Technische Universität Chemnitz. Skript zur Vorlesung. Analysis. gelesen von Prof. Dr. A. Böttcher (WS 2010/11, SS 2011) von A. T.

Transkript

1 Technische Universität Chemnitz Skript zur Vorlesung Anlysis gelesen von Prof. Dr. A. Böttcher (WS /, SS ) von A. T. Oesterreich

2

3 Inhltsverzeichnis Mengenlehre 5. Mengen & Mengenopertionen Abbildungen Reltionen Gleichmächtigkeit von Mengen & Krdinlzhlen Zhlenfolgen & Zhlenreihen 9. Reelle & komplexe Zhlen Folgen und ihre Grenzwerte Eigenschften konvergenter Folgen Teilfolgen & prtielle Grenzwerte Reihen und ihre Summen Umordnungen & Produkte von Reihen Elementre Funktionen Polynome & Rtionle Funktionen Potenzreihen Die Exponentilfunktion Winkelfunktionen Hyperbelfunktionen Funktionengrenzwerte & Stetigkeit 7 4. Reelle Funktionen uf reellen Intervllen Zwischenwertstz Umkehrfunktionen elementrer Funktionen Asymptotische Formeln Funktionen mehrerer Veränderlicher (Felder) Vektorfelder Differentilrechnung 5. Linere Abbildungen Die Ableitung Prtielle Ableitungen und Jcobi-Mtrix Rechenregeln für Ableitungen Differenzierbre Funktionen einer Veränderlichen Tylor-Entwicklung Sklrfelder und Grdient Implizite Funktionen Ds unbestimmte Integrl 63 3

4 Inhltsverzeichnis 6. Die Stmmfunktion Grundintegrle Integrtionsregeln Integrtion rtionler Funktionen Weitere Klssen elementr integrierbrer Funktionen Ds bestimmte Integrl Definition des Riemnnschen Integrls Eigenschften des Riemnnschen Integrls Einige Anwendungen Kurvenlänge Krümmung ebener Kurven Flächeninhlte Volumeninhlte Rottionskörper Schwerpunkt Arbeit Uneigentliche Integrle Ds Riemnn-Stieltjes-Integrl Ds Lebesgue-Integrl Funktionenfolgen und Funktionenreihen Punktweise und gleichmäßige Konvergenz Eigenschften der Grenzfunktion bzw. der Summe Fourier-Reihen Der Begriff der Fourier-Reihe Orthogonle Funktionensysteme Die Approximtionseigenschft der Fourier-Reihe Elementre Konvergenztheorie Beispiele Glttheit der Funktion und Abfllen der Fourier-Koeffizienten Ds Gibbssche Phänomen Die Weierstrßschen Approximtionssätze Die schwingende Site Integrltrnsformtionen

5 Mengenlehre. Mengen & Mengenopertionen Eine Menge ist die gednkliche Zusmmenfssung wohlunterschiedener Objekte zu einem Gnzen. (nch G. Cntor ) Dbei bedeutet wohlunterschieden, dss kein Objekt mehrmls in einer Menge vorkommt; die Objekte nennt mn Elemente der Menge. Folgende Symbolik ist üblich: x A : Ds Element x gehört zu A, x / A : Ds Element x gehört nicht zu A. Beispiel.. So sind ) Fmilie = {Vter, Mutter, Tochter, Tochter, Sohn} und ) Bdset = {Seife, Duschgel, Rsierschum} zwei Mengen. Georg Cntor (845-98), deutscher Mthemtiker. Begründer der Mengenlehre, Grundlgen zu Frktlen. 5

6 KAPITEL. MENGENLEHRE Stndrdbezeichnungen Die Zhlenbereiche ls Mengen werden besonders hervorgehoben: N = Menge der ntürlichen Zhlen = {,, 3,...}, Z = Menge der gnzen Zhlen = {...,,,,,,...}, { } p Q = Menge der rtionlen Zhlen = : p, q Z, q, q R = Menge der reellen Zhlen (Vorstellung: Punkte uf einer Gerden), C = Menge der komplexen Zhlen (Vorstellung: Punkte in einer Ebene). Wir hben uch die Möglichkeit eine Menge so nzugeben: A = {b B : b besitzt die Eigenschft E}. Beispiel.. ) Menge der Sängerinnen = {b Chor : b ist weiblich}, ) Z + := {k Z : k } = {,,, 3,...}. Seien, b R, so heißen (, b) = {x R : < x < b} [, b] = {x R : x b} [, b) = {x R : x < b} (, b] = {x R : < x b} offenes Intervll, bgeschlossenes Intervll, hlb(rechts)-offenes Intervll, hlb(links)-offenes Intervll. Es gibt uch eine Menge, die leere Menge heißt und mit bezeichnet wird. Sie enthält kein einziges Element. Beispiel.3. ) (, ) = {x R : < x < } =, ) (, ) = {x R : < x < } =, 3) {x Chor : x ht Beine} =. Mengen können uch einelementig sein, etw {}. Dnn gilt {}, ber {}. Eine Menge A heißt Teilmenge einer Menge B, wenn jedes Element von A uch zu B gehört, A B. Bei uns bedeutet A B, dss A B gilt. Um nzudeuten, dss A B und A B gilt, A lso eine echte Teilmenge von B ist, schreiben wir A B. Zwei Mengen A, B sind gleich, A = B, wenn A B und B A gilt. Des weiteren gilt stets A und A A. 6

7 .. MENGEN & MENGENOPERATIONEN Mengenopertionen Die Vereinigung A B zweier Mengen A und B ist die Menge ller Elemente, die in A oder B liegen. Der Durchschnitt A B zweier Mengen A, B ist die Menge ller Elemente, die zu A und zu B gehören. Beispiel.4. ) Z + = N {}, ) Chor Bdset =. Folgende Sprechweisen sind in Gebruch: ein/eine ˆ= mindestens ein/eine; genu ein(e) ˆ= ein(e) und nur ein(e); oder ˆ= nicht usschließendes oder, d. h. x oder y bedeutet x und y, x und nicht y, oder nicht x und y; entweder oder ˆ= usschließendes oder, d. h. entweder x oder y heißt x und nicht y oder nicht x und y. Die Menge ller Elemente, die entweder zu A oder zu B gehören, heißt die symmetrische Differenz A B von A und B. Die Differenz A \ B zweier Mengen A, B ist die Menge ller Elemente, die zu A ber nicht zu B gehören. Offenbr gilt dnn A B = (A \ B) (B \ A). Vereinigung und Durchschnitt beliebig vieler Mengen Seien Ω eine sogennnte Indexmenge und für jedes ω Ω eine Menge A ω gegeben. Dnn definiert mn A ω = Menge ller Elemente, die zu einer der Mengen A ω gehören ω Ω = {x : ω Ω mit x A ω }, sowie A ω = Menge ller Elemente, die zu jeder der Mengen A ω gehören ω Ω = {x : x A ω ω Ω}. Beispiel.5. ) Sei Ω = {, }, d. h. A und A die zwei möglichen Mengen A ω. Dnn gilt A ω = A A, A ω = A A. ω {,} ω {,} 7

8 KAPITEL. MENGENLEHRE ) Sei Ω = N = {,, 3,...}. Dnn ist für jedes ω = n N eine Menge A n gegeben und wir hben A n = A n = A A A 3 A ω = ω Ω n N und gnz nlog A ω = A n = ω Ω n N n= A n = A A A 3 n= Ist dnn beispielsweise A n = [n, n + ], so folgt A n = [, ) = {x R : x }, n= A n = A A =. n= Ist A n = [n, ), so gilt A n = [, ), n= A n =. n= Ds direkte Produkt A B zweier Mengen A, B ist die Menge ller geordneten Pre (, b) mit A, b B. Beispiel.6. ) Sind A = {Hund, Ktze, Mus} und B = {ros, grün}, so ist A B = {(Hund, ros), (Hund, grün), (Ktze, ros), (Ktze, grün), (Mus, ros), (Mus, grün)}, ws mit {ros Hund, grüner Hund, ros Ktze, grüne Ktze, ros Mus, grüne Mus} identifiziert ( =) werden knn. ) } A A {{ A } =: A n. n ml 3) R = R R = {(, b) : R, b R} = Punkte in der Ebene. 4) R 3 = R R R = {(, b, c) :, b, c R} = Rum. 8

9 .. ABBILDUNGEN. Abbildungen Eine Abbildung (oder uch Funktion) ist eine Vorschrift f, nch der jedem Element einer Menge A genu ein Element einer nderen (knn uch die gleiche Menge sein) Menge B zugeordnet wird, f : A B, f() = b. Beispiel.7. f : R R, x x, ist eine Abbildung. Sei f : A B eine Abbildung. Dnn heißt A ihr Definitionsgebiet und B ihr Wertebereich. Für eine Teilmenge X A nennt mn f(x) = {f(x) : x X} ds Bild von X. Die Menge f(a) heißt Bild von f. Sttt f(a) schreibt mn uch bil (f) (imge = Bild) oder R(f). Für eine Teilmenge Y B heißt f (Y ) = { A : f() Y } ds (vollständige) Urbild von Y. Eine Abbildung f : A B heißt injektiv (eineindeutig), wenn eine der folgenden äquivlenten Bedingungen erfüllt ist: i) Für lle b B existiert höchstens ein A mit f() = b, ii) f ({b}) besitzt höchstens ein Element für jedes b B, iii) = f( ) f( ), iv) f( ) = f( ) = =. f : A B heißt surjektiv (Abbildung uf B), wenn eine der folgenden äquivlenten Bedingungen erfüllt ist: i) Für jedes b B existiert mindestens ein A mit f() = b, ii) f ({(b)}) b B, iii) bil (f) = B = f(a). Diese Abbildung f heißt bijektiv (eineindeutige Abbildung uf B), wenn eine der gleichbedeutenden Bedingungen erfüllt ist: i) f ist injektiv und surjektiv, ii) b B! A : f() = b, iii) f ({b}) ist einelementig b B. 9

10 KAPITEL. MENGENLEHRE Beispiel.8. ) f : R R, x x, ist weder injektiv noch surjektiv (lso uch nicht bijektiv). ) f : [, ) R, x x, ist injektiv. 3) f : R [, ), x x, ist surjektiv. 4) f : [, ) [, ), x x, ist bijektiv. Seien A f B, B g C zwei Abbildungen. Ds Produkt oder die Komposition g f ist dnn die Abbildung, die durch Hintereinnderusführung von f und g entsteht, d. h. g f : A C, g ( f() ), lso (g f)() = g ( f() ). Wir hben lso die Abbildung A g f C. Stz.. Sei f : A B eine bijektive Abbildung. Dnn existiert genu eine Abbildung g : B A mit der Eigenschft f g = id B, g f = id A, wobei id E die identische Abbildung E E ist, d. h. id E : E E, x x. Beweis. Sei dzu b B. Dnn existiert genu ein A mit f() = b. Setze g(b) =, so ist f ( g(b) ) = f() = b = f g = id B. Wäre hingegen g(b), so folgte f ( g(b) ) und f g = id B wäre nicht erfüllt. Dmit hben wir gezeigt: Es gibt genu eine Abbildung g : B A mit f g = id B. Für A ist dmit g ( f() ) = g(b) =, d. h. g f = id A. Die in Stz. definierte Abbildung g heißt die zu f gehörige Umkehrbbildung oder uch inverse Abbildung und wird mit f bezeichnet.

11 .3. RELATIONEN.3 Reltionen Sei X eine Menge. Eine Reltion R uf X ist eine Teilmenge R X X. Gilt (x, y) R, so sgen wir x steht in Reltion zu y und schreiben x R y oder x y. Stehen x und y bzgl. R nicht in Reltion, (x, y) / R, so notieren wir dementsprechend x y. Beispiel.9. ) X = R, (x, y) R x y. ) X = R, (x, y) R x < y. 3) X = R, (x, y) R x = y. 4) X = R, (x, y) R x + y = x + y =. 5) X = Z, (x, y) R x y ist gerde x y x y mod. y R y R y y (x, y) R b (, b) x x x x y R y R x x

12 KAPITEL. MENGENLEHRE Eine Reltion x y uf X heißt ) reflexiv (R), wenn gilt: x x x X, b) symmetrisch (S), wenn gilt: x y = y x, c) ntisymmetrisch (A), wenn gilt: x y, y x = x = y, d) trnsitiv (T), wenn gilt: x y, y z = x z. Für ds Beispiel.9 bedeutet ds: () () (3) (4) (5) R j nein j nein j S nein nein j j j A j j j nein nein T j j j nein j Reltionen mit den Eigenschften RAT heißen Ordnungsreltionen; Reltionen mit den Eigenschften RST heißen Äquivlenzreltionen. Sei uf X eine Äquivlenzreltion erklärt. Für jedes x X bezeichnen wir mit M x die Elemente us X, die zu x äquivlent sind, d. h. M x = {y X : y x}. Mengen M x, die so gebildet werden, heißen Äquivlenzklssen. Für ds Beispiel.9.3 heißt ds: Die Äquivlenzklssen sind Einermengen M x = {x}. Für ds Beispiel.9.5 heißt ds: M = {, ±, ±4,...} = Menge der gerden Zhlen = M = M = M 4 = und M = {±, ±3, ±5,...} = Menge der ungerden Zhlen = M = M 3 = M 3 =. Mn knn zeigen: Jede Äquivlenzklsse ist (wegen R); der Durchschnitt zweier verschiedener Äquivlenzklssen ist stets (wegen S, T); die Vereinigung ller Äquivlenzklssen ist gnz X (wegen R). Ds System der Äquivlenzklssen bildet dmit eine sogennnte Klsseneinteilung von X. Beispiel.. X = R, x y x y Z ist eine Äquivlenzreltion. Die Äquivlenzklssen werden durchnummeriert mit Zhlen us [, ) mit nderen Worten: M ist eine Äquivlenzklsse x [, ) mit M = {x, x ±, x ±, x ± 3,...}. Die Menge der Äquivlenzklssen bezeichnet mn mit X/ und nennt sie die Fktormenge. Für ds Beispiel.9.3 heißt ds: R/ = R. Für ds Beispiel.9.5 heißt ds: Z/ = {, }. Für ds Beispiel. heißt ds: R/ = [, ) = R/Z = T (Einheitstorus).

13 .4. GLEICHMÄCHTIGKEIT VON MENGEN & KARDINALZAHLEN.4 Gleichmächtigkeit von Mengen & Krdinlzhlen Zwei Mengen A, B heißen gleichmächtig, wenn es eine bijektive Abbildung f : A B gibt. Dies ist eine Äquivlenzreltion in folgendem Sinne: (R) id A : A A,, (S) (T) f : A bij B, f : B bij A, f, g bijektiv = g f bijektiv. Diese Äquivlenzreltion erzeugt eine Klsseneinteilung. Alle gleichmächtigen Mengen bilden dbei eine Klsse. Jeder Klsse ordnet mn eine sogennnte Krdinlzhl zu: Einermengen Zweiermengen Klsse der erhält die Krdinlzhl... n-elementigen Mengen n Mengen mit Krdinlzhl n N heißen endlich. Dbei heißt n die Anzhl der Elemente dieser Menge. Zwei endliche Mengen sind lso genu dnn gleichmächtig, wenn sie dieselbe Anzhl n Elementen hben. Mengen, die nicht endlich sind, heißen unendlich. Mengen, die zu N gleichmächtig sind, heißen bzählbr und erhlten die Krdinlzhl ℵ ( Aleph-Null ). Beispiel.. Dmit hben wir zum Beispiel Z N: N: oder uch N N f Z: N: f N: Mengen, die endlich oder bzählbr sind, nennt mn höchstens bzählbr. Mengen, die nicht höchstens bzählbr sind, heißen überbzählbr. 3

14 KAPITEL. MENGENLEHRE Stz.. Eine Teilmenge einer bzählbren Menge ist entweder endlich oder bzählbr. Beweis. Sei A = {,,...} bzählbr und sei B A. Wir nehmen n, dss B nicht endlich ist und schreiben die Elemente von B in derselben Reihenfolge uf, wie sie in A vorkommen: B = { n, n,...} (n < n <...). Dnn ist f : N B, f(k) = nk, eine bijektive Abbildung, d. h. B ist bzählbr. Stz.3. Jede unendliche Menge enthält eine bzählbre Teilmenge. Beweis. Sei ein Element der unendlichen Menge A. Dnn ist A\{ } wieder unendlich. Insbesondere gibt es lso ein A \ { }. Nun ist A \ {, } immer noch unendlich. Wähle 3 A \ {, } usw. Mn erhält so eine bzählbre Teilmenge {,, 3,...} A. Gibt es überhupt überbzählbre Mengen? Wir probieren es mit den uf der reellen Achse sehr dicht gesäten rtionlen Zhlen. Aber Q ist bzählbr. Zum Beweis wendet mn ds Cntorsche Digonlverfhren n: Nummerieren wir wie in der Abbildung vorgeschlgen durch, wobei wir schon registrierte Zhlen uslssen: { Q =,,, 3,, 3, 4, 3, 3, 4, 5, 4, 3, 4, } 5,.... 4

15 .4. GLEICHMÄCHTIGKEIT VON MENGEN & KARDINALZAHLEN Ht A die Krdinlzhl, so schreibt mn A =, lso gilt beispielsweise N = Z = N = Q = ℵ. Seien, b Krdinlzhlen. Mn schreibt b, wenn es Mengen A, B mit A =, B = b und eine injektive Abbildung f : A B gibt. Ist b und b, so schreibt mn < b. Cntor ht gezeigt, dss für beliebige Krdinlzhlen, b stets entweder < b, = b oder b < gilt. Wir wissen lso bisher: < < 3 < < ℵ. Bei den Pünktchen kommt nichts weiter hinzu, d. h. ein bisschen Unendlich gibt es nicht, denn nch Stz.3 ist jede unendliche Teilmenge von N wieder bzählbr. Stz.4. Die Vereinigung von höchstens bzählbr vielen höchstens bzählbren Mengen ist höchstens bzählbr. Beweis. Seien A, A, A 3,... höchstens bzählbre Mengen. Wir schreiben A : 3 A : 3 A 3 : und nummerieren wie ngegeben durch (wobei schon nummerierte Elemente weggelssen werden). Wir erhlten so eine vollständig nummerierte Liste der Elemente von A A A 3. Stz.5. Ds direkte Produkt von endlich vielen höchstens bzählbren Mengen ist höchstens bzählbr. 5

16 KAPITEL. MENGENLEHRE Beweis. Ds ist (wieder nch dem Cntorschen Schem) klr für zwei Mengen A = {,,...} und B = {b, b,...}: (, b ) (, b ) (, b 3 ) (, b ) (, b ) (, b 3 ) ( 3, b ) ( 3, b ) ( 3, b 3 ). Wir betrchten nun drei Mengen A, B und C. D die Behuptung für zwei Mengen bereits bewiesen ist, ist A B und dmit (A B) C höchstens bzählbr. Die Abbildung ( ) f : (A B) C A B C, (, b), c (, b, c), ist ber bijektiv. Also ist uch A B C höchstens bzählbr. Anlog ergibt sich die Behuptung dnn für vier, fünf,... Mengen. Gibt es nun überbzählbre Mengen? Stz.6. Die Menge (, ) ist überbzählbr. Beweis. Stelle jede reelle Zhl us (, ) durch ihren Dezimlbruch dr:.x x x 3..., verbiete dbei ber die Periode 9, d. h. schreibe z. B sttt.399. Annhme (Gegenteil): (, ) ist bzählbr. Dnn knn mn lle Zhlen us (, ) in eine Liste schreiben: ,.b b b 3 b 4...,.c c c 3 c 4..., Konstruiere nun r =.r r r 3 r 4... wie folgt:. r ist eine Zhl us {,,,..., 8} \ { }, r ist eine Zhl us {,,,..., 8} \ {b }, r 3 ist eine Zhl us {,,,..., 8} \ {c 3 },. 6

17 .4. GLEICHMÄCHTIGKEIT VON MENGEN & KARDINALZAHLEN Dnn ist r (, ) eine Zhl, die nicht in der Liste steht, denn r unterscheidet sich von der i-ten Zhl der Liste in der i-ten Nchkommstelle Widerspruch. Also ist (, ) doch überbzählbr. Mn schreibt dfür Dmit hben wir (, ) = c ( continuum ). < < 3 < < ℵ < c. Es gilt lso R = c, denn es gibt eine Bijektion f : (, ) R wie folgt: f : (, ) bij Hlbkreis bij R R Versuchen wir es lso mit dem Qudrt Q := (, ) (, ). Dnn könnte mn c < Q vermuten. Q Die Abbildung, die dem Pr (.x x x 3...,.y y y 3...) die Zhl.x y x y x 3 y 3... zuordnet, ist injektiv von Q in (, ), dmit ist Q c. Offenbr ist uch Q c, lso Q = c Ist A eine Menge, so bezeichnet mn die Menge ll ihrer Teilmengen mit P(A) und nennt sie ihre Potenzmenge, z. B. A = {}, P(A) = {, {} }, B = {, 3}, P(B) = {, {}, {3}, {, 3} }. Mn knn leicht zeigen: Ist A = n <, so gilt P(A) = n. Ist A eine beliebige Menge, A =, so bezeichnet mn die Krdinlzhl von P(A) mit. Für endliches n gilt ntürlich n < n. Cntor zeigte, dss für beliebige Krdinlzhlen stets < gilt. Dmit hben wir < < 3 < < ℵ < c < c < c <. 7

18 KAPITEL. MENGENLEHRE Ws ist nun ℵ? Es besteht eine bijektive Zuordnung zwischen den Teilmengen von N und llen Folgen, die us Nullen und Einsen gebildet werden können, d. h. llen reellen Zhlen in (, ) im Dulsystem. Also gilt ℵ = c und wir hben uch < < 3 < < ℵ < ℵ < ℵ <. Für endliche n fehlen in < < < < mssenweise Zhlen (z. B. 3, 5, usw.). Stellt sich lso die Frge, ob zwischen ℵ und ℵ uch weitere Krdinlzhlen liegen. Äquivlent dzu ist die Frge, ob jede unendliche Teilmenge von R bzählbr oder zu R gleichmächtig ist. Die Hypothese ist: nein. Mn nennt ds die Continuums-Hypothese [In den 96ern (Gödel, Cohen): Die Continuums-Hypothese lässt sich weder beweisen noch widerlegen, d ds Axiomensystem der Mengenlehre nicht usreicht. Auch die verllgemeinerte Continuums-Hypothese (gibt es zwischen ℵ und ℵ weitere Krdinlzhlen) ist weder beweis- noch widerlegbr.]. Wie gehen die Krdinlzhlen rechts von ℵ nun weiter und gibt es eine größte Krdinlzhl? Sei dzu M die Menge ller Mengen und M = m. Ist nun eine beliebige Krdinlzhl und A = {x, y, z,...} eine Menge mit A =, so ist die Abbildung f(x) = {x} f(y) = {y} f : A M, f(z) = {z}. injektiv, lso m. Dies gilt insbesondere für = m ; ndererseits ist m < m Widerspruch. Unsere nive Mengenlehre führt uf dieses furchtbre Problem. Dher muss mn ein exktes Axiomensystem einführen. 8

19 Zhlenfolgen & Zhlenreihen Wichtige Beiträge lieferten u.. folgende Mthemtiker: G. W. Leibniz L. Euler A. L. Cuchy K. Weierstrß B. Bolzno 9

20 KAPITEL. ZAHLENFOLGEN & ZAHLENREIHEN. Reelle & komplexe Zhlen Reelle Zhlen, Beschränktheit Wir identifizieren die reellen Zhlen ls Punkte uf einer Gerden bzw. ls unendliche Dezimlbrüche. Eine exkte Definition folgt später. Weiter setzen wir ds Rechnen mit reellen Zhlen und den Gebruch von <, ls beknnt vorus. Definition.. Sei E R. Die Menge E heißt von oben beschränkt, wenn es ein R gibt mit x x E. Jede solche Zhl heißt obere Schrnke von E. Die Menge ller oberen Schrnken bezeichnen wir mit O(E). Anlog heißt E von unten beschränkt, wenn es ein b R gibt mit b x x E. Jedes solche b heißt untere Schrnke von E. U(E) bezeichnet die Menge ller unteren Schrnken. E heißt beschränkt, wenn E von oben und von unten beschränkt ist. Beispiel.. ) E = {,,, }, O(E) = [, ), U(E) = (, ]. ) E = (, 5), E = [, 5], O(E ) = O(E ) = [5, ), U(E ) = U(E ) = (, ]. 3) E = Q ist weder von unten noch von oben beschränkt, U(E) = O(E) =. 4) E = N ist nicht von oben beschränkt, ber von unten, U(E) = (, ]. 5) E = {,,,,...}, O(E) = [, ), U(E) = (, ] ) E = {x > : x < }, U(E) = (, ], O(E) = [, ). An diesen Beispielen sehen wir, dss für von oben beschränkte Mengen stets O(E) = [, ) mit einem R gilt. Gibt es ber eine Menge E mit O(E) = (, )? Zumindest gibt es keine mit O(E) = {}. Um ds zu klären, müssen wir definieren, ws wir genu unter einer reellen Zhl verstehen. D wir dies nicht tten, kzeptieren wir folgendes Axiom. Axiom: Für jede von oben beschränkte nichtleere Menge E gibt es ein R mit O(E) = [, ). Drus folgt unmittelbr, dss stets U(E) = (, b], b R, für jede nichtleere nch unten beschränkte Menge E gilt.

21 .. REELLE & KOMPLEXE ZAHLEN Definition.. Sei E R eine von oben beschränkte Menge, lso O(E) = [, ). Dnn nennt mn R die kleinste obere Schrnke oder ds Supremum, = sup E. Ist ndererseits E von unten beschränkt, U(E) = (, b], so heißt b R die größte untere Schrnke oder ds Infimum von E, b = inf E. Gilt = sup E E, so nennt mn uch ds Mximum von E, = mx E. Gilt b = inf E E, so heißt b uch ds Minimum von E, b = min E. So gilt für die Beispiele.: ) sup E = mx E =, inf E = min E =, ) sup E = 5, mx E existiert nicht, inf E =, min E existiert nicht. Wir stellen lso fest, dss ds Mximum einer von oben beschränkten nichtleeren Menge E ein Element E mit x x E ist. Ein solches muss nicht zwingend existieren. Ds Supremum existiert bei von oben beschränkten nichtleeren Mengen jedoch immer (Anlog: Minimum, Infimum). Mittels des Axioms knn z. B. gezeigt werden: Stz.. Für jedes n N und jedes b (, ) existiert genu ein x (, ) mit x n = b. Beweisidee: x = sup{y > : y n < b}. Komplexe Zhlen Als Komplexe Zhlen C bezeichnen wir die Elemente von R R. Es hndelt sich lso um geordnete Pre (, b) mit, b R. Dnn knn mn sich C ls Ebene (die so-gennnte Guß -Ebene) vorstellen: b (, b) Johnn Crl Friedrich Guß ( ), deutscher Mthemtiker, Astronom, Geodät und Physiker. Kleine Anekdote: Als Schüler sollte er die Zhlen von bis ddieren. Dbei stieß er uf die Formel n k = n(n+). Sein Lehrer wr drüber sehr erstunt und förderte den jungen Guß. k=

22 KAPITEL. ZAHLENFOLGEN & ZAHLENREIHEN Rechenopertionen Wir führen uf C folgende Addition und Multipliktion ein: (, b) + (c, d) := ( + c, b + d), (, b) (c, d) := (c bd, d + bc). Eine Subtrktion gelingt dnn so: (, b) (c, d) = ( c, b d). Wie mn dividiert, zeigen wir später. Des weiteren setzen wir i := (, ) und nennen i die imginäre Einheit. Dnn gilt i = (, ) (, ) = (, ). Fssen wir die Elemente (, ) C ls die reelle Zhl uf, hben wir dmit R C sowie i =. Wir finden uch die übliche Schreibweise komplexer Zhlen wieder: (, b) = (, ) + (, b) = (, ) + (b, ) (, ) = + bi. Wozu mn u.. komplexe Zhlen brucht, wird in folgendem Stz deutlich: Stz. (Fundmentlstz der Algebr). Die Gleichung + x + + n x n = ht für beliebige,..., n C, n, n N, stets eine Lösung x C. Wir nennen z := x + y den Betrg und ϕ =: rg z ds Argument der komplexen Zhl z = x+iy. ϕ ist nur bis uf gnzzhlige Vielfche von 36 eindeutig bestimmt. Mit R(z) := x bezeichnen wir den Relteil und mit I(z) := y den Imginärteil der komplexen Zhl z = x + iy. Offensichtlich gilt R(z) z und I(z) z. Bestimmung des Arguments tn ϕ = y liefert zwei Winkel und mn muss den richtigen uswählen. Für x z = 3 + i ht mn z. B. tn ϕ = 3 zu lösen. Dies liefert die Winkel ϕ = 3 und ϕ =. Stellt mn sich z in der komplexen Ebene vor, bemerkt mn, dss nur ϕ in Frge kommt: = y x

23 .. REELLE & KOMPLEXE ZAHLEN iy z x 3 x z iy Besser ist es, die Gleichungen sin ϕ = y z = y und cos ϕ = x x + y z = x x + y zu verwenden. Diese liefern für ds Beispiel z = 3 + i die Beziehungen sin ϕ = und cos ϕ = 3. Nur ϕ = 3 erfüllt beide Gleichungen und ist dher ds Argument von z. Wir hben lso x = r cos ϕ, y = r sin ϕ mit r = z. Dmit ist z = x + iy = r cos ϕ + ir sin ϕ = r(cos ϕ + i sin ϕ) die sogennnte Polrdrstellung von z. Drstellung komplexer Zhlen Wir stellen uns komplexe Zhlen ls Punkte (links), Endpunkte von Ortsvektoren (Mitte) oder freie Vektoren (rechts) in der Ebene vor: Die Addition komplexer Zhlen entspricht dnn der gewöhnlichen Vektorddition: 3

24 KAPITEL. ZAHLENFOLGEN & ZAHLENREIHEN w z + w z Seien z = r(cos α + i sin α) und w = s(cos β + i sin β). Dnn ist z w = rs ( cos α cos β sin α sin β + i(cos α sin β + sin α cos β) ) = rs ( cos(α + β) + i sin(α + β) ). Zwei komplexe Zhlen werden lso multipliziert, indem mn ihre Beträge multipliziert und die Argumente ddiert: z w w α z α + β β Die Division gelingt dnn so: Beispiel.. ) i =, i 3 = i, i 4 =. z w = r ( ) cos(α β) + i sin(α β). s ) Finde Lösungen der Gleichung z 3 =. Aus z 3 = folgt z =, lso: z =, z = 3i, z3 = + 3i. z, z, z 3 bilden ein regelmäßiges Dreieck mit Eckpunkten uf dem Einheitskreis. 3) z 4 =. Die Lösungen z, z, z 3, z 4 bilden ein chsenprlleles Qudrt mit Eckpunkten uf dem Einheitskreis. 4) z 5 =. Die Lösungen z,..., z 5 sind die Eckpunkte eines regelmäßigen Fünfecks uf dem Einheitskreis. 4

25 .. REELLE & KOMPLEXE ZAHLEN Allgemein: Sei die Gleichung z n = zu lösen. Es gilt dbei z = n. Dmit ist z = n ( cos rg n + i sin rg ) n eine Lösung der Gleichung. Als Lösungen kommen dnn weitere n Punkte dzu, so dss lle ein regelmäßiges n-eck bilden. Alle Lösungen dieser Gleichung sind lso z k+ = n ( ( rg cos n + k ) ( 36 rg + i sin n n + k )) 36, k n. n 5

26 KAPITEL. ZAHLENFOLGEN & ZAHLENREIHEN. Folgen und ihre Grenzwerte Sei K = R oder C. Eine Folge ist eine Abbildung : N K. Sttt (n) schreibt mn üblicherweise n. Die Folge bezeichnet mn mit { n } n= = ( n ) n= = ( n ) = {,,..., n,...}. Die geschweifte Klmmer ist ber nicht ls Mengenklmmer zu verstehen! Beispiel.3. ) { n } = { } { n =,,,,,...} ist eine reelle Folge. Ihre Glieder schmiegen sich von rechts immer dichter n die Null n: ) {,,,,...} = { ( ) n+} n= mit k+ =, k = für k N ist eine lternierende Folge (wechselndes Vorzeichen). 3) n = i n : i, 5,..., 6,..., 5,... i 3, 7,... 4) n = i + in n. Die Glieder dieser Folge { n} liegen uf einem in den Punkt (, i) von links hineindrehenden Strudel. 5) Die Folgen ) bis 4) wren uns explizit gegeben, d. h. mn knn us n sofort n bestimmen. Sei nun n die Anzhl der Individuen einer Popultion im Jhre n, n+ n = r n, beknnt. Diese Folge ist rekursiv definiert, d. h. mn knn n nur us Vorgängergliedern errechnen (und nicht direkt us n). Es gilt ber n = r n + n = ( + r) n = ( + r)( + r) n = ( + r) ( + r) }{{} = ( + r) n. n -ml 6

27 .. FOLGEN UND IHRE GRENZWERTE Ds Verhulst-Gesetz besgt nun, dss mn die Zuwchsrte r = n+ n n durch n+ n n = r( n ) ersetzt. Die Vernschulichung dieser Folge in der Ebene liefert verschiedene Bilder in Abhängigkeit dvon, wie groß mn r wählt (mn erhält monoton wchsende, periodische oder chotische Folgen): Definition.3. Für gegebenes ε > versteht mn unter der (offenen) ε-umgebung eines Punktes K die Menge U ε () := { y K : y < ε }. Für K = R bedeutet ds U ε () = ( ε, + ε) und für K = C ist dies ein Kreis ohne Rnd mit dem Rdius ε und dem Mittelpunkt. Definition.4. Eine Folge { n } n= us K heißt konvergent, wenn es eine Zhl K gibt, so dss ε > N R : n U ε () n > N gilt. Die Zhl heißt dnn Grenzwert oder Limes der Folge und mn notiert n oder = lim n n. 7

28 KAPITEL. ZAHLENFOLGEN & ZAHLENREIHEN N hängt dbei i. A. von ε b: Je kleiner mn ds ε vorgibt, um so größer muss mn ds N wählen. Dher findet mn teils die Bezeichnung N = N(ε). Beispiel.4. Wir untersuchen die Folgen us Beispiel.3 uf Konvergenz. ) Es gilt lim n n =, denn n U ε() n = [ ] n < ε n > + =: N. ε ) Diese Folge ist nicht konvergent. Nehmen wir zum Beweis ds Gegenteil n; sei lso ihr Limes. Für ε := gibt es dnn ein N mit 4 n U () n > N. Es folgt U () 4 4 und U (), lso < und <, d. h = ( ) = ( ) + < =, Widerspruch. Die Folge knn lso doch nicht konvergieren. 3) ist offenbr nicht konvergent. ( ) 4) lim i + i n n n = i, denn i + in n U ε(i) i + in n i = i n n = [ ] n < ε n > + =: N. ε 5) Die Folge der Primzhlen ist nicht konvergent. Mn sgt ber gelegentlich, sie konvergiere gegen unendlich und schreibt lim n =. n Definition.5. Eine Folge, die nicht konvergiert, heißt divergent. Mn schreibt ber wenn für jedes M > ein N existiert mit für lle n > N. lim n = + bzw. lim n =, n n n > M bzw. n < M 8

29 .3. EIGENSCHAFTEN KONVERGENTER FOLGEN.3 Eigenschften konvergenter Folgen Stz.3 (Eindeutigkeit des Limes). Aus n und n ã folgt = ã. Beweis. Annhme: ã. Wähle ε > so, dss U ε () U ε (ã) =. Dnn gilt n n U ε () n > N, n ã n U ε (ã) n > Ñ. Für n > mx(n, Ñ) folgt dnn n U ε () U ε (ã) = Widerspruch. Es muss lso doch = ã gelten. Stz.4. Seien { n }, {b n } reelle Folgen. Dnn gilt n + ib n + ib n, b n b. Beweis. : Sei ε >. Dnn gibt es ein N mit n +ib n (+ib) = n +i(b n b) < ε. Für lle n > N folgt dnn n = R ( n + i(b n b) ) n + i(b n b) < ε, b n b = I ( n + i(b n b) ) n + i(b n b) < ε, lso uch n und b n b. : Sei wieder ε > vorgegeben. Wegen n, b n b gibt es ein N mit n < ε, b n b < ε n > N. Dies ergibt n + ib n ( + ib) n + b n b < ε + ε = ε. Definition.6. Eine Nullfolge ist eine Folge { n } mit n. Des weiteren heißt eine Folge { n } beschränkt, wenn es eine Zhl M > gibt mit n < M n N. K = R oder C sind sogennnte Husdorff-Räume, d in ihnen gilt: Zwei verschiedene Punkte hben uch disjunkte Umgebungen (Husdorffsche Trennungseigenschft). 9

30 KAPITEL. ZAHLENFOLGEN & ZAHLENREIHEN Stz.5.. Konvergente Folgen sind beschränkt.. Ist { n } eine Nullfolge und {b n } beschränkt, so ist { n b n } ebenflls eine Nullfolge. Beweis.. Sei n. Dnn existiert ein N mit n U () n > N. Sei o. B. d. A. N N. Für n > N ist dnn n < und dmit Für lle n N gilt lso. Sei n und b n M. Dnn ist n = n + n + < +. n mx (,,..., N, N, + ) =: M. n b n = n b n = n b n n M < ε für n < ε M. Dies wird für n > N = N( ε M ) grntiert. Beispiel.5. Sei c n = n! n. Für ihre ersten Glieder gilt c =.5, c =.5, c 3 = 7.5 4, c 4 =.5 4,..., c =.3 8. Mn könnte lso c n vermuten. Nun ist ber Betrchten wir die Folge c n n n! = n. Es ist n! c 6 = 7 7. = }{{ } }{{ n } konstnt < für hinreichend große n. Dmit gilt c n, lso c n. n }{{} Stz.6. Seien n und b n b. Dnn gilt n ± b n ± b, n b n b, n b n b (b ). 3

31 .3. EIGENSCHAFTEN KONVERGENTER FOLGEN Beweis. ) Wir finden n + b n ( + b) = n + b n b n + b n b < ε + ε = ε für n > N(ε). b) Es ist für n > N(ε) n b n b = n b n b n b + n b n b n n b + n b b = n b n b + b n < M b n b + b n < M ε + b M ε < ε + ε = ε. ( b +) : Es gilt n < M, M R, d { n } infolge der Konvergenz uch beschränkt ist. c) folgt us b) mit b n, denn b b n > b für n > n und b n b = b n b < b n b b n b b < ε für n > N ( ε b ) > n. Nun ist n b n = n b n =. b b Beispiel.6. n = 3n + 4n + 5 6n + 7n + 8 = n + 5 n n + 8 n =. Definition.7. Sei : N K eine Folge und π : N N eine Permuttion (lso eine bijektive Abbildung). Dnn heißt die Folge π : N K eine Umordnung von. Sei lso {,, 3, 4, 5,...} eine Folge { n }. Umordnungen dieser sind z. B. {, 3,, 4, 6, 5,...} oder uch {, 3, 7, 5,...}, ber nicht {, 3, 5,...,, 4, 6,...}. Stz.7. Jede Umordnung einer konvergenten Folge ist ebenflls konvergent und zwr mit demselben Limes wie die Ausgngsfolge. 3

32 KAPITEL. ZAHLENFOLGEN & ZAHLENREIHEN Beweis. Sei n. Für beliebiges ε > liegen dnn höchstens endlich viele n nicht in U ε (). Die Umordnung der Folge sei π(n). Es gibt nur endlich viele n so, dss π(n) / U ε (). Dmit ist π(n) U ε () für lle hinreichend großen n. Schließen wir mit einigen Resultten, die mit der Ordnungsreltion uf R zu tun hben. Stz.8. Seien { n }, {b n } und {c n } reelle Folgen. Dnn gilt. n b n n, n, b n b = b,. n c n b n, n g, b n g = c n g ( Polizisten-Regel ). Beweis.. Annhme: > b. Dnn gibt es ein ε > mit ε > b + ε. Wegen n existiert dnn ein N mit n > ε n > N. Aus b n b folgt b n < b + ε n > N. Für n > mx(n, N ) ist lso b n < b + ε < ε < n Widerspruch zu n b n.. Wir hben lso n > g ε und b n < g + ε für lle n > N. Dnn ist g ε < n c n b n < g + ε, d. h. g ε < c n < g + ε, lso c n U ε (g) n > N und dmit c n g. Beispiel.7. Betrchte die Folge n = Wir wollen zeigen, dss 3 n n gilt und untersuchen dher die Glieder k, k N. Es gilt k = + ( + ) + ( ) + + ( ) k k + k k > + ( + ) + ( ) + + ( ) k k k > = + k }{{}. k ml Sei nun M >. Dnn hben wir k > + k > M, flls k hinreichend groß (k > M) ist. Dmit ist n > M für n > k mit k > M, d. h. für n > M. Also gilt n. Die Konvergenzgeschwindigkeit ist ber sehr klein. Ds erste n mit n > ist n 43. Ds Alter unseres Universums beträgt etw 7 Sekunden. Definition.8. Eine reelle Folge { n } heißt monoton wchsend, wenn n n+ n bzw. monoton fllend, wenn n n+ n gilt. Eine Folge heißt monoton, wenn sie monoton wächst oder fällt. 3

33 .3. EIGENSCHAFTEN KONVERGENTER FOLGEN Stz.9. Eine monotone Folge { n } ist genu dnn konvergent, wenn sie beschränkt ist. In diesem Fll gilt lim n = sup n bzw. n n lim n = inf n n, n wenn { n } monoton wchsend bzw. monoton fllend ist. Hierbei sind sup n = sup (N), n inf n = inf (N). n Beweis. Sei { n } monoton wchsend (gehe nderenflls zur Folge { n } über). : Ist { n} konvergent, so uch beschränkt nch Stz.3. : Sei { n} beschränkt. Dnn existiert := sup n und es gilt n n. n Andererseits gibt es zu beliebigem ε > ein N mit N > ε n > N. Für n > N folgt dmit ε < N n < + ε, d. h. n. Beispiel.8. Sei n = n. { n } ist offensichtlich monoton wchsend und infolge n = n n < (n ) n = + ( ) + ( ) + + ( ) = < 3 n n n von oben beschränkt, lso konvergent. 733 zeigte L. Euler 3, dss lim n = π n 6 Kpitel 9, Abschnitt 5). gilt (siehe 3 Leonhrd Euler (77-783), schweizer Mthemtiker. Er wr trotz seiner völligen Erblindung im Jhr 77 unglublich produktiv: 866 Publiktionen trgen seinen Nmen. Die Symbole e, π, i,, f(x) gehen uf ihn zurück. Arbeitsgebiete: Differentil- und Integrlrechnung, Theorie der Gmmund Betfunktion, Zhlentheorie, Algebr, Anwendung mthemtischer Methoden in den Sozilund Wirtschftswissenschften (Rentenrechnung, Lotterie, Lebenserwrtung), Mechnik (Hydrodynmik, Kreiseltheorie), Optik (Wellentheorie des Lichts), mthemtische Musiktheorie. 33

34 KAPITEL. ZAHLENFOLGEN & ZAHLENREIHEN.4 Teilfolgen & prtielle Grenzwerte Definition.9. Sei { n } n= eine Folge und {n, n, n 3,...} eine unendliche Teilmenge von N mit n < n < n 3 <. Die Folge { nk } k= heißt dnn eine Teilfolge von { n}. Beispiel.9. Sei n = {,,,,...}. Teilfolgen sind dnn beispielsweise {, 3, 5,...} = {,,,...} oder {, 4, 6,...} = {,,,...} sowie llgemein jede Folge us Einsen und Minus-Einsen {,,,,,,,,,,...}, ber nicht {,,,...,,,,...}. Definition.. Eine Zhl heißt prtieller Grenzwert einer Folge, wenn es eine Teilfolge gibt, die gegen konvergiert. Beispiel.. ) Die Folge {,,,,...} ht die Menge der prtiellen Grenzwerte {, }. ) Gilt n, so ist der einzige prtielle Grenzwert, d. h. jede Teilfolge strebt gegen. 3) {,, 3, 4, 5,...} besitzt keinen prtiellen Grenzwert. 4) Sei { n } die Folge ller rtionlen Zhlen. Die Menge ihrer prtiellen Grenzwerte ist R. Mn sgt: Die Menge Q liegt dicht in der Menge R. Stz. (Bolzno-Weierstrß 4 ). Jede beschränkte Folge besitzt einen prtiellen Grenzwert. 4 Bernrdus Plcidus Johnn Nepomuk Bolzno (78-848), tschechischer Mthemtiker, ktholischer Priester, Philosoph. Grundlgenforschung in der Anlysis, bewies 87 den Zwischenwertstz, führte Cuchy-Folgen schon vier Jhre vor A. L. Cuchy ein. Krl Theodor Wilhelm Weierstrß (85-897), deutscher Mthemtiker. Wurde beknnt durch seine Weierstrßsche Strenge, Mitbegründer der Funktionentheorie, entscheidende Beiträge zu elliptischen Funktionen, Differentilgeometrie und Vritionsrechnung. 34

35 .4. TEILFOLGEN & PARTIELLE GRENZWERTE Beweis. () Sei { n } zunächst eine reelle beschränkte Folge, d. h. es gibt c, d R mit c n d n. Wir definieren nun eine Menge E mit E := {x : nur endlich viele n mit n > x}. Diese Menge E ht folgende Eigenschften: (i) E, denn d E, d n d n ; (ii) E ist von unten beschränkt, denn c ist eine untere Schrnke. Aus (i) und (ii) folgt nun die Existenz von := inf E. Wir zeigen: ist prtieller Grenzwert. Sei dzu ε > beliebig. Nch Definition des Infimums gibt es ein x E mit x ε / E. Drus folgt n < + ε für fst lle n. Wäre nun ε E, so nch Definition von E uch E. Sei lso / E. Dnn gibt es unendlich viele n mit n > ε. Insgesmt ergibt sich nun: Es gibt unendlich viele n mit eε < n < + ε, d. h. jede ε-umgebung U ε () enthält unendlich viele Glieder der Folge. Es gibt lso ein n U (). Dnn existiert uch ein n U () mit n > n sowie ein n3 U () mit 3 n 3 > n usw. Dmit erhlten wir eine Teilfolge { n, n, n3,...}, die gegen konvergiert. () Sei { n } eine komplexe Folge, d. h. n = x n +iy n mit x n, y n R. Ist n beschränkt, so uch x n und y n. Wir hben in () gezeigt, dss x nk R gilt. Dmit gilt dnn uch y nk b R. Dnn gilt uch x nkl, lso x nkl + y nkl + ib. Die Menge der prtiellen Grenzwerte einer Folge ht einige bemerkenswerte Eigenschften. Dfür zunächst die folgende Definition. Definition.. Sei K = R oder C. Eine Teilmenge E K heißt offen, wenn es für jedes x E ein ε = ε(x) > gibt mit U ε (x) E. E K heißt bgeschlossen, wenn ds Komplement E c := K \ E offen ist. Beispiel.. ) Sei K = R. ) Ds Intervll (, b) ist offen in R. b) Ds Intervll (, b] ist nicht offen. c) Ds Intervll [, b] ist bgeschlossen. d) Endliche Mengen sind stets bgeschlossen. ) Sei K = C. ) Ein Kreis ohne Kreislinie (Rnd) in der komplexen Ebene ist offen. b) Ein Kreis mit hlbem Rnd ist weder offen noch bgeschlossen. c) C ist offen und bgeschlossen zugleich. 35

36 KAPITEL. ZAHLENFOLGEN & ZAHLENREIHEN Definition.. Sei E K. Ein Punkt K heißt Häufungspunkt von E, wenn für jedes ε > die ε-umgebung U ε () unendlich viele Punkte us E enthält. Die Menge ller Häufungspunkte von E bezeichnen wir mit E. Beispiel.. ) (, b) = [, b]. ) (, b] = [, b]. 3) [, b] = [, b]. 4) (endliche Menge) =. Die Eigenschft einer Menge offen oder bgeschlossen zu sein, hängt vom Rum b, der jene Menge umgibt. So ist z. B. (, b) R offen, jedoch ist die Strecke zwischen zwei Punkten und b uf der reellen Achse in der komplexen Ebene nicht offen. Eine zur Definition. äquivlente des Häufungspunktes ist: ist genu dnn Häufungspunkt von E, wenn jede ε-umgebung von einen von verschiedenen Punkt us E enthält. Stz.. Eine Menge E ist genu dnn bgeschlossen, wenn sie lle ihre Häufungspunkte enthält, d. h. wenn E E gilt. Beweis. : Seien E bgeschlossen und ein Häufungspunkt von E. Annhme: / E. Dnn ist ber E c, und d E c offen ist, gibt es ein ε > mit U ε () E c Widerspruch dzu, dss Häufungspunkt von E ist. : Möge E lle Häufungspunkte von E enthlten. Wir zeigen, dss dnn Ec offen ist. Sei lso E c. Infolge E E ist / E. Es gibt lso ε-umgebungen U ε (), die nur endlich viele Punkte e, e,..., e n E enthlten. Setze δ := min { e,..., e n }. Dnn enthält U δ () keinen Punkt us E, d. h. U δ () E c. Stz.. Sei E R bgeschlossen und beschränkt. Dnn besitzt E ein Minimum und ein Mximum, d. h. inf E E und sup E E. 36

37 .4. TEILFOLGEN & PARTIELLE GRENZWERTE Beweis. Wegen E und der Beschränktheit von E existieren inf E und sup E. Wir zeigen die Aussge nur für ds Mximum (Minimum geht nlog). Sei sup E / E. Dnn ist sup E E c und E c ist offen, d j E bgeschlossen ist. Es existiert dher ein ε > so, dss U ε (sup E) E c. Insbesondere ist dnn sup E δ / E für δ < ε, womit sup E ε uch eine obere Schrnke von E wäre Widerspruch dzu, dss sup E kleinste obere Schrnke ist. Stz.3. Die Menge der prtiellen Grenzwerte einer beschränkten Folge { n } ist stets nicht-leer, bgeschlossen und beschränkt. Beweis. Sei E die Menge der prtiellen Grenzwerte von { n } mit n M n. Nch dem Stz von Bolzno-Weierstrß ist E. Ist E und nk, so folgt us nk M uch M, lso ist E ttsächlich beschränkt. Wir hben noch zu zeigen: E ist bgeschlossen. Sei hierzu ein Häufungspunkt von E. Für jedes k N gibt es dnn ein e k E mit e k <. D e k E ein prtieller Grenzwert von { n } ist, existiert ein n mit e n <. D e E prtieller Grenzwert von { n } ist, existiert ein n > n mit e n <. Dnn gibt es uch ein n 3 > n mit e 3 n3 < usw. Dmit hben wir eine Teilfolge { 3 n k } mit der Eigenschft nk e k < gefunden. Behuptung: k n k. Sei ε >. Dnn gilt nk = e k + e k nk e k + e k nk < k + k = k < ε für k >. Also folgt ε n k, d. h. E. Dmit enthält E lle seine Häufungspunkte und ist dnn gemäß Stz. bgeschlossen. Definition.3. Sei { n } eine reelle beschränkte Folge. Nch den Sätzen. und.3 besitzt die Menge E der prtiellen Grenzwerte von { n } ein Minimum und ein Mximum. Ds Minimum nennt mn unteren Grenzwert (Limes inferior), lim inf n = lim n. n Ds Mximum nennt mn uch oberen Grenzwert (Limes superior), lim sup n = n lim n. Für jeden beliebigen prtiellen Grenzwert von { n } gilt lso lim inf n n lim sup n. n 37

38 KAPITEL. ZAHLENFOLGEN & ZAHLENREIHEN Die Folge { n } konvergiert genu dnn mit dem Grenzwert, wenn gilt lim inf n n = = lim sup n, n wenn lso der einzige prtielle Grenzwert von { n } ist. Weniger trivil ist ds Folgende: Setze U n := sup k = sup{ n, n+, n+,...}, k n L n := inf k n k = inf{ n, n+, n+,...}. Offenbr ist {U n } monoton fllend und beschränkt (d { n } beschränkt ist) und {L n } ist monoton wchsend und beschränkt. Dmit existieren lim U n =: U und lim L n =: L. Mn knn zeigen (ÜA), dss U = lim n und L = lim n gilt. Dmit hben wir lim sup n = lim n lim inf n sup n k n k = inf sup n k n n = lim inf k = sup n k n n k, inf k. k n Des weiteren knn mn zeigen (ÜA), dss jede nicht-leere und bgeschlossene Menge die Menge der prtiellen Grenzwerte einer beschränkten Folge ist. Definition.4. Eine Folge { n } us K heißt eine Cuchy 5 -Folge, Fundmentlfolge oder uch insichkonvergente Folge, wenn für jedes ε > ein N = N(ε) existiert mit n m < ε für n, m > N. Stz.4. Eine Folge { n } us K ist genu dnn konvergent, wenn sie eine Cuchy- Folge ist. Beweis. : Sei := lim n. Zu beliebigem ε > existiert dnn ein N R mit n < ε und m < ε für n, m > N. Also gilt d. h. { n } ist eine Cuchy-Folge. n m n + m < ε + ε = ε, 5 Augustin Louis Cuchy ( ), frnzösischer Mthemtiker. Bute die uf Newton und Leibniz bsierenden Grundlgen der Anlysis us und bewies fundmentle Aussgen; wichtige Beiträge zur Funktionentheorie. 38

39 .4. TEILFOLGEN & PARTIELLE GRENZWERTE : Sei { n} eine Cuchy-Folge. Für beliebiges ε > existiert dnn ein N = N(ε) R mit n m < ε n, m > N. Insbesondere gilt lso n m < für n, m > N() und dmit n N()+ < n > N(). Dies impliziert zunächst die Beschränktheit von { n }. Nch dem Stz von Bolzno- Weierstrß besitzt { n } einen prtiellen Grenzwert ; wir zeigen = lim n. D prtieller Grenzwert ist, gibt es ein k > N(ε) mit k < ε, lso d. h. n. n n k + k < ε + ε = ε, Stz.4 besgt, dss R und C vollständig sind, d. h. jede insichkonvergente Folge us K = R oder C konvergiert uch in K, besitzt lso einen Grenzwert in K. Beispielsweise ist R \ {} nicht vollständig, denn n = ist zwr eine Cuchy-Folge, ber n lim n / R \ {}. 39

40 KAPITEL. ZAHLENFOLGEN & ZAHLENREIHEN.5 Reihen und ihre Summen Definition.5. Sei { n } n= eine Folge us R oder C. Die Folge {S n } n=, die durch S n := n definiert wird, heißt die us { n } n= gebildete Reihe und wird mit n bezeichnet. n= Diese Reihe heißt konvergent bzw. divergent, wenn ihre Prtilsummenfolge {S n } n= konvergiert bzw. divergiert. Im Konvergenzfll nennt mn den Grenzwert der Folge {S n } n= die Summe der Reihe und bezeichnet ihn ebenflls mit n. n= Beispiel.3. ) Der Ausdruck n= = heißt hrmonische Reihe n 3 und steht für die Folge {S n } n=, wobei S n = gilt. Gemäß Beispiel 3 n.7 wissen wir, dss sie divergiert, =. n ) Die Reihe 3) n= n= = meint die Folge {S n 3 n } n= mit S n = n. Sie konvergiert lut Beispiel.8 mit n= n = π 6. ( ) n+ = + ± bedeutet die Folge {,,,,...}. Die Reihe divergiert, n= d. h. ht keine Summe. Dinge wie sind Käse. ( ) + ( ) + + ( ) = + + = und + ( + ) + ( + ) + + ( + ) = =, lso existiert Gott Konvergenzkriterien dienen dzu, Reihen uf Konvergenz zu untersuchen, ohne dbei ihre Prtilsummenfolge zu betrchten. Stz.5 (Notwendiges Kriterium). Konvergiert die Reihe n, so gilt notwendigerweise n. n= 4

41 .5. REIHEN UND IHRE SUMMEN Beweis. Sei n konvergent, lso n= Drus folgt n = S n S n S S =. S n = n S, S n = n S. Die Bedingung n ist für die Konvergenz einer Reihe jedoch nicht hinreichend, wie ds Beispiel der hrmonischen Reihe illustriert. Stz.6 (Geometrische Reihe). Sei q C. Die Reihe q n = + q + q + q 3 + heißt geometrische Reihe und konvergiert genu dnn, wenn q <. In diesem Fll gilt q n = q. n= n= Beweis. Ist q, so ist {q n } keine Nullfolge und q n gemäß Stz.5 dnn divergent. Sei lso q <. Dnn hben wir d. h. ( + q + q + + q n ) ( q) = + q + q + + q n q q q 3 q n+ = q n+, + q + q + + q n = qn+ q n= q, d qn+. Stz.7 (Vergleichskriterium).. Mjorntenkriterium: Seien n c n n und c n konvergent. Dnn ist uch n konvergent. n=. Minorntenkriterium: Seien d n n n und d n divergent. Dnn divergiert uch n. n= n= n= 4

42 KAPITEL. ZAHLENFOLGEN & ZAHLENREIHEN Beweis.. Sei C n := c + c + + c n. D {C n } konvergiert, ist {C n } beschränkt, C n C. Die Folge {A n } mit A n := n ist infolge n monoton wchsend und wegen A n = n c + c + + c n = C n C beschränkt und dmit konvergent.. Angenommen, {A n } wäre konvergent. Dnn folgt us. die Konvergenz von {D n }, D n := d + d + + d n Widerspruch. Beispiel.4. n= n α = + α + 3 α + 4 α +, α Q. Wir wissen: Für α = divergiert diese Reihe (hrmonische Reihe) und für α = konvergiert sie. Gemäß Stz.5 divergiert sie für α. Sei nun α >. Für α < β gilt n α n β, lso n β n α. D n= n konvergiert und n α n für α >, konvergiert die Reihe für α > nch Stz.7.. D divergiert und für α <, divergiert die Reihe für α <. n n n α n= Ws pssiert ber für < α <? Ds klären wir später. n= Definition.6. Eine Reihe n heißt lternierend, wenn die n bwechselnd positive und negtive reelle Zhlen sind. Stz.8. Sei n= n eine lternierende Reihe und möge n monoton gegen konvergieren. Dnn ist die Reihe konvergent und für die Summe S gilt n k S = k n+. k= k=n+ 4

43 .5. REIHEN UND IHRE SUMMEN Beweis. Wir schreiben n = ( ) n b n, d. h. b n = n. Ist o. B. d. A. >, so gilt Dnn ist Drus folgt n = = b b + b 3 b 4 ±. n= S n = (b b ) + (b 3 b 4 ) + + (b n b n ), S n+ = b (b b 3 ) (b 4 b 5 ) (b n b n+ ). S n S n+ b, denn : {b n } ist monoton fllend, : d b n+ und : d {b n } monoton fällt. Dmit sind {S n } monoton wchsend und {S n+ } monoton fllend. D diese Folgen beschränkt sind, existieren die Limites S n α, S n+ β. Aus S n S n+ b folgt α β b und S n+ S n = b n+, lso α = β =: S, d. h. S n S und S n+ S, mithin S n S. Zur Abschätzung des Fehlers: Aus S b folgt k b =. (.) k= Betrchtet mn sttt die Reihe n+ + n+ + n+3 +, so folgt us (.) k n+. k=n+ Beispiel.5. ) ) nicht nwendbr. ( ) n = + +. D lim n, ist Stz.8 n= ( ) n = + +. Hier ist Stz.8 nwendbr, d n n = n n= ( ) monoton gegen strebt. Mn knn zeigen: n = log. n 3) Es gilt zwr n, ber die Konvergenz erfolgt nicht monoton. n= 43

44 KAPITEL. ZAHLENFOLGEN & ZAHLENREIHEN 4) G. W. Leibniz 6 selbst zeigte: ± = π 4. Definition.7. Eine Reihe n heißt bsolut konvergent, flls die Reihe n konvergiert. n= n= Beispiel.6. Die lternierende hrmonische Reihe + + ± ist konvergent, ber nicht bsolut konvergent. Stz.9 (Cuchy-Kriterium). Eine Reihe n ist genu dnn konvergent, wenn für jedes ε > ein N(ε) existiert mit m k < ε k=n+ n= m > n > N(ε). Beweis. n konvergent S n = n ist eine Cuchy-Folge n= ε > N(ε) : S m S n < ε m > n > N(ε), d. h. S m S n = m k=n+ k. Stz.4 Stz.. Ist die Reihe n n= gewöhnlichen Sinne) und es gilt bsolut konvergent, dnn konvergiert sie uch (im n n= n. n= 6 Gottfried Wilhelm Leibniz (646-76), deutscher Mthemtiker, Physiker, Philosoph, Historiker, Rechtswissenschftler und vieles mehr. Beim Erwchen htte ich schon so viele Einfälle, dss der Tg nicht usreichte, um sie niederzuschreiben. Gilt neben Newton ls Erfinder der Infinitesimlrechnung und führte die Symbole dy dx und dx ein. Entwickelte ds Dulsystem, befsste sich mit Logik, fnd Leibnizsche Formel zur Berechnung der Determinnte. 44

45 .5. REIHEN UND IHRE SUMMEN Beweis. Setze S n := n und T n := n. Gemäß Stz.9 gibt es für jedes ε > ein N(ε) mit m k < ε für m > n > N(ε). Es folgt k=n+ m m m k k = k < ε m > n > N(ε). k=n+ k=n+ k=n+ Wiederum nch Stz.9 ist dnn die Reihe konvergent. Nch der Dreiecks-Ungleichung und Stz.8 gilt S n T n T n S n T n T S T S T. Stz. (Wurzelkriterium). Gilt lim sup Gilt ber lim sup n n n n <, so ist n n >, so divergiert die Reihe n. n= n bsolut konvergent. n= Beweis. Sei lim n n =: q <. Zu jedem ε > mit q < q + ε < gibt es dnn ein n mit n < (q + ε) n n n. D (q + ε) n konvergiert (geometrische Reihe), folgt us Stz.7. die Konvergenz der Reihe n. Gilt lim n n >, so gibt es unendlich viele n mit n n >, lso n >. Dnn geht ber n nicht gegen, weshlb n divergieren muss. Stz. (Quotientenkriterium). Gilt lim sup n bsolut. Gilt ber lim inf n n+ n n+ n >, so divergiert diese Reihe. <, so konvergiert die Reihe n n= Beweis. Sei lim n+ n =: q <. Für jedes ε > mit q < q + ε < existiert dnn ein n mit n+ n < q + ε n n. Für diese n n gilt dnn n + < (q + ε) n, n + < (q + ε) n + < (q + ε) n,. n < (q + ε) n n n = (q + ε) n n (q + ε) n. 45

46 KAPITEL. ZAHLENFOLGEN & ZAHLENREIHEN Ds Mjorntenkriterium mit der geometrischen Reihe ls Vergleichsreihe liefert dnn die Konvergenz von n. Sei nderenflls lim n+ n >, so ist n+ n > n n. Dies ergibt n < n + < n + <, d. h. n geht nicht gegen, weswegen n divergiert. Beispiel.7. ) Für die Exponentilreihe x n, x C, liefert ds Wurzelkriteri- n! um x n n n! n= = x n n! ; ds ist blöd. Ds Quotientenkriterium ergibt ber x n+ (n + )! n! x n = x n + <, lso die bsolute Konvergenz x C. ) Für die Reihe n= n α sind ds Wurzel- und ds Quotientenkriterium infolge n n = n, α n α ( ) n α α n (n + ) = α n + nicht nwendbr, d. h. sie treffen keine Aussge. Stz.3 (Reihenverdichtung). Sei n > n und möge { n } monoton fllend gegen konvergieren. Dnn gilt n konvergent n= n n konvergent. n= Beweis. Bezeichne S n := n k und T n := n k k die entsprechenden Prtilsummen. k= : Sei S n S. Wir hben k= T n = n n = ( ) n n < ( + + ( ) ( k k) ) S. 46

47 .5. REIHEN UND IHRE SUMMEN Die Folge {T n } ist monoton wchsend und von oben beschränkt, lso konvergent. : Gelte T n T. Dnn ist S k = k k k+ = + ( + 3 ) ( k k+ ) k k T, d. h. {S n } ist monoton wchsend und von oben beschränkt, lso konvergent. Beispiel.8. Für n= n α ist die verdichtete Reihe n = ( n ) α n= n= ( α ) n. Sie konvergiert für < < α α >. Dmit ist die Lücke us Beispiel.4 geschlossen. α 47

48 KAPITEL. ZAHLENFOLGEN & ZAHLENREIHEN.6 Umordnungen & Produkte von Reihen Definition.8. Gegeben sei die Reihe n. Ist {b n } eine Umordnung der Folge { n }, n= d. h. gilt b n = π(n) mit einer Bijektion π : N N, so heißt b n eine Umordnung von n. n= Beispiel.9. Sei n= n = + +. Dnn ist n= b n n= = ± eine Umordnung. Keine Umordnung ist hingegen I. A. knn Umordnung die Konvergenz zu Nichte mchen oder die Summe ändern. Definition.9. Eine Reihe heißt unbedingt konvergent, wenn sie konvergiert und uch jede Umordnung konvergiert und dieselbe Summe ht. Anderenflls heißt die Reihe bedingt konvergent. Die Beweise der folgenden drei Sätze wurden in der Vorlesung nicht gebrcht, d sich der Professor nicht zu sehr dem Modulhndbuch widersetzen will. Stz.4 (Umordnungsstz). Eine Reihe ist genu dnn unbedingt konvergent, wenn sie bsolut konvergiert. Stz.5 (Riemnnscher Umordnungsstz). Sei n eine konvergente ber nicht bsolut konvergente Reihe reeller Zhlen und sei r s. Dnn existiert eine Umordnung dieser Reihe so, dss die Menge der prtiellen Grenzwerte der Umordnung gleich [r, s] ist. Beispiel.. Wir wissen, dss für die lternierende hrmonische Reihe (Beispiel.5.) gilt ( ) n = n ± = log n= 48

49 .6. UMORDNUNGEN & PRODUKTE VON REIHEN und wollen zeigen, dss es eine Umordnung n= ( ) π(n) π(n) = dieser Reihe gibt, wobei π : N N eine Bijektion sei. Hierzu betrchten wir die ungerden Glieder der Ausgngsreihe von bis. Dnn gilt n + n+ n + + n n+ > n n+ = 4. Drus ergibt sich, dss die folgende Umordnung + +( + ) +( ) + +( ) n + n +3 n+ n+ die Summe ht, lso nicht konvergiert. Jedes Glied gerder Ordnung kommt ttsächlich genu einml in der Umordnung vor llerdings in immer größer werdenden Abständen zueinnder. Dher können die Prtilsummen über lle vorgegebenen Grenzen wchsen. Gnz nlog knn mn Umordnungen dieser Reihe finden, die jede vorgegebene Zhl S zur Summe hben. Dzu ddiert mn so lnge Glieder ungerder Ordnung, bis mn S zum ersten Ml überschritten ht. Dnn ist ds erste gerde Glied drn und mn unterschreitet S wieder. Jetzt sind wieder so viele ungerde Glieder drn, bis mn S gerde übersteigt, usw. Insbesondere heißt ds lso, dss ds Kommuttivgesetz für unendliche Summen i. A. nicht gilt. Stz.6 (Großer Umordnungsstz). Sei A eine höchstens bzählbre Menge und für jedes α A sei I α N mit I α I β =, α β und mit I α = N. Dnn gilt: Ist n α I n= bsolut konvergent, so sind die Reihen i ebenflls bsolut konvergent und wir hben i I α n = i, n= α A i I α wobei die Reihe rechts vom Gleichheitszeichen bsolut konvergiert. Für endliche Summen gilt ( ) ( i i I j J b j ) = i I j J i b j. 49

50 KAPITEL. ZAHLENFOLGEN & ZAHLENREIHEN Definition.. Eine Doppelfolge ist eine Abbildung : N N K, N := N {}. Mn schreibt ij sttt (i, j) und bezeichnet sie mit { ij } i,j=. Die us der Doppelfolge { ij } i,j= nch der Regel S n = heißt Doppelreihe und wird mit Die Doppelreihe ij i,j= i,j= ij bezeichnet. n i,j= ij gebildete Folge {S n } n= heißt konvergent bzw. divergent, wenn {S n } n= es ist. Im Konvergenzfll S n S nennt mn S die Summe der Doppelreihe und bezeichnet S ebenflls mit ij. i,j= Mn knn sich eine Doppelreihe { ij } i,j= lso so vorstellen: j 4 4 i Dbei sitzen uf den Gitterpunkten die Glieder der Doppelfolge wie z. B. ds Glied 4 im Punkt (4, ). Addiert mn jetzt lle Glieder dieser Doppelfolge im ngegebenen (n n)-qudrt (in der Skizze für n = 5) 5

51 .6. UMORDNUNGEN & PRODUKTE VON REIHEN j n n i erhält mn die n-te Prtilsumme (S n ) der zugehörigen Doppelreihe i,j= n. Stz.7 (Doppelreihenstz). Konvergiert die Doppelreihe i,j= ij bsolut, so gilt ( ) ij = ij = i,j= n= i+j=n ( ) ij = i= j= ( ) ij = lim j= i= n i +j n ij, wobei lle uftretenden Reihen wieder bsolut konvergent sind. Kurz gesgt: Eine bsolut konvergente Doppelreihe knn beliebig ufsummiert werden. Beispiel.. x + x + 3x 3 + 4x 4 +. Konvergenz dieser Reihe würde nx n, lso x < vorussetzen. Gilt ndererseits x <, so folgt us dem Wurzelkriterium lim sup n n nxn = x lim sup n lso die bsolute Konvergenz dieser Reihe, d. h. n n = x <, Konvergenz dieser Reihe bsolute Konvergenz dieser Reihe x <. 5

52 KAPITEL. ZAHLENFOLGEN & ZAHLENREIHEN Betrchtet mn jetzt die Doppelfolge..... x 5 x 4 x 5 x 3 x 4 x 5 x x 3 x 4 x 5 x x x 3 x 4 x 5 für x <, so lutet die zugehörige Doppelreihe ij = lim (x + x + 3x nx n ). n i,j= D sie bsolut konvergiert, knn sie nch der Buchhlter-Methode berechnet werden, d. h. wir summieren erst lle Zeilen für sich und dnn die Zeilensummen: x 5 = x 5 ( + x + x + ) = x5 x x 4 x 5 = x 4 ( + x + x + ) = x4 x x 3 x 4 x 5 = x 3 ( + x + x + ) = x3 x x x 3 x 4 x 5 = x ( + x + x + ) = x x x x x 3 x 4 x 5 = x( + x + x + ) = x Wir hben lso x + x + 3x 3 + 4x 4 + = x ( + x + x x + ) = x für x <. ( x) x x ( x) Definition.. Ds Produkt zweier Reihen n und b n ist die Doppelreihe n= ( ) ( ) n b n = i b j. n= n= i,j= n= Stz.8 (Cuchy-Produkt von Reihen). Seien n und b n zwei bsolut konver- gente Reihen. Dnn ist uch die Reihe c n mit n= n= n= n c n := k b n k = b n + b n + + n b k= 5

53 .6. UMORDNUNGEN & PRODUKTE VON REIHEN bsolut konvergent und für ihre Summe gilt ( ) ( ) c n = n b n. n= n= n= Beweis. Die c n lssen sich uch in der Form r+s=n r b s schreiben. Es wird lso über lle Indexpre (r, s) summiert, die sich in N uf der Digonlen r + s = n befinden. Für die Prtilsumme C N der Reihe c n gilt dher C N = N c n = r b s, wobei n= n= (r,s) D N D N := { (r, s) N : r + s N } gesetzt wurde. Ausmultiplizieren der Prtilsummen A N := N n und B N := N b n ergibt A N B N = n= n= r b s mit Q N := { (r, s) N : r, s N }. Infolge D N Q N können wir (r,s) Q N A N B N C N = r b s schreiben. (r,s) Q N \D N Wie eben erhält mn A N B N = r b s für ds Produkt der Prtilsummen (r,s) Q N A N := N n und B N := N b n. Wegen Q N/ D N gilt Q N \ D N Q N \ Q N/, lso n= A N B N C N n= (r,s) Q N \Q N/ r b s = A NB N A N/ B N/. D (A N B N ) eine Cuchy-Folge ist, strebt die letzte Differenz für N gegen, d. h. es gilt lim C N = lim A NB N = lim A N lim B N. N N N N Dmit sind die Konvergenz der Reihe c n und die behuptete Formel gezeigt. n= k= Mit c n n k b n k ergibt sich die bsolute Konvergenz von c n durch Anwen- dung des eben Bewiesenen uf die beiden Reihen n und b n. n= n= n= 53

54 KAPITEL. ZAHLENFOLGEN & ZAHLENREIHEN 54

55 3 Elementre Funktionen N. H. Abel J. Hdmrd 3. Polynome & Rtionle Funktionen Ein Polynom ist eine Funktion p: C C der Form p(z) = p + p z + p z + + p n z n mit p j C und i. A. p n. Dnn heißt n der Grd von p, deg(p) = n. Ist hingegen z reell, so schreiben wir x sttt z, lso p(x) = p + p x + p x + + p n x n, p j R, und erhlten eine Abbildung p: R R. Beispiel 3.. ) Linere Polynome p(x) = p + p x 55

56 KAPITEL 3. ELEMENTARE FUNKTIONEN y p α Anstieg: tn α = p p /p = p p x ) Qudrtische Polynome p(x) = p + p x + p x p y = x y = x y y y = (x ) + y = x x y = x x Die Lösungen der qudrtischen Gleichung x + px + q = sind gegeben durch x ; = p ± p q. 4 3) Polynome höheren Grdes y y = x 3 y y = x 3 + y y = x 4 + x x x Für n 5 gibt es keine Lösung der Gleichung p +p x + +p n x n in Rdiklen (dies zeigte N. H. Abel ). Niels Henrik Abel (8-89), norwegischer Mthemtiker. Einführung belscher Integrle, Mitbe- 56

57 3.. POLYNOME & RATIONALE FUNKTIONEN Eine rtionle Funktion ist eine Funktion der Gestlt r(z) = p + p z + + p n z n q + q z + + q m z m, d. h. der Quotient zweier Polynome. Dbei ist r in den Nullstellen des Nenners nicht definiert: r : C \ N C, wobei N die Menge der Nullstellen des Nennerpolynoms meint. Bei reellen Vriblen ersetzt mn wieder z durch x. Beispiel 3.. y y = x y y = x y y = x x x x Der Grph von y = heißt Hyperbel. Wir werden später feststellen, dss die Singulrität x von y = in x = schlimmer ist ls die von y =, wenn es z. B. um die Berechnung x x von Integrlen wie f(x) dx oder f(x) dx geht. x x gründer der Gruppentheorie. Aus seiner Schulzeit existiert noch ein Klssenbuch mit dem Eintrg seines Lehrers über ihn:... dss er der größte Mthemtiker der Welt werden knn, wenn er lnge genug lebt.. 57

58 KAPITEL 3. ELEMENTARE FUNKTIONEN 3. Potenzreihen Definition 3.. Eine Potenzreihe ist eine Reihe der Form n z n = + z + z + 3 z 3 +. n= Mn knn lso sgen: Potenzreihen sind Polynome vom Grd. Mn denkt sich die Koeffizienten j ls gegeben und z C ls vribel. Es stellt sich sofort die Frge, für welche z C eine Potenzreihe konvergiert. Beispiel 3.3. ) Wir wissen, dss die Reihe z n = + z + z + z 3 + genu dnn konvergiert, wenn z < gilt. n= ) Im Beispiel.7. hben wir gesehen, dss die Reihe für lle z C konvergiert. n= z n n! = + z + z! + z3 3! + 3) Die Reihe n!z n = +z +!z +3!z 3 + konvergiert für z =. Im Flle z gilt n= n!z n = (/z)n n!, wenn mn in ) z durch ersetzt. Dnn liegt keine Konvergenz z vor. Stz 3.. Für eine Potenzreihe gibt es genu die folgenden drei Möglichkeiten: ) Die Reihe konvergiert bsolut für lle z C, b) Es gibt eine Zhl R (, ) so, dss die Reihe für z < R bsolut konvergiert und z > R divergiert, c) Die Reihe divergiert für lle z C \ {}. Definition 3.. Die Zhl R us Stz 3. heißt Konvergenzrdius der Potenzreihe und {z C : z < R} wird Konvergenzkreis gennnt. Im Fll us Stz 3. setzt 58

59 3.. POTENZREIHEN mn R = und im Fll 3 setzt mn R =. Betrchtet mn eine Potenzreihe nur für reelle z, schreibt mn wieder x sttt z, n x n = + x + x + 3 x 3 + n= und mn spricht vom Konvergenzintervll sttt vom Konvergenzkreis. Stz 3. (Formel von Cuchy-Hdmrd ). Für den Konvergenzrdius gilt R = n lim sup n, n wobei wir := und := setzen. Beweis der Sätze 3. und 3.. Wir hben n lim sup n z n n = lim sup n z = z. R n n Nch dem Wurzelkriterium liegt dnn für z < bsolute Konvergenz vor. Aus dem R Beweis des Wurzelkriteriums folgt, dss für z > gilt lim R nz n, lso liegt für z > Divergenz vor. R Die Frge, ws für z = R pssiert, d. h. wie sich die Potenzreihe uf der sog. Konvergenzkreislinie verhält, ist i. A. delikt und bedrf gesonderter Untersuchungen. Stz 3.3. Im Inneren des Konvergenzkreises knn mn Potenzreihen gliedweise ddieren, subtrhieren und ds Cuchy-Produkt bilden. Dies folgt sofort us der bsoluten Konvergenz. Hben die Reihen dbei ber verschiedene Konvergenzkreise, muss der kleinere von beiden gewählt werden. Jcques Hdmrd ( ), frnzösischer Mthemtiker. Beiträge zu prtiellen Differentilgleichungen, Arbeiten zur geometrischen Optik und Grenzwertproblemen. Bedeutend ist uch sein Beweis des Primzhlstzes us dem Jhr

60 KAPITEL 3. ELEMENTARE FUNKTIONEN Beispiel 3.4. Betrchte für z < ds Produkt ( + z + z + z 3 + )( + z + z + z 3 + ) Dmit hben wir = ( + z + z + z 3 ) + (z + z + z 3 + ) + (z + z 3 + ) + = + z + 3z + 4z 3 + = (+z). z + z + 3z 3 + 4z 4 + = ( + z + 3z + 4z 3 + ) ( + z + z + z 3 + ) = ( z) z = ( z) ( z) = z ( z). 6

61 3.3. DIE EXPONENTIALFUNKTION 3.3 Die Exponentilfunktion Definition 3.3. Für z C ist die Exponentilfunktion exp z definiert durch exp z := n= z n n! = + z + z! + z3 3! + z4 4! +. Wir hben gesehen, dss die Reihe für exp z in der gesmten Ebene bsolut konvergiert. Stz 3.4 (Funktionlgleichung). Für lle z, w C gilt: exp(z + w) = (exp z) (exp w). Beweis. D die Reihen bsolut konvergieren, können wir ds Cuchy-Produkt nwenden: ( ) ( z j ) w k z j w k (exp z)(exp w) = = j! k! j!k! j= k= j,k= ( ) ( z j w k n ) z l w n l = = j!k! l!(n l)! n= j+k=n n= l= ( n ) ( n! n ( ) = n! l!(n l)! zl w n l n = )z l w n l n! l n= l= n= l= (z + w) n = = exp(z + w). n! n= Definition 3.4. Die Eulersche Zhl e ist definiert durch e := exp = n= n! = = ! 3! Für x Q knn e x wie üblich gebildet werden: e x = e p/q = q e p. 6

62 KAPITEL 3. ELEMENTARE FUNKTIONEN Stz 3.5. Für reelle rtionle Zhlen x gilt exp(x) = e x. Beweis. Wir hben exp = e = e nch Definition von e. Des weiteren gilt für n, m und exp n = exp(n + ) = exp(n ) exp = = exp exp exp }{{} n Fktoren = e e e = e n (exp m )m = exp exp exp = exp( m m m }{{} ) = exp = e, m m m m Fktoren lso exp m = e m. Außerdem gilt exp n = exp( ) = exp m m m m }{{} exp exp = (exp m m m m )n = n Summnden Es ist exp = = e und dmit exp( n ) exp n = exp( n + n ) = exp =, m m m m ( ) n e n m = e m. d. h. exp( n m ) = exp n m = e n = e n/m m. Definition 3.5. Für z C definiert mn die komplexe Potenz von e durch e z := exp z. Für x R kennen wir den Grph von y = e x : y y = e x x 6

63 3.3. DIE EXPONENTIALFUNKTION Mittels Stz 3.5 und Definition 3.5 können wir die Funktionlgleichung der Exponentilfunktion uch in der Form schreiben. e z+w = e z e w z, w C, Stz 3.6. Für x R gilt e ix T := {z C : z = }. Ds bedeutet: e ix liegt für jedes x R uf dem Einheitskreis. Beweis. Sei z = + ib eine komplexe Zhl. Dnn nennen wir z := ib die zu z komplex-konjugierte Zhl. ib z ib z Dnn gilt z z = ( + ib)( ib) = + b = z. Für z C gilt nun und somit e z = lso e ix =, d. h. e ix T. z n n! = ( ) z n = n! n= n= n= z n n! = ez e ix = e ix e ix = e ix e ix = e ix e ix = e =, Für x = ist e ix =. Lssen wir x wchsen, so bewegt sich e ix monoton uf dem Einheitskreis gegen den Uhrzeigersinn und es gibt ein erstes x > mit e ix = (ds knn bewiesen werden). Definition 3.6. Für die kleinste Zhl x > mit e ix = setzen wir π := x. 63

64 KAPITEL 3. ELEMENTARE FUNKTIONEN Dmit hben wir e πi =, lso e πi = ±. e πi = + würde ber e i x = bedeuten, ws der Definition von x widerspräche, d. h. es gilt e πi =. Diese bemerkenswerte Gleichung tuchte erstmls bei L. Euler uf. Wir hben gesehen, wie die reelle e-funktion ussieht. Wie stellt mn sich nun e z im Komplexen vor? Wir wissen bisher e z+πi = e z e πi = e z, d. h. πi ist eine Periode der Exponentilfunktion. Es reicht lso, wenn wir eine Vorstellung von e z für I(z) < π hben. Dzu stellen wir uns ein solches z in der komplexen Ebene vor und lssen es prllel zur reellen Achse (bzw. prllel zur imginären Achse) in Pfeilrichtung wndern (Abbildungen links). Die Wnderung des Punktes z betrchten wir unter der Exponentilfunktion, d. h. wir verfolgen die Bewegung des Punktes w = e z (Abbildungen rechts): z 3 z z 4πi πi πi w e iy w 3 e iy 3 w 3 In dieser Abbildung sind z = x + i, z = x + iy, z 3 = x 3 + iy 3 mit y 3 = π ε, ε > sowie w j = z ej für j =,, 3. z πi z z 3 w w w 3 Hier sind z = x + i, z = + i, z 3 = x 3 + i mit x <, x 3 > und w j = e zj für j =,, 3. 64

65 3.4. WINKELFUNKTIONEN 3.4 Winkelfunktionen Definition 3.7. Für z C definieren wir den Sinus und Kosinus durch sin z := cos z := ( ) n z n+ (n + )! = z z3 3! + z5 5!, n= ( ) n zn (n)! = z! + z4 4!. n= Die Potenzreihen für sin z und cos z sind in gnz C bsolut konvergent. Stz 3.7. Für z C gilt e iz = cos z + i sin z. Beweis. Es gilt : Großer Umordnungsstz. e iz = + iz! + (iz) + (iz)3 + (iz)4 + (iz)5 +! 3! 4! 5! = + iz z! iz3 3! + z4 4! + iz5 5! + ) ) = ( z! + z4 4! + i (z z3 3! + z5 5! = cos z + i sin z; Für reelle x ist dmit e ix = cos x + i sin x. D cos x und sin x für reelle x ebenflls reell sind, hben wir cos x = R(e ix ), sin x = I(e ix ). Vorstellung m Einheitskreis: Bezeichnet mn 36 mit π, so ist der Winkel ϕ in der Abbildung gerde x. An dieser Stelle kommt lso ds Bogenmß ins Spiel; z. B. sind 36 ˆ= π, 8 ˆ= π, 9 ˆ= π. ϕ cos ϕ e ix sin ϕ 65

66 KAPITEL 3. ELEMENTARE FUNKTIONEN Ersetzt mn in der Definition 3.7 jeweils z durch z, so ergibt sich sofort sin( z) = sin z, cos( z) = cos z. Wendet mn ds in Stz 3.7 n, ergibt sich e iz = cos z i sin z, lso cos z = eiz + e iz, sin z = eiz e iz. i Hierus folgen lle weiteren Eigenschften von Sinus und Kosinus wie z. B. Stz 3.8. Für lle z, w C gilt sin z + cos z =, sin(z + w) = sin z cos w + cos z sin w, cos(z + w) = cos z cos w sin z sin w. Beweis. Es gilt sowie ( ) e sin z + cos iz e iz ( e iz + e iz z = + i ) = 4( e iz + e iz + e iz + + e iz) = cos z cos w sin z sin w = (eiz + e iz )(e iw + e iw ) 4 = ei(z+w) + e i(z+w) und nlog für sin(z + w). Des weiteren hben wir + (eiz e iz )(e iw e iw ) 4 = cos(z + w) sin(z + π) = ei(z+π) e i(z+π) i cos(z + π) = ei(z+π) + e i(z+π) d. h. Sinus und Kosinus hben die Periode π. Grphen von Sinus und Kosinus für reelle x: = eiz e iz i = eiz + e iz = sin z, = cos z, 66

67 3.4. WINKELFUNKTIONEN y y = cos x π π x y = sin x Aus der komplexen Periode von e z ± e z wird durch Vormultipliktion mit i (ws einer Drehung von 9 entspricht) eine reelle Periode von e iz ± e iz. Definition 3.8. Für z C definieren wir des weiteren durch tn z := sin z cos z, cos z cot z :=, sec z :=, cosec z := sin z cos z sin z. den Tngens, Kotngens, Sekns und Kosekns. Für reelle x ergeben sich folgende beknnte Bilder: y y = tn x y y = cot x π π π x π π π x 67

68 KAPITEL 3. ELEMENTARE FUNKTIONEN 3.5 Hyperbelfunktionen Diese Funktionen sind eigentlich unnötig, bisweilen ber durchus prktisch. Definition 3.9. Für z C sind der Hyperbelsinus und Hyperbelkosinus definiert durch z n+ sinh z := (n + )! = z + z3 3! + z5 5! + z7 7! +, cosh z := n= n= z n (n)! = + z! + z4 4! + z6 6! + z8 8! +. Es gilt e z = sinh z + cosh z, e z = sinh z + cosh z, lso cosh z = ez + e z, sinh z = ez e z, sin(iz) = iz (iz)3 3! cos(iz) = (iz)! + (iz)5 5! + (iz)4 4! = iz + i z3 3! + iz5 + = i sinh z, 5! = + z! + z4 + = cosh z. 4! Insbesondere sind dnn sin(x + iy) = sin x cos(iy) + cos x sin(iy) = sin x cosh y + i cos x sinh y, cos(x + iy) = cos x cos(iy) sin x sin(iy) = cos x cosh y i sin x sinh y. Des weiteren gilt cosh z sinh z =. Grphen der Hyperbelfunktionen für reelle x: 68

69 3.5. HYPERBELFUNKTIONEN y y = cosh x x y = sinh x Der Grph von y = cosh x ist eine sogennnte Kettenlinie. Aber woher kommt eigentlich die Bezeichnung Hyperbel? Betrchten wir dzu die Bilder einer Ellipse (links) und einer Hyperbel (rechts): y x y y b = x b + y b = x x Mn interessiert sich nun für die Prmeterdrstellung dieser beiden, nämlich:. Für die Hyperbel: ) linker Ast: b) rechter Ast: x = cosh t, y = b sinh t, t R, x = cosh t, y = b sinh t, t R. Hierin tuchen die eben besprochenen beiden Funktionen uf.. Für die Ellipse: x = cos t, y = b sin t, t π. Entsprechend könnte mn lso die Winkelfunktionen uch Ellipsenfunktionen nennen. 69

70 KAPITEL 3. ELEMENTARE FUNKTIONEN 7

71 4 Funktionengrenzwerte & Stetigkeit E. Lndu C. de l Vlleé Poussin P. Tschebyscheff Aus n = (n), n wird nun f(x), x x. 4. Reelle Funktionen uf reellen Intervllen Definition 4.. Seien f : (, b) R eine Funktion (Abbildung) und x (, b]. Mn sgt, dss f in x den linksseitigen Grenzwert g hbe und notiert f(x ) = lim f(x) = g, x x wenn für jedes ε > ein δ = δ(ε) > existiert mit f(x) g < ε x (, b) mit x δ < x < x. 7

72 KAPITEL 4. FUNKTIONENGRENZWERTE & STETIGKEIT Ist nlog f : (, b) R eine Funktion und ist x [, b), so sgt mn, dss f in x den rechtsseitigen Grenzwert g + hbe und schreibt f(x + ) = wenn es zu jedem ε > ein δ = δ(ε) > gibt mit lim f(x) = g +, x x + f(x) g + < ε x (, b) mit x < x < x + δ. x für < x < Beispiel 4.. ) f : (, 4) R, f(x) = 3 für x =. 3 x für < x < 4 Es gilt f( ) = = f( + ), f(4 ) =, f( + ) =. y x ) f : R \ {} R, f(x) =. x f( + ) und f( ) existieren nicht bzw. f( + ) = und f( ) =. y x 3) f : R \ {} R, f(x) = sin x. f( + ) existiert nicht. 7

73 4.. REELLE FUNKTIONEN AUF REELLEN INTERVALLEN y x Definition 4.. Seien f : (, b) R und x (, b). Mn sgt, dss f in x den Grenzwert g ht und schreibt lim f(x) = g, x x wenn gilt: ε > δ = δ(ε) > mit f(x) g < ε x (, b) mit < x x < δ. Stz 4.. Seien f : (, b) R, x (, b). Der Grenzwert lim x x f(x) existiert und ist gleich g genu dnn, wenn f(x ) und f(x + ) beide existieren und gleich g sind. Beweis. : Es existiere der Grenzwert lim x x f(x) und sei gleich g, d. h. ε > δ = δ(ε) > : f(x) g < ε x (, b) : x U δ (x ) \ {x }. Dmit gilt insbesondere uch f(x) g < ε x (x δ, x ) U δ (x ) und x (x, x + δ) U δ (x ). Nch Definition 4. existieren dnn der links- und rechtsseitige Grenzwert lim f(x), lim f(x), die beide gleich g sind. x x x x + : Gibt es zu beliebigem ε > ein δ = δ(ε) > mit f(x) g < ε für lle x (x δ, x ) (, b) und lle x (x, x + δ) (, b), so gilt f(x) g < ε uch für lle x U δ (x ) \ {x } (, b). Drus folgt die Behuptung. Definition 4.3. Sei f : (, b) R. f heißt stetig im Punkt x (, b), wenn gilt lim f(x) = f(x ). x x f heißt stetig im Intervll (, b), wenn f in jedem Punkt us (, b) stetig ist. 73

74 KAPITEL 4. FUNKTIONENGRENZWERTE & STETIGKEIT Mit nderen Worten: f ist genu dnn in x stetig, wenn der Grenzwert lim x x f(x) existiert und gleich dem Funktionswert f(x ) ist. Anschulich bedeutet die Stetigkeit von f in (, b), dss mn den Grphen von f in (, b) zeichnen knn, ohne den Stift bsetzen zu müssen. Beispiel 4.. ) Die bgebildete Funktion f : (, b) R y x b x ist in x nicht stetig, d lim x x f(x) nicht existiert. In llen nderen Punkten us (, b) ist f stetig. ) Die Funktion f : (, b) R y x b x ist in x nicht stetig, d lim x x f(x) zwr existiert, ber von f(x ) verschieden ist. 3) Betrchte die Funktion f : R R, f(x) = { x für x sin x für x >. 74

75 4.. REELLE FUNKTIONEN AUF REELLEN INTERVALLEN y x f ist in x = unstetig, d f( + ) nicht existiert. In llen nderen Punkten ist f stetig. Unstetigkeitsstellen werden klssifiziert: i) Hebbre Unstetigkeiten: Es gilt f(x ) = f(x + ) f(x ). Ändert mn f(x ), knn mn Stetigkeit von f in x erreichen. ii) Unstetigkeiten. Art (Sprünge): f(x ) und f(x + ) existieren, sind ber verschieden. iii) Unstetigkeiten. Art: f(x ) oder f(x + ) existiert nicht. Beispiel 4.3. Die Dirichlet -Funktion χ: R R, χ(x) := { für x Q für x R \ Q ist in jedem Punkt x R unstetig, d weder f(x ) noch f(x + ) existieren. Betrchtet mn ndererseits die Funktion { x für x Q f : R R, f(x) := für x R \ Q, so ist diese nur im Punkt x = stetig und für jedes x unstetig. Auf diese Weise knn mn Funktionen mit einer beliebigen Anzhl von Stetigkeitsstellen konstruieren. Peter Gustv Lejeune Dirichlet (85-859), deutscher Mthemtiker. Arbeitete vorwiegend uf den Gebieten Anlysis und Zhlentheorie. Mchte erstmls 85 uf sich ufmerksm, ls er mit Adrien-Mrie Legendre die Fermtsche Vermutung für n = 5 bewies. Trt 855 in Göttingen ls Nchfolger von Guß die Professur für höhere Mthemtik n. 75

76 KAPITEL 4. FUNKTIONENGRENZWERTE & STETIGKEIT Stz 4.. Seien f, g : I := (, b) R, x I. Sind f und g in x stetig, so gilt dies uch für f ± g, f g und f g (flls g(x ) ). Beweis. Sei x n I eine Folge mit lim x n = x. D f, g in x I stetig sind, gilt n lim f(x n) = f(x ) und lim g(x n ) = g(x ). Gemäß den Regeln für Grenzwerte von n n Folgen (Kpitel, Abschnitt 3) gilt dnn lim (f ± g)(x n) = (f ± g)(x ), n worus die Behuptung folgt. lim (f g)(x n ) = (f g)(x ), n ( lim f ) (xn ) = ( ) f (x ), n g g Korollr 4. (zu Stz 4.). Polynome sind überll stetig; rtionle Funktionen sind überll dort stetig, wo ihr Nenner nicht verschwindet. Beweis. f(x) = const ist stetig, f(x) = x ist stetig. Stz 4. liefert dnn die Stetigkeit von h(x) = x, h(x) = bxx, h(x) = x + bxx, usw. Stz 4.3. Die Summe einer Potenzreihe ist im Inneren des Konvergenzintervlls stetig. Beweis. Sei f(x) = n x n bsolut konvergent für x ( R, R) und sei x ( R, R) n= beliebig. Wir wollen zeigen, dss f in x stetig ist. Es existiert ein ρ mit x < ρ < R. R x x R Wir hben f(x) f(x ) = n (x n x n ) n x n x n = n x n x n n= n= n= = n x x x n + x n x + + x n n= = x x x x n= n= n x n + x n x + + x n ρ n ( ) x n + x n x + + x n. }{{} n Summnden 76

77 4.. REELLE FUNKTIONEN AUF REELLEN INTERVALLEN : Denn es gilt n b n = n + n b + n 3 b + + b n. b Multipliziert mn nämlich die rechte Seite dieser Gleichung mit b, erhält mn ( b)( n + n b + n 3 b + + b n = + n b + n b + + b n b n b n b n b n = n b n. Ist nun x x < δ mit hinreichend kleinem δ >, so ist x < ρ (z. B. für δ = ρ x ). Dnn erhlten wir f(x) f(x ) x x n nρ n M x x n= } {{ } =:M mit M <, d für den Konvergenzrdius R von n nρ n gilt R = lim sup n n n n = lim sup n ( n n n n ) = lim sup n n n R. Also ist f(x) f(x ) < ε, flls nur x x < δ := min ( δ, ε M ). Drus folgt unmittelbr, dss e x, sin x, cos x, sinh x, cosh x uf gnz R stetig sind. n= Stz 4.4. Seien f : (, b) (c, d) und g : (c, d) R zwei Funktionen. Seien f in x und g in f(x ) stetig. Dnn ist g f in x stetig. Beweis. Zu beliebig vorgegebenem ε > hben wir g ( f(x) ) g ( f(x ) ) < ε für f(x) f(x ) < δ, d g in f(x ) stetig ist. f(x) f(x ) < δ gilt für x x < δ, weil f in x stetig ist, lso ist g ( f(x) ) g ( f(x ) ) < ε für x x < δ, d. h. g f ist in x stetig. Demnch sind uch e x, sin e x, etc. uf gnz R stetig. Bemerkung (ε-δ-definition der Stetigkeit). Eine Funktion f : I R ist genu dnn im Punkt x I stetig, wenn es zu jedem ε > ein δ > so gibt, dss f(x) f(x ) < ε x I : x x < δ gilt. 77

78 KAPITEL 4. FUNKTIONENGRENZWERTE & STETIGKEIT Beweis. : Sei f in x I stetig, d. h. es gilt lim x x f(x) = f(x ) ( ). Annhme: Es gibt ein ε >, so dss es kein δ > mit f(x) f(x ) < ε für lle x I mit x x < δ gibt. Zu jedem δ > existiert dnn ein x I mit x x < δ, ber f(x ) f(x ) ε. Wegen ( ) gibt es nun eine Folge x n I mit x n x < n und f(xn ) f(x ) ε. Dnn ist lim x n = x und, d f in x stetig ist, uch lim f(x n ) = f(x ). Letzteres n n steht ber im Widerspruch zur Annhme f(xn ) f(x ) ε für jedes n N. : Seien ε, δ > mit f(x) f(x ) < ε für lle x I mit x x < δ. Für jede Folge x n I mit x n x gibt es ein N R mit x n x < δ für lle n N. Nch Vorussetzung ist dnn f(xn ) f(x ) < ε für lle n N, lso gilt lim f(x n ) = n lim f(x) = f(x ). x x 78

79 4.. ZWISCHENWERTSATZ 4. Zwischenwertstz Definition 4.4. Eine Funktion f : [, b] R heißt stetig uf [,b], wenn f in (, b) stetig ist und ußerdem f( + ) = f() sowie f(b + ) = f(b) gilt. Beispiel 4.4. y f y b x g b x y h b x Die Funktionen f, g, h sind in (, b) stetig, ber uf [, b] unstetig. Definition 4.5. Eine Funktion f : [, b] R heißt beschränkt, wenn ein M R existiert mit f(x) M x [, b]. 79

80 KAPITEL 4. FUNKTIONENGRENZWERTE & STETIGKEIT So sind beispielsweise die Funktionen g und h us Beispiel 4.4 beschränkt; f ist unbeschränkt. Stz 4.5 (Weierstrß). Ist f : [, b] R uf [, b] stetig, so ist f beschränkt und die Menge { f ( [, b] )} besitzt ein Minimum und ein Mximum. D. h. es existieren p, q [, b] mit f(p) f(x) f(q) x [, b]. Beweis. Annhme: f ist nicht beschränkt. Dnn gibt es für jedes n N ein x n [, b] mit f(x n ) > n. Nch Stz. (Bolzno-Weierstrß) gibt es eine Teilfolge {x nk } von {x n } und ein x R mit x nk x (denn infolge x n [, b] n N ist {x n } beschränkt). Aus x nk b folgt x [, b]. D f stetig ist, ergibt sich f(x nk ) f(x ), ws wegen f(x nk ) > n k ber nicht möglich ist Widerspruch. Die Menge { f ( [, b] )} ist lso doch beschränkt. Jetzt zeigen wir, dss { f ( [, b] )} uch bgeschlossen ist. Sei dzu y ein Häufungspunkt von { f ( [, b] )}. Dnn gibt es Punkte x n [, b] mit f(x n ) y. Erneut nch Stz. ergibt sich, dss {x n } eine konvergente Teilfolge besitzt, d. h. x nk x mit x [, b]. D f in x stetig ist, erhlten wir f(x nk ) f(x ). Dies ergibt y = f(x ), d der Limes einer Folge im Existenzfll eindeutig bestimmt ist. Dmit ist y { f ( [, b] )}. Offensichtlich gilt { f ( [, b] )}. Als beschränkte, bgeschlossene und nicht-leere Menge besitzt { f ( [, b] )} ein Minimum und ein Mximum. Stz 4.6 (Zwischenwertstz). Sei f : [, b] R uf [, b] stetig und gelte f() < und f(b) >. Dnn gibt es ein c [, b] mit f(c) =. Diese Aussge ist intuitiv klr: y f c b x Der exkte Beweis erfordert ber dennoch etws Geschick. Beweis. Sei m := +b die Mitte des Intervlls [, b]. Dnn ist entweder f(m) = (und wir sind fertig) oder f ht in den Endpunkten von [, m] oder [m, b] verschiedene Vorzeichen: 8

81 4.. ZWISCHENWERTSATZ y f [,m] c m b x Wähle nun ds Intervll, in dem verschiedene Vorzeichen uftreten und hlbiere es, usw. Dmit erhlten wir eine Folge [ n, b n ] von Intervllen mit b n n sowie f( n ) < und f(b n ) >. Nch Stz. besitzt { n } eine konvergente Teilfolge, etw { nk } mit nk c mit c [, b]. Wegen b nk nk gilt dnn uch b nk c. D f in c stetig ist, ergibt sich lso in der Tt f(c) =. f(c) = lim k f( nk ), f(c) = lim k f(b nk ), Korollr 4. (zu Stz 4.6). Ist f : [, b] R uf [, b] stetig, so nimmt f jeden Wert zwischen f() und f(b) n. Beweis. Dies ist trivil für f() = f(b). Sei nun f() < d < f(b), d R. Wendet mn Stz 4.6 uf die Funktion g(x) := f(x) d n, folgt die Behuptung. 8

82 KAPITEL 4. FUNKTIONENGRENZWERTE & STETIGKEIT 4.3 Umkehrfunktionen elementrer Funktionen Definition 4.6. Sei I R ein offenes, hlboffenes oder bgeschlossenes Intervll. Eine Funktion f : I R heißt für lle x, y I, x < y, gilt. monoton wchsend streng monoton wchsend monoton fllend streng monoton fllend, flls f(x) f(y) f(x) < f(y) f(x) f(y) f(x) > f(x) Beispiel So ist die Funktion p: R R, x x, us Beispiel 3.. uf (, ] streng monoton fllend und uf [, ) streng monoton wchsend.. Die Funktion p: R R, x x 3, us Beispiel 3..3 ist uf gnz R streng monoton wchsend. 3. Die Funktion in der folgenden Abbildung ist monoton wchsend, ber nicht streng monoton wchsend. y x Stz 4.7. Sei f : [, b] R uf [, b] stetig und streng monoton wchsend. Dnn ist f : [, b] [f(), f(b)] bijektiv und die Umkehrfunktion f : [f(), f(b)] [, b] ist uf [f(), f(b)] stetig und streng monoton wchsend. Anloges gilt uch für eine uf [, b] stetige Funktion f : [, b] R, die streng monoton fällt. 8

83 4.3. UMKEHRFUNKTIONEN ELEMENTARER FUNKTIONEN y f(b) y = f(x) b f() y = f (x) f() b f(b) x Beweis. Die Injektivität von f folgt us ihrem streng monotonen Wchstum; die Surjektivität von f folgt us der Stetigkeit uf [, b] und dem Zwischenwertstz. Dss f streng monoton wächst, ist offensichtlich. Von der Stetigkeit von f uf [f(), f(b)] überzeuge mn sich selbst. Wir betrchten jetzt die Exponentilfunktion exp: R (, ), x e x. Die Stetigkeit von exp ist uns bereits beknnt. exp ist streng monoton wchsend, denn für x, y R, x < y, gilt x n n! < yn n! = ex < e y. Wendet mn Stz 4.7 uf ein beliebiges bgeschlossenes Teilintervll von R n, ergibt sich die Bijektivität von exp und die Existenz einer stetigen und streng monoton wchsenden Umkehrfunktion exp : (, ) R. Definition 4.7. Die Umkehrfunktion der Exponentilfunktion heißt ntürlicher Logrithmus und wird mit log (ln oder lognt) bezeichnet. y y = e x y = log x x Wir htten e z für jedes z C definiert. log x betrchten wir ber nur für x (, ). Die Ausdehnung uf komplexe Argumente ist Gegenstnd der Funktionentheorie. 83

84 KAPITEL 4. FUNKTIONENGRENZWERTE & STETIGKEIT Der Logrithmus ht folgende Eigenschften: lim log x =, lim x log e x = x x R. Insbesondere gilt die Funktionlgleichung log x =, log =, log e =, x = x + elog x x >, log(xy) = log x + log y, x, y R : x, y >. Beweis. Dzu verwenden wir die Funktionlgleichung der Exponentilfunktion: log(xy) = log ( e log x e log y) = log ( e log x+log y) = log x + log y. Wir wissen, ws x für > und x Q bedeutet: p q = q p, x := p, p Z, q N, q. q Definition 4.8. Mn nennt x := e x log, >, x R, die Exponentilfunktion zur Bsis. Wie für e x knn mn zeigen, dss für x Q der Wert von e x log der übliche Wert von x ist: p = e q log. p q Wir vermerken noch x = ( e log ) x := e x log. Drus knn mn die Potenzgesetze folgern. y > = < < x Für < < sowie für > knn Stz 4.7 ngewndt werden. Dmit erhlten wir: Definition 4.9. Die Umkehrfunktion von exp : R (, ), x x, für < < oder >, heißt Logrithmus zur Bsis und wird mit log x (oder log x) bezeichnet. 84

85 4.3. UMKEHRFUNKTIONEN ELEMENTARER FUNKTIONEN Wichtige Fälle sind {, e, }. Dnn hben wir log x = ld x, log e x = log x, log x = lg x. Es gilt folgende Beziehung für den Bsiswechsel: Beweis. log x = log x log. x = log x = e log x log = log x = log x log. Stz 4.8. Die Funktion sin: [ π, π ] [, ], x sin x, ist stetig und streng monoton wchsend. Die Funktion cos: [, π] [, ], x cos x, ist stetig und streng monoton fllend. Beweis. ÜA. Die Sätze 4.7 und 4.8 ermöglichen dher folgende Definition: Definition 4.. Die Umkehrfunktionen von sin: [ π, π ] [, ] bzw. cos: [, π] [, ] heißen Arkussinus bzw. Arkuskosinus und werden mit rcsin x bzw. rccos x bezeichnet. y π y π x y = rccos x y = rcsin x π x 85

86 KAPITEL 4. FUNKTIONENGRENZWERTE & STETIGKEIT Wie mn leicht zeigt, sind die Vorussetzungen us Stz 4.7 uch für die Tngens- Funktion gegeben. Definition 4.. Die Umkehrfunktion von tn: ( π, π ) (, ), x tn x, heißt Arkustngens und wird mit rctn x bezeichnet. Der Arkustngens ist sehr beliebt, denn mn knn mit ihm z. B. ds Intervll (, ) uf beliebige ndere offene Intervlle bijektiv bbilden. y π x y = rctn x π Anloge Überlegungen zu den Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen spren wir uns. Definition 4.. Die Umkehrfunktion von sinh: (, ) (, ), x sinh x, heißt Arehyperbelsinus und wird mit r sinh x bezeichnet. Die Umkehrfunktion von cosh: [, ) [, ), x cosh x, wird Arehyperbelkosinus gennnt und mit r cosh x bezeichnet. y y = r sinh x y y = r cosh x x x 86

87 4.3. UMKEHRFUNKTIONEN ELEMENTARER FUNKTIONEN Woher kommen nun die Bezeichnungen Arkus (lt. Bogen) und Are (lt. Fläche)? y (cos t, sin t) t x y (cosh t, sinh t) F x Betrchten wir dfür zunächst die Prmeterdrstellung x = cos t, y = sin t, t [, π), des Einheitskreises x + y =. Drin ist t der Winkel in der Abbildung (oben links), welcher gleich dem (grünen) Bogen ist. Die Einheitshyperbel besitzt die Gleichung x y =. Für ihren rechten Ast gilt mithin x = + y und dessen Prmeterdrstellung lutet x = cosh t, y = sinh t, t R. Mn knn zeigen, dss t = F gilt, wobei F die eingezeichnete Fläche (Abbildung oben rechts) meint. 87

88 KAPITEL 4. FUNKTIONENGRENZWERTE & STETIGKEIT 4.4 Asymptotische Formeln Wir wissen schon, ws lim x x f(x) = g für x, g R bedeutet. Dies wollen wir jetzt uf die Fälle usdehnen, in denen x und g unendlich sind. Definition 4.3. Wir schreiben (i) lim x f(x) = g, g R, flls gilt (ii) lim f(x) = g, g R, flls gilt x (iii) lim x f(x) =, flls gilt (iv) lim x f(x) =, flls gilt (v) (vi) lim f(x) =, flls gilt x lim f(x) =, flls gilt x (vii) lim x x f(x) =, x R, flls gilt (viii) lim x x f(x) =, x R, flls gilt ε > M R : f(x) g < ε x > M, ε > M R : f(x) g < ε x < M, > M R : f(x) > x > M, < M R : f(x) < x > M, > M R : f(x) > x < M, < M R : f(x) < x < M, > δ > : f(x) > x U δ (x ) \ {x }, < δ > : f(x) < x U δ (x ) \ {x }. 88

89 4.4. ASYMPTOTISCHE FORMELN Definition 4.4. Mit R := R {, } bezeichnen wir die sog. Zweipunktkompktifizierung von R. Für x R ist eine punktierte Umgebung U δ (x ) eine Menge der Form (x δ, x ) (x, x + δ), flls x R, (M, ), M R, flls x =, (, M), M R, flls x =. Definition 4.5 (Lndu -Symbole). Sei x R und seien f, g zwei reellwertige Funktionen, die in einer punktierten Umgebung U(x ) definiert sind. Sei weiter g(x) x U(x ). Dnn schreibt mn ) (i) f(x) = O( g(x) (x x ), flls eine Konstnte C > existiert mit f(x) g(x) C x U(x ), (ii) f(x) = o( g(x) ) (x x ), flls gilt f(x) lim x x g(x) =, (iii) f(x) g(x) oder f(x) g(x) (x x ) und sgt f(x) und g(x) sind symptotisch von der gleichen Ordnung, flls es Konstnten c, C > gibt mit c f(x) g(x) C x U(x ), (iv) f(x) g(x) (x x ) und sgt f(x) und g(x) sind symptotisch gleich, flls gilt f(x) lim x x g(x) =, (v) f(x) = h(x) + O( g(x) ) (x x ) bzw. f(x) = h(x) + o( g(x) ) (x x ), flls h eine weitere in U(x ) definierte Funktion ist mit f(x) h(x) = O( g(x) ) (x x ) bzw. f(x) h(x) = o( g(x) ) (x x ). 89

90 KAPITEL 4. FUNKTIONENGRENZWERTE & STETIGKEIT Beispiel 4.6. ) f(x) = O() (x x ) bedeutet einfch, dss f in U(x ) beschränkt ist. So gilt z. B. sin x = O() (x oder x oder x 5), x = O() (x oder x 5). = O() (x ) und O() = sin x (x ) sind flsch (Letzteres ist nicht einml x definiert). Der Ausdruck e x + O() bezeichnet eine Funktion f(x) mit der Eigenschft, dss f(x) e x für x x beschränkt ist. ) f(x) = o() (x x ) bedeutet einfch lim x x f(x) =. So gilt beispielsweise sin x = o() (x ), sin x = x + o() (x ), x Die Aussge sin x = o() (x ) ist flsch. = o() (x ). 3) O(x n ) ist eine Funktion, die wir nicht kennen oder die uns nicht interessiert, von der wir ber wissen, dss sie nch Division durch x n beschränkt bleibt. Es gilt z. B. sin x = O(x) (x oder x ), sin x = O(x ) (x ), sin x x = x n= ( ) n x n+ (n + )! = x 3! + x4 5! für x. Dmit hben wir sin x x (x ) gezeigt. In der Physik gibt es uch f(x) g(x) (x x ) im Sinne von ngenähert gleich. Diese schwmmige Aussge ist in der Mthemtik bedeutungslos. Des weiteren gilt z. B. jeweils für x sin x = O(x), sin x = x + O(x ), sin x = x + O(x 3 ), sin x = x x3 3! + O(x 5 ). sin x = O(x ) (x ) ist flsch. Der Ausdruck O(x n ) mcht überhupt nur für x oder x ± Sinn. Denn für x 5 ist beispielsweise f(x) = O(x n ) f(x) = O(). Sinnvoll wäre ber f(x) = O( (x 5) n ). Dnn gilt f(x) = O(x 5) f(x) = O( (x 5) ) f(x) = O( (x 5) 3 ). Je größer n ist, desto schärfer ist die Aussge. Edmund Georg Hermnn Lndu ( ), deutscher Mthemtiker. Beiträge zur nlytischen Zhlentheorie. Er liebte die mthemtisch exkte und strenge Beweisführung ohne Erläuterungen, ws seinen Studenten ds Leben oft erschwerte. Er mchte die Symbole O und o von Pul Bchmnn (837-9) beknnt. 9

91 4.4. ASYMPTOTISCHE FORMELN Stz 4.9. Ist f(x) = n x n eine Potenzreihe mit positiven Konvergenzrdius, so gilt n= N f(x) = n x n + O(x N+ ) (x ). n= Beweis. ÜA. Für x ± ist f(x) = O(x n ) eine Abschätzung für ds Wchstum von f(x), f(x) Cx n x > M mit C, M R. So gilt z. B. + x + x = O(x ) (x ), i R; + x + x = O(x ) (x ) ist ber flsch. Für x gilt Weiter in den Beispielen 4.6. f(x) = O(x) f(x) = O(x ) f(x) = O(x 3 ). 4) f(x) = O( ) x (x n x ) bedeutet f(x) C x U(x x n ). Dies ist nur für x oder x ± interessnt. Für x wird die Stärke einer Singulrität bgeschätzt: y y = x y = x x 9

92 KAPITEL 4. FUNKTIONENGRENZWERTE & STETIGKEIT Für x hben wir beispielsweise f(x) = O( x) f(x) = O ( x ) f(x) = O ( x 3 ). Für x wird ds Fllen von f(x) bgeschätzt, z. B. ist x +5 = O ( x ). Hierin gilt f(x) = O( x) f(x) = O ( x ) f(x) = O ( x 3 ). 5) f(x) = o(x n ) mcht nur für x oder x ± Sinn und bedeutet dnn f(x) x n. Für x heißt ds, dss f schneller ls x n gegen geht. Z. B. ist für x O(x ) = o(x), e x = + x + x + o(x ); schärfer ist ber e x = + x + x + O(x3 ). Für x erhlten wir wieder eine Abschätzung für ds Wchstum. So hben wir z. B. x log x Für beliebiges ε > ist ber die Aussge = o(x) (x ). x x ε log x = x = log x O(x ε ) (x ) flsch, denn es gilt xε log x. 6) Primzhlstz. Für x R, x >, bezeichnen wir mit π(x) die Anzhl der Primzhlen x, z. B. π() =, π() =, π(.4) =, π(3) =. y y = π(x) 4 6 x Betrchtet mn den Grph von π us großer Entfernung, sieht mn folgendes Bild 9

93 4.4. ASYMPTOTISCHE FORMELN y y = π(x) Li(x) y = x log x 6 x Guß (dmls 5 Jhre lt) vermutete π(x) bewies π(x) (x ), d. h. x log x x log x (x ) und Tschebyscheff3 c, C > : c x π(x) C log x x. log x Der Pimzhlstz besgt nun π(x) x (x ) (896 von J. S. Hdmrd und log x C.-J. de l Vllée Poussin 4 ). Guß zeigte wiederum π(x) Li(x) := x dt (Li log t bezeichnet den sog. Integrllogrithmus). Es gilt Li(x) x (x ), worus mit log x dem Primzhlstz π(x) Li(x) folgt. Die (bis heute unbewiesene) Riemnnsche Vermutung besgt: π(x) = Li(x) + O( x log x ) (x ). 3 Pfnuti Lwowitsch Tschebyscheff (8-894), russischer Mthemtiker. Forschte uf den Gebieten Interpoltion, Approximtion, Funktionen-, Whrscheinlichkeits-, Zhlentheorie, Mechnik, Bllistik. 4 Chrles-Jen Gustve Nicols Bron de l Vllée Poussin (866-96), belgischer Mthemtiker. Beiträge zu Differentilgleichungen, Zhlentheorie, Funktionentheorie, Potentiltheorie. Gilt ls einer der Begründer der lineren Optimierung. 93

94 KAPITEL 4. FUNKTIONENGRENZWERTE & STETIGKEIT 4.5 Funktionen mehrerer Veränderlicher (Felder) Wir hben bisher Funktionen us R nch R betrchtet. Nun interessieren uns Funktionen us R n nch R. Dies sind sog. Sklrfelder und sind i. A. nicht uf gnz R n definiert, sondern uf einer Teilmenge E R n. Wir müssen zunächst verstehen, ws lim f(x) = g x x bedeutet. x x E x Dzu stellen wir uns ls erstes die Frge, in welchen Punkten x dieser Limes überhupt einen Sinn ht. Definition 4.6. Die Euklidische Norm von x = (x,..., x n ) R n ist definiert durch x := x + + x n. Der Euklidische Abstnd zweier Punkte x = (x,..., x n ), y = (y,..., y n ) R n ist gegeben durch d(x, y) := x y = (x y ) + + (x n y n ). 94

95 4.5. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHER (FELDER) y z = x d(y, z) = x y d(y, z) z Für jede Norm, die mn uf dem R n definieren knn (und dmit insbesondere für die Euklidische Norm), gelten folgende Eigenschften: N. x x R n, x = x = (positive Definitheit), N. αx = α x α R, x R n (Linerität), N.3 x + y x + y x, y R n (Dreiecksungleichung). Für den von einer Norm induzierten Abstnd folgt drus: A. d(x, y) x, y R, d(x, y) = x = y, A. d(x, y) = d(y, x) x, y R n, A.3 d(x, y) d(x, z) + d(z, y) x, y, z R n. Definition 4.7. Für ε > verstehen wir unter der (offenen) ε-umgebung eines Punktes x R n die Menge U ε (x ) := {x R n : d(x, x ) < ε}. Offene ε-umgebungen sind im R offene Intervlle der Form (x ε, x + ε), im R Kreise ohne Rnd mit dem Mittelpunkt x und dem Rdius ε und im R 3 entsprechende Kugeln. Definition 4.8. Eine Menge E R n heißt offen, wenn E mit jedem ihrer Punkte uch eine ε-umgebung dieses Punktes enthält. Eine Menge E R n heißt bgeschlossen, wenn E c offen ist. 95

96 KAPITEL 4. FUNKTIONENGRENZWERTE & STETIGKEIT Definition 4.9. Ein Punkt x R n heißt Häufungspunkt einer Menge E R n, wenn jede ε-umgebung von x unendlich viele Punkte us E enthält. Die Menge ller Häufungspunkte von E bezeichnen wir mit E. Die Abschließung von E ist definiert durch E := E E. Stz 4... Die einzigen Teilmengen des R n, die sowohl offen ls uch bgeschlossen sind, sind und R n.. Eine Menge E ist genu dnn bgeschlossen, wenn sie lle ihre Häufungspunkte enthält, E bgeschlossen E E E = E. 3. Die Abschließung einer Menge E ist stets bgeschlossen und ist die kleinste bgeschlossene Menge, die E enthält. 4. Die Vereinigung beliebig vieler und der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen sind offen; die Vereinigung endlich vieler und der Durchschnitt beliebig vieler bgeschlossener Mengen sind bgeschlossen. Beweis.. Wir nehmen ds Gegenteil n, d. h. sei E offen und bgeschlossen, E, E R n. Wähle nun x E sowie x E c und lege eine Gerde durch diese Punkte: x / E x E Diese Gerde g wird durch die Gleichung x = x + t(x x ), t R, beschrieben. Sei t := sup{t : x +t(x x ) E} und sei x +t (x x ) E. D E offen ist, ist x +t(x x ) E für lle t us einer Umgebung von t. Ds steht im Widerspruch dzu, dss t ds Supremum ll dieser t ist. Folglich ist x + t (x x ) E c. D E c offen ist, liegen die Punkte x + t(x x ) in E c für lle t us einer Umgebung von t. Dies ist wieder im Widerspruch dzu, dss t ds Supremum ist. 96

97 4.5. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHER (FELDER) 4. ist trivil: Seien E i, i I, offen und sei x i I E i. Dnn existiert ein i I mit x E i. D E i offen ist, gibt es ein ε > mit U ε (x ) E i und dmit U ε (x ) i I E i. Seien E,..., E m offen und sei x m E i. Dnn gilt x E i für lle i mit i m i= und somit U εi (x) E i. Sei ε := min(ε,..., ε m ). Dmit gilt U ε (x) E i i m, lso U ε (x) m E i. i=. und 3. zeigt mn wie im R. Definition 4.. Seien f : (E R n ) R eine Funktion und x E. Mn sgt, dss f in x den Grenzwert g ht und schreibt lim f(x,..., x n ) = g oder kurz (x,...,x n) (x,...,x n) wenn für jedes δ > ein ε > existiert mit f(x) g < δ x E : < x x < ε. lim x x f(x) = g, Beispiel 4.7. ) f : E R, f(x, y) = x + x sin y + 4, E = {(x, y) R : y }. Es gilt (, ) E und lim (x + x sin y ) + 4 = 4, (x,y) (,) denn es ist (x +x sin y +4) 4 x + x < δ, flls x < ε := min ( δ, ) gilt. Diese Bedingung erfüllen lle (x, y) E, die in der folgenden Abbildung gelb eingefärbt sind: 97

98 KAPITEL 4. FUNKTIONENGRENZWERTE & STETIGKEIT y ε ε x und dmit erst recht lle (x, y) E mit x + y < ε. ) f : E R, f(x, y) = x +y, E = R \ {(, )}. Es gilt (, ) E. Der Grenzwert existiert nicht bzw. ist. lim (x,y) (,) x + y 98

99 4.5. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHER (FELDER) 3) f : E R, f(x, y) = xy x +y, E = R \ {(, )}. 5 Wieder gilt (, ) E. Wir hben die Abschätzung xy x +y. Dher ist f eine beschränkte Funktion: f(x, y) (x, y) E. Die Funktion f ht keinen Limes für (x, y) (, ). Um dies zu zeigen, gehen wir vom Gegenteil us; sei lso g dieser Limes. Dnn existiert ein ε > mit xy x + y g < (x, y) U ( ) ε (, ). y Weg Weg ε x Wndern wir in den Punkt (, ) längs des Weges () x = t, y = für t +, so gilt xy x + y = t t + =, d. h. g <. Wndern wir ndererseits entlng des Weges () x = t, y = t, t +, in den Punkt (, ), ergibt sich xy x + y = d. h. g <. Wir erhlten somit lso einen Widerspruch zur Annhme. Höhenlinienbild der Funktion f: t t t + t =, g (, ) (, + ) =, 5 Ein gelungenes Schubild dieser Funktion findet mn z. B. in Anlysis von K. Königsberger uf Seite 5. 99

100 KAPITEL 4. FUNKTIONENGRENZWERTE & STETIGKEIT y x , 5 Definition 4.. Seien f : (E R n ) R eine Funktion und x R n ein Punkt mit U ε (x ) E. Sei des weiteren l R n \ {}. Mn sgt, dss f in x einen Grenzwert us Richtung l besitzt, wenn lim f(x + tl) =: g t + existiert. Die Zhl g heißt dnn der Grenzwert us Richtung l. l E x Die Funktion us Beispiel besitzt in x = (, ) Grenzwerte us llen Richtungen. Stz 4.. Seien f : (E R n ) R eine Funktion, x R n ein Punkt und U ε (x ) E. Dnn folgt us lim f(x) = g, g R, dss in x die Grenzwerte us llen Richtungen x x existieren und gleich g sind. Beweis. ÜA.

101 4.5. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHER (FELDER) Wie die Funktion us Beispiel nschulich zeigt, folgt us der bloßen Existenz der Richtungsbleitungen nicht die Existenz des Grenzwertes. { für y = x Beispiel 4.8. f : R R, f(x, y) =. sonst y x D in jeder beliebigen Umgebung von x = (, ) die Werte und ngenommen werden, ht f in x keinen Grenzwert. Jeder Richtungsgrenzwert in x ist ber. Definition 4.. Sei f : E R mit E = { (x, y) R : < x x < α, < y y < β }, α, β >, eine Funktion. y + β y (x, y ) x α x x + α y β Mn sgt, dss der iterierte Grenzwert lim lim f(x) y y x x existiert und gleich g ist, wenn für jedes y mit < y y < β der Grenzwert ϕ(y) := lim f(x, y) existiert und lim ϕ(y) = g gilt. x x y y

102 KAPITEL 4. FUNKTIONENGRENZWERTE & STETIGKEIT Beispiel 4.9. ) Es gilt lim lim y x (x + xy + 5) = lim 5 = 5, y lim lim x y (x + xy + 5) = lim(x + 5) = 5. x ) Wir betrchten unseren neuen Freund f(x, y) = xy x +y lim lim y x lim lim x y xy x + y = lim =, y xy x + y = lim =, x us Beispiel Es gilt d. h. beide iterierte Grenzwerte existieren und sind gleich. Allerdings existiert f(x, y) nicht (siehe Beispiel 4.7.3). lim (x,y) (,) 3) Sei f : E R, f(x, y) = x sin y, E = {(x, y) R : y }. Hier gilt lim x sin (x,y) (,) y =, lim lim x sin y x y =, lim lim x sin x y y existiert nicht. Stz 4.. Gilt (i) lim f(x, y) = g und (x,y) (x,y ) (ii) lim x x f(x, y) = ϕ(y) für lle y U ε (y ), so folgt lim y y lim f(x, y) = lim ϕ(y) = g. x x y y Beweis. Z. B. Fichtenholz I, Nr. 68. Beispiel zeigt, dss Bedingung ii) us Stz 4. nicht us Bedingung i) folgt.

103 4.5. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHER (FELDER) Definition 4.3. Seien f : (E R n ) R eine Funktion und x E E. Die Funktion f heißt stetig in x, wenn lim x x f(x) = f(x ) gilt. Die Funktion f heißt stetig uf E, wenn f in jedem Punkt x E E stetig ist. Beispiel 4.. ) Für eine endliche Menge E gilt E =. Dher ist jede Funktion uf E stetig. ) f : R R, f(x, y) = sin(xy), ist uf gnz R stetig. 3) Die Funktionen us dem Beispiel 4.7, f(x, y) = und g(x, y) = xy, sind nur x +y x +y uf R \ {(, )} stetig, egl wie sie in (, ) definiert werden. 4) f : R R, f(x, y) = für x + y > für x + y = für x + y < y x ist in R \ {(t, t) R } stetig. 3

104 KAPITEL 4. FUNKTIONENGRENZWERTE & STETIGKEIT 4.6 Vektorfelder Dies sind Abbildungen der Form f : (E R n ) R m. Im Abschnitt 4.5 wr m =. Sklrfelder sind lso spezielle Vektorfelder. Definition 4.4. Sei f : (E R n ) R m eine Abbildung und sei x E. Mn sgt, dss f in x den Grenzwert g ht und schreibt lim f(x) = g, x x wenn für jedes δ > ein ε > existiert, so dss gilt f(x) g < δ x E : < x x < ε. Eine Funktion f : (E R n ) R m ht m Komponenten, d. h. f (x,..., x n ) f (x,..., x n ) f(x) =.. f m (x,..., x n ) Dbei ist jede Komponente eine Abbildung f i : (E R n ) R, i m. Trivilerweise gilt: Stz 4.3. Die Funktion f : (E R n ) R m ht in x E den Grenzwert = (,..., m ) genu dnn, wenn jede Komponente f i : (E R n ) R in x den Grenzwert i, i m, besitzt. Definition 4.5. Sei f : (E R n ) R m eine Funktion und x E E. Die Funktion f heißt stetig in x, wenn lim x x f(x) = f(x ) gilt. Sie heißt stetig uf E, wenn f in jedem Punkt x E E stetig ist. Mit Stz 4.3 folgt unmittelbr 4

105 4.6. VEKTORFELDER Stz 4.4. Seien f und x wie in Stz 4.3. Die Funktion f ist genu dnn stetig in x, wenn es jede der Komponenten f i, i m, in x ist. Vernschulichung von Vektorfeldern Wir betrchten nun einige Vektorfelder f : R R. An jeden Punkt (x, y) R wird lso ein Vektor f(x, y) R ngeheftet. ) Unstetige Vektorfelder: Dieses Vektorfeld ist uf der -Gerden unstetig. Alle Vektoren sind von der Länge. b) Stetige Vektorfelder: Vektorfelder entstehen z. B. in der Physik. Dort schreibt mn ber r = r = r sttt x und r sttt x. Vektorfelder sind dnn Funktionen f(r) = f( r) etc. Beispiel 4.. ) f(r) =, r mit = (,..., n ) und r = (x,..., x n ). Dbei meint, r ds Sklrprodukt: 5

106 KAPITEL 4. FUNKTIONENGRENZWERTE & STETIGKEIT, r = r cos ϕ = x + x + + n x n. ϕ r Wir erhlten lso ein Sklrfeld. Für n = können wir es durch folgendes Höhenlinienbild drstellen: x x Die Höhenlinien sind dbei durch x + x = const gegeben. ) Zentrlfelder f(r) = g(r). Der Wert f(r) ist lso nur vom Abstnd r vom Ursprung bhängig. Z. B. beschreibt g(r) = γmm ein Grvittionsfeld (γ = Grvittionskonstnte, m, M = Mssen). g(r) gibt lso den Betrg der Grvittionskrft n (nicht r deren Richtung). m m g(r) M g(r) = γmm r r Die Grvittionskrft selbst wird beschrieben durch f(r) = γmm r. Dnn ist r 3 f(r) = γmm r = g(r). r 3 6

107 4.6. VEKTORFELDER m r M In Koordinten: ( ) γmm f(r) = (x + y + z ) x, γmm 3/ (x + y + z ) y, γmm 3/ (x + y + z ) z. 3/ Die Bewegung eines Plneten um die Sonne wird dnn durch die Differentilgleichung m r = f(r) mit den Anfngsbedingungen r() = r und ṙ() = ṙ beschrieben. 3) Betrchte ds Vektorprodukt f : R 3 R 3, f(r) = r. Es ht folgende Eigenschften: i) r steht senkrecht uf r und, ii) seine Länge entspricht dem Wert der Fläche des von und r ufgespnnten Prllelogrmms, d. h. r = r sin ϕ, iii) Rechte-Hnd-Regel : r r In Koordinten: i j k r = 3 x x x 3 = ( x 3 3 x, 3 x x 3, x x ) für = (,, 3 ) und r = (x, x, x 3 ). 7

108 KAPITEL 4. FUNKTIONENGRENZWERTE & STETIGKEIT Die Abbildung f : R R, r r mit R, d. h. v v R, wirkt wie folgt: R r r r r (von oben betrchtet) Vektorfelder sind oft nicht im gesmten R n, sondern nur uf dünnen Teilmengen erklärt. Ein Stz us dem Kuriositätenkbinett: Stz 4.5 (Igelstz). Sei S := {(x, y, z) R 3 : x + y + z = } R 3. Es gibt kein stetiges Vektorfeld f : S R 3 mit f(r) =, f(r), r = r S. Mit nderen Worten: Ein Igel lässt sich nicht ohne Gltzenpunkt kämmen. Stz 4.6. Sei f : R n R m eine Abbildung. Dnn gilt. Die Abbildung f ist genu dnn uf gnz R n stetig, wenn ds Urbild jeder offenen Menge offen ist.. Ist f stetig und ist E R n eine bgeschlossene und beschränkte Menge, so ist f(e) R m bgeschlossen und beschränkt. 8

109 4.6. VEKTORFELDER Beweis.. : Seien V R n offen und x f (V ). Dnn ist f(x ) V und d V offen ist, gibt es ein ε > mit U ε ( f(x ) ) V. Wegen der Stetigkeit von f in x existiert ein δ > mit f ( U δ (x ) ) U ε ( f(x ) ), worus U δ (x ) f ( U ε ( f(x ) )) f (V ) folgt. Also ist f (V ) offen. : Sei x R n und betrchte U ε ( f(x ) ) zu gegebenem ε >. U ε ( f(x ) ) und f ( U ε ( f(x ) )) sind nch Vorussetzung offen. Es gilt x f ( U ε ( f(x ) )), weswegen ein δ > existiert mit U δ (x ) f ( U ε ( f(x ) )). Dies liefert f ( U δ (x o ) ) U ε ( f(x ) ), d. h. f ist stetig in x.. Sei f(e) unbeschränkt. Dnn gibt es Punkte x n E mit f(x n ) > n. D E bgeschlossen und beschränkt ist, existiert ein x E mit x nk x (nch Bolzno- Weierstrß, Stz.). Aus der Stetigkeit von f ergibt sich f(x nk ) f(x), ws wegen f(x n ) ber unmöglich ist. f(e) ist lso doch beschränkt. Wir zeigen noch, dss f(e) bgeschlossen ist. Sei hierzu y n = f(x n ) f(e) und y n y. Wir müssen y f(e) zeigen. Wieder nch Stz. besitzt {x n } eine konvergente Teilfolge {x nk } mit x nk x. Aus der Stetigkeit von f ergibt sich lso f(x nk ) f(x). Wegen y nk = f(x nk ) y folgt y = f(x), d. h. y f(e). Ist f stetig, so werden nicht notwendigerweise offene Mengen in offene und bgeschlossene Mengen in bgeschlossene überführt. So bildet z. B. die Kosinusfunktion ds offene Intervll ( 3π, 7 π) uf ds bgeschlossene Intervll [, ] b; die Arkustngensfunktion bildet die bgeschlossene Menge R uf ds offene Intervll ( π, π) b. Korollr 4.3 (zu Stz 4.6, Weierstrß für Sklrfelder). Ist f : R n R stetig und ist E R n eine nichtleere, bgeschlossene und beschränkte Menge, so besitzt f uf E ein Mximum und ein Minimum. Beweis. Nch Stz 4.6. ist f(e) nichtleer, bgeschlossen und beschränkt im R. Ds solche Mengen ein Mximum und Minimum hben, wissen wir us Stz 4.5. Stz 4.6 gilt uch für Abbildungen f : X Y zwischen metrischen (und sogr zwischen topologischen) Räumen. Sttt Abgeschlossen- und Beschränktheit muss mn dnn ber Kompktheit fordern. 9

110 KAPITEL 4. FUNKTIONENGRENZWERTE & STETIGKEIT

111 5 Differentilrechnung C. G. J. Jcobi M. Rolle P. de Fermt B. Tylor G. l'hôspitl J. Lgrnge G. Peno H. Schwrz O. Hesse

112 KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG 5. Linere Abbildungen Eine Abbildung A: R n R m heißt liner oder uch linerer Opertor, wenn für lle x, y R n und α R gilt A(x + y) = Ax + Ay, A(αx) = αax. Bezeichnet E = {e,..., e n } eine Bsis im R n, so lässt sich jedes x R n in der Form x = x e + +x n e n, x,..., x n R, schreiben. Diese Zhlen x,..., x n heißen Koordinten von x bezüglich der Bsis E. Wir setzen x [x] E :=. x n, d. h. [x] E ist die us den Koordinten gebildete Splte. Die Bsis E mit e = (,,,..., ), e = (,,,..., ),..., e n = (,...,, ) heißt Stndrdbsis von R n. Die Koordinten von x R n in der Stndrdbsis sind gerde die Komponenten von x, d. h. x [(x,..., x n )] {e,...,e n} =. Sei nun A: R n R m eine linere Abbildung, E = {e,..., e n } eine Bsis im R n und F = {f,..., f m } eine Bsis im R m. Dnn existiert eine eindeutig bestimmte Mtrix, die wir mit [A] E,F bezeichnen und Mtrixdrstellung von A in den Bsen E und F nennen, so dss [Ax] F = [A] E,F [x] E x R n gilt. Mit nderen Worten: Sind x,..., x n die Koordinten von x in der Bsis E und y,..., y m die Koordinten von Ax in der Bsis F, so gilt y n x n. =... mit [A] E,F =... y m m mn x n m mn Merkregel: Die j-te Splte von [A] E,F besteht us den Koordinten von Ae j in der Bsis F. Ist m = n, so wählt mn i. A. E = F. Für verschiedene Bsen E und E gilt dnn x n. [A] E,E = C [A] E,E C (5.)

113 5.. LINEARE ABBILDUNGEN mit einer invertierbren Mtrix C. Eine linere Abbildung f : R n R n heißt invertierbr, wenn sie bijektiv ist. Die Determinnte det A ist definiert durch det[a] E,E, wobei E eine beliebige Bsis des R n ist. Wegen (5.) hängt det[a] E,E nicht von der konkreten Whl von E b. Es gilt A ist invertierbr det[a] E,E. Für jede linere Abbildung gibt es eine Konstnte M mit z. B. gilt n x Ax =... m mn Ax M x x R n, (5.) x n x + + n x n =. m x + + mn x n = ( x + + n x n ) + + ( m x + + mn x n ) ( + + n)(x + + x n) + + ( m + + mn)(x + + x n) = n,m i,j= ij }{{} =:M (x + + x }{{ n), } = x ( : Cuchy-Schwrzsche Ungleichung: ( i ) ix i i i i x i ). Also ist n,m Ax M x mit M := ij. Mn nennt M die Frobenius-Norm von A. Ds Infimum ller M, für die (5.) gilt, wird mit A bezeichnet und Norm (oder Spektrlnorm) von A gennnt. Wir hben lso i,j= Ax A x x R n. Für eine linere Abbildung A: R n R n gilt: A ist invertierbr m (, ) : m x Ax x R n. Mit L(R n, R m ) bezeichnen wir die Menge ller lineren Abbildungen von R n nch R m. Zur Abkürzung setzen wir L(R n ) := L(R n, R n ). 3

114 KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG 5. Die Ableitung Die Idee der Differentilrechnung ist die Linerisierung: Eine nichtlinere Abbildung f : R n R m soll in der Umgebung eines Punktes R n möglichst gut durch eine linere Abbildung A: R n R m ersetzt werden. Seien G R n eine offene Menge, f : (G R n ) R m eine Funktion und R n ein Punkt. Für h G, wobei h hinreichend klein ist, ist dnn uch + h G. Dmit gilt f( + h) = f() + β (h) und β (h) für h genu dnn, wenn f in stetig ist mit nderen Worten: f( + h) f() = o() (h ) f ist stetig in. In der Differentilrechnung geht es nun drum, dieses o() zu präzisieren. Definition 5.. Seien G R n offen, f : (G R n ) R m und G. Die Funktion f heißt differenzierbr in, flls es eine linere Abbildung A L(R n, R m ) so gibt, dss gilt f( + h) = f() + Ah + α (h) mit α (h) = o( h ) für h. Mn schreibt oft α (h) = o( h ) (h ) sttt α (h) = o( h ) ( h ). In Zukunft werden wir selbst (h ) weglssen. Wir hben lso α (h) = o( h ) (h ) α (h) h (h ). Stz 5.. Ist f : (G R n ) R m in differenzierbr, so ist die linere Abbildung A us Definition 5. eindeutig bestimmt. Beweis. Angenommen, es gibt zwei derrtige linere Abbildungen A, B mit Ah+ o( h ) = Bh + o( h ). Für C := A B gilt dnn uch Ch = o( h ). Wählt mn Bsen in R n und R m, so können wir Mtrizen sttt der lineren Abbildungen betrchten. Seien lso c n C =.. c m c mn und h = h. h n. 4

115 5.. DIE ABLEITUNG Wähle speziell h = (,...,, t,,..., ) mit t R n j-ter Stelle. Dnn ist h = t und wir hben Ch = (c j t,..., c mj t), d. h. Ch = t c j + + c Ch mj. Aus h erhlten wir t c j + + c mj für t, t d. h. c j = = c mj =. D j beliebig gewählt wr, folgt C =, lso in der Tt A = B. Definition 5.. Ist f : (G R n ) R m in G differenzierbr, so nennt mn die eindeutig bestimmte linere Abbildung A L(R n, R m ) us Definition 5. die Ableitung von f in und bezeichnet sie mit f () = df() = Df(). Im Fll der Differenzierbrkeit gilt lso f( + h) = f() + f ()h + o( h ) oder f(x) = f() + f ()(x ) + o( x ). Definition 5.3. Eine Abbildung f : (G R n ) R m heißt differenzierbr in G, wenn f in jedem Punkt G differenzierbr ist. Ist f in G differenzierbr, so erhlten wir lso eine neue Funktion f : (G R n ) L(R n, R m ), f (). Ist f ebenflls in G differenzierbr, so erhlten wir eine Abbildung f : (G R n ) L ( R n, L(R n, R m ) ), f (), usw. Funktionen us R in R Seien lso G R ein offenes Intervll und f : (G R ) R eine Funktion. Lut Definition 5. heißt f differenzierbr in G, wenn gilt: A L(R, R ) : f(x) = f() + A(x ) + o( x ). 5

116 KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG Linere Abbildungen von R nch R sind stets von der Gestlt Ay = cy, c R, lso gilt: f differenzierbr in c R : f(x) = f() + c(x ) + o( x ) c R f(x) f() : = c + x c R f(x) f() : x lim x f(x) f() x = c + o() =: c existiert. o( x ) x Mn nennt dieses c ebenflls Ableitung von f in und bezeichnet c mit f () = df() = df df () = dx dx etc. Für Funktionen us R nch R hben wir streng genommen lso zwei Ableitungsbegriffe: f () ls linere Abbildung von R nch R und die Zhl c. D mn ber L(R, R ) mit R identifizieren knn, können uch f () und c miteinnder identifiziert werden. Geometrische Vernschulichung der Ableitung für Funktionen us R nch R : x= y f(x) f() f ϕ s x x Die Gerde s durch die Punkte (, f() ) und ( x, f(x) ) heißt Seknte. Sie ht den Anstieg tn ϕ = f(x) f(). x f() y f t φ x Für x geht die Seknte in die Tngente über. Der Anstieg dieser Tngente ist (im Flle der Differenzierbrkeit) gerde tn φ = f (). Die Tngentengleichung lutet y = t(x) = f() + f ()(x ). Physiklische Vernschulichung der Ableitung von Funktionen us R nch R : Ein Mssepunkt bewege sich uf einer Gerden nch dem Weg-Zeit-Gesetz x = f(t), 6

117 5.. DIE ABLEITUNG wobei x den Ort des Mssepunktes zur Zeit t meint. Dnn ist f(t) f() der im Zeitintervll zurückgelegte Weg und t die dbei verflossene Zeit, d. h. ist f(t) f() t die Durchschnittsgeschwindigkeit. Für t erhlten wir die Momentngeschwindigkeit f () = f(). Berechnung von Ableitungen An dieser Stelle sollen lediglich zwei Beispiele gebrcht werden. Beispiel 5.. ) Sei f : R R, f(x) = x n, n N. Wir hben x n n lim x x = lim x (xn + x n + x n n ) = n n. Also ist f in jedem Punkt R differenzierbr mit f () = n n. Mn schreibt uch f (x) = nx n oder (x n ) = nx n. ) Affin-linere Abbildung. Sei f : R n R m, x c + Ax, mit c R m und A L(R n, R m ). Es gilt f( + h) = c + A( + h) = c + A + Ah = f() + Ah, d. h. f ist in jedem Punkt R n differenzierbr mit f () = A. Stz 5.. Ht die Potenzreihe f(x) = n x n einen positiven Konvergenzrdius R, so n= ist f(x) in x = differenzierbr mit f () =. Beweis. Wir hben mit f(x) = + x + x + = + x + x ( + 3 x + 4 x + ) + 3 x + 4 x x + 4 x ρ + 4 ρ + = M <, x < ρ < R, d der Konvergenzrdius der Potenzreihe n+ x n nch Cuchy-Hdmrd ebenflls R ist. Also folgt f(x) = + x + O(x ) (x ), vgl. Stz 4.9. Dmit erhlten wir f(x) f() x = + x + O(x ) x n= = + O(x) (x ) (x ). 7

118 KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG Noch einige Beispiele. Beispiel 5.. ) f : R R, f(x) = e x. Wir hben e x e lim x x = lim e +h e h h = e e h e lim h h = e = e, denn lim h e h e h = f () = = (erster Koeffizient der e x -Reihe gemäß Stz 5.). ) f : R R, f(x) = sin x. Es gilt sin( + h) sin h = sin cos h + cos sin h sin h = sin cos h h cos, } {{ } ( ) + cos sin h h }{{} ( ) ((, cos h ): Jeweils nch Stz 5. gilt (cos x) h x= =, sin h (sin x) h x= = für h ) d. h. es gilt (sin x) = cos x. Anlog zeigt mn (cos x) = sin x. 8

119 5.3. PARTIELLE ABLEITUNGEN UND JACOBI-MATRIX 5.3 Prtielle Ableitungen und Jcobi-Mtrix Definition 5.4. Seien f : (G R n ) R m und ein Punkt der offenen Menge G. Ist die Abbildung t f(,..., k, k + t, k+,..., n ) mit = (,..., n ), in t = differenzierbr, so wird die Ableitung dieser Abbildung (interpretiert ls Zhl) die prtielle Ableitung nch x k von f in gennnt und mit etc. bezeichnet. f x k () = k f() = f xk () Beispiel 5.3. Betrchte die Funktion f : R 3 R, f(x, y, z) = e y x + sin z. Ihre prtiellen Ableitungen sind f x = ey x, Z. B. ist dnn f x (3,, 4) = e 3 = 6. f y = ey x, f z = cos z. Definition 5.5. Seien f : (G R n ) R m und G. Besitzt jede der Komponenten von f = (f,..., f m ) in sämtliche prtielle Ableitungen, so wird die Mtrix (Jf)() := die Jcobi-Mtrix von f in gennnt. f ( ) m,n x () fi () = x. j i,j= f m x () f x n (). f m x n () Beispiel 5.4. Seien f : R 3 R, f(x, y, z) = (x + 3yz, e x y 3 ) und = (,, ). Die Jcobi -Mtrix für einen beliebigen Punkt des R 3 lutet f f f x x x 3 ( ) (Jf)(x, y, z) = f f f x 3z 3y x x x 3 = e x y 3 3e x y. f 3 f 3 f 3 x x x 3 Crl Gustv Jcob Jcobi (84-85). Entwicklung der Theorie elliptischer Funktionen, Untersuchungen zur Differentilgeometrie, zu prtiellen Differentilgleichungen, Vritionsrechnung, mthemtische Physik. 9

120 KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG Dmit ist (Jf)(,, ) = ( ) Die Stndrdbsis im R k ist die Bsis E k = {e,..., e k } mit (e i ) j = δ ij, i, j k. Stz 5.3. Ist f : (G R n ) R m in G differenzierbr, so besitzen lle Komponenten von f in sämtliche prtielle Ableitungen, und es gilt [f ()] En,E m = (Jf)(), d. h. die Jcobi-Mtrix ist die Mtrixdrstellung der Ableitung in den Stndrdbsen. Beweis. Wir hben f( + h) f() = f ()h + o( h ) nch Definition der Differenzierbrkeit von f in. Wähle h := te j, j n. Dmit gilt f( + te j ) f() = f ()(te j ) + o( te j ) = f( + te j ) f() = t f ()e j + o( t ) f( + te j ) f() = t = f i( + te j ) f i () t = f ()e j + o() = ( f i()e j )i + o(). Die linke Seite konvergiert lso gegen ( f ()e j. Nch Definition 5.4 bedeutet dies, )i dss f i in die j-te prtielle Ableitung besitzt. Somit ht f i in sämtliche prtielle Ableitungen und es gilt f i () = ( ) f ()e j x. i j Der (i, j)-te Eintrg der Mtrixdrstellung von f () ist ber die i-te Koordinte von f ()e j in der Bsis E m, d. h. die i-te Komponente von f ()e j. Sklrfelder Seien f : (G R n ) R und G. Die Jcobi-Mtrix ist dnn die Zeile ( f x () ) f (). x n

121 5.3. PARTIELLE ABLEITUNGEN UND JACOBI-MATRIX Wähle in R n und R die jeweilige Stndrdbsis und identifiziere die lineren Abbildungen L(R n, R ) mit Mtrizen. Dmit erhlten wir ( ) h f f f ()h = () () x x. = f ()h + + f ()h n. n x x n Schreibt mn df() sttt f (), so entsteht h n df()h = f x ()h + + f x n ()h n. (5.3) Wir wenden diese Formel uf den Spezilfll n, in dem f = ϕ k : R n R, ϕ k (x,..., x n ) = x k, die Abbildung ist, die us (x,..., x n ) die k-te Koordinte uswählt. Dmit hben wir ( ϕk x () ) ϕ k () = x n k (,...,,,,..., ) und somit dϕ k ()h = h k. Setzen wir dies in (5.3) ein, so ergibt sich df()h = f x ()dϕ ()h + + f x n ()dϕ n ()h. Bezeichnet mn ϕ k einfch mit x k, entsteht df()h = f x ()dx ()h + + f x n ()dx n ()h. Durch Weglssen von h bekommen wir df() = f x ()dx () + + f x n dx n (). Trennt mn sich schließlich noch von, ergibt sich df = f x dx + + f x n dx n. Letzteres ist lso eine %-ig exkt definierte Gleichheit, zu deren Erklärung es nicht nötig ist, mit unendlich kleinen Größen zu rbeiten. Definition 5.6. Mn nennt die Ableitung bzw. die Jcobi-Mtrix eines Sklrfeldes uch den Grdient und bezeichnet ihn mit grd f() = f() := f () = (Jf)().

122 KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG Z. B. schreibt mn dnn grd f() = ( f x () ) f (). x n Differenzierbrkeit und Existenz der prtiellen Ableitungen Stz 5.3 impliziert, dss us der Differenzierbrkeit die Existenz ller prtiellen Ableitungen folgt. Der Witz ist, dss die Umkehrung nicht gilt, wie folgendes Beispiel zeigt. { xy Beispiel 5.5. Sei f : R R für (x, y) R \ {(, )}, f(x, y) = x +y. D f in für (x, y) = (, ) (, ) nicht stetig ist, knn f dort uch nicht differenzierbr sein. Allerdings existieren lle prtiellen Ableitungen von f. Für (x, y) (, ) ist ds uch klr. In (, ) selbst gilt f(t, ) f(, ) t f(, t) f(, ) t = t = t = f (, ), x = f (, ). y Stz 5.4. Wenn f : (G R n ) R in G stetig ist und dort sämtliche prtielle Ableitungen besitzt und diese ebenflls in G stetig sind, so ist f in G differenzierbr. Den Beweis findet mn in der Litertur. Dbei wird der Mittelwertstz der Differentilrechnung gebrucht (Abschnitt 5.5). Noch einml zur Sprechweise: Mthemtik Differenzierbrkeit Existenz der prtiellen Ableitungen Physik totle Differenzierbrkeit Differenzierbrkeit

123 5.4 Rechenregeln für Ableitungen 5.4. RECHENREGELN FÜR ABLEITUNGEN Stz 5.5. Sind f, g : (G R n ) R m in G differenzierbr, so gilt dies uch für f ± g und αf, α R und wir hben (f ± g) () = f () + g (), (αf) () = α f (). Ds Bilden der Ableitung ist lso ein linerer Opertor. Dies ist offensichtlich (betrchte die Ableitung ls linere Abbildung bzw. ls Mtrix). Stz 5.6 (Produktregel). Seien f, g : (G R n ) R in G differenzierbr. Dnn ist die durch (fg)(x) := f(x) g(x) definierte Funktion ebenflls in differenzierbr und es gilt (fg) () = g()f () + f()g (). Andere Schreibweisen sind ( J(fg) ) () = g()(jf)() + f()(jg)(), Beweis. Wir hben grd(fg) = g grd f + f grd g, (fg) = g f + f g. f( + h) = f() + f ()h + o( h ), Multipliktion ergibt g( + h) = g() + g ()h + o( h ). f( + h)g( + h) = f()g() + f()g ()h + g()f ()h + f ()h g ()h + o( h ) }{{} = o( h ) = f()g() + [ g()f () + g()f () ] h + o( h ), d. h. fg ist in differenzierbr und die Ableitung ist der Opertor in eckigen Klmmern. Stz 5.7 (Quotientenregel). Seien ( ) f, g : (G R n ) R in G differenzierbr und sei f g(). Dnn ist die durch (x) := f(x) definierte Funktion in differenzierbr g g(x) und es gilt ( ) f () = g()f () f()g (). g [g()] 3

124 KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG Andere Schreibweisen sind ( J f ) () = ( ) g()(jf)() f()(jg)(), g [g()] f g = (g f f g). g Beweis. Es ist g( + h) g() = g ()h + o( h ). Dnn gilt g( + h) g() = g() g( + h) g( + h)g() = g ()h + o( h ) [g()] ( + o()) ( : denn + o() = + o()), d. h. g = g ()h + o( h ) [g()] = g ()h + o( h ) [g()] = g () h + o( h ) + o( h ) + o( h ) [g()] }{{} = o( h ) ( g Die Produktregel liefert schließlich ( ) ( f () = f ) () = g g + g()g ()h + o( h ) }{{} = o() ( + o()) ist in differenzierbr und es gilt ) () = [g()] g (). ( ) () f () + f() g ( ) () g = g() f () f() [g()] g () = [g()] ( g()f () f()g () ). Stz 5.8 (Kettenregel). Gegeben seien Funktionen f : (G R m ) R k, g : (H R n ) R m mit g(h) G. Seien g in H und f in g() G differenzierbr. Dnn ist die durch f g : R n R k, (f g)(x) := f ( g(x) ), definierte Funktion in differenzierbr und es gilt (f g) () = f ( g() ) g () bzw. ( f(f g) ) () = (Jf) ( g() ) (Jg)(). 4

125 5.4. RECHENREGELN FÜR ABLEITUNGEN Beweis. Wir hben f ( g( + h) ) f ( g() ) = f ( ) ( ) g() + g ()h + o( h ) f g() }{{} =l = f ( g() ) + f ( g() ) l + o( l ) f ( g() ) = f ( g() ) g ()h + f ( g() ) o( h ) + o( l ). }{{} = o( h ) Beispiel 5.6. ) Betrchte die Funktion h: R R, h(x) = e x, und setze g(x) := x, f(x) := e x. Dnn ist g (x) = x und f (x) = e x und die Kettenregel liefert h (x) = ( f ( g(x) )) = f ( g(x) ) g (x) = e x x. ) Seien z = f(x, y), x = x(t) sowie y = y(t), lso z = f ( x(t), y(t) ). Uns interessiert dz. dt Wir hben f : R R, (x, y) f(x, y), g : R R, t ( x(t), y(t) ), f g : R R, t f ( x(t), y(t) ). Nch der Kettenregel ist dz dt (t) = ( J(f g) ) (t) = (Jf) ( g(t) ) (Jg)(t). Es gilt (Jf)(x, y) = Dmit ergibt sich ( f f (x, y) x dz f ( )dx (t) = x(t), y(t) dt x dt dz dt = f dx x dt + f dy y dt. ) dx (x, y), (Jg)(t) = dt (t). y dy dt (t) (x) + f y 3) Seien z = z(x, y), x = x(r, s) und y = y(r, s). Dnn ist Uns interessieren z, z r s z = z(r, s) = z ( x(r, s), y(r, s) ).. Nch der Kettenregel gilt ( )dy x(t), y(t) (t) oder kurz dt (Jz)(r, s) = (Jf) ( x(r, s), y(r, s) ) (Jg)(r, s) 5

126 KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG mit f(x, y) = z(x, y) und g(r, s) = ( x(r, s), y(r, s) ). Wir hben (Jf)(x, y) = und somit ( z z (x, y) x ) (x, y), (Jg)(r, s) = y (Jz)(r, s) = ( z z (r, s) r ) (r, s) s x x (r, s) r y y (r, s) r (r, s) s, (r, s) s z z ( ) x z ( ) y (r, s) = x(r, s), y(r, s) (r, s) + x(r, s), y(r, s) (r, s), r x r y s z z ( ) x z ( ) y (r, s) = x(r, s), y(r, s) (r, s) + x(r, s), y(r, s) (r, s), s x s y s kurz z r = z x x r + z y y r, z s = z x x s + z y y s. 6

127 5.5. DIFFERENZIERBARE FUNKTIONEN EINER VERÄNDERLICHEN 5.5 Differenzierbre Funktionen einer Veränderlichen Definition 5.7. Seien f : (, b) R eine Funktion und x (, b). Mn sgt, dss f in x ein lokles Mximum bzw. ein lokles Minimum ht, wenn es eine ε-umgebung U ε (x ) (, b) gibt mit f(x) f(x ) x U ε (x ) bzw. f(x) f(x ) x U ε (x ). y ξ, ξ 3... lokle Mxim, ξ... lokles Minimum, ξ... beides ξ ξ ξ ξ 3 b x Stz 5.9 (Fermt ). Ist f : (, b) R in x (, b) differenzierbr und besitzt dort ein lokles Extremum (d. h. ein lokles Mximum oder Minimum), so gilt f (x ) =. Beweis. Hbe f in x etw ein lokles Mximum (betrchte im Flle eines loklen Minimums die Funktion f). Sei lso f(x) f(x ) x U ε (x ). Für x U ε (x ) mit x > x ist dnn f(x) f(x ) x x. Im Grenzwert x x liefert dies f (x ). Für x U ε (x ) mit x < x gilt f(x) f(x ) x x, lso f (x ). Insgesmt ergibt sich demnch f(x ) f (x ) =. 7

128 KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG Die Umkehrung von Stz 5.9 gilt jedoch keineswegs. Z. B. ht f : R R, f(x) = x 3, in x = kein lokles Extremum, obwohl f () = gilt. Solche Punkte x mit f (x ) = heißen extremwertverdächtig oder uch sttionär. Stz 5. (Rolle 3 ). Sei f : [, b] R uf [, b] stetig und in (, b) differenzierbr. Ist f() = f(b), so existiert ein ξ zwischen und b mit f (ξ) =. y ξ ξ b x Beweis. Nch Stz 4.5 (Weierstrß) ht f uf [, b] ein Mximum, etw in x = ξ. Ist ξ (, b), so ist f (ξ) = nch Stz 5.8. Sei nun ξ =. Dnn ist f() f(x) x [, b]. Nch Stz 4.5 besitzt f uf [, b] uch ein Minimum, etw in x = η. Ist η (, b), so sind wir fertig. Sei η =. So folgt f() f(x) x [, b]. Also ist f(x) = f() = const und dmit f (ξ) = ξ (, b). Bleibt noch der Fll η = b. Dnn ist f(x) f(b) = f() x [, b] und wir erhlten wieder f(x) = f() = const, d. h. f (ξ) = ξ (, b). Der Fll ξ = b geht nlog. Korollr 5. (zu Stz 5., Mittelwertstz der Differentilrechnung). Sei f : [, b] R uf [, b] stetig und in (, b) differenzierbr. Dnn existiert ein ξ (, b) mit f(b) f() = f (ξ)(b ). Pierre de Fermt (c ), frnzösischer Mthemtiker und Jurist. Beiträge zur Zhlentheorie, Whrscheinlichkeits- und Differentilrechnung. Fermts letzter Stz: Die diophntische Gleichung x n + y n = z n mit x, y, z N ist für kein n > erfüllt. (Litertur: Fermts letzter Stz von Simon Singh) 3 Michel Rolle (65-79), frnzösischer Mthemtiker. Der Stz von Rolle geht us seiner Theorie der Kskden hervor. Rolle lehnte die Infinitesimlrechnung b, die seiner Meinung nch fehlerhft sei. 8

129 5.5. DIFFERENZIERBARE FUNKTIONEN EINER VERÄNDERLICHEN Anschulich ist dies vollkommen klr. Geometrische Deutung: Es gibt (mindestens) eine Stelle ξ, in der die Tngente prllel zur Seknte s durch die Punkte (, f() ) und ( b, f(b) ) verläuft, y f(b) tn α = f(b) f() b = f (ξ). f() α ξ b x f(b) f() Physiklische Deutung: = Weg = Durchschnittsgeschwindigkeit. Es gibt b Zeit einen Zeitpunkt, in dem die Momentn- gleich der Durchschnittsgeschwindigkeit ist. Beweis. Betrchte die Hilfsfunktion g(x) := f(x) f(b) f() (x ) f(). b Dnn ist g() = g(b) =. Nch Stz 5. gibt es lso ein ξ (, b) mit g (ξ) = und wir hben g (ξ) = f f(b) f() (ξ) =. b Stz 5. (über Monotonie). Sei f : (, b) R in (, b) differenzierbr, so gilt. f ist genu dnn monoton wchsend uf (, b), wenn f (x) x (, b) gilt.. Ist f (x) > x (, b), so ist f streng monoton wchsend in (, b). 3. Ist f ußerdem stetig uf [, b] und gilt f (x) > x (, b), so ist die Umkehrfunktion von f ebenflls in (, b) differenzierbr. Die Funktion f : R R, f(x) = x 3, zeigt, dss die Umkehrung von. nicht gilt. Beweis.. : Seien x, y (, b), x < y. Nch dem Mittelwertstz der Differentilrechnung gibt es ein ξ (x, y) mit f(y) f(x) = f (ξ)(y x). Es folgt f(x) f(y) für f (ξ) und f(x) < f(y) für f (ξ) >, ws uch. zeigt. 9

130 KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG : Wir hben f (x) = lim, lso f (x). f(y) f(x) y x y x. Für y > x ist f(y) f(x), d. h. f(y) f(x) y x 3. Nch Stz 4.7 existiert die Umkehrfunktion g : [f(), f(b)] [, b] von f. Für x, x (, b) ist f(x) f(x ) = f (x )(x x )+ o(x x ), d f in x differenzierbr ist. Es folgt x x = ( f(x) f(x ) ) + o(x x f ). (x ) Seien x = g(y) und x = g(y ). Wir erhlten g(y) g(y ) = ( ( ) ( f g(y) f g(y ) )) + o(x x f ) = (x ) f (x ) (y y )+ o(y y ). : Infolge des Mittelwertstzes der Differentilrechnung gibt es ein ξ zwischen x und x mit lso ist o(x x ) = o(y y ). x x = f(x) f(x ) f (ξ) = y y f (ξ), Der Beweis von Stz bietet einem die Möglichkeit, die Ableitung der Umkehrfunktion g einer Funktion f zu bestimmen. Dzu strtet mn mit f ( g(x) ) = x. Beispiel 5.7. ) Logrithmus. Es gilt e log x = x, lso e log x }{{} =x ) Arkussinus. Es ist sin(rcsin x) = x, lso (log x) = = (log x) = x. cos(rcsin x) (rcsin x) = = (rcsin x) = cos(rcsin x) = sin (rcsin x) =. x Anlog erhält mn (rccos x) =. x 3) Arkustngens. Wir hben ( ) sin x (tn x) = = cos x + sin x cos x cos x Es ist tn(rctn x) = x, lso = cos x = + tn x. ( + tn (rctn x) ) (rctn x) = = (rctn x) = + x. 3

131 5.5. DIFFERENZIERBARE FUNKTIONEN EINER VERÄNDERLICHEN Stz 5. (Regel von de l Hôspitl 4 ). Seien f, g : (, b) R in (, b) differenzierbr und sei g (x) x (, b). Gilt f( + ) =, g( + ) = sowie f (x) lim x + g (x) = c, c R, so ist uch f(x) lim x + g(x) = c. Beweis. Setze f() = g() =. Dnn sind f und g in [, b ε] stetig und in (, b ε) differenzierbr. Wähle ein t (, b ε) und betrchte die Funktion ϕ(x) = f(x) f() f(t) f() ( ) g(x) g(). g(t) g() Wegen g (x) x (, b) ist g streng monoton und dmit g(t) g(). Wir hben ϕ() = ϕ(t) =. Nch Stz 5. existiert lso ein ξ (, t) mit Somit ist = ϕ (ξ) = f (ξ) f(t) f() g(t) g() g (ξ). f(t) lim t + g(t) = lim f(t) f() t + g(t) g() = lim f (ξ) t + g (ξ) = lim f (ξ) ξ + g (ξ) = c. Die l Hôspitlsche Regel ist uch bei rechtsseitigen Limites nwendbr. Sie gilt uch im Flle von unbestimmten Ausdrücken der Form für rechts-, linksseitige und normle (d. h. beidseitige) Grenzwerte. Beispiel 5.8. ) lim x sin x x ) lim x cos x x = lim x sin x x = lim cos x x = lim cos x x x α 3) Sei α >. lim x log x = lim αx α x x =. =. = lim x αx α =. 4 Guillume Frnçois Antoine, Mrquis de l Hôspitl (66-74), frnzösischer Mthemtiker. Autor des ersten Lehrbuchs über Differentil- und Integrlrechnung. Die Regel von de l Hospitl wurde eigentlich von seinem Lehrer Bernoulli entdeckt. 3

132 KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG Definition 5.8. Ist f : (, b) R in (, b) differenzierbr und ist die Ableitung f : (, b) R in x (, b) differenzierbr, so nennt mn (f ) (x ) die zweite Ableitung von f in x und bezeichnet sie mit ( ) f (x ) = d f dx (x ) = d f d dx = f x=x dx etc. Anlog definiert mn höhere Ableitungen f (x ), f (4) (x ),..., f (n) (x ). x=x Sie werden entsprechend bezeichnet: d n f dx n = x=x ( d dx) n x=x. Beispiel 5.9. ) Betrchte die Funktion f : R R, f(x) = x 3. Es gilt (x 3 ) = 3x, (x 3 ) = 6x, (x 3 ) = 6, (x 3 ) (4) =, (x 3 ) (n) = (n > 4). Dnn gilt beispielsweise (x 3 ) x= =, (x 3 ) x= =, (x 3 ) x= = 6. ) Sei x = x(t) ein Weg-Zeit-Gesetz. Dnn bedeuten x den Ort zur Zeit t, ẋ = x (t) die Geschwindigkeit und ẍ = x (t) die Beschleunigung. Definition 5.9. Eine stetige Funktion f : (, b) R heißt konvex uf (, b), wenn gilt ( ) x + y f(x) + f(y) f x, y (, b) und konkv uf (, b), wenn gilt ( ) x + y f f(x) + f(y) x, y (, b). 3

133 5.5. DIFFERENZIERBARE FUNKTIONEN EINER VERÄNDERLICHEN f(x )+f(x ) f( x +x ) y f x x +x x x f konvex y f( x +x ) f(x )+f(x ) f x x +x x x f konkv (Affin) Linere Funktionen sind sowohl konvex ls uch konkv. Stz 5.3 (Interprettion der zweiten Ableitung). Für f C (, b), d. h. für eine zweiml stetig differenzierbre Funktion f : (, b) R, gilt: f ist uf (, b) genu dnn konvex bzw. konkv, wenn f (x ) bzw. f (x ) für lle x (, b) gilt. Wir wollen dies nicht beweisen; nschulich ist der Stz ber klr: y f konvex Tngente dreht sich nch links Anstieg von f wächst f (x) wächst f (x). x Physiklisch bedeutet ds: f konvex Bewegung erfolgt beschleunigt ẍ. Ein Punkt x (, b) heißt Wendepunkt von f, wenn in ihm Konvexität in Konkvität (oder umgedreht) umschlägt. Es gilt die Jensensche Ungleichung: ( ) x + + x n f konvex f n ( ) x + + x n f konkv f n f(x ) + + f(x n ), n f(x ) + + f(x n ). n 33

134 KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG Beispiel 5.. Sei f(x) = x p, x >. Dnn ist f (x) = (p )px p, flls p. Also gilt ( x + + x n n ) p xp + + x p n. n Insbesondere für p = erhält mn die Aussge x + + x n x + + x n, n n d. h. ds rithmetische Mittel ist kleiner oder gleich dem qudrtischen Mittel. y p > p = p < x Stz 5.4 (Hinreichende Bedingung für lokle Extrem). Seien f C (, b) und x (, b). Dnn gilt. f (x ) =, f (x ) < = x ist lokles Mximum,. f (x ) =, f (x ) > = x ist lokles Minimum. Der Beweis wird im Abschnitt 5.6 nchgeholt. Auch diese Aussge ist wieder nschulich klr: f < f f f > Für f (x ) = f (x ) = knn mn ohne weitere Untersuchungen keine Aussge über Existenz und Art eines lokllen Extremums treffen. 34

135 5.6. TAYLOR-ENTWICKLUNG 5.6 Tylor-Entwicklung Seien I R ein offenes Intervll und I ein Punkt. Sei ferner f : I R eine Funktion, die in I hinreichend oft differenzierbr (mn sgt uch gltt) ist. Wir schreiben f C m (I), wenn f (m) existiert und f (m) stetig in I ist. Unser Ziel ist es, f in einer Umgebung von möglichst gut durch ein Polynom zu pproximieren, etw P n (x) = p + p (x ) + + p n (x ) n ; vielleicht klppt es sogr mit einer Potenzreihe lso einem Polynom vom Grd. f(x) = p + p (x ) + p (x ) +, Nehmen wir n, wir hätten solch eine Reihe und diese ließe sich gliedweise differenzieren. Dnn folgt f() = p und f (x) = p + p (x ) + 3p 3 (x ) + 4p 4 (x ) 3 + = f () = p, f (x) = p + 3 p 3 (x ) + 4 3p 4 (x ) + = f () = p, usw. Allgemein erhält mn f (n) () = n!p n. Versuchen wir es lso mit der Reihe f (x) = 3 p p 4 (x ) + = f () = 3!p 3, f() + f ()(x ) + f () (x ) + =! der sogennnten Tylor 5 -Reihe von f in und dem Polynom P n (x) := f() + f () + f ()(x ) + + f (n) () (x ) n = n! dem sogennnten n-ten Tylor-Polynom von f in. k= f (k) () (x ) k, k! n k= f (k) () (x ) k, k! Stz 5.5 (Tylor-Formel mit Restglied von Lgrnge 6 ). Seien f C n+ (I) und I. Für x I gilt dnn f(x) = n k= f (k) () k! (x ) k + f (n+) (ξ) (x )n+ (n + )! mit einem ξ zwischen und x. 5 Brook Tylor (685-73), britischer Mthemtiker. Singuläre Lösungen von Differentilgleichungen, Potenzreihenentwicklung differenzierbrer Funktionen. 35

136 KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG Für n = erhält mn den Mittelwertstz der Differentilrechnung f(x) = f() + f (ξ)(x ). Beweis. Wir setzen P n (t) := und bestimmen die Zhl M so, dss n k= f (k) () (t ) k (5.4) k! f(x) = P n (x) + M (x )n+ (n + )! gilt. Wir müssen lso zeigen, dss ein ξ [, x] (oder ξ [x, ]) mit f (n+) (ξ) = M existiert. Dzu setzen wir Wir hben g(t) := f(t) P n (t) M (n + )! (t )n+. g (n+) (t) = f (n+) (t) M. Ohne Einschränkung der Allgemeinheit sei x >. Wir zeigen, dss es ein ξ [, x] gibt mit g (n+) (ξ) =. Es gilt g() = f() P n () =, g () = f () P n() =, g () = f () P n () =,. g (n) () = f (n) () P (n) n () =, und ußerdem ist g(x) =. Nch Stz 5. (Rolle) gibt es ein ξ [, x] mit g (ξ ) =. Wieder nch Stz 5. ergibt sich die Existenz eines ξ [, ξ ] mit g (ξ ) =. Dnn finden wir ein ξ 3 [, ξ ] mit g (ξ 3 ) = usw. Schließlich existiert ein ξ n+ [, ξ n ] mit g (n+) (ξ n+ ) =. Der Stz gilt lso mit ξ := ξ n+. Beispiel 5.. ) Ist f (n+) (x) M für x I, so liefert Stz 5.5 die Abschätzung n f(x) f (k) () (x ) k M k! (n + )! I n+. k= 6 Joseph-Louis de Lgrnge (736-83), itlienischer Mthemtiker und Astronom. Begründer der nlytischen Mechnik, beschäftigte sich mit der Vritionsrechnung, der Theorie komplexer Funktionen, Algebr (Gruppentheorie), dem Dreikörperproblem der Himmelsmechnik. 36

137 5.6. TAYLOR-ENTWICKLUNG Sei z. B. f(x) = e x. Es ist f (k) (x) = e x und f (k) () =. Setzen wir =, dnn erhlten wir ls Tylor-Polynom (5.4) und Sei n = 5 und wähle ) I = (, ). Dnn gilt P n (x) = + x + x + + xn n! e x P n (x) M (n + )! I n+, M := mx x I ex. b) I = (, ), so gilt e x P5(x) e x P 5 (x) e 7 6 =.3 4, e 7 =. 36. ) Tylor-Polynome sind hervorrgend für lokle Approximtionen geeignet, nicht ber für globle. Betrchte z. B. die Tylor-Polynome von f(x) = sin x in = : y n = n = 5 y = sin x π 3π x n = 3 n = 5 Sehr suggestiv ist uch die Schreibweise f(x+ x) = f(x)+f (x) x+ f (x)! ( x) + + f (n) (x) n! ( x) n + f (n+) (x + θ x) ( x) n+ (n + )! mit θ (, ). Hier übernimmt x + x die Rolle von x, x die Rolle von und x + θ x die Rolle von ξ in der ursprünglichen Fssung us Stz

138 KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG Tylor-Polynome mit Entwicklungspunkt = werden mnchml uch Mclurin 7 - Polynome gennnt. Wie versprochen, beweisen wir noch die hinreichende Bedingung für lokle Extrem us Abschnitt 5.4. Beweis von Stz 5.4. Nch Stz 5.5 hben wir mit n = f(x) = f() + f ()(x ) + f (ξ) (x ). Wegen f () = ergibt dies f(x) = f()+ f (ξ) (x ). Ist nun f () >, so ist f (ξ) > für lle ξ, die hinreichend nhe bei liegen, und dmit uch für lle x hinreichend nhe bei. Für diese x gilt lso f(x) f(), d. h. in liegt ein lokles Minimum vor. Anlog erhlten wir ein lokles Mximum im Flle f () <. Stz 5.6 (Tylorsche Formel mit Restglied von Peno 8 ). Sei f : U ε () R, f C n ( U ε () ), und möge f (n) () existieren. Für x gilt dnn f(x) = n k= f (k) () (x ) k + o( ) (x ) n. k! Beweis. Wir betrchten die durch g(x) := f(x) n k= f (k) () (x ) k k! definierte Funktion. Es gilt g() = g () = = g (n) () =. Wir wissen, dss f und dmit uch g in C n in einer Umgebung von ist. Stz 5.5 mit n liefert lso g(x) = n k= g (k) () (x ) k + g(n ) (ξ) k! (n )! (x )n = g(n ) (ξ) (n )! (x )n, und d g (n ) in differenzierbr ist, entspricht letzteres gerde (verwende Definition der Differenzierbrkeit) g (n ) () + g (n) ()(x ) + o(ξ ) (x ) n = (n )! d ξ zwischen und x liegt. o(ξ ) (n )! (x ( )n = ) o (x ) n, 7 Colin Mclurin (698-76), schottischer Mthemtiker. Beiträge zur theoretischen Geodäsie, Geophysik, untersuchte die theoretische Erdfigur, definierte Trisektrix (ermöglicht Drittelung beliebiger Winkel). 8 Giuseppe Peno (858-93), itlienischer Mthemtiker. Logik, Axiomtik der ntürlichen Zhlen (Peno-Axiome), Differentilgleichungen erster Ordnung. 38

139 5.6. TAYLOR-ENTWICKLUNG Ws pssiert im Grenzwert n? Wir betrchten die Tylor-Reihe von f in : k= f (k) () k! (x ) k = f() + f ()(x ) + f () (x ) +. Diese Reihe können wir bloß für unendlich oft differenzierbre Funktionen ufschreiben. Sei lso f in C in einer Umgebung von. Dnn ergeben sich zwei Frgen:. Konvergiert die Tylor-Reihe?. Ws ist gegebenenflls ihre Summe? Wir erwrten, dss die Summe gleich f(x) ist. Ds ist leider nicht notwendigerweise so. { e /x für x Beispiel 5.. Sei f(x) = für x =. Es gilt f C (R). Dss f C ( R \ {} ) gilt, ist klr. Wir müssen dies lso nur noch für x = untersuchen. Es ist y = f(x) y x f(x) f() lim x x e /x = lim x x = lim x e /x ( = ) x 3 e /x = lim =? x x 3 Dies führt lso zu nichts. Besser ist es, vor Anwendung der l Hôspitlschen Regel eine Substitution uszuführen: f(x) f() lim x x e /x = lim x x = lim y e y y =. y:= x e y = lim y /y = lim y Also ist f in differenzierbr mit f () =. Des weiteren ist f (x) f () lim x x x 3 e /x = lim x x 4y 3 = lim y e y y = 4 lim y e /x = lim x x 4 y e y =, y (= ) e y y:= x y 4 = lim y e y 39

140 KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG d. h. f ist in zweiml differenzierbr, f () =. Insgesmt knn mn zeigen, dss f in beliebig oft differenzierbr ist und sämtliche Ableitungen dort sind. Die Tylor-Reihe von f in ist lso f (k) () x k = + x + k!! x + 3! x3 +. k= Sie konvergiert für lle x R, ht ber die Summe und nicht f(x). In der Funktionentheorie wird gezeigt: Stz 5.7 (über Konvergenz der Tylor-Reihe, Weierstrß). Sei b k (x b) k eine Potenzreihe mit Konvergenzrdius R > und sei f(x), x (b R, b + R), ihre Summe. Dnn gilt:. f ist in (b R, b + R) unendlich oft differenzierbr.. Für beliebiges (b R, b + R) konvergiert die Tylor-Reihe x ( r, + r) mit r = min ( (b R), b + R ). k= k= f (k) () k! (x ) k für b R ( r r ) b + R 3. Es gilt f(x) = k= f (k) () k! (x ) k für x ( r, + r). Wendet mn dies uf = b n, so folgt f(x) = b k (x ) k = f(x) = k= k= k= f (k) () k! (x ) k = b k = f (k) (). k! Beispiel 5.3. Tylor-Reihe von e x in x =. ( ) d e x = dx ex () (x )k (Stz 5.7 mit b =, R = nwenden) k! = k= e k! (x )k. Anders: e x = e e x = e k= (x ) k. k! 4

141 5.6. TAYLOR-ENTWICKLUNG Die Berechnung von Tylor-Reihen per Definition, d. h. über f (), f (), usw. ist oftmls ungünstig. Mn geht dher meist nders vor. In vielen Fällen reicht ds Folgende: Stz 5.8 (Rechnen mit Potenzreihen).. Ist f(x) = f j x j, x < R, und g(x) = g j x j, x < r, so gilt j= j= f(x) ± g(x) = (f j ± g j )x j, x < min(r, r) j= und ( ) ( ) f(x)g(x) = f j x j g k x k, x < min(r, r) j= k= (durch Ausmultiplizieren und Ordnen nch Potenzen).. Ist f(x) = f j x j, g(x) = g k x k (g() = ) und hben beide Reihen positive j= k= Konvergenzrdien R bzw. r, so ergibt sich die Tylor-Reihe für x < min(r, r) von f ( g(x) ) in x = durch formles Einsetzen der Reihe für g in die Reihe für f. Beispiel 5.4. ) Es gilt ) ) e x sin x = ( + x + (x x + x3 6 + x3 6 + x5 ) Für x < gilt lso ist = x x3 6 + x5 + + x x4 6 + x6 + + x3 x5 + + x4 6 x = x + x + x3 3 3 x5 + O(x 6 ). ( x)( + x + x + ) = ( + x + x + ) (x + x + x 3 + ) =, x = + x + x +. 4

142 KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG 3) Es gilt e sin x = + ( ) x (x x3 x3 6 + x5 + = + x + x x4 8 + O(x5 ). 6 + x5 )! + Einige wichtige Tylor-Reihen. e x x n = n! = + x + x! + x3 3! +, x R,. sin x = 3. cos x = 4. sinh x = 5. cosh x = 6. log( x) = 7. ( + x) α = n= ( ) n x n+ (n + )! = x x3 3! + x5 5!, n= x R, ( ) n xn (n)! = x! + x4 4!, n= x R, x n+ (n + )! = x + x3 3! + x5 5! +, n= x R, x n (n)! = + x! + x4 4! +, n= x R, x n x = x n x3 3 x4, x <, 4 n= ( ) ( ) ( ) α α α x n = + αx + x + x 3 +, x <, α R. n 3 n= Zu 6. Ersetzt mn x durch x, so erhält mn die Potenzreihe n+ xn log( + x) = ( ) n = x x + x3 3 x4 ±, < x. 4 n= Zu 7. Mn setzt (α ) := n α(α ) (α n + ), n! Für α {, } bekommt mn ( ( + x) / = + x = )x n = + n n= ( + x) ( / = = + x n= n ( ) α :=. x x 8 + x3 6, ) x n = x x 5 6 x3 ±. 4

143 5.6. TAYLOR-ENTWICKLUNG Ersetzt mn drin x durch x, so bekommt mn die Reihen für x bzw. für x. Ist α N, so bricht die Reihe mit dem (α + )-ten Glied, wegen ( α α+k) = für k N, b. Mn erhält lso den binomischen Stz. Definition 5.. Seien G R n offen und f : G R. Flls f x k in G existiert und in G nch x j prtiell differenzierbr ist, so bezeichnet mn die letzte prtielle Ableitung mit ( ) ( ) f () = f () = f x j x k x j x k x j x k = f xk x j () = (D k D j f)() = x= und sgt, dss f in die ( zweite ) prtielle Ableitung nch x k und dnn nch x j ht. Anlog definiert mn 3 f x l x j x k (), usw. Mn nennt dies prtielle Ableitungen höherer Ordnung, wobei die Ordnung die Zhl der uftretenden Ableitungen meint. Mit C m (G) bezeichnet mn die Menge ller Funktionen f : G R, für die lle prtiellen Ableitungen bis einschließlich der Ordnung m existieren und stetig sind. ( ) ( ) Beispiel 5.5. Im Allgemeinen gilt f x j x k () f x k x j (). Sei z. B. { xy x y für (x, y) (, ) f(x, y) = x +y für (x, y) = (, ). Es gilt Anlog zeigt mn f yx (, ) = +. f x (x, y) = y x y x + y + xy x(x + y ) x(x y ) (x + y ) = y x y x + y + 4x y 3 für (x, y) (, ), (x + y ) f x (, ) = lim x f(x, ) f(, ) x f xy (, ) = lim y f x (, y) f x (, ) y = lim x x =, y = lim y y =. Stz 5.9 (von Schwrz 9 über die Gleichheit gemischter prtieller Ableitungen). Für f C (G) ist ( ) ( ) f f () = () G. x j x k x k x j 43

144 KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG Allgemeiner ist für f C m (G) beim Bilden der prtiellen Ableitungen bis zur Ordnung einschließlich m die Reihenfolge der Differentition belnglos. Stz 5. (Tylorsche Formel für Funktionen zweier Veränderlicher). Sei G R offen und sei f C m+ (G). Sind (, b), (x, y) G und liegt die Strecke zwischen (, b) und (x, y) gnz in G, so gilt f(x, y) = ( ) j+k f (, b)(x ) j (y b) k + R(x) j!k! x j y k mit dem Restglied R(x) := j+k m j+k=m+ ( ) j+k f (ξ, η)(x ) j (y b) k, j!k! x j y k wobei (ξ, η) uf der Strecke zwischen (, b) und (x, y) ist. (, b) G (ξ, η) (x, y) Dbei bedeutet j+k f x j y k = j+k f. } x {{ x} y y }{{} j ml k ml Beweis. Wende Stz 5.5 uf g(t) := f ( + t(x ), b + t(y b) ) n. 9 Hermnn Amndus Schwrz (843-9). Beschäftigte sich insbesondere mit Funktionentheorie, Arbeiten zur hypergeometrischen Differentilgleichung. 44

145 5.6. TAYLOR-ENTWICKLUNG Die Tylorsche Formel lutet für m = : f(x, y) = f(, b) + f x (ξ, η)(x ) + f y (ξ, η)(y b); m = : m = : f(x, y) = f( + b) + f x (, b)(x ) + f y (, b)(y b) + f xx(ξ, η)(x ) + f xy (ξ, η)(x )(y b) + f yy(ξ, η)(y b) ; f(x, y) = f(, b) + f x (, b)(x ) + f y (, b)(y b) + f xx(, b)(x ) + f xy (, b)(x )(y b) + f yy(, b)(y b) + 6 f xxx(ξ, η)(x ) 3 + f xxy(ξ, η)(x ) (y b) + f xyy(ξ, η)(x )(y b) + 6 f yyy(ξ, η)(y b) 3. Definition 5.. Setze Z + := {,,, 3,...}. Ein Element α = (α,..., α n ) Z n + heißt Multi-Index und mn setzt α := α + + α n, α! := α! α n!, ( ) α ( ) αn D α α := = x x n x α. x αn Für x = (x,..., x n ) R n und α Z n + definiert mn x α := x α x αn n. n Beispiel 5.6. Für α = (3, ) Z + gilt ( D (3,) f ) (x, y)(x, y) (3,) = (3, )! 3!! [ ( ) 3 ( ) ] (x, y)x 3 y. x y Stz 5. (Tylorsche Formel für Funktionen mehrerer Veränderlicher). Seien G R n offen und f C m+ (G) für, x G mit der Eigenschft, dss die Strecke zwischen und x gnz zu G gehört. Dnn gilt f(x) = α m mit ξ uf der Strecke zwischen und x. (D α f)() (x ) α + α! α =m+ (D α f)(ξ) (x ) α α! 45

146 KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG Der Beweis gelingt ebenflls mittels Stz 5.5. Definition 5.. Sei f : (G R n ) R eine Funktion, deren prtielle Ableitungen zweiter Ordnung existieren mögen. Für G heißt dnn die Mtrix [f ()] := Hesse -Mtrix im Punkt. ( ) f n x f x () () = x j x. k j,k= f x n x () f x x n (). f x n x n () Für f C (G) ist [f ()] symmetrisch. Dies folgt mit Stz 5.9. Setzen wir noch ( ) x [f ()] := f f x () x n () und x :=., x n n so lutet der Anfng der Tylor-Reihe von f in wobei gilt f(x) = f() + [f ()](x ) + (x ) [f ()](x ) + ( ) x = f() + f f x () x n (). x n n Q = = + ( x x n n ) n j,k= n j= f x x (). f () xn x f x xn (). f xn xn () ( x. x n n } {{ } =:Q f x j x k ()(x j j )(x k k ) f ()(x x j j ) + j j<k ) +, f x j x k ()(x j j )(x k k ). Otto Hesse (8-874). Befsste sich v.. mit nlytischer Geometrie und Determinnten, Einführung der Hesse-Mtrix und der Hesseschen Normlform der Ebenengleichung. 46

147 5.7 Sklrfelder und Grdient 5.7. SKALARFELDER UND GRADIENT Sklrfelder f : (G R n ) R können wir uns für n = und so vorstellen: y x 3 x 3 = f(x, x ) y = f(x) x G ( G ) n = x n = x Für n = 3 stellt mn sich z. B. ein Temperturfeld vor: Jedem Punkt x R 3 wird eine Tempertur T (x) zugeordnet. Seien f : G R ein Sklrfeld, G sowie v R n ein Vektor mit v =. Für t ( ε, ε) ist uch + tv G. G + tv v Definition 5.3. Wenn die Abbildung ( ε, ε) R, t f( + tv) in t = differenzierbr ist, so heißt d f( + tv) dt Richtungsbleitung von f in in Richtung v und wird mit f v () = ( vf)() = bezeichnet. t= Für n = bedeutet ds: 47

148 KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG y y α α x v = + f v () = d f( + t) dt t= = f ( + t) t= = f () = tn α x v = f v () = d f( t) dt t= = f ( t)( ) t= = f () = tn α. x 3 x 3 = f(x, x ) x f( + tv) f() + tv G x Für n = ist f () der Anstieg längs des eingezeichneten v Weges uf der Fläche f(x, x ) in Richtung v. Beispiel 5.7. f : R R, f(x, y) = x + 3y, = (, ), v = (v, v ). Es ist f v (, ) = d ( ) ( + tv ) + 3( + tv ) t= = (v dt }{{} t + 3v ) t= = 3v. =f(+tv,+tv ) Stz 5.. Ist f : G R in G differenzierbr, so gilt f f () = grd f(), v = ()v + + f ()v n. v x x n 48

149 5.7. SKALARFELDER UND GRADIENT Dbei ist, ds Stndrd-Sklrprodukt. Beweis. f v () = d f( + tv) dt = d t= dt f( + tv,..., n + tv n ) ( t= f = ( + tv)v + + f ( + tv)v n) = grd f(), v. x x n t= Für ds Beispiel 5.7 bedeutet ds f v (, ) = (x, 3) (,), (v, v ) = (, 3), (v, v ) = 3v. Stz 5.3 (Cuchy-Schwrzsche Ungleichung). Für x = (x,..., x n ) und y = (y,..., y n ) us R n gilt (x y + + x n y n ) (x + + x n)(y + + y n) mit Gleichheit genu dnn, wenn x und y, besser: die Ortsvektoren x und y, prllel sind. y = (y,..., y n ) y x = (x,..., x n ) ϕ x Prllelität von x und y meint: x y λ : x = λ y oder y = λ x λ : x j = λy j j oder y j = λx j j. Beweis. Anschulich: Es gilt x y + + x n y n = x, y = x y cos ϕ, wobei ϕ den von x und y eingeschlossenen Winkel bezeichnet. Dmit ist wegen cos ϕ. x, y = x y cos ϕ x y 49

150 KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG Rechnerisch: D x j y k x k y j für j < k gilt, ergibt sich = = = (x j y k x k y j ) j<k j<k(x jyk + x kyj ) j<k n n x jyk x jyj + j= j k ( n ) ( n j= x j k= y k ) x j y j x k y k x jyj + j= j k ( n j= x j y j) ( n k= x j y j x k y k x k y k ) Der Gleichheitsfll ist beim nschulichen Beweis klr. Beim rechnerischen erfordert er eine kleine Zustzüberlegung.. Stz 5.4. Seien f : (G R n ) R in G differenzierbr und v R n ein Vektor. Dnn gilt grd f() = = f v () = v Rn, grd f() = f () wird mximl genu für v = v grd f() grd f(), grd f() = f grd f() () wird miniml genu für v = v grd f(). Mit nderen Worten: Der Grdient zeigt stets in die Richtung des steilsten Anstiegs. Beweis. Stz 5. liefert f () = für grd f() =. Sei lso grd f(). Nch Stz v 5.3 ist f v () = grd f(), v grd f() v = grd f(). Letzteres gilt wegen v =. Gleichheit tritt genu für grd f() = λv oder v = λ grd f() ein. Im ersten Fll ist grd f() = λ v = λ, d. h. λ = + grd f() oder λ = grd f(). Für λ = + grd f() ist v = grd f() λ = grd f() grd f() 5

151 5.7. SKALARFELDER UND GRADIENT und für λ = grd f() ist dnn grd f() v = grd f(). Im zweiten Fll hben wir = v = λ grd f(), d. h. λ = + grd f() grd f() λ =, worus wieder v = folgt. Schließlich ist grd f() grd f() grd f() grd f(), = grd f() grd f() grd f() = grd f(). oder Der Beweis zeigt, dss der Mximlwert von f () gleich grd f() und dessen v Minimlwert gleich grd f() ist. Definition 5.4. Seien f : G R und G. Mn sgt, dss f in ein lokles Minimum bzw. lokles Mximum ht, wenn es eine offene Umgebung U() G gibt mit f() f(x) x U() bzw. f() f(x) x U(). Wenn f in differenzierbr ist und grd f() = gilt, so heißt sttionär oder uch kritischer Punkt von f. Stz 5.5. Ist f : G R in G differenzierbr und besitzt dort ein lokles Extremum, so ist grd f() =. Beweis. Betrchte die durch ϕ(t) := f(,..., j, j + t, j+,..., n ) definierte Funktion. Diese ht für t = ein lokles Extremum, weshlb gilt. = ϕ () = f x j () 5

152 KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG Definition 5.5. Eine reelle (n n)-mtrix A = ( ij ) n i,j= heißt positiv definit, flls A symmetrisch ist und x Ax > x R n \ {} gilt. Wir hben n x x Ax = (x,..., x n )... = n nn x n n ij x i x j. Aus der lineren Algebr ist beknnt, dss folgende Bedingungen äquivlent sind: (i) A ist positiv definit. (ii) A = A und lle Eigenwerte von A sind positiv. (iii) (Stz von Sylvester ) A = A und k > für lle k mit k n, wobei k k := det... k kk i,j= Stz 5.6. Sei f : (G R n ) R, f C (G). Für G gilt dnn. grd f() = und [f ()] positiv definit = f ht in ein lokles Minimum.. grd f() = und [f ()] positiv definit = f ht in ein lokles Mximum. 3. grd f() =, [f ()] ht sowohl positive ls uch negtive Eigenwerte = f ht in kein lokles Extremum. Beweis. Mit Stz 5. ergibt sich f(x) = f() + grd f() (x ) + }{{} (x ) [f (ξ)](x ), = wobei ξ wie in Stz 5. gewählt ist. Jmes Joseph Sylvester (84-897), englischer Mthemtiker. Erfinder geometrischer Instrumente. Theorie von Mtrizen und Determinnten (zusmmen mit Arthur Cyley). Auf ihn geht die Bezeichnung Mtrix zurück. 5

153 5.7. SKALARFELDER UND GRADIENT Punkt 3. im Stz 5.6 liegt z. B. bei Sttelpunkten vor: 53

154 KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG 5.8 Implizite Funktionen Gegeben seien eine Funktion f : (G R ) R und ein Punkt (x, y ) G mit f(x, y ) =. Sei ferner f C k (G). Frge: Knn mn die Gleichung f(x, y ) = in einer Umgebung von (x, y ) nch y uflösen? Genuer: Existieren offene Umgebungen U von x und V von y sowie eine C k -Funktion ϕ: U V mit U V G, ϕ(x ) = y, f ( x, ϕ(x) ) = x U? y y = ϕ(x) V ( ) y G (x, y ) ( ) U x x Beispiel 5.8. ) Die Funktion f möge wie in folgender Abbildung sein: z y D C A B y x x Im Punkt A: f(x, y) c =, wobei c die Höhe in A = (x, y ) bezeichnet. Diese Gleichung lässt sich in einer Umgebung von x nch y uflösen, so dss y in einer Umgebung von y liegt. Dmit erhlten wir y = ϕ(x), ϕ gltt. ϕ ist eindeutig bestimmt. Im Punkt B: f(x, y) c = lässt sich rechts von x nicht nch y uflösen. 54

155 5.8. IMPLIZITE FUNKTIONEN Im Punkt C: f(x, y) c =, wobei c die Höhe von C = (x, y ) meint, lässt sich für x x nicht nch y uflösen. Im Punkt D: f(x, y) c = besitzt überbzählbr viele Lösungen y = ϕ(x) mit x U(x ), y V (y ), genu vier stetige Lösungen und genu zwei gltte Lösungen. ) f(x, y) = 3x + y = definiert implizit die Funktion f : R R, y = f(x) = ( 3x). 3) f(x, y) = e y + y 3 + x 3 + x =. Die Funktion f : R R, y e y + y 3, ist streng monoton wchsend und stetig. Für jedes x R gibt es lso genu ein y R mit e y + y 3 = x x 3, d. h. mit f(x, y) =. Wir erhlten so eine Funktion y = ϕ(x), die sich jedoch nicht über elementre Funktionen explizit ngeben lässt. 4) f(x, y) = x + y =. Ob und wie sich diese Gleichung nch y in einer Umgebung von x uflösen lässt, hängt von der y -Koordinte des Punktes (x, y ) b: y > : y = x, y < : y = x, y = : geht nicht. Stz 5.7 (über implizite Funktionen von R nch R ). Seien G R offen, f : G R, f C k (G) (k ), (x, y ) G mit f(x, y ) =. Ist f (x y, y ), so existieren offene Umgebungen U von x und V von y sowie eine C k -Funktion ϕ: U V mit U V G, ϕ(x ) = y, f ( x, ϕ(x) ) = x U. Die Funktion ϕ ist eindeutig bestimmt in folgendem Sinne: Sind ϕ : U V und ϕ : U V zwei Funktionen mit obigen Eigenschften, so gilt ϕ U U = ϕ U U. Für ds Beispiel 5.8. gilt f (x y, y ) =. Zustz zu Stz 5.7. f ( x, ϕ(x) ) x = = f x + f y ϕ (x) = ϕ (x) = f ( ) x x, ϕ(x) ( ). f y x, ϕ(x) Zurück zum Beispiel Es gilt f y (x, y ) = (e y + 3y ) (x,y ) >, 55

156 KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG d. h. Stz 5.7 liefert die Existenz einer impliziten Funktion y = ϕ(x) für lle x R sowie deren Eindeutigkeit. Wir hben ϕ (x) = 3x + x e y + 3y ϕ (3x + )x (x) = e y + 3y mit y = ϕ(x) nch dem Zustz zu Stz 5.7. Es gilt ϕ (x) = x = oder x =. Des weiteren ist 3 < für x < 3 > für 3 < x < < für x > In x = liegt lso ein lokles Mximum und in x = 3. ein lokles Minimum vor. Nochmls ds Beispiel Für f y (x, y ) = y geht lles gut, für y = indes nicht. Beweisidee von Stz 5.7. Die Tylor-Entwicklung f(x, y) = f(x, y ) +f }{{} x (x, y )(x x ) + f y (x, y )(y y ) + = = lässt sich für f y (x, y ) eindeutig nch y uflösen. Stz 5.8 (über implizite Funktionen von R n nch R m ). Seien G R n R m offen, f : G R m, f C k (G) (k ), (x, y ) G (lso x R n und y R m ) mit f(x, y ) =, d. h. die Gleichungen f (x,..., x n, y,..., y m ) = f m (x,..., x n, y,..., y m ). = sind für x = (x,..., x n) und y = (y,..., ym) erfüllt. Gilt nun ( ) m f det (x, y ), y j so existieren offene Umgebungen U R n von x und V R m von y sowie eine C k - Funktion ϕ: U V mit i,j= U V G, ϕ(x ) = y, f ( x, ϕ(x) ) = x U. Die Funktion ϕ ist eindeutig bestimmt in folgendem Sinne: Sind ϕ : U V und ϕ : U V zwei Funktionen mit obigen Eigenschften, so gilt ϕ U U = ϕ U U. 56

157 5.8. IMPLIZITE FUNKTIONEN Beispiel 5.9. Sei Es gilt f(,, ) =. Wegen ( ) f det (,, ) z f(x, y, z) = x cos y + y cos z + z cos x =. = f z (,, ) = ( y sin z + cos x) (,,) = ist z = ϕ(x, y) in einer Umgebung von (, ). Es ergibt sich und (5.5) Insbesondere gilt ϕ x (, ) = ; (5.5) f ( x, y, ϕ(x, y) ) = (5.5) x = f x + f y + f z ϕ(x) = cos y z sin x + ( y sin z + cos x)ϕ x = z sin x cos y ϕ x (x, y) = cos x y sin z. y = f x + f y + f z ϕ y = x sin y + cos z + ( y sin z + cos x)ϕ y = x sin y cos z ϕ y (x, y) = cos x y sin z. Insbesondere ist ϕ y (, ) = cos. Tylor-Entwicklung liefert uns lso ϕ(x, y) = ϕ(, ) + ϕ x (, )x + ϕ y (, )y + O(x ) + O(xy) + O(y ) = x cos y + O(x ) + O(xy) + O(y ). Stz 5.9 (über die Umkehrfunktion). Seien G R n offen und g : G R n eine C k -Funktion, k. Wenn für x G die Ableitung g (x ) invertierbr ist ( det ( (Jg)(x ) ) det ( g i x j (x ) ) n ), so existieren eine Umgebung V G i,j= von x, eine Umgebung U von g(x ) sowie eine C k -Funktion ϕ: U V mit g ( ϕ(y) ) = y y U, ϕ ( g(x) ) = x x V. Mit nderen Worten: Ds Gleichungssystem g (x,..., x n ) = y. g n (x,..., x n ) = y n 57

158 KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG lässt sich uflösen ls flls det ( g i x j ) n i,j= gilt. x = ϕ (y,..., y n ),. x n = ϕ n (y,..., y n ), Beweis. Die Behuptung folgt us Stz 5.8 mit f(x, y) := g(x) y und x ls impliziter Funktion von y. Wir betrchten noch Extremwertufgben mit Nebenbedingungen. Seien dzu G R n eine offene Menge und Wir setzen g, f,..., f m : G C R. N := {x G : f i (x) =, i m}. Gesucht werden lokle Mxim und Minim von g uf N. Beispiel 5.. ) Von llen Rechtecken gegebenen Umfngs U ist ds mit größtem Flächeninhlt gesucht. x y y g(x, y) = xy mx, Nebenbedingung: (x + y) = U. x Aus der Nebenbedingung ergibt sich y = U x. Setzt mn dies in g(x, y) ein, so wird ( ) U f(x) := x x mx. Es folgt f (x) = U x = x = U 4, f (x) = <, d. h. in x = U 4 liegt ein lokles Mximum vor. Die gesuchte Lösung ist mit x = y = U 4 ds Qudrt. 58

159 5.8. IMPLIZITE FUNKTIONEN ) g(x, y) = x + 4y mx, Nebenbedingung: f(x, y) = e y + y 3 + x 3 + x =. Hier lässt sich die Nebenbedingung nicht so einfch nch einer Vriblen uflösen. Wir vermerken, dss dieses Problem im Allgemeinen nur für m < n sinnvoll ist. Ansonsten erhält mn für N typischerweise eine endliche oder die leere Menge. Stz 5.3 (Multipliktorenregel von Lgrnge). Seien g, f,..., f m wie oben und sei m < n. Wenn für jedes x N die Vektoren grd f (x),..., grd f m (x) liner unbhängig sind und g uf N in N ein lokles Mximum oder Minimum ht, so gibt es λ,..., λ m R (die sogennnten Lgrngeschen Multipliktoren) mit grd g() + λ grd f () + + λ m grd f m () =. Wo kommt dies her? Wir betrchten den Fll n =, m =, lso g(x, y) mx / min, Nebenbedingung: f(x, y) =. Die Nebenbedingung beschreibt eine Kurve in der Ebene und diese sei durch die Prmeterdrstellung x = x(t), y = y(t) gegeben. Wir hben lso ds Extremwertproblem g ( x(t), y(t) ) mx / min. Es ergibt sich d dt g( x(t), y(t) ) = g x ẋ + g y ẏ =, d. h. (ẋ, ẏ) x = x(t) y = y(t) (gx, g y ), (ẋ, ẏ) = grd g Tngentilvektor. Wir hben ußerdem f ( x(t), y(t) ) =, lso d dt f( x(t), y(t) ) = f x ẋ + f y ẏ = und dmit (fx, f y ), (ẋ, ẏ) = grd f Tngentilvektor. 59

160 KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG Insgesmt folgt grd g grd f = grd g = µ grd f, µ R = grd g + λ grd f = für λ := µ. Dies funktioniert uch für llgemeines n und m < n. Aus Stz 5.3 ergibt sich folgende Vorgehensweise für ds Lösen von Extremwertufgben unter Nebenbedingungen.. Mn bilde die Hilfsfunktion L(x,..., x n, λ,..., λ m ) = g(x,..., x n ) + Dies ist eine Funktion von n + m Veränderlichen. m λ i f i (x,..., x n ). i=. Mn bilde die n + m prtiellen Ableitungen von L und setze diese gleich Null: L x =,..., L x n =, L λ =,..., L λ m =. Löse ds entstndene Gleichungssystem in den n + m Unbeknnten x,..., x n, λ,..., λ m zumindest in x,..., x n. 3. In den Lösungen x,..., x n us Schritt untersuche mn, ob lokle Mxim oder Minim vorliegen. Erläuterung zu Schritt : und L x = g f x + λ f x + + λ m m x =. L x n = g f x n + λ f x n + + λ m m x n = grd g + λ grd f + + λ m grd f m = L λ = f (x,..., x n ) =. L λ m = f m (x,..., x n ) = Nebenbedingungen. Nochmls Beispiel 5... Die Hilfsfunktion ist L(x, y, λ) = xy + λ(x + y U). Ds Gleichungssystem us Schritt ist L x = y + λ = L y = x + λ = L λ = x + y U = 6

161 5.8. IMPLIZITE FUNKTIONEN Drus folgt unmittelbr x = y, dss lso unter den gesuchten Rechtecken ds Qudrt die Lösung sein muss. Eine rechnerische Überprüfung (Schritt 3), dss ttsächlich ein Mximum vorliegt, gelingt z. B. so: Sei δ >. Mit x = U + δ, y = U δ ist die 4 4 Nebenbedingung erfüllt und es gilt xy = U 6 δ < U 6. Dher ist die gefundene Lösung ein Mximum. Nochmls ds Beispiel 5... Es ergibt sich L(x, y, λ) = x+3y +λ(e y +y 3 +x 3 +x ) und dmit L = + λ(3x + y) = () x L = 3 + λ(e y + 3y ) = () y L = + e y + y 3 + x 3 + x = λ Es gilt () λ = 3x + x, 3 () λ = e y + 3y. Dmit erhlten wir ds Gleichungssystem { e y + y 3 + x 3 + x = e y + 6y 9x 6x =, ws der Computer in Null komm nix uf Nchkommstellen genu löst. Beispiel 5.. Wie groß knn ein quderförmiges Eigelb in einem Osterei sein? Mit nderen Worten: Mn beschreibe einem Ellipsoid einen chsenprllelen Quder mximlen Volumens ein. Qudervolumen: Nebenbedingung: g(x, y, z) = (x)(y)(z) = 8xyz mx, f(x, y, z) = x + y b + z c =. Die Hilfsfunktion lutet ( ) x L(x, y, z, λ) = 8xyz + λ + y b + z c 6

162 KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG und es gilt L λ = 8yz + x x = 8xyz = λx L λ = 8xz + y b y = 8xyz = λy b L λ = 8xy + z c z = 8xyz = λz c L λ = x + y b + z c =. Wir erhlten lso x = y = z. Setzt mn dies in die Nebenbedingung ein, erhält mn b c x = 3, y = b 3, z = c 3. Ds mximle Volumen ist lso g(x, y, z) = 8 3 bc. Ds 3 Volumen des Ellipsoids ist 4π bc. Unbhängig von den Hlbchsen, b und c ergibt sich 3 lso, dss der mximle Quder 3π 36.8 % des Gesmtvolumens einnimmt. 6

163 6 Ds unbestimmte Integrl Sei in diesem Kpitel stets I = (, b) R ein Intervll. 6. Die Stmmfunktion Definition 6.. Sei f : I R eine Funktion. Eine Funktion F : I R heißt Stmmfunktion oder uch primitive Funktion von f, flls F in I differenzierbr ist und F (x) = f(x) x I gilt. Die Theorie der unbestimmten Integrle befsst sich lso mit der Lösung der Differentilgleichung y = f. Beispiel 6.. Die uf gnz R definierten Funktionen F (x) = 3 x3 und F (x) = 3 x3 + 7 sind beide Stmmfunktionen von f(x) = x. Es entstehen unter nderem folgende Frgen:. Existiert überhupt eine Stmmfunktion? { für x < Ist z. B. f : I R, f(x) =, so besitzt f im Fll I keine für x Stmmfunktion F. Denn F () würde nicht existieren, d F in x = nicht gltt wäre.. Wenn eine Stmmfunktion existiert, inwieweit ist sie dnn eindeutig? 3. Wie bestimmt mn im Existenzfll lle Stmmfunktionen zu einer gegebenen Funktion? 63

164 KAPITEL 6. DAS UNBESTIMMTE INTEGRAL Die erste Frge ist m schwierigsten zu bentworten. Dmit beschäftigen wir uns später. Die zweite Frge erledigen wir gleich, und der dritten sei dieses Kpitel gewidmet. Die Antwort uf Frge liefert folgender Stz: Stz 6.. Sind F, F : I R Stmmfunktionen von f : I R, so gibt es eine reelle Konstnte C mit F (x) = F (x) + C x I. Beweis. Setze g(x) := F (x) F (x). Für [α, β] I = (, b) ist dnn g in (α, β) differenzierbr und uf [α, β] stetig. Der Mittelwertstz der Differentilrechnung liefert g(β) g(α) = g (ξ)(β α) = für ein ξ (α, β), d. h. g ist uf I konstnt. Die Umkehrung des Stzes 6. ist trivil. Definition 6.. Die Menge ller Stmmfunktionen einer Funktion f : I R bezeichnet mn mit f(x) dx und nennt sie ds unbestimmte Integrl von f uf I. Die Abhängigkeit des unbestimmten Integrls von I wird in der Bezeichnung unterdrückt. Außerdem ist ds Symbol f(x) dx n dieser Stelle noch durch nichts motiviert (dies wird erst bei der Behndlung bestimmter Integrle plusibel). Dher hätten wir genuso gut UB(f) oder lf nehmen können. Besitzt f : I R keine Stmmfunktion, so gilt f(x) dx =. Ht f nderenflls eine Stmmfunktion F : I R, so ist f(x) dx = {F + C : C R}, wofür mn kurz f(x) dx = F (x) + C notiert. 64

165 6.. GRUNDINTEGRALE 6. Grundintegrle Jede Differentitionsformel, z. B. ( ) x n+ n+ = x n, liefert eine Formel für Integrle, hier lso x n dx = xn+ n + + C. Einige dieser Formeln für Integrle (die sogennnten Grundintegrle) sollte mn sofort prt hben, ws einem die durchus lästige Suche in Integrltbellen ersprt. x α dx = xα+ α + + C, α Der Integrtionsbereich I ist dbei wie folgt von α bhängig: α {,,, 3,...}: I R beliebig, α {, 3, 4, 5,...}: I (, ) oder I (, ), α R \ Z: I (, ). dx = log x + C, x x Für I (, ) gilt dx = log x + C, x I (, ) gilt dx = log( x) + C. x Sttt dx und dergleichen schreibt mn uch dx. Der Physiker schreibt oft uch x x dx f(x). e αx dx = eαx α + C, α Drus folgt sofort x dx = Für I (, ) gilt log +x x = I (, ) gilt log +x x = I (, ) gilt log +x x = e x log dx = x + C, >,. log dx + x = rctn x + C dx x = log + x x + C, x x+ log, x +x log, x +x log. x 65

166 KAPITEL 6. DAS UNBESTIMMTE INTEGRAL dx x = rcsin x + C, x < Für dx und x dx +x gilt hingegen dx x = log x + x, x >, dx + x = log( x + x + ). sin x dx = cos x + C cos x dx = sin x + C sinh x dx = cosh x + C cosh x dx = sinh x + C 66

167 6.3 Integrtionsregeln Linerität 6.3. INTEGRATIONSREGELN Besitzen die Funktionen f, g : I R uf I eine Stmmfunktion, so gilt trivilerweise (f(x) ) ± g(x) dx = f(x) dx + g(x) dx, αf(x) dx = α f(x) dx, α R. Beispiel 6.. Ds Grundintegrl ( = + x x +x) so: dx x = dx x ( x + ) dx = + x = log x + log + x + C. ergibt sich nch der Prtilbruchzerlegung dx x + dx + x Vriblensubstitution Seien J R ein Intervll, g : J I differenzierbr und f : I R. Es gilt f ( g(x) ) g (x) dx = F ( g(x) ) + C, flls die Stmmfunktion F von f existiert. Beweis. Dies ist die Umkehrung der Kettenregel. Differentition der rechten Seite ergibt ( F ( g(x) ) ) ( + C = F ( g(x) )) ( = F g(x) ) g (x). Mn wendet diese Formel meist in der Form f ( g(x) ) dg(x) = F ( g(x) ) + C mit g (x) dx = dg(x) n. Beispiel 6.3. ) e sin x cos x dx = (log x) ) dx = (log x) d log x = x e sin x d sin x = e sin x + C. (log x)3 3 + C. 67

168 KAPITEL 6. DAS UNBESTIMMTE INTEGRAL Oftmls ist es günstiger wie folgt vorzugehen, um ds unbestimmte Integrl f(x) dx zu bestimmen:. Führe die Substitution x = ϕ(t), t = ψ(x) durch, lso f ( ϕ(t) ) dϕ(t) = f ( ϕ(t) ) ϕ (t) dt =: h(t) dt.. Berechne h(t) dt = H(t) + C. 3. Mche die Substitution us. mit t = ψ(x) rückgängig: H(t) + C = H ( ψ(x) ) + C. Nochmls Beispiel Setze t := sin x x = rcsin t. Wegen cos x = sin x folgt dmit cos x = t. Infolge (rcsin x) = x gilt dx = x dt = dt t, lso e sin x cos x dx = e t dt t = e t dt t = e t + C = e sin x + C. Nochmls Beispiel Mit t := log x ist x = e t, lso dx = de t = e t dt. Dmit ergibt sich (log x) t dx = x e t et dt = t dt Beispiel 6.4. ) Berechnung von dx = dt, lso dx + x = = t3 3 + C = (log x)3 3 + C. dx +x,. Setze t := x dt ( + t ) = dt + t = rctn t + C = rctn x + C. x = t. Dnn ist ) Berechnung von dx x(+ 3 x). Mit t := 6 x x = t 6, dx = 6t 5 dt ergibt sich dx ( x + 3 x ) = 6t 5 dt t 3 ( + t ) = = 6 dt 6 6t + t + t dt = 6 dt + t dt + t = 6t 6 rctn t + C = 6 6 x 6 rctn 6 x + C. 68

169 6.3. INTEGRATIONSREGELN 3) Berechnung von x dx. Mit t := rcsin x x = sin t, dx = cos t dt folgt x dx = sin t cos t dt = cos t dt + cos(t) = dt = t + sin(t) = rcsin x ( 4 sin rcsin x ) + C x + C. + = rcsin x + x : Verdopplung des Winkels : cos t = +cos(t) : Es gilt sin ( rcsin x ) = sin ( rcsin x. ) cos ( rcsin x ) = x x. + C Prtielle Integrtion Ht mn keine ndere Idee ein Integrl zu bestimmen, so hilft einem in den meisten Fällen die prtielle Integrtion. Sie lutet uv dx = uv u v dx oder in der gebräuchlichen Form u dv = uv v du. Beweis. Es hndelt sich um die Umkehrung der Produktregel: (uv) = u v + uv = uv = u v dx + uv dx. Beispiel 6.5. ) x cos x dx = x d sin x = x sin x sin x dx = x sin x + cos x + C. ) x sin x dx = x d cos x = x cos x + = x cos x + x cos x dx cos x dx = x cos x + x sin x + cos x + C nch Beispiel

170 KAPITEL 6. DAS UNBESTIMMTE INTEGRAL 3) log x dx = x log x x d log x = x log x dx = x(log x ) + C. 4) e x sin(bx) dx = sin(bx) d ex e x = ex sin(bx) = ex sin(bx) b = ex sin(bx) b = ex d sin(bx) e x cos(bx) dx cos(bx) d ex sin(bx) b ex cos(bx) + b = (sin(bx) ex b ) cos(bx) b e x d cos(bx) e x sin(bx) dx. Drus ergibt sich ) ( + b e x sin(bx) dx = ex (sin(bx) b ) cos(bx) + C, lso e x sin(bx) dx = ex + b ( sin(bx) b cos(bx) ) + C mit C = C. +b Übergng ins Komplexe Mn definiert (u + iv) dx = u dx + i v dx. Dies hilft, flls sich u + iv geschlossen integrieren lässt. 7

171 6.3. INTEGRATIONSREGELN Nochmls Beispiel Wegen e ibx = cos(bx) + i sin(bx) ergibt sich ( ) e x sin(bx) dx = I e x e ibx dx ( ) ( ) e = I e (+ib)x (+ib)x dx = I + C + ib ( ( e x cos(bx) + i sin(bx) ) ) ( ib) = I + C + b = ex + b ( sin(bx) b cos(bx) ) + C. Mn bekommt folgendes Integrl dzugeschenkt: ( ) e x cos(bx) dx = R e x e ibx dx = ex ( ) cos(bx) + b sin(bx). + b 7

172 KAPITEL 6. DAS UNBESTIMMTE INTEGRAL 6.4 Integrtion rtionler Funktionen Eine rtionle Funktion ist beknntlich von der Gestlt p(x) q(x) = p + p x + + p m x m q + q x + + q n x n, p i, q j R. Wir wollen p(x) dx bestimmen und nehmen dzu n, dss p(x) und q(x) keine gemeinsmen Nullstellen hben (nsonsten kürzen), und des weiteren sei deg p < deg q, lso q(x) m < n (nsonsten Polynomdivision mit Rest, z. B. x 3 x + = x3 + x x x + = x(x + ) x x + = x x x +, usführen). Die Integrtion erfolgt dnn unter Verwendung des folgenden Stzes. Stz 6. (über die Prtilbruchzerlegung). Sei q(x) = (x α) k (x β) l die Zerlegung des Nennerpolynoms von p(x) in Linerfktoren. Seien dbei α, β,... C prweise q(x) verschieden und k, l,... deren Vielfchheiten ls Nullstellen. Dnn existieren eindeutig bestimmte komplexe Zhlen A,..., A k, B,..., B l,... mit p(x) q(x) = ( A q n x α + + A k (x α) + B ) k x β + + B l (x β) + x R. l Der Beweis wird m einfchsten mit Mitteln us der Funktionentheorie geführt. Beispiel 6.6. ) Für (x )(x )(x 3) mcht mn den Anstz (x )(x )(x 3) = A x + Multipliktion mit (x )(x )(x 3) ergibt B x + C x 3. = A(x )(x 3) + B(x )(x 3) + C(x )(x ) = (A + B + C)x + ( 5A 4B 3C)x + 6A + 3B + C. (6.) Koeffizientenvergleich: Wegen = x + x + ergibt sich us (6.) nun folgendes lineres Gleichungssystem in den Unbeknnten A, B und C: A + B + B = 5A 4B 3C = 6A + 3B + C =. 7

173 6.4. INTEGRATION RATIONALER FUNKTIONEN Elegnter ist hier die Einsetzungsmethode: Setzt mn in (6.) die Nullstellen von (x )(x )(x 3) ein, ergibt sich sofort x = : = A( )( 3) = A = A =, x = : = B( )( 3) = B = B =, x = 3: = C(3 )(3 ) = C = C =. ) Für x +x+ (x ) 3 (x ) setzt mn gemäß Stz 6. x + x + (x ) 3 (x ) = A x + A (x ) + A 3 (x ) 3 + B x. Multipliktion mit (x ) 3 (x ) liefert x + x + = A (x ) (x ) + A (x )(x ) + A 3 (x ) + B(x ) 3. (6.) Setzt mn hier x = und x = ein, erhält mn x = : 3 = A 3 ( ) = A 3 = 3, x = : 7 = B = B = 7. Mn könnte jetzt z. B. noch x = und x = 3 einsetzen und bekäme zwei Gleichungen für A und A. Stttdessen leiten wir (6.) b: x+ = A (x )(x )+A (x ) +A (x )+A (x ) 3+(x ). (6.3) Setzt mn x = ein, ergibt sich 3 = A 3, lso A = 6. Ableiten von (6.3) bringt = A (x ) + A (x ) + A (x ) (x ). Einsetzen von x = liefert = A, lso A = 7. 3) Für (x +) = (x i) (x+i) lso liefert Stz 6. folgenden Anstz: (x i) (x + i) = A x i + A (x i) + B x + i + B (x + i), = A (x i)(x + i) + A (x + i) + B (x i) (x + i) + B (x i). (6.4) Setzt mn x = i: = A ( 4) = A = 4, x = i: = B ( 4) = B = 4. 73

174 KAPITEL 6. DAS UNBESTIMMTE INTEGRAL Ableiten von (6.4) ergibt = A (x + i) + A (x i)(x + i) (x + i) + B (x i)(x + i) + B (x i) (x i). Setze x = i: = A ( 4) i = A = i 4, x = i: = B ( 4) + i = B = i 4. Jetzt knn mn (wegen der Linerität des Integrls) die einzelnen Prtilbrüche integrieren. Dzu benötigen wir: dx = log x α + C, α R, x α dx (x α) k+ = + C, α C, k. (x α) k k + Für α C setzen wir zunächst die Zuberformel. Zurück zu den Beispielen 6.6. ) dx x α = log(x α) + C. Für log(x α) benötigen wir ( dx (x )(x )(x 3) = (x ) ) x + (x 3) dx = log x log x + log x 3 + C = log (x )(x 3) (x ) + C. ) x ( + x + 7 (x ) 3 (x ) dx = x 6 (x ) 3 (x ) + 7 ) dx 3 x (x ) (x ) = 7 log x log x + C = 7 log x x + 6 x + 3 (x ) + C. 3) ( dx (x + ) = i 4 x + i 4 x + 4 (x i) ) dx 4 (x + i) = i 4 log(x i) + i 4 log(x + i) (x i) (x + i) 4 4 = i 4 log x + i + }{{ x } i 4(x i) + + C. 4(x + i) }{{} mit Zuberformel x = x + + C 74

175 6.4. INTEGRATION RATIONALER FUNKTIONEN Die Zuberformel besgt Dmit ist i 4 i log x α + iδ x α iδ = rctn x α + C, α, δ, C R. (6.5) δ x+i log = rctn x + C. Wir hben lso x i dx (x + ) = ( rctn x + x ) + C. x + Die durch die Prtilbruchzerlegung entstndenen komplexen Zhlen sind nch der Integrtion uf mysteriöse Weise wieder verschwunden. Die Schummelei mit der Zuberformel ist erlubt, denn der Erfolg gibt uns Recht: Differenziert mn ( rctn x+ x x + ) + C, erhält mn (x +). In der Funktionentheorie wird log z für z C eingeführt. Dzu wählt mn die Eulersche Drstellung z = re iϕ mit r = z und ϕ = rg z: log z = log(re iϕ ) = log r + log e iϕ = log r + iϕ. Beweis der Zuberformel (6.5). Bildet mn die Ableitung der linken und rechten Seite von (6.5), so ergibt sich ) = i ( ( i log x α + iδ x α iδ ( rctn x α ) = δ ) x α + iδ x α iδ + ( x α δ ) δ = = δ (x α) + δ. δ (x α) + δ, Nch Stz 6. unterscheiden sich i log x α+iδ x α iδ C. und rctn x α δ lso nur um eine Konstnte 75

176 KAPITEL 6. DAS UNBESTIMMTE INTEGRAL 6.5 Weitere Klssen elementr integrierbrer Funktionen Eine Funktion f : (D R) R heißt elementr, wenn sie sich durch eine endliche Anzhl von Additionen, Subtrktionen, Multipliktionen, Divisionen und Kompositionen us rtionlen, Exponentil-, Winkel-, Logrithmus-, Arkus- und Are-Funktionen erhlten lässt. ( log x + 4 ) x + e x Beispiel 6.7. f : D R, f(x) = sinh, mit D = [ e + rcsin(log x), esin( )) ( e sin( ), e ] ist elementr. Die Ableitung einer elementren Funktion ist wieder elementr. Dies gilt i. A. nicht für die Stmmfunktion einer elementren Funktion. Betrchtet mn die Menge ller Funktionen, so ist die Menge der elementren Funktionen eine winzig kleine Teilmenge dvon. Gegeben seien n Funktionen f i : (D i R) R, x f i (x), i n. Mit R ( f (x),..., f n (x) ) bezeichnet mn die Menge ller Funktionen, die sich us reellen Zhlen und den Funktionen f bis f n durch eine endliche Anzhl von Additionen, Subtrktionen, Multipliktionen und Divisionen gewinnen lssen. Die folgenden drei Klssen von Funktionen hben elementre Stmmfunktionen.. Die Menge R(x) ller rtionlen Funktionen. Deren Integrtion wurde im Abschnitt 6.4 besprochen.. R(sin x, cos x). Z. B. führt die Integrtion von + 3 sin x + 5 sin6 x cos x + sin 7 ( ) uf x cos 8 x eine elementre Stmmfunktion. Der Trick, der hier immer hilft, ist die Substitution t := tn x. In der Tt, betrchten wir r(sin x, cos x) dx mit einer rtionlen Funktion r von zwei Veränderlichen (Für ( ) wäre r(u, v) = +3u+5u 6 v), so hben wir x = rctn t und dx = dt infolge der Substitution +u 7 v 8 +t t := tn x. Weiter gilt sin x = sin x cos x cos x + sin x cos x = cos x sin x cos x + sin x = tn x + tn x = tn x + tn x = t + t, = t + t. 76

177 6.5. WEITERE KLASSEN ELEMENTAR INTEGRIERBARER FUNKTIONEN Wir erhlten dmit r(sin x, cos x) dx = ( wobei r t +t, t +t ) eine rtionle Funktion in t ist. ( t r + t, ) t + t + t dt, Beispiel 6.8. dx + t ( cos x = t + t dt = dt t = t + ) dt + t = log t + log + t + C = log + t t + C = log + tn x tn x + C. 3. Elementr integrierbr sind uch Funktionen us ( R x, x + b, ) ( cx + d, R x, ) x + x + b, R ( ) x + b x, k. cx + d Zu deren Integrtion findet mn geeignete Substitutionen in der Litertur. Keine elementren Stmmfunktionen hben beispielsweise e x, sin x x, e x x, log x, cos x, + x 4. Mn definiert sich in solchen Fällen neue Funktionen, etw sin x Si(x) = dx, Si() := (Integrlsinus), x Φ(x) = e x dx, Φ() := (Fehlerfunktion), π dx Li(x) =, Li() := (Integrllogrithmus, siehe Beispiel 4.6.6). log x 77

178 KAPITEL 6. DAS UNBESTIMMTE INTEGRAL 78

179 7 Ds bestimmte Integrl J. Fourier L. Fejér J. Gibbs U. Dini G. Dirichlet P. du Bois-Reymond 79 D. Jckson M.-A. Prsevl P. Lplce

180 KAPITEL 7. DAS BESTIMMTE INTEGRAL 7. Definition des Riemnnschen Integrls Seien [, b] R ein beschränktes Intervll und f : [, b] R eine beschränkte Funktion. Unter einer Zerlegung von [, b] versteht mn eine Menge P = {x, x,..., x n } mit = x < x < < x n = b. Mn setzt x i := x i x i und nennt µ(p ) := mx i n x i den Durchmesser (uch die Feinheit oder Mschenweite) der Zerlegung P. x x x... x i x i x n... x i b x n Mn wählt schließlich in jedem Teilintervll [x i, x i ] [, b] einen Zwischenpunkt ξ i. Die Summe I(f, P ) := heißt (Riemnn sche) Integrlsumme. n f(ξ i ) x i i= y y = f(x) ξ x x ξ x ξ 3 x 3 ξ 4 b Definition 7.. Mn sgt, dss die Integrlsummen I(f, P ) für µ(p ) konvergent sind mit dem Limes g R, wenn für jedes ε > ein δ > existiert, so dss I(f, P ) g < ε für lle Zerlegungen P mit µ(p ) < δ und für jede beliebige Whl der Zwischenpunkte gilt. Bernhrd Riemnn (86-866), deutscher Mthemtiker. Wesentliche Beiträge zur Anlysis, Differentilgeometrie, mthemtischen Physik, nlytischen Zhlentheorie. Er wr Mitbegründer der Funktionentheorie. U.. seine Riemnnsche Geometrie ermöglichte Einsteins llgemeine Reltivitätstheorie. 8

181 7.. DEFINITION DES RIEMANNSCHEN INTEGRALS Die Abhängigkeit von den Zwischenpunkten Ξ := {ξ i } i n wird in der Bezeichnung I(f, P ) unterdrückt. Präziser wäre ds Symbol I(f, P, Ξ). Dmit ließe sich Definition 7. so schreiben: I(f, P, Ξ) g für µ(p ) ε > δ > mit I(f, P, Ξ) g < ε P mit µ(p ) < δ und Ξ. Beispiel 7.. ) Für die uf [, ] eingeschränkte Dirichlet-Funktion { für x Q χ: [, ] R, χ(x) = für x R \ Q, gilt, d für jede Zerlegung P Zwischenpunkte Ξ = ξ Q oder Ξ = Ξ R \ Q gewählt werden können, I(f, P, Ξ ) = n χ(ξ i ) x i =, I(f, P, Ξ ) = i= n χ(ξ i) x i =. i= Die Integrlsummen konvergieren nicht. ) Betrchte die Funktion f : [, ] R, f(x) = { für x < für x. Sei P irgendeine Zerlegung von [, ]. Dnn gibt es ein k {,,..., n} mit [x k, x k ) und es gilt I(f, P ) = n n f(ξ i ) x i = f(ξ k ) x k + f(ξ i ) x i = f(ξ k ) x k + ( x k ) i= i=k+ für µ(p ). Definition 7.. Wenn die Integrlsummen I(f, P ) für µ(p ) konvergieren, so nennt mn den Grenzwert Riemnnsches Integrl oder bestimmtes Integrl im Riemnnschen Sinne von f uf [, b] und bezeichnet ihn mit b f(x) dx. 8

182 KAPITEL 7. DAS BESTIMMTE INTEGRAL Die Menge ller uf [, b] Riemnn-integrierbren Funktionen bezeichnen wir mit R[, b]. Dss hier dieselben Zeichen und dx wie beim unbestimmten Integrl verwendet werden, ist vorerst durch nichts motiviert. Hierbei ist x eine Integrtionsvrible, die wie ein Summtionsindex in einer Summe letztendlich wegfällt. Dher gilt b f(x) dx = b f(t) dt =. Unser nächstes Ziel besteht drin zu zeigen, dss jede uf [, b] stetige Funktion zu R[, b] gehört. Definition 7.3. Sei I R ein Intervll. Eine Funktion f : I R heißt gleichmäßig stetig uf I, wenn für jedes ε > ein δ > existiert mit f(x) f(y) < ε x, y I : x y < δ. Ws ist der Unterschied zur gewöhnlichen Stetigkeit? Eine Funktion f : I R ist stetig uf I, wenn sie es in jedem Punkt x I ist, d. h. flls zu jedem ε > und x I ein δ = δ(ε, x) > mit f(x) f(y) < ε für y I mit x y < δ(ε, x) existiert. Bei der gleichmäßigen Stetigkeit wird gefordert, dss δ nur von ε, nicht ber von x bhängt. Beispiel 7.. ) Die Funktion f : (, ) R, f(x) =, ist uf (, ) stetig, ber x nicht gleichmäßig stetig. Denn wähle zu ε := die Folgen x n := und n x n :=. n Dnn gilt zwr x n x n = n n = n =: δ n für n, y δ ε ber f(xn ) f(x n) = n n = n ε n N. δ ε y = x x ) Die Funktion f : (, ) R, f(x) = sin, ist uf (, ) stetig, ber nicht gleichmäßig x stetig. Denn wähle zu ε := die Folgen x n := und nπ x n :=. Dnn gilt zwr (n+)π x n x n = nπ (n + )π = n(n + )π =: δ n für n, 8

183 7.. DEFINITION DES RIEMANNSCHEN INTEGRALS ber f(xn ) f(x n) ( ) ( ) = sin(nπ) sin (n + ) π = sin nπ + π = sin(nπ) cos π + sin π }{{} cos(nπ) = > ε n N. }{{} = =( ) n Stz 7. (Heine-Cntor ). Ist f : [, b] R uf [, b] stetig, so ist f uf [, b] uch gleichmäßig stetig. Beweis. Annhme: f ist nicht gleichmäßig stetig. Dnn gibt es einem zu ε > Folgen x n, x n [, b] mit x n x n =: δ n und f(x n ) f(x n) ε für lle n N. Nch dem Stz von Bolzno-Weierstrß besitzen die beschränkten Folgen {x n } und {x n} konvergente Teilfolgen {x nk } und {x n k } mit x nk x und x n k x, x [, b], wegen x nk x n k. D f stetig ist, folgt dmit f(xnk ) f(x n k ) f(x) f(x) =, ws im Widerspruch zu f(xn ) f(x n) ε n N steht. Also ist f doch gleichmäßig stetig uf [, b]. Die folgenden drei Folgerungen us Stz 7. sind trivil. Korollr 7.. Ist f : [, b] R uf [, b] gleichmäßig stetig. Dnn ist uch jede Einschränkung f I von f uf ein Intervll I [, b] gleichmäßig stetig. Korollr 7.. Sei f : (, b) R in (, b) stetig. Existieren die Grenzwerte A := lim f(x) und B := lim f(x), so ist die Erweiterung f von f uf [, b], x + x b uf [, b] gleichmäßig stetig. f(x) := A für x = f(x) für x (, b) B für x = b, Dieser Stz wurde 87 von Edurd Heine bewiesen, wr ber wohl schon Krl Weierstrß beknnt. 83

184 KAPITEL 7. DAS BESTIMMTE INTEGRAL Korollr 7.3. Aus der gleichmäßigen Stetigkeit von f : I R folgt die (gewöhnliche) Stetigkeit von f uf I. Stz 7.. Ist f : [, b] R uf [, b] stetig, so gilt f R[, b]. Beweis. Für eine Zerlegung P = {x, x,..., x n } setzen wir m i := min f(x), M i := mx f(x) x [x i,x i ] x [x i,x i ] M i und betrchten die Untersumme U(f, P ) := Obersumme O(f, P ) := n m i x i und i= n M i x i. i= f(ξ i ) m i x i ξi x i Sind ξ i, i n, irgendwelche Zwischenpunkte, so gilt wegen m i f(ξ i ) M i trivilerweise U(f, P ) I(f, P ) O(f, P ). (7.) Für zwei beliebige Zerlegungen P und P hben wir U(f, P ) U(f, P P ) O(f, P P ) O(f, P ). Betrchte ds Teilintervll [x i, x i ] [, b], wobei x i, x i P gelte. Seien nun y, y,..., y k P mit x i < y < y < < y k < x i und setze y j := y j y j für lle j mit j k sowie y := y x i und y k+ := x i y k. Setzt mn noch µ j := min y [y j,y j ] f(y) für j k und µ := min f(y), µ k+ := y [x,x ] µ y + µ y + + µ k+ y k+ m i x i. min y [y n,x i ] f(y), so gilt 84

185 7.. DEFINITION DES RIEMANNSCHEN INTEGRALS Dbei steht die linke Seite in U(f, P P ) und die rechte Seite in U(f, P ). Jede Untersumme ist lso kleiner oder gleich jeder Obersumme. Dmit ist die Menge der Untersummen von oben beschränkt, d. h. es existiert I := sup U(f, P ). P Anlog ergibt sich die Existenz von I := inf P O(f, P ). Dmit hben wir U(f, P ) I I O(f, P ) P. (7.) Sei nun ε > beliebig. D nch Stz 7. f uf [, b] gleichmäßig stetig ist, gibt es ein δ > mit f(x) f(y) < ε für lle x, y [, b] mit x y δ. Ist µ(p ) < δ, so folgt b M i m i < und es ergibt sich ε b O(f, P ) U(f, P ) = n (M i m i ) x i < i= n i= ε b x i = ε (b ) = ε. (7.3) b Ober- und Untersummen kommen sich lso beliebig nhe. Dies impliziert I = I. Wir bezeichnen den gemeinsmen Wert von I und I mit I. Aus (7.), (7.) und (7.3) folgt I(f, P ) I < ε für µ(p ) < δ, d. h. I(f, P ) I für µ(p ). Es gibt uch unstetige Funktionen in R[, b]. Dzu bruchen wir folgende Definition. Definition 7.4. Eine Menge E R heißt Menge vom Mß, wenn für jedes ε > höchstens bzählbr viele offene Intervlle I, I, I 3,... existieren, die E überdecken, E I I I 3, und dbei I + I + I 3 + < ε erfüllen. Beispiel 7.3. ) Endliche Mengen hben ds Mß. Besteht diese us n Punkten, so wähle Intervlle I j mit I j = ε für j n, z. B. M = {, b, c, d}: n ( ) ( ) ( ) ( ) b c d ) Abzählbre Mengen hben ebenflls ds Mß. Wähle für j Intervlle I j mit I = ε, I = ε 4,..., I n = ε,.... n Dnn ist ε I + I + I 3 + = = ε j = ε. j= 85

186 KAPITEL 7. DAS BESTIMMTE INTEGRAL 3) Es existieren sogr überbzählbre Mengen vom Mß, z. B. ds sogennnte Cntorsche Diskontinuum C (uch Cntor-Menge gennnt). Die Cntor-Menge wird wie folgt gebildet: Setze nun C := 9 3 k= C k C C C C 3 C n Mn strtet mit C = [, ]. Im i-ten Itertionsschritt entfernt mn ds mittlere Drittel jedes der i Intervlle. Stellt mn die Zhlen us [, ) im Dreiersystem dr, d. h. x =.x x x 3 x 4... mit x i {,, }, so werden in C genu diejenigen mit x = gestrichen, in C die mit x =, usw. Die Menge C besteht lso genu us den Zhlen, die nur mit den Ziffern und gebildet werden. Die Mächtigkeit von C ist gleich der Mächtigkeit ller Zhlen in [, ), d mn diese im Zweiersystem durch Folgen der Ziffern und drstellen knn, lso C = c. Ds Komplement von C ht folgende Länge: = 4 3 Drus folgt leicht, dss C ds Mß ht. ( ( 3) + ( 3 ) ) 3 + = 3 =. 3 Stz 7.3. Eine beschränkte Funktion f : [, b] R gehört genu dnn zu R[, b], wenn die Menge der Unstetigkeitspunkte ds Mß ht. Den Beweis findet mn in jedem besseren Anlysisbuch. Korollr 7.4 (zu Stz 7.3). Jede monotone und beschränkte Funktion f : [, b] R ist Riemnn-integrierbr. Beweis. Monotone Funktionen hben höchstens Sprünge ls Unstetigkeiten und deren Anzhl ist höchstens bzählbr. 86

187 7.. EIGENSCHAFTEN DES RIEMANNSCHEN INTEGRALS 7. Eigenschften des Riemnnschen Integrls Seien f, g R[, b] und α R. Dnn sind uch f ± g sowie αf Riemnn-integrierbr und es gilt b b ( ) b f(x) ± g(x) dx = f(x) dx ± g(x) dx, b b αf(x) dx = α f(x) dx. Mn definiert f(x) dx :=, b f(x) dx := f(x) dx, < b. b Des weiteren gilt: f R[, b], f R[b, c] f R[, c] und c b c f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx. b Sind ußerdem f, g R[, b] mit f(x) g(x) für lle x [, b], so gilt b b f(x) dx g(x) dx. Gilt insbesondere m f(x) M für lle x [, b] für f R[, b], so ist m(b ) b f(x) dx M(b ). Setzt mn drin m := M, so gilt f(x) < M x [, b] für f R[, b] und dmit b f(x) dx M(b ). Mn sgt kurz: Ds Riemnn-Integrl ist ein lineres, monotones Funktionl uf dem Rum der Riemnn-integrierbren Funktionen. 87

188 KAPITEL 7. DAS BESTIMMTE INTEGRAL Stz 7.4. Ist f R[, b] mit m f(x) M für lle x [, b] und Konstnten m, M R, und ist ϕ C[m, M], so ist ϕ f R[, b]. Beweis. Sei ε > beliebig. Setze ε := ε/(b + K) mit K := mx ϕ(x). D ϕ uf [m, M] uch gleichmäßig stetig ist, gibt es ein δ > mit δ < ε und ϕ(x ) ϕ(x ) < ε für x x < δ. Wegen f R[, b] finden wir eine Zerlegung P = {x, x,..., x n } von [, b] mit O(f, P ) U(f, P ) < δ. Seien schließlich und m i := m i := inf f(x), M i := sup f(x) x [x i,x i ] x [x i,x i ] inf h(x), Mi := sup h(x), x [x i,x i ] x [x i,x i ] wobei h := ϕ f gesetzt wurde. Sei nun A die Menge ller i mit M i m i < δ und B die Menge ller i mit M i m i δ. Für i A gilt dnn Mi m i < ε und für i B hben wir δ x i i m i ) x i O(f, P ) U(f, P ) < δ i B i B(M, d. h. i B x i < δ. Insgesmt erhlten wir O(h, P ) U(h, P ) = (Mi m i ) x i + (Mi m i ) x i ε x i + K x i i A i B i A i B ε (b ) + Kδ ε (b ) + Kε = (b + K)ε < ε. Dmit folgt wie im Beweis von Stz 7., dss h R[, b]. Stz f, g R[, b] = fg R[, b],. f R[, b] = f R[, b] und b f(x) dx b f(x) dx. 88

189 7.. EIGENSCHAFTEN DES RIEMANNSCHEN INTEGRALS Beweis.. Sind f und g us R[, b], so uch f ± g und nch Stz 7.4 mit ϕ(t) = t uch (f ± g). Also ist uch fg = [ (f + g) (f g) ] 4 us R[, b].. Stz 7.4 mit ϕ(t) = t liefert f R[, b]. Wegen f(x) f(x) f(x) und der Monotonie des Integrls folgt b f(x) dx b f(x) dx ws gerde der behupteten Ungleichung entspricht. b f(x) dx, Die Umkehrung von Teil. us Stz 7.5 gilt jedoch nicht. So ist z. B. die durch f(x) = χ(x) definierte Funktion, wobei χ(x) die Dirichlet-Funktion meint, uf [, ] nicht Riemnn-integrierbr, ber f(x) = ist uf [, ] Riemnn-integrierbr. Die Umkehrung gilt ber für ds Lebesgue-Integrl. In der Mßtheorie werden wir sehen, dss f in (, b) Lebesgue-integrierbr ist, flls f messbr und f in (, b) Lebesgueintegrierbr sind. Stz 7.6 (Mittelwertstz der Integrlrechnung). Seien f, g C[, b] mit g(x) für lle x [, b]. Dnn existiert ein ξ [, b] mit b b f(x)g(x) dx = f(ξ) g(x) dx. Insbesondere ist b f(x) dx = f(ξ)(b ). Die Formel b f(x) dx = f(ξ)(b ) us Stz 7.6 knn wie rechts drgestellt vernschulicht werden. Es gibt ein ξ [, b] so, dss der Flächeninhlt des Rechtecks mit der Höhe f(ξ) und der Länge b gleich dem Inhlt der Fläche unter dem Grph von f in [, b] ist. y ξ b f x 89

190 KAPITEL 7. DAS BESTIMMTE INTEGRAL Beweis. Seien m := min f(x) und M := mx f(x). Dnn gilt m f(x) M und x [,b] x [,b] somit mg(x) f(x)g(x) Mg(x), worus sich b m g(x) dx b f(x)g(x) dx M b g(x) dx wegen der Monotonie des Integrls ergibt. Folglich ist b b f(x)g(x) dx = c g(x) dx, c [m, M] und nch dem Zwischenwertstz (Stz 4.6) existiert ein ξ [, b] mit f(ξ) = c. Stz 7.7 (Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung, Teil I). Sei f R[, b] und sei F : [, b] R eine Stmmfunktion von f. Dnn gilt b f(x) dx = F (b) F (). Beweis. Sei P = {x, x,..., x n } irgendeine Zerlegung von [, b]. Wir hben dnn einerseits n [ F (xi ) F (x i ) ] i= = ( F (x n ) F (x n ) ) + ( F (x n ) + F (x n ) ) + + ( F (x ) F (x ) ) = F (x n ) F (x ) = F (b) F (), und ndererseits nch dem Mittelwertstz der Differentilrechnung (Korollr 5.) n [ F (xi ) F (x i ) ] n = F (ξ i )(x i x i ) = i= i= für µ(p ), d f R[, b]. Drus folgt n f(ξ i ) x i b i= f(x) dx b F (b) F () = f(x) dx. 9

191 7.. EIGENSCHAFTEN DES RIEMANNSCHEN INTEGRALS Stz 7.7 erlubt die Berechnung bestimmter Integrle, wenn mn in der Lge ist, unbestimmte Integrle uswerten zu können. Stz 7.8 (Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung, Teil II). Sei f R[, b] und F (x) = x f(ξ) dξ für x [, b]. Dnn ist F stetig uf [, b]. Ist ußerdem f in x [, b] stetig, so ist F in x differenzierbr und es gilt F (x ) = f(x ). Ist insbesondere f C[, b], so ist F eine Stmmfunktion von f uf [, b]. Beweis. D Riemnn-integrierbre Funktionen beschränkt sind, gibt es ein M R mit f(x) M für lle x [, b]. Dnn ist x F (x) F (y) = x y y f(ξ) dξ f(ξ) dξ = x f(ξ) dξ y f(ξ) dξ M x dξ = M x y < ε y für lle x, y [, b] mit x y < δ := ε M. Also ist F uf [, b] (gleichmäßig) stetig3. Sei nun f in x (, b) stetig (flls x {, b}, betrchtet mn nlog zum Folgenden links- bzw. rechtsseitige Ableitungen). Zu gegebenem ε > finden wir dnn ein δ > mit f(x) f(x ) < ε x (, b) : x x < δ. Für s, t mit x δ < s x t < x + δ, < s < t < b, 3 F ist sogr Lipschitz-stetig mit der Lipschitz-Konstnten M, denn es gilt F (x) F (y) M x y für lle x, y [, b]. 9

192 KAPITEL 7. DAS BESTIMMTE INTEGRAL hben wir lso F (t) F (s) t s f(x ) = t s = t s t s t s t s t s f(ξ) dξ f(x ) = t s ( f(ξ) f(x ) ) dξ t s ε dξ = ε. t s t s f(ξ) dξ t t s s f(ξ) f(x ) dξ f(x ) dξ Setzen wir erst s = x und dnn t = x, so folgt, dss F in x von links und von rechts differenzierbr ist und dss die links- und rechtsseitigen Ableitungen dort übereinstimmen. Also ist F in x differenzierbr und es gilt F (x ) = f(x ). Mit Stz 7.8 wird die Berechnung unbestimmter Integrle uf die Berechnung bestimmter Integrle zurückgeführt. Dies liefert uch eine Antwort uf die erste Frge us Abschnitt 7.: Stetige Funktionen besitzen stets eine Stmmfunktion. Die Sätze 7.7 und 7.8 beinhlten die Formeln b d dx F (x) dx = F (b) F () und d F (ξ) dξ = F (x). dx Deshlb spricht mn uch vom Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung. Die beiden Sätze rechtfertigen posteriori uch die beidmlige Verwendung des Symbols beim unbestimmten und bestimmten Integrl. Wir htten in Beispiel 7.3 die Cntor-Menge C kennengelernt. Mit ihr lässt sich eine Funktion F : [, ] [, ] wie folgt konstruieren. Wir setzen F (x) := für x [, 3], d. h. für x us dem Komplement von C, dnn F (x) := für x [, ] 4 9 9, F (x) := 3 für 4 x [ 7, 8 9 9], und hben so F uf dem Komplement von C erklärt. Zum Komplement von C 3 sind es dnn noch vier Intervlle der Länge, uf denen wir F die Werte, 3, und 7 geben. So fortfhrend wird F in llen Punkten von [, ] \ C erklärt. Mn knn 8 zeigen, dss sich F in den Punkten von C so definieren lässt, dss letztendlich F uf gnz [, ] stetig ist. Die konstruierte Funktion F (oder ihr Grph) heißt Cntorsche Treppe oder uch Teufelstreppe. 9

193 4,4,,,4,6,8, x 7.. EIGENSCHAFTEN,,4,6 DES,8 RIEMANNSCHEN, INTEGRALS x, 8,8 6,6 4,4,,,4,6,8, x,,4,6,8, x Aus der Konstruktion ist ersichtlich, dss F in den Punkten us I = ( 3, 3) ( 9, 9) ( 7 9, 8 9) differenzierbr und die 5 Ableitung dort ist. In Beispiel 7.3 wurde I = gezeigt. Also: F ist eine stetige Funktion uf [, ], die uf einer Menge I mit I = [, ] = horizontl verläuft, ber dennoch einen Höhenunterschied von überwindet. Etws nders gesgt: Mn knn sich stetig so fortbewegen, dss mn eine Stunde in Ruhe bleibt, im Verluf dieser Stunde ber eine Strecke von km zurücklegt. Die Funktion F zeigt, dss die Formel b d F (x) dx = F (b) F () dx nicht mehr zu hlten ist, wenn mn lediglich fordert, dss F nur fst überll (d. h. bis uf eine Menge vom Mß ) differenzierbr ist. Für unser F ist d F (x) = fst überll dx und somit d F (x) dx = dx = = F () F (). dx Die Formel d x F (ξ) dξ = F (x) dx hingegen gilt für beliebige stetige Funktionen F und dmit uch für die Cntorsche Treppe. 93

194 KAPITEL 7. DAS BESTIMMTE INTEGRAL Vriblensubstitution in bestimmten Integrlen Sei ϕ: [α, β] [, b] eine bijektive C -Funktion und sei f : [, b] R stetig. Dnn gilt ϕ(β) β f(x) dx = f ( ϕ(t) ) ϕ (t) dt. ϕ(α) α Beweis. Sei F : [, b] R eine Stmmfunktion von f. Dnn gilt ϕ(β) ϕ(α) f(x) dx = F ( ϕ(β) ) F ( ϕ(α) ). D F ( ϕ(t) ) eine Stmmfunktion von f ( ϕ(t) ) ϕ (t) ist, ergibt sich β α f ( ϕ(t) ) ϕ (t) dt = F ( ϕ(β) ) F ( ϕ(α) ). Mn verwendet üblicherweise folgende Nottion: F (b) F () =: F (x) x=b =: F (x) b. x= Beispiel 7.4. Berechnung von x dx. Mit der Substitution x = ϕ(t) = sin t, t [, π] gilt dx = cos t dt, bekommt mn zunächst die neuen Integrtionsgrenzen t = ϕ () =, t = ϕ () = π. Nun ist x dx = π/ sin t cos t dt = π/ cos t dt = ( t + sin(t) 4 ) π/ = π 4 (nch Beispiel 6.3.3). Prtielle Integrtion in bestimmten Integrlen Für u, v C [, b] gilt b uv dx = uv b b u v dx. 94

195 7.. EIGENSCHAFTEN DES RIEMANNSCHEN INTEGRALS Eine ndere Schreibweise ist b u dv = uv b b v du. Beweis. Sei F = uv. Dnn ist F = uv + u v und somit b b uv dx + u v dx = F b = uv b. Beispiel 7.5. Mn berechne π/ sin x dx. Wir suchen lso S n := π/ sin n x dx, n N. Es ist S = π/ dx = π, S = π/ sin x dx = cos x π/ =. Die unbestimmten Integrle sin x dx = x sin(x) 4 sin 3 x dx = cos3 x 3 + C, cos x + C, sin 4 x dx = 3x 8 sin(x) 4 sin 5 x dx = 5 cos x 8 + sin(4x) cos(3x) 48 + C, cos(5x) 8 + C,... ergeben sich mittels prtieller Integrtion. Dmit kommt mn nicht zum Ziel (bzw. muss mn viel Zeit einplnen). Prtielle Integrtion für bestimmte Integrle liefert S n = = π/ π/ sin n x dx = π/ sin n x d( cos x) = sin n x cos x π/ + }{{} (n ) sin n x cos x dx = (n )S n (n )S n. = π/ cos x d sin n x Drus ergibt sich S n = n n S n, 95

196 KAPITEL 7. DAS BESTIMMTE INTEGRAL lso 4 S k = S k+ = Insbesondere ist S = (k )!! π (k )(k 3) = (k)!! k(k ) (k)!! (k + )!! = k(k ) (k + )(k ) π, 4 Drus folgert mn leicht (Wllissches Produkt): π = n= 4n 4n. 96

197 7.3. EINIGE ANWENDUNGEN 7.3 Einige Anwendungen 7.3. Kurvenlänge Sei ϕ: [, b] R n eine C -Funktion. Dnn nennen wir ϕ ( [, b] ) R n eine Kurve. Gesucht ist die Länge l der Kurve. Wir hben ϕ(t) = ( ϕ (t),..., ϕ n (t) ) und ds Ergebnis ist l = b ϕ(t) dt = b ϕ (t) + + ϕ(t) n dt. Beweis. Wir beschränken uns uf den Fll n =. Die Kurve sei gegeben durch x = x(t), y = y(t) für t [, b]. Wir pproximieren die Kurve durch einen Polygonzug I n mit n Abschnitten [t i, t i ] für i mit i n, d. h. wir betrchten die Strecken s i := f(t i ), f(t i ): P s i P = ( x(t i ), y(t i ) ), P = ( x(t i ), y(t i ) ) P I n = = = = n s i i= n (x(ti ) x(t ) ( i ) + y(ti ) y(t ) i ) i= n (ẋ(ξi )(t i t ) (ẏ(ηi i ) + )(t i t ) i ) i= n ẋ(ξi ) + ẏ(η i ) (t i t i ). i= An der Stelle ist der Mittelwertstz der Differentilrechnung eingegngen. Für η i = ξ i wäre letzteres eine reine Integrlsumme, die für n gegen I := b ẋ(t) + ẏ(t) dt strebt. Es gilt ber i. A. η i ξ i, ws dennoch unproblemtisch ist. D f(t, s) := ẋ(t) + ẏ(s) uf [, b] [, b] gleichmäßig stetig ist, gibt es zu jedem ε > ein δ > mit ẋ(ξi ) + ẏ(η i ) ẋ(ξ i ) + ẏ(ξ i ) < ε (b ) 97

198 KAPITEL 7. DAS BESTIMMTE INTEGRAL für lle Zerlegungen P mit µ(p ) < δ. Ist δ klein genug, so gilt n ẋ(ξi ) + ẏ(ξ i ) t i I < ε, I n i= n ẋ(ξi ) + ẏ(ξ i ) t i i= n i= ε (b ) t i = ε, d. h. I n I < ε für µ(p ) < δ. Dher gilt I n I für µ(p ). Beispiel 7.6. ) Kreisumfng. Ein Kreis mit Rdius r und Mittelpunkt (, ) wird beknntlich durch x = r cos t, y = r sin t, t [, π], beschrieben. Die Länge dieser Kurve ist l = π ẋ + ẏ dt = π ( r sin t) + (r cos t) dt = r π dt = πr. ) Länge des Grphen einer Funktion C [, b] f : [, b] R. Diese knn mn in der Form x = t, y = f(t), t [, b], ngeben. Dmit hben wir l = b b + f(t) dt = + f (x) dx. 3) Kurve in Polrdrstellung. Die Punkte (x, y) uf der Kurve r = r(ϕ), ϕ [α, β], y r(ϕ) (x, y) α ϕ β b x können in der Form x = r(ϕ) cos ϕ, y = r(ϕ) sin ϕ, ngegeben werden. Dmit ist x ϕ = r ϕ cos ϕ r(ϕ) sin ϕ, y ϕ = r ϕ sin ϕ + r(ϕ) cos ϕ, 98

199 7.3. EINIGE ANWENDUNGEN lso x ϕ + y ϕ = r + r ϕ und es gilt l = β α r + r ϕ dϕ. Nochmls der Kreisumfng. Der Kreis knn durch r(ϕ) = r, ϕ [, π], beschrieben werden. Dnn ist l = π r + dϕ = πr. 4) Archimedische Spirle: r(ϕ) = ϕ, ϕ. Es soll die Länge der ersten Windung berechnet werden. Es gilt l = = π π ϕ + dϕ + ϕ dϕ = [ ϕ + ϕ + log (ϕ + )] + ϕ π = [ π + 4π + log (π + )] + 4π. 5) Zylindrische Spirle: x = r cos t, y = r sin t, z = h t, t [, π]. π Länge einer Windung: r l = π ẋ + ẏ + ż dt h = π = π π r sin t + r cos t + ( ) h dt π (πr) + h dt = (πr) + h. 99

200 KAPITEL 7. DAS BESTIMMTE INTEGRAL Dies knn mn uch elementr berechnen. Betrchte dzu den bgewickelten Zylinder. Es gilt l = (πr) + h. h l πr 6) Elliptische Integrle. y Es sei der in der Abbildung drgestellte Ellipsenbogen zu bestimmen. Die Prmeterdrstellung der Ellipse ist x = cos t, y = b sin t, t [, π]. Zum eingezeichneten Winkel α gehört der Prmeter t mit tn α = y x = b tn t, b α x lso t = rctn ( b tn α) =: ϕ. Dmit ist t [, ϕ]. Es gilt l = ϕ ẋ + ẏ dt = ϕ sin t + b cos t dt = ϕ = b ϕ b (b ) sin t dt = b ϕ ε sin t dt =: b E(ϕ, ε) ( ) sin t dt b ( : ε := b nennt mn die Exzentrizität der Ellipse) mit E(ϕ, ε) = ϕ ε sin t dt. Weiter setzt mn F (ϕ, ε) := ϕ dt. Dies sind sogennnte unvollständige ε sin t elliptische Integrle. Sie besitzen keine elementren Stmmfunktionen.

201 7.3. EINIGE ANWENDUNGEN Soll der Ellipsenumfng berechnet werden, so ist 4b E(ϕ, ε) mit ϕ = π zu bestimmen. Dies gelingt durch folgende Reihenentwicklung: Dbei ist ( ) / = n Dmit gilt ( ) / x = ( x) = ( ) n x n für x <. n n= ( ) ( n + ) n! = ( )n n = ( )n (n 3) (n ) 3 n! ( ) ( n ) n! n (n 3)!! = ( ). (n)!! x = x 4 x x x4. Setzt mn hierin x := ε sin t, erhält mn die Reihe für E ( π, ε), die wegen ε sin t < für t [, π ] konvergiert. D mn im Inneren des Konvergenzgebietes uch gliedweise integrieren knn, ergibt sich ( π ) E, ε = π/ dt π/ Im Beispiel 7.5 htten wir π/ ε sin t dt π/ ε8 sin 8 t dt. ε 4 sin 4 t 4 dt π/ ε6 sin 6 t dt π/ sin n t dt = (n )!! n!! π, n gerde. Dmit erhlten wir schließlich E ( π, ε) = π ε π ε4 3 π 4 4 [ = π ( ) ( ) 3 ε ε ε6 3 5 π ( ε8 3 5 ) ε π ( E ( π, ε) und F ( π, ε) nennt mn vollständige elliptische Integrle. ) ] ε 8 7.

202 KAPITEL 7. DAS BESTIMMTE INTEGRAL 7.3. Krümmung ebener Kurven s ψ + ψ ψ Die Krümmung κ einer Kurve beschreibt die Änderung des Winkels ψ im Verhältnis zum zurückgelegten Kurvenstück, d. h. ψ κ = lim s s. Ist κ >, so beschreibt ϕ eine Linkskurve, für κ < eine Rechtskurve. Eine Kurve sei gegeben durch x = x(t), y = y(t), t [, b], wobei x, y C [, b] mit ẋ (t) + ẏ (t) > für lle t [, b] gelte. Der Vektor ( ẋ(t), ẏ(t) ) ist der Tngentilvektor (in der Physik: Geschwindigkeitsvektor) n die Kurve im Punkt P = ( x(t), y(t) ). (x, y) (ẋ, ẏ) Stz 7.9. Die Krümmung im Punkt ( x(t), y(t) ) ist gegeben durch κ = ẋ(t)ÿ(t) ẍ(t)ẏ(t) (ẋ(t) + ẏ(t) ) 3/. Beweis. Wir hben ψ κ = lim s s = lim t ψ(t+ t) ψ(t) t, s(t+ t) s(t) t wobei s(t ) die Länge der Kurve zwischen t = und t = t meint. Wegen s(t) = t ẋ + ẏ dτ ist ṡ(t) = ẋ + ẏ. Des weiteren ist tn ψ = ẏ, wie us obigen Abbildungen hervorgeht, d. h. ψ = rctn ẏ, lso ẋ ẋ ψ = + ẏ ẋ Die Behuptung folgt nun mit κ = ψ ṡ(t). ÿẋ ẏẍ ẋ = ẋÿ ẍẏ ẋ + ẏ.

203 7.3. EINIGE ANWENDUNGEN Beispiel 7.7. ) Eine Kurve sei gegeben durch y = f(x). Setze x = t, y = f(t). Dmit ist ẋ =, ẍ =, ẏ = f (t), ÿ = f (t), lso κ = f (t) ( + ( f (t) ) ) 3/. Für die Prbel y = x ergibt sich z. B. κ(x) = (+4x ) 3/. ) Für die Ellipse x = cos t, y = b sin t, t [, π], hben wir ẋ = sin t, ẍ = cos t, ẏ = b cos t, ÿ = b sin t. Dmit gilt κ(t) = b sin t + b cos t ( sin t + b cos t) 3/ = b ( sin t + b cos t) 3/. D der Kreis eine spezielle Ellipse mit = b = r ist, ergibt sich für ihn κ = r. Der Kreis beschreibt lso eine Kurve mit konstnter Krümmung. Der Krümmungskreis ist der Kreis, der sich n eine gegebene Kurve in einem gegebenen Punkt m besten nschmiegt. Der Rdius dieses Kreises ist r(t) =. Dies κ(t) erlubt eine ndere Interprettion der Krümmung. Wir hben zwei Funktionen s = s(t) und κ = κ(t), t [, b]. Wegen ṡ = ẋ + ẏ > ist s(t) streng monoton wchsend. Dher existiert die Umkehrfunktion t = ψ(s). Dies ergibt κ = κ ( ψ(s) ) =: f(s). Stz 7. (Huptstz für ebene Kurven). Für jede stetige Funktion f : (, s ) R gibt es bis uf Kongruenz, d. h. Verschiebung und Drehung der Ebene, genu eine Kurve mit ϕ = f(s), s [, s ]. 3

204 KAPITEL 7. DAS BESTIMMTE INTEGRAL Beweis. Z. B. Fichtenholz, Nr. 33. Ist beispielsweise f(s) = r = const, so ist die Kurve ein Kreis vom Rdius r. Dieser Schverhlt ist u.. uch für den Strßenbu bedeutsm: Fährt mn entlng einer gerdlinigen Strße, die irgendwnn eine Linkskurve durchläuft, so entspricht diese keinem Kreisbogen (denn sonst würde die Krümmung der Fhrbhn plötzlich von uf nsteigen und mn müsste ruckrtig lenken). Mn durchfährt eine sogennnte r Klothoide, deren Krümmung stetig von uf cs, c R, nwächst Flächeninhlte Für f R[, b] mit f definiert mn den Flächeninhlt A der Menge { (x, y) R : x b, y f(x) } durch y f A := b f(x) dx. b f(x) dx b x Stz 7. (Sektorenstz). Gegeben sei eine Kurve K durch x = x(t), y = y(t), t [, b], mit C -Funktionen x und y, so dss jeder Strhl us dem Koordintenursprung die Kurve höchstens einml schneidet (Abbildung links). Der Flächeninhlt des durch K gegebenen Sektors ist A = b ẋ(t)y(t) x(t)ẏ(t) dt. Ist K durch die Polrdrstellung r = r(ϕ), ϕ [α, β] gegeben (Abbildung rechts), so ist A = β α r(ϕ) dϕ. y K b x y K r(ϕ) α ϕ β x 4

205 7.3. EINIGE ANWENDUNGEN Beweis. Der Flächeninhlt A des rechts gezeichneten kleinen Sektors ist ungefähr gleich der Fläche des von r und r gebildeten Dreiecks, d. h. A r r = i j k det x y z x y z = (,, x y y x) (d z = und z = ) = x y y x, r r + r r lso im Grenzwert A = da = b x dy y dx = xẏ yẋ dt, : dy = ẏ dt, dx = ẋ dt. Exkt: Wir hben A i x(ti ) ( y(t i ) y(t i ) ) y(t i ) ( x(t i ) x(t i ) ) x(ti )ẏ(ξ i ) t i y(t i )ẋ(η i ) t i. = An der Stelle wurde der Mittelwertstz der Differentilrechnung (nlog zum Beweis der Formel für die Kurvenlänge) verwendet. Nun ist A n x(ti )ẏ(ξ i ) y(t i )ẋ(η i ) ti. i= Die Funktion (t, s, u) x(t)ẏ(s) y(t)ẋ(u) ist uf [, b] 3 gleichmäßig stetig. Für jede Zerlegung P von [, b] 3 gilt lso lim µ(p ) n x(ti )ẏ(ξ i ) y(t i )ẋ(η i ) ti = lim µ(p ) i= = b n x(ξi )ẏ(ξ i ) y(ξ i )ẏ(ξ i ) ti i= xẏ ẋy dt. Formel in Polrdrstellung: Wir hben x = r(ϕ) cos ϕ t:=ϕ = r(t) cos t, y = r(t) sin t, t [α, β]. Es gilt ẋ = ṙ(t) cos t r(t) sin t, ẏ = ṙ(t) sin t + r(t) cos t. Dmit ist ẋy xẏ = ( ṙ(t) cos t r(t) sin t ) r(t) sin t r(t) cos t ( ṙ(t) sin t + r(t) cos t ) = r(t), lso ẋy xẏ = r(t), worus die Behuptung folgt. 5

206 KAPITEL 7. DAS BESTIMMTE INTEGRAL Beispiel 7.8. ) Flächeninhlt der Ellipse, x = cos t, y = b sin t, t [, π]. Es gilt A = π ( cos t)(b cos t) ( sin t)b sin t dt = ) Archimedische Spirle, r = ϕ. Flächeninhlt der ersten Windung: A = π Flächeninhlt der zweiten Windung: A = 4π π ϕ dϕ = (π)3 3 π = 4 3 π3. ϕ dϕ = π3 8 (64 8) = 3 3 π3. Es gilt A = 7A, ws sogr schon Archimedes beknnt wr Volumeninhlte Gegeben sei ein Körper wie in der Abbildung. b dt = πb. z y x b x Dieser wird senkrecht zur Abszissenchse in dünne Scheiben zerschnitten. Der Inhlt der Schnittfläche sei A(x). Für ds Volumen einer Scheibe gilt V A(x) x. x x + x Die Überlegungen, die wir zur Bestimmung des Flächeninhlts ngestellt hben, funktionieren hier in entsprechender Weise. Es ergibt sich ein Gesmtvolumen von V = b A(x) dx. 6

207 7.3. EINIGE ANWENDUNGEN Hierin steckt ds sogennnte Prinzip von Cvlieri 5 : Körper mit gleichen Querschnittsflächen in jeder Schnitthöhe hben ds gleiche Volumen. Beispiel 7.9. ) Volumen unter der Fläche z = f(x, y). z z = f(x, y) c d y f(x, y) A(x) x b x Für den Inhlt der unter der Kurve z = f(x, y), c y d, eingezeichneten Fläche gilt A(x) = d f(x, y) dy, lso ist c V = b d f(x, y) dy dx. c Anlog gilt uch V = d b f(x, y) dx dy. c ) Kegel mit Höhe h und Grundrdius r. r x x h r 5 Bonventur Cvlieri ( ), itlienischer Mthemtiker. Beiträge zur Geometrie, Berechnung von Oberflächen und Volumin nch seinem Prinzip der Indivisibilien, in dem z. B. Flächen ls Pckung unendlich vieler Linien ohne Breite verstnden werden (in Anlogie zur nschulichen Vorstellung der Infinitesimlrechnung). 7

208 KAPITEL 7. DAS BESTIMMTE INTEGRAL Der Strhlenstz liefert zunächst rx r = x h. Dmit ist A(x) = πr x = π ( r h x), lso V = h ( r ) π h x πr h dx = h x dx = π 3 r h. 3) Kugel mit Rdius r. r Es gilt r x = r x und dmit A(x) = πrx = π(r r x x ), lso x r V = π(r x ) dx = π ) (r x x3 r = 4π 3 3 r3. Archimedes berechnete ds Kugelvolumen rein elementrgeometrisch wie folgt: Einem Zylinder mit Höhe r und Rdius r sei, wie in folgender Abbildung zu sehen, eine Hlbkugel mit Rdius r und ein Kreiskegel mit Höhe r und Rdius r einbeschrieben: x x r r r 8

209 7.3. EINIGE ANWENDUNGEN Dieses Gebilde wird in der Höhe x prllel zur Grundfläche zerschnitten. Die so entstehenden Schnittflächen hben folgende Inhlte: Schnittfläche des Kegels: A K = πx, Schnittfläche der Hlbkugel: A H = π(r x ), Schnittfläche des Zylinders: A Z = πr. Es gilt lso A Z A K = A H in jeder Schnitthöhe x. Ds Cvlierische Prinzip (ws dmls schon beknnt wr) liefert lso V H = V Z V K = πr 3 π 3 r3 = π 3 r3 wobei V i, i {H (Hlbkugel), Z (Zylinder), K (Kegel)}, ds i-volumen meint, d. h. V Kugel = V H = 4π 3 r3. Zylinder- und Kegelvolumen wren ebenflls beknnt. Ersteres ergibt sich us dem Prism- und ds zweite wie folgt us dem Pyrmidenvolumen. Mn zerlegt ein dreiseitiges Prism in drei gleichgroße Stücke, indem mn es entlng der eingezeichneten Ebenen zerteilt: Es ergibt sich V Pyrmide = 3 V Prism. Die Zhl π definierte mn ls Fläche eines Kreises mit Rdius. 9

210 KAPITEL 7. DAS BESTIMMTE INTEGRAL Die Kugeloberfläche bestimmte Archimedes so: Er betrchtete eine Kugel (siehe nebenstehende Abbildung) ls Vereinigung von Kegeln mit Höhe r. Dmit gilt V Kugel = 4π 3 r3 = r 3 Grundflächen lso A Kugel = 4π 3 r. = r 3 A Kugel, Rottionskörper Eine Kurve y = f(x), x [, b], erzeugt bei Drehung um die x-achse einen Rottionskörper. Jede Querschnittsfläche (siehe Abbildung) ist ein Kreis mit Rdius f(x), ht lso den Flächeninhlt A(x) = πf(x). Dmit ergibt sich ds Volumen des Rottionskörpers zu b V = π f(x) dx. y y = f(x) x b x Beispiel 7.. ) Nochml ds Kugelvolumen. Ein Kreis vom Rdius r mit Mittelpunkt im Ursprung wird durch x + y = r, der im ersten Qudrnten liegende Kreisbogen wird durch y = r x beschrieben. Lässt mn diesen um die x-achse rotieren, ergibt sich die Hälfte des Kugelvolumens V zu V r ( ) r ) = π r x dx = π (r x ) dx = π (r x x3 r = π 3 3 r3.

211 7.3. EINIGE ANWENDUNGEN ) Torus (Rettungsring). Dieser entsteht, wenn mn einen Kreis vom Rdius r mit Mittelpunkt (, R) um die x-achse rotieren lässt. y y = R + r x R r y = R r x x Die obere Kreishälfte wird durch y = R + r x und die untere durch y = R r x, jeweils für x r, beschrieben. Die Hälfte des Torusvolumens V ergibt sich lso zu V r = π = 4πR [ ( R + ) r x (R + ) ] r x dx r r x dx = 4πR πr 4 = π Rr. f(x i ) s i f(x i+ ) y i Wir wollen nun die Mntelfläche eines Rottionskörpers berechnen. Dzu zerlegen wir diesen in luter ngenäherte Kegelstümpfe. x i x i x i+ Die Mntelfläche eines Kegels ergibt sich gemäß folgender Abbildung ls Fläche eines Kreissektors:

212 KAPITEL 7. DAS BESTIMMTE INTEGRAL s r s M Kegel M Kegel = πs πr πs = πrs. πr r s s Für die Mntelfläche des Kegelstumpfs ergibt sich nun M = π(r s r s ) mit s := s + s. Nch dem Strhlenstz gilt r s = r s, d. h. r s = r s, lso M = π(r s r s + r s r s ) = π(r s + r s) = π(r + r ) s. r Für die Mntelfläche eines Rottionskörpers erhält mn dmit n M π ( f(x i ) + f(x i + x i ) ) s i mit s i = x i + y i = x) f(x) i= + y i. Grenzübergng liefert mit der Näherung f(x + x i b M = π f(x) + f (x) dx. Beispiel 7.. ) Kugeloberfläche M. M r ( ) = π r x r x + dx = π r dx = πr, r x

213 7.3. EINIGE ANWENDUNGEN lso M = 4πr. ) Torusoberfläche M. M r = π = π r = 4πRr [f (x) + f (x) + f (x) + f (x) ] dx [ ( R + r x ) r dx r t:= x r = 4πRr r x r ( r x + R ) ] r r x dx r x r dt r t = 4πRr(rcsin rcsin ) = 4πRr π = π Rr, lso M = 4π Rr Schwerpunkt Ds drgestellte Qudrt sei mit Msse der Dichte ρ(x, y) belegt. Wir suchen die Koordinten x s und y s des Schwerpunkts. y b Ds Drehmoment eines Mssepunktes bzgl. einer Achse ist definiert ls Msse ml Achsenbstnd. Für ds Drehmoment des eingezeichneten Teilqudrts ergibt sich ρ(x i, y i ) x i y i y j unter der Annhme, dss die Msse druf näherungsweise gleichverteilt ist. y j+ y j x i x i+ b x Ds gesmte Drehmoment des Qudrts ist dmit n y i ρ(x i, y j ) x i x j i,j= b b yρ(x, y) dx dy. Andererseits ergibt sich ds Drehmoment bzgl. der x-achse ls Gesmtmsse ml Abstnd des Schwerpunkts von der x-achse, lso m y s. Nun ist m n ρ(x i, y j ) x i y j, d. h. m = i,j= b b ρ(x, y) dx dy. 3

214 KAPITEL 7. DAS BESTIMMTE INTEGRAL Es ergibt sich lso y s = b ( b ( b b ) yρ(x, y) dx dy ) ρ(x, y) dx dy = b ( b ( b b ) yρ(x, y) dy dx ) ρ(x, y) dy dx und nlog x s = b ( b ( b b ) xρ(x, y) dx dy ) ρ(x, y) dx dy = b ( b ( b b ) xρ(x, y) dy dx. ) ρ(x, y) dy dx Beispiel 7.. Gesucht ist der Schwerpunkt (x s, y s ) der mit Msse der konstnten Dichte ρ(x, y) = usgefüllten Fläche zwischen dem Grph der Funktion f : [, π ] R, f(x) = cos x, und der x-achse. Wie in der Abbildung drgestellt, erweitert mn sich diese Fläche gednklich zu einem Qudrt, wobei die zusätzliche Fläche mit Msse der Dichte belegt sein soll: y y y = cos x π x x Nun gilt m = π/ π/ ρ(x, y) dy dx = π/ cos x dy dx = π/ cos x dx =, π/ π/ = 4 yρ(x, y) dy dx = π/ π/ ( + cos(x) ) dx = 4 cos x y dy dx = ( x + sin(x) π/ ) π cos x = π 8, dx 4

215 7.3. EINIGE ANWENDUNGEN π/ π/ xρ(x, y) dy dx = π/ cos x x dy dx = π/ x cos x dx = π/ Also ist (x s, y s ) = ( π 8, π ) Arbeit x d sin x = x sin x π/ π/ sin x dx = π. Seien G R m ein Gebiet und Γ G eine durch x = x(t) = ( x (t),..., x m (t) ), t [, b], gegebene C -Kurve. Sei weiter F : G R m eine stetige Funktion (ds sogennnte Krftfeld). Läuft t von nch b, so wird uf der Kurve Γ eine Orientierung erzeugt. Γ G F ( x(t i ) ) F ( x(t x(t i ) i ) ) x x(t i ) Γ Dnn verrichtet ds Krftfeld eine Arbeit W längs der Kurve Γ (und W ist die Arbeit, die wir gegen ds Feld verrichten, wenn wir uns entlng Γ bewegen). Für eine zeitlich konstnte Krft und einen gerdlinigen Weg in Richtung der Krft gilt Arbeit = Krft Weg. Wir erhlten W F ( x(t i ) ), x mit F = (F,..., F m ) und x = ( x,..., x m ). Dbei meint, ds (knonische) Sklrprodukt. Es ergibt sich lso W F ( x(ti ) ) x + + F m ( x(ti ) ) x m = F ( x(ti ) ) ẋ (ξ i ) t i + + F m ( x(ti ) ) ẋ m (ξ mi ) t i durch Anwendung des Mittelwertstzes der Differentilrechnung, und im Grenzübergng W = b [ F ( x(t) )ẋ (t) + + F m ( x(t) )ẋm (t) ] dt. 5

216 KAPITEL 7. DAS BESTIMMTE INTEGRAL Beispiel 7.3. ) Wir betrchten ds Krftfeld F : R R, F (x, y) = ( F (x, y), F (x, y) ), mit F (x, y) = y, F (x, y) = x, und bewegen uns drin entlng Γ bzw. Γ : Γ y x Γ y x Die Kurve Γ wird durch x = x(t) = cos t, y = y(t) = sin t für t [, π] beschrieben. Es gilt ẋ = sin t, ẏ = cos t. Die vom Feld längs Γ verrichtete Arbeit W ist W = π [ F (cos t, sin t)ẋ(t) + F (cos t, sin t)ẏ(t) ] dt = π ( ( sin t) + cos t ) dt = π. Die Prmeterdrstellung des Kreises Γ ist x = x(t) = + cos t, y = y(t) = sin t, t [, π]. Längs Γ verrichtet ds Feld lso die Arbeit W = π [ ( ) ( sin t + + ) ( ) ] cos t cos t dt = 4 π + 4 π cos t dt = π. } {{ } = In diesem Beispiel ist die Arbeit lso wegbhängig. ) Sei F : { (x, y) R : y } R, F (x, y) = (, y) ein Krftfeld. Längs einer beliebigen Kurve Γ mit x = x(t), y = y(t) mