschreibung von Mengen Mengenoperationen

Mehr

Einführung in die Informatik 2

Einführung in die Informatik 2 Einführung in die Informatik 2 Mathematische Grundbegriffe Sven Kosub AG Algorithmik/Theorie komplexer Systeme Universität Konstanz E 202 Sven.Kosub@uni-konstanz.de Sprechstunde: Freitag, 12:30-14:00 Uhr,

Mehr

Mengen (siehe Teschl/Teschl 1.2)

Mengen (siehe Teschl/Teschl 1.2) Mengen (siehe Teschl/Teschl 1.2) Denition nach Georg Cantor (1895): Eine Menge ist eine Zusammenfassung von bestimmten und wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem

Mehr

Eine Menge A ist die Zusammenfassung gleichartiger Elemente zu einer Gesamtheit. Eine Menge kann definiert werden durch

Eine Menge A ist die Zusammenfassung gleichartiger Elemente zu einer Gesamtheit. Eine Menge kann definiert werden durch 1.2 Mengenlehre Grundlagen der Mathematik 1 1.2 Mengenlehre Definition: Menge, Element, Variablenraum Eine Menge A ist die Zusammenfassung gleichartiger Elemente zu einer Gesamtheit. Eine Menge kann definiert

Mehr

2.1 Beschreibung von Mengen 2.2 Formale Logik 2.3 Beziehungen zwischen Mengen 2.4 Mengenoperationen

2.1 Beschreibung von Mengen 2.2 Formale Logik 2.3 Beziehungen zwischen Mengen 2.4 Mengenoperationen 2. Mengen 2.1 Beschreibung von Mengen 2.2 Formale Logik 2.3 Beziehungen zischen Mengen 2.4 Mengenoperationen 2. Mengen GM 2-1 Wozu Mengen? In der Mathematik Au dem Mengenbegri kann man die gesamte Mathematik

Mehr

Euler-Venn-Diagramme

Euler-Venn-Diagramme Euler-Venn-Diagramme Mengendiagramme dienen der graphischen Veranschaulichung der Mengenlehre. 1-E1 1-E2 Mathematische Symbole c leere Menge Folge-Pfeil Äquivalenz-Pfeil Existenzquantor, x für (mindestens)

Mehr

2 Mengen und Abbildungen

2 Mengen und Abbildungen 2.1 Mengen Unter einer Menge verstehen wir eine Zusammenfassung von Objekten zu einem Ganzen. Die Objekte heiÿen Elemente. Ist M eine Menge und x ein Element von M so schreiben wir x M. Wir sagen auch:

Mehr

Mathematik 1 für Informatik Inhalt Grundbegrie

Mathematik 1 für Informatik Inhalt Grundbegrie Mathematik 1 für Informatik Inhalt Grundbegrie Mengen, speziell Zahlenmengen Aussagenlogik, Beweistechniken Funktionen, Relationen Kombinatorik Abzählverfahren Binomialkoezienten Komplexität von Algorithmen

Mehr

Grundlagen der Mengenlehre

Grundlagen der Mengenlehre mathe plus Grundlagen der Mengenlehre Seite 1 1 Grundbegriffe Grundlagen der Mengenlehre Def 1 Mengenbegriff nach Georg Cantor (1845-1918) Eine Menge ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener

Mehr

Mathematik 1, Teil B

Mathematik 1, Teil B FH Oldenburg/Ostfriesland/Wilhelmshaven Fachb. Technik, Abt. Elektrotechnik u. Informatik Prof. Dr. J. Wiebe www.et-inf.fho-emden.de/~wiebe Mathematik 1, Teil B Inhalt: 1.) Grundbegriffe der Mengenlehre

Mehr

Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik Mengen und Mengenoperationen

Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik Mengen und Mengenoperationen Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik Mengen und Mengenoperationen Dozentin: Wiebke Petersen 1. Foliensatz Wiebke Petersen math. Grundlagen 6 Frage Was ist eine Menge? 1 Minute zum Nachdenken

Mehr

Mathematik für Techniker

Mathematik für Techniker Siegfried Völkel u.a. Mathematik für Techniker 7., neu bearbeitete und erweiterte uflage 16 1 Rechenoperationen Prinzip der Mengenbildung Wenn eine ussageform für die Objekte eines Grundbereichs vorliegt,

Mehr

Grundkurs Semantik. Sitzung 3: Mengenlehre. Andrew Murphy

Grundkurs Semantik. Sitzung 3: Mengenlehre. Andrew Murphy Grundkurs Semantik Sitzung 3: Mengenlehre Andrew Murphy andrew.murphy@uni-leizpig.de Grundkurs Semantik HU Berlin, Sommersemester 2015 http://www.uni-leipzig.de/ murphy/semantik15 15. Mai 2015 Basiert

Mehr

Die Sprache der Mathematik

Die Sprache der Mathematik Die Sprache der Mathematik Bernhard Ganter Institut für Algebra TU Dresden D-01062 Dresden bernhard.ganter@tu-dresden.de Diese Lehrveranstaltung...... ist Pflicht für alle Studenten der Informatik und

Mehr

Brückenkurs Mathematik

Brückenkurs Mathematik Brückenkurs Mathematik 6.10. - 17.10. Vorlesung 1 Logik,, Doris Bohnet Universität Hamburg - Department Mathematik Mo 6.10.2008 Zeitplan Tagesablauf: 9:15-11:45 Vorlesung Audimax I 13:00-14:30 Übung Übungsräume

Mehr

Lineare Algebra 1. Detlev W. Hoffmann. WS 2013/14, TU Dortmund

Lineare Algebra 1. Detlev W. Hoffmann. WS 2013/14, TU Dortmund Lineare Algebra 1 Detlev W. Hoffmann WS 2013/14, TU Dortmund 1 Mengen und Zahlen 1.1 Mengen und Abbildungen Eine Menge ist eine Zusammenfassung wohlunterscheidbarer Objekte unserer Anschauung/unseres Denkens/unserer

Mehr

Vorlesung. Einführung in die mathematische Sprache und naive Mengenlehre

Vorlesung. Einführung in die mathematische Sprache und naive Mengenlehre Vorlesung Einführung in die mathematische Sprache und naive Mengenlehre Allgemeines RUD26 Erwin-Schrödinger-Zentrum (ESZ) RUD25 Johann-von-Neumann-Haus Fachschaft Menge aller Studenten eines Institutes

Mehr

ELEMENTARE DISKRETE MATHEMATIK Kapitel 4: Mächtigkeit von Mengen

ELEMENTARE DISKRETE MATHEMATIK Kapitel 4: Mächtigkeit von Mengen ELEMENTARE DISKRETE MATHEMATIK Kapitel 4: Mächtigkeit von Mengen MAA.01011UB MAA.01011PH Vorlesung mit Übung im WS 2016/17 Christoph GRUBER Günter LETTL Institut für Mathematik und wissenschaftliches Rechnen

Mehr

Naive Mengenlehre. ABER: Was ist eine Menge?

Naive Mengenlehre. ABER: Was ist eine Menge? Naive Mengenlehre Im Wörterbuch kann man unter dem Begriff Menge etwa die folgenden Bestimmungen finden : Ansammlung, Konglomerat, Haufen, Klasse, Quantität, Bündel,... usf. Die Mengenlehre ist der (gegenwärtig)

Mehr

Im gesamten Kapitel sei Ω eine nichtleere Menge. Wir bezeichnen die Potenzmenge

Im gesamten Kapitel sei Ω eine nichtleere Menge. Wir bezeichnen die Potenzmenge 1 Mengensysteme Ein Mengensystem ist eine Familie von Teilmengen einer Grundmenge und damit eine Teilmenge der Potenzmenge der Grundmenge. In diesem Kapitel untersuchen wir Mengensysteme, die unter bestimmten

Mehr

Logik, Mengen und Abbildungen

Logik, Mengen und Abbildungen Kapitel 1 Logik, Mengen und bbildungen Josef Leydold Mathematik für VW WS 2016/17 1 Logik, Mengen und bbildungen 1 / 26 ussage Um Mathematik betreiben zu können, sind ein paar Grundkenntnisse der mathematischen

Mehr

Mengenlehre gibt es seit den achtziger Jahren des 19. Jahrhunderts. Sie wurde von

Mengenlehre gibt es seit den achtziger Jahren des 19. Jahrhunderts. Sie wurde von Grundbegriffe der Mengenlehre 2 Mengenlehre gibt es seit den achtziger Jahren des 19. Jahrhunderts. Sie wurde von Georg Cantor begründet. Der Begriffsapparat der Mengenlehre hat sich als so nützlich für

Mehr

WS 2009/10. Diskrete Strukturen

WS 2009/10. Diskrete Strukturen WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910

Mehr

1 Mengen. 1.1 Elementare Definitionen. Einige mathematische Konzepte

1 Mengen. 1.1 Elementare Definitionen. Einige mathematische Konzepte Einige mathematische Konzepte 1 Mengen 1.1 Elementare Definitionen Mengendefinition Die elementarsten mathematischen Objekte sind Mengen. Für unsere Zwecke ausreichend ist die ursprüngliche Mengendefinition

Mehr

3 Vom Zählen zur Induktion

3 Vom Zählen zur Induktion 7 3 Vom Zählen zur Induktion 3.1 Natürliche Zahlen und Induktions-Prinzip Seit unserer Kindheit kennen wir die Zahlen 1,, 3, 4, usw. Diese Zahlen gebrauchen wir zum Zählen, und sie sind uns so vertraut,

Mehr

Unabhängigkeit KAPITEL 4

Unabhängigkeit KAPITEL 4 KAPITEL 4 Unabhängigkeit 4.1. Unabhängigkeit von Ereignissen Wir stellen uns vor, dass zwei Personen jeweils eine Münze werfen. In vielen Fällen kann man annehmen, dass die eine Münze die andere nicht

Mehr

Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik

Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik Centrum für Informations- und Sprachverarbeitung (CIS) 10. Juni 2014 Table of Contents 1 2 Äquivalenz Der Begriff der Äquivalenz verallgemeinert den Begriff der Gleichheit. Er beinhaltet in einem zu präzisierenden

Mehr

Relationen und Partitionen

Relationen und Partitionen Relationen und Partitionen Ein Vortrag im Rahmen des mathematischen Vorkurses der Fachschaft MathPhys von Fabian Grünig Fragen, Anmerkungen und Korrekturen an fabian@mathphys.fsk.uni-heidelberg.de Inhaltsverzeichnis

Mehr

(Man sagt dafür auch, dass die Teilmenge U bezüglich der Gruppenoperationen abgeschlossen sein muss.)

(Man sagt dafür auch, dass die Teilmenge U bezüglich der Gruppenoperationen abgeschlossen sein muss.) 3. Untergruppen 19 3. Untergruppen Nachdem wir nun einige grundlegende Gruppen kennengelernt haben, wollen wir in diesem Kapitel eine einfache Möglichkeit untersuchen, mit der man aus bereits bekannten

Mehr

Mathematik für Informatiker/Informatikerinnen 2

Mathematik für Informatiker/Informatikerinnen 2 Mathematik für Informatiker/Informatikerinnen 2 Koordinaten: Peter Buchholz Informatik IV Praktische Informatik Modellierung und Simulation Tel: 755 4746 Email: peter.buchholz@udo.edu OH 16, R 216 Sprechstunde

Mehr

2. Mengen. festgelegt werden, zum Beispiel M = { x x ist eine Grundfarbe }.

2. Mengen. festgelegt werden, zum Beispiel M = { x x ist eine Grundfarbe }. 2. Mengen Die Menge ist eines der wichtigsten und grundlegenden Konzepte der Mathematik. Man fasst im Rahmen der Mengenlehre einzelne Elemente (z. B. Zahlen) zu einer Menge zusammen. Eine Menge muss kein

Mehr

Normalformen boolescher Funktionen

Normalformen boolescher Funktionen Normalformen boolescher Funktionen Jeder boolesche Ausdruck kann durch (äquivalente) Umformungen in gewisse Normalformen gebracht werden! Disjunktive Normalform (DNF) und Vollkonjunktion: Eine Vollkonjunktion

Mehr

1 Sprechweisen und Symbole der Mathematik

1 Sprechweisen und Symbole der Mathematik 1 Sprechweisen und Symbole der Mathematik Übersicht 1.1 Junktoren......................................................... 1 1.2 Quantoren......................................................... 4 1.3

Mehr

4 Elementare Mengentheorie

4 Elementare Mengentheorie 4 Elementare Mengentheorie 4 Elementare Mengentheorie 4.1 Mengen [ Partee 3-11, McCawley 135-140, Chierchia 529-531 ] Die Mengentheorie ist entwickelt worden, um eine asis für den ufbau der gesamten Mathematik

Mehr

Wie kann man beweisen, dass (H, ) eine Gruppe ist?

Wie kann man beweisen, dass (H, ) eine Gruppe ist? Wie kann man beweisen, dass (H, ) eine Gruppe ist? Wie kann man beweisen, dass (H, ) eine Gruppe ist? (zb wenn die Multiplikation mit Hilfe einer Tabelle gegeben ist) Wie kann man beweisen, dass (H, )

Mehr

WS 2009/10. Diskrete Strukturen

WS 2009/10. Diskrete Strukturen WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910

Mehr

2. Vorlesung. Die Theorie der schwarz-weissen Ketten.

2. Vorlesung. Die Theorie der schwarz-weissen Ketten. 2. Vorlesung. Die Theorie der schwarz-weissen Ketten. Die Theorie der schwarzen Steinchen haben wir jetzt halbwegs vertanden. Statt mit schwarzen Steinen wie die Griechen, wollen wir jetzt mit schwarzen

Mehr

1 Mathematische Grundlagen

1 Mathematische Grundlagen Mathematische Grundlagen - 1-1 Mathematische Grundlagen Der Begriff der Menge ist einer der grundlegenden Begriffe in der Mathematik. Mengen dienen dazu, Dinge oder Objekte zu einer Einheit zusammenzufassen.

Mehr

Einführung in die Mengenlehre

Einführung in die Mengenlehre Einführung in die Mengenlehre Kevin Kaatz, Lern-Online.net im Mai 2009 Lern-Online.net Mathematik-Portal 1 Inhaltsverzeichnis 1 Vorwort und 3 1.1 Vorwort und Literaturempfehlungen............................

Mehr

Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie

Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie KAPITEL 1 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie 1. Zufallsexperimente, Ausgänge, Grundmenge In der Stochastik betrachten wir Zufallsexperimente. Die Ausgänge eines Zufallsexperiments fassen wir

Mehr

Logik und Mengenlehre. ... wenn man doch nur vernünftig mit Datenbanken umgehen können will?

Logik und Mengenlehre. ... wenn man doch nur vernünftig mit Datenbanken umgehen können will? Mengenlehre und Logik: iederholung Repetitorium: Grundlagen von Mengenlehre und Logik 2002 Prof. Dr. Rainer Manthey Informationssysteme 1 arum??? arum um alles in der elt muss man sich mit herumschlagen,......

Mehr

Axiomatische Beschreibung der ganzen Zahlen

Axiomatische Beschreibung der ganzen Zahlen Axiomatische Beschreibung der ganzen Zahlen Peter Feigl JKU Linz peter.feigl@students.jku.at 0055282 Claudia Hemmelmeir JKU Linz darja@gmx.at 0355147 Zusammenfassung Wir möchten in diesem Artikel die ganzen

Mehr

Forschungsstatistik I

Forschungsstatistik I Prof. Dr. G. Meinhardt 2. Stock, Nordflügel R. 02-429 (Persike) R. 02-431 (Meinhardt) Sprechstunde jederzeit nach Vereinbarung Forschungsstatistik I Dr. Malte Persike persike@uni-mainz.de WS 2008/2009

Mehr

Topologische Räume und stetige Abbildungen Teil 2

Topologische Räume und stetige Abbildungen Teil 2 TU Dortmund Mathematik Fakultät Proseminar zur Linearen Algebra Ausarbeitung zum Thema Topologische Räume und stetige Abbildungen Teil 2 Anna Kwasniok Dozent: Prof. Dr. L. Schwachhöfer Vorstellung des

Mehr

2 Mengenlehre. Definition: Unter einer Menge M versteht man die Zusammenfassung von unterscheidbaren Objekten (den Elementen) zu einem Ganzen.

2 Mengenlehre. Definition: Unter einer Menge M versteht man die Zusammenfassung von unterscheidbaren Objekten (den Elementen) zu einem Ganzen. Mengenlehre 2 Mengenlehre Definition: Unter einer Menge M versteht man die Zusammenfassung von unterscheidbaren Objekten (den Elementen) zu einem Ganzen. Üblicherweise werden Mengen mit Großbuchstaben

Mehr

Analysis I - Stetige Funktionen

Analysis I - Stetige Funktionen Kompaktheit und January 13, 2009 Kompaktheit und Funktionengrenzwert Definition Seien X, d X ) und Y, d Y ) metrische Räume. Desweiteren seien E eine Teilmenge von X, f : E Y eine Funktion und p ein Häufungspunkt

Mehr

1 Axiomatische Charakterisierung der reellen. 3 Die natürlichen, die ganzen und die rationalen. 4 Das Vollständigkeitsaxiom und irrationale

1 Axiomatische Charakterisierung der reellen. 3 Die natürlichen, die ganzen und die rationalen. 4 Das Vollständigkeitsaxiom und irrationale Kapitel I Reelle Zahlen 1 Axiomatische Charakterisierung der reellen Zahlen R 2 Angeordnete Körper 3 Die natürlichen, die ganzen und die rationalen Zahlen 4 Das Vollständigkeitsaxiom und irrationale Zahlen

Mehr

Theoretische Informatik

Theoretische Informatik Theoretische Informatik für die Studiengänge Ingenieur-Informatik berufsbegleitendes Studium Lehramt Informatik (Sekundar- und Berufsschule) http://theo.cs.uni-magdeburg.de/lehre04s/ Lehrbeauftragter:

Mehr

I. Aussagenlogik. Aussagenlogik untersucht Verknüpfungen wie "und", "oder", "nicht", "wenn... dann" zwischen atomaren und komplexen Sätzen.

I. Aussagenlogik. Aussagenlogik untersucht Verknüpfungen wie und, oder, nicht, wenn... dann zwischen atomaren und komplexen Sätzen. I. Aussagenlogik 2.1 Syntax Aussagenlogik untersucht Verknüpfungen wie "und", "oder", "nicht", "wenn... dann" zwischen atomaren und komplexen Sätzen. Sätze selbst sind entweder wahr oder falsch. Ansonsten

Mehr

Aufgabe - Fortsetzung

Aufgabe - Fortsetzung Aufgabe - Fortsetzung NF: Nicht-Formel F: Formel A: Aussage x :( y : Q(x, y) R(x, y)) z :(Q(z, x) R(y, z)) y :(R(x, y) Q(x, z)) x :( P(x) P(f (a))) P(x) x : P(x) x y :((P(y) Q(x, y)) P(x)) x x : Q(x, x)

Mehr

Halbgruppen, Gruppen, Ringe

Halbgruppen, Gruppen, Ringe Halbgruppen-1 Elementare Zahlentheorie Einige Bezeichnungen Halbgruppen, Gruppen, Ringe Die Menge N 0 der natürlichen Zahlen 0, 1, 2, Die Menge N = N 1 der von Null verschiedenen natürlichen Zahlen Die

Mehr

Brückenkurs Mathematik, THM Friedberg, 15 19.9.2014

Brückenkurs Mathematik, THM Friedberg, 15 19.9.2014 egelsammlung mb2014 THM Friedberg von 6 16.08.2014 15:04 Brückenkurs Mathematik, THM Friedberg, 15 19.9.2014 Sammlung von Rechenregeln, extrahiert aus dem Lehrbuch: Erhard Cramer, Johanna Neslehová: Vorkurs

Mehr

5. Aussagenlogik und Schaltalgebra

5. Aussagenlogik und Schaltalgebra 5. Aussagenlogik und Schaltalgebra Aussageformen und Aussagenlogik Boolesche Terme und Boolesche Funktionen Boolesche Algebra Schaltalgebra Schaltnetze und Schaltwerke R. Der 1 Aussagen Information oft

Mehr

Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik

Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik Mengen und Mengenoperationen (Teil II) Centrum für Informations- und Sprachverarbeitung (CIS) 2. Juni 2014 Table of Contents 1 2 3 Definition Mengenfamilie Eine Menge, deren sämtliche Elemente selbst wiederum

Mehr

2. Grundlegende Strukturen 2.1 Wertebereiche beschrieben durch Mengen

2. Grundlegende Strukturen 2.1 Wertebereiche beschrieben durch Mengen 2. Grundlegende Strukturen 2.1 Wertebereiche beschrieben durch Mengen In der Modellierung von Systemen, Aufgaben, Lösungen kommen Objekte unterschiedlicher Art und Zusammensetzung vor. Für Teile des Modells

Mehr

Mengenlehre. Spezielle Mengen

Mengenlehre. Spezielle Mengen Mengenlehre Die Mengenlehre ist wie die Logik eine sehr wichtige mathematische Grundlage der Informatik und ist wie wir sehen werden auch eng verbunden mit dieser. Eine Menge ist eine Zusammenfassung von

Mehr

Logik für Informatiker

Logik für Informatiker Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil 3 30.04.2012 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Letztes Mal Aussagenlogik Syntax: welche Formeln? Semantik:

Mehr

Mathematische Logik. Grundlagen, Aussagenlogik, Semantische Äquivalenz. Felix Hensel. February 21, 2012

Mathematische Logik. Grundlagen, Aussagenlogik, Semantische Äquivalenz. Felix Hensel. February 21, 2012 Mathematische Logik Grundlagen, Aussagenlogik, Semantische Äquivalenz Felix Hensel February 21, 2012 Dies ist im Wesentlichen eine Zusammenfassung der Abschnitte 1.1-1.3 aus Wolfgang Rautenberg s Buch

Mehr

Mengen und Abbildungen

Mengen und Abbildungen Mengen und Abbildungen Der Mengenbegriff Durchschnitt, Vereinigung, Differenzmenge Kartesisches Produkt Abbildungen Prinzip der kleinsten natürlichen Zahl Vollständige Induktion Mengen und Abbildungen

Mehr

Logik, Mengen und Zahlen

Logik, Mengen und Zahlen Zahlenmengen Herbert Paukert. 1 Logik, Mengen und Zahlen Version 2.0 Herbert Paukert Logik und Mengenlehre [ 02 ] Mathematische Beweisverfahren [ 12 ] Natürliche und ganze Zahlen [ 15 ] Teilbarkeit der

Mehr

1 Algebraische Strukturen

1 Algebraische Strukturen Prof. Dr. Rolf Socher, FB Technik 1 1 Algebraische Strukturen In der Mathematik beschäftigt man sich oft mit Mengen, auf denen bestimmte Operationen definiert sind. Es kommt oft vor, dass diese Operationen

Mehr

Das Ziegenproblem. Nils Schwinning und Christian Schöler Juni 2010

Das Ziegenproblem. Nils Schwinning und Christian Schöler  Juni 2010 Das Ziegenproblem Nils Schwinning und Christian Schöler http://www.esaga.uni-due.de/ Juni 2010 Die Formulierung Obwohl das sogenannte Ziegenproblem in der Mathematik allgegenwärtig erscheint, wurde es

Mehr

1. Aufgabe [2 Punkte] Seien X, Y zwei nicht-leere Mengen und A(x, y) eine Aussageform. Betrachten Sie die folgenden Aussagen:

1. Aufgabe [2 Punkte] Seien X, Y zwei nicht-leere Mengen und A(x, y) eine Aussageform. Betrachten Sie die folgenden Aussagen: Klausur zur Analysis I svorschläge Universität Regensburg, Wintersemester 013/14 Prof. Dr. Bernd Ammann / Dr. Mihaela Pilca 0.0.014, Bearbeitungszeit: 3 Stunden 1. Aufgabe [ Punte] Seien X, Y zwei nicht-leere

Mehr

Alphabet, formale Sprache

Alphabet, formale Sprache n Alphabet Alphabet, formale Sprache l nichtleere endliche Menge von Zeichen ( Buchstaben, Symbole) n Wort über einem Alphabet l endliche Folge von Buchstaben, die auch leer sein kann ( ε leere Wort) l

Mehr

Diskrete Mathematik. Marcel Erné Fakultät für Mathematik und Physik

Diskrete Mathematik. Marcel Erné Fakultät für Mathematik und Physik Diskrete Mathematik Marcel Erné Fakultät für Mathematik und Physik Vorlesung für Studierende des Bachelor- und Master-Studienganges Mathematik Sommersemester 2011 0. Natürliche Zahlen und endliche Mengen

Mehr

Analysis 1. Andreas Kriegl , WS 03/04, Mo-Do , Gr.Hs.Experimentalphysik

Analysis 1. Andreas Kriegl , WS 03/04, Mo-Do , Gr.Hs.Experimentalphysik Analysis Andreas Kriegl 80377, WS 03/04, Mo-Do. 7 55-8 50, Gr.Hs.Experimentalphysik f x 0 Ε f x 0 f B f f x 0 Ε x 0 x 0 B x 0 Dieses Skriptum deckt den Inhalt der gleichnamigen Vorlesung, welche ich im

Mehr

Rudolf Brinkmann Seite 1 30.04.2008

Rudolf Brinkmann Seite 1 30.04.2008 Rudolf Brinkmann Seite 1 30.04.2008 Der Mengenbegriff und Darstellung von Mengen Eine Menge, ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung und unseres Denkens welche

Mehr

1. Einleitung wichtige Begriffe

1. Einleitung wichtige Begriffe 1. Einleitung wichtige Begriffe Da sich meine besondere Lernleistung mit dem graziösen Färben (bzw. Nummerieren) von Graphen (speziell von Bäumen), einem Teilgebiet der Graphentheorie, beschäftigt, und

Mehr

Reelle Zahlen, Gleichungen und Ungleichungen

Reelle Zahlen, Gleichungen und Ungleichungen 9 2. Vorlesung Reelle Zahlen, Gleichungen und Ungleichungen 4 Zahlenmengen und der Körper der reellen Zahlen 4.1 Zahlenmengen * Die Menge der natürlichen Zahlen N = {0,1,2,3,...}. * Die Menge der ganzen

Mehr

EINFÜHRUNG IN DIE THEORETISCHE INFORMATIK 1. ALPHABETE, WÖRTER, SPRACHEN. Prof. Dr. Klaus Ambos-Spies. Sommersemester 2011

EINFÜHRUNG IN DIE THEORETISCHE INFORMATIK 1. ALPHABETE, WÖRTER, SPRACHEN. Prof. Dr. Klaus Ambos-Spies. Sommersemester 2011 EINFÜHRUNG IN DIE THEORETISCHE INFORMATIK Prof. Dr. Klaus Ambos-Spies Sommersemester 2011 1. ALPHABETE, WÖRTER, SPRACHEN Theoretische Informatik (SoSe 2011) 1. Alphabete, Wörter, Sprachen 1 / 25 Vorbemerkung:

Mehr

Mathematik III. Produkt-Präringe

Mathematik III. Produkt-Präringe Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2010/2011 Mathematik III Vorlesung 66 Es ist unser Ziel zu zeigen, dass auf der Produktmenge von Maßräumen unter recht allgemeinen Voraussetzungen ein Maß definiert ist,

Mehr

Grundlagen der Theoretischen Informatik

Grundlagen der Theoretischen Informatik FH Wedel Prof. Dr. Sebastian Iwanowski GTI22 Folie 1 Grundlagen der Theoretischen Informatik Sebastian Iwanowski FH Wedel Kap. 2: Logik, Teil 2.2: Prädikatenlogik FH Wedel Prof. Dr. Sebastian Iwanowski

Mehr

Der Kalkül der Mengen 1 / 58

Der Kalkül der Mengen 1 / 58 Der Kalkül der Mengen 1 / 58 Präzise beschreiben und argumentieren: Aber wie? In welcher Sprache sollten wir versuchen, komplexe Sachverhalte vollständig und eindeutig zu beschreiben? Natürliche Sprachen

Mehr

Gibt es verschiedene Arten unendlich? Dieter Wolke

Gibt es verschiedene Arten unendlich? Dieter Wolke Gibt es verschiedene Arten unendlich? Dieter Wolke 1 Zuerst zum Gebrauch des Wortes unendlich Es wird in der Mathematik in zwei unterschiedlichen Bedeutungen benutzt Erstens im Zusammenhang mit Funktionen

Mehr

5. Gruppen, Ringe, Körper

5. Gruppen, Ringe, Körper 5. Gruppen, Ringe, Körper 5.1. Gruppen Die Gruppentheorie, als mathematische Disziplin im 19. Jahrhundert entstanden, ist ein Wegbereiter der modernen Mathematik. Beispielsweise folgt die Gruppe, die aus

Mehr

Klausur Formale Systeme Fakultät für Informatik WS 2009/2010. Prof. Dr. Bernhard Beckert. 18. Februar 2010

Klausur Formale Systeme Fakultät für Informatik WS 2009/2010. Prof. Dr. Bernhard Beckert. 18. Februar 2010 Klausur Formale Systeme Fakultät für Informatik Name: Mustermann Vorname: Peter Matrikel-Nr.: 0000000 Klausur-ID: 0000 WS 2009/2010 Prof. Dr. Bernhard Beckert 18. Februar 2010 A1 (15) A2 (10) A3 (10) A4

Mehr

1 Elemente der Wahrscheinlichkeitstheorie

1 Elemente der Wahrscheinlichkeitstheorie H.-J. Starkloff Unendlichdimensionale Stochastik Kap. 01 11. Oktober 2010 1 1 Elemente der Wahrscheinlichkeitstheorie 1.1 Messbare Räume Gegeben seien eine nichtleere Menge Ω und eine Menge A von Teilmengen

Mehr

Zahlen und elementares Rechnen

Zahlen und elementares Rechnen und elementares Rechnen Christian Serpé Universität Münster 7. September 2011 Christian Serpé (Universität Münster) und elementares Rechnen 7. September 2011 1 / 51 Gliederung 1 2 Elementares Rechnen 3

Mehr

Automaten und Formale Sprachen

Automaten und Formale Sprachen Automaten und Formale Sprachen Prof. Dr. Dietrich Kuske FG Theoretische Informatik, TU Ilmenau Wintersemester 2011/12 WS 11/12 1 Organisatorisches zur Vorlesung Informationen, aktuelle Version der Folien

Mehr

Handout zu Beweistechniken

Handout zu Beweistechniken Handout zu Beweistechniken erstellt vom Lernzentrum Informatik auf Basis von [Kre13],[Bün] Inhaltsverzeichnis 1 Was ist ein Beweis? 2 2 Was ist Vorraussetzung, was ist Behauptung? 2 3 Beweisarten 3 3.1

Mehr

Venndiagramm, Grundmenge und leere Menge

Venndiagramm, Grundmenge und leere Menge Venndiagramm, Grundmenge und leere Menge In späteren Kapitel wird manchmal auf die Mengenlehre Bezug genommen. Deshalb sollen hier die wichtigsten Grundlagen und Definitionen dieser Disziplin kurz zusammengefasst

Mehr

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen Vorlesung Funktionen/Abbildungen 1 Grundlagen Hinweis: In dieser Vorlesung werden Funktionen und Abbildungen synonym verwendet. In der Schule wird eine Funktion häufig als eindeutige Zuordnung definiert.

Mehr

Kapitel 1.3. Normalformen aussagenlogischer Formeln und die Darstellbarkeit Boolescher Funktionen durch aussagenlogische Formeln

Kapitel 1.3. Normalformen aussagenlogischer Formeln und die Darstellbarkeit Boolescher Funktionen durch aussagenlogische Formeln Kapitel 1.3 Normalformen aussagenlogischer Formeln und die Darstellbarkeit Boolescher Funktionen durch aussagenlogische Formeln Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.3: Normalformen 1/ 29 Übersicht

Mehr

Aussagenlogik. Aussagen und Aussagenverknüpfungen

Aussagenlogik. Aussagen und Aussagenverknüpfungen Aussagenlogik Aussagen und Aussagenverknüpfungen Aussagen sind Sätze, von denen sich sinnvollerweise sagen läßt, sie seien wahr oder falsch. Jede Aussage besitzt also einen von zwei möglichen Wahrheitswerten,

Mehr

Kapitel 3. Natürliche Zahlen und vollständige Induktion

Kapitel 3. Natürliche Zahlen und vollständige Induktion Kapitel 3 Natürliche Zahlen und vollständige Induktion In Kapitel 1 haben wir den direkten Beweis, den modus ponens, kennen gelernt, der durch die Tautologie ( A (A = B) ) = B gegeben ist Dabei war B eine

Mehr

Mathe I. Jan-Peter Hohloch WS 11/12

Mathe I. Jan-Peter Hohloch WS 11/12 Mathe I Jan-Peter Hohloch WS 11/12 Inhaltsverzeichnis 1 Logik 10 1.1 Aussagenlogik.................................. 10 1.2 Die wichtigsten Junktoren........................... 11 1.2.1 Negation................................

Mehr

Formale Grundlagen 2008W. Vorlesung im 2008S Institut für Algebra Johannes Kepler Universität Linz

Formale Grundlagen 2008W. Vorlesung im 2008S  Institut für Algebra Johannes Kepler Universität Linz Formale Grundlagen Institut für Algebra Johannes Kepler Universität Linz Vorlesung im 2008S http://www.algebra.uni-linz.ac.at/students/win/fg Inhalt Definition Sei A eine Menge und ɛ A A A eine zweistellige

Mehr

ALGEBRA UND MENGENLEHRE

ALGEBRA UND MENGENLEHRE ALGEBRA UND MENGENLEHRE EINE EINFÜHRUNG GRUNDLAGEN DER ALGEBRA 1 VARIABLE UND TERME In der Algebra werden für Grössen, mit welchen gerechnet wird, verallgemeinernd Buchstaben eingesetzt. Diese Platzhalter

Mehr

Analysis I: Übungsblatt 1 Lösungen

Analysis I: Übungsblatt 1 Lösungen Analysis I: Übungsblatt 1 Lösungen Verständnisfragen 1. Was ist Mathematik? Mathematik ist eine Wissenschaft, die selbstgeschaffene, abstrakte Strukturen auf ihre Eigenschaften und Muster hin untersucht.

Mehr

ist ein regulärer Ausdruck.

ist ein regulärer Ausdruck. Dr. Sebastian Bab WiSe 12/13 Theoretische Grlagen der Informatik für TI Termin: VL 11 vom 22.11.2012 Reguläre Ausdrücke Reguläre Ausdrücke sind eine lesbarere Notation für Sprachen Denition 1 (Regulärer

Mehr

Kapitel 4. Aussagenlogik. 4.1 Boolesche Algebren

Kapitel 4. Aussagenlogik. 4.1 Boolesche Algebren Kapitel 4 Aussagenlogik Aussagenlogik war das erste logische System, das als mathematische Logik formuliert werden konnte (George Boole, Laws of Thought, 1854). Aussagenlogik ist die einfachste Logik und

Mehr

Klausur Formale Systeme Fakultät für Informatik 2. Klausur zum WS 2010/2011

Klausur Formale Systeme Fakultät für Informatik 2. Klausur zum WS 2010/2011 Fakultät für Informatik 2. Klausur zum WS 2010/2011 Prof. Dr. Bernhard Beckert 08. April 2011 Vorname: Matrikel-Nr.: Platz: Klausur-ID: **Platz** **Id** Die Bearbeitungszeit beträgt 60 Minuten. A1 (17)

Mehr

Weitere Beweistechniken und aussagenlogische Modellierung

Weitere Beweistechniken und aussagenlogische Modellierung Weitere Beweistechniken und aussagenlogische Modellierung Vorlesung Logik in der Informatik, HU Berlin 2. Übungsstunde Aussagenlogische Modellierung Die Mensa versucht ständig, ihr Angebot an die Wünsche

Mehr

Vorlesung. Einführung in die mathematische Sprache und naive Mengenlehre

Vorlesung. Einführung in die mathematische Sprache und naive Mengenlehre Vorlesung Einführung in die mthemtische Sprche und nive Mengenlehre 1 Allgemeines RUD26 Erwin-Schrödinger-Zentrum (ESZ) RUD25 Johnn-von-Neumnn-Hus Fchschft Menge ller Studenten eines Institutes Fchschftsrt

Mehr

Semantik von Formeln und Sequenzen

Semantik von Formeln und Sequenzen Semantik von Formeln und Sequenzen 33 Grundidee der Verwendung von Logik im Software Entwurf Syntax: Menge von Formeln = Axiome Ax K ist beweisbar Formel ϕ beschreiben Korrektkeit Vollständigkeit beschreibt

Mehr

der einzelnen Aussagen den Wahrheitswert der zusammengesetzten Aussage falsch falsch falsch falsch wahr falsch wahr falsch falsch wahr wahr wahr

der einzelnen Aussagen den Wahrheitswert der zusammengesetzten Aussage falsch falsch falsch falsch wahr falsch wahr falsch falsch wahr wahr wahr Kapitel 2 Grundbegriffe der Logik 2.1 Aussagen und deren Verknüpfungen Eine Aussage wie 4711 ist durch 3 teilbar oder 2 ist eine Primzahl, die nur wahr oder falsch sein kann, heißt logische Aussage. Ein

Mehr

3. Zusammenhang. 22 Andreas Gathmann

3. Zusammenhang. 22 Andreas Gathmann 22 Andreas Gathmann 3. Zusammenhang Eine der anschaulichsten Eigenschaften eines topologischen Raumes ist wahrscheinlich, ob er zusammenhängend ist oder aus mehreren Teilen besteht. Wir wollen dieses Konzept

Mehr

Induktive Beweise und rekursive Definitionen

Induktive Beweise und rekursive Definitionen Induktive Beweise und rekursive Definitionen Vorlesung Logik in der Informatik, HU Berlin 1. Übungsstunde Beweis durch vollständige Induktion über N Aufgabe 1 Zeige, dass für alle n N gilt: n 2 i = 2 n+1

Mehr

Grundlagen Theoretischer Informatik I SoSe 2011 in Trier. Henning Fernau Universität Trier fernau@uni-trier.de

Grundlagen Theoretischer Informatik I SoSe 2011 in Trier. Henning Fernau Universität Trier fernau@uni-trier.de Grundlagen Theoretischer Informatik I SoSe 2011 in Trier Henning Fernau Universität Trier fernau@uni-trier.de 1 Grundlagen Theoretischer Informatik I Gesamtübersicht Organisatorisches; Einführung Logik

Mehr

Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14. Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse

Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14. Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 MATHEMATIK Dipl.-Math. Kevin Everard Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14 Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse

Mehr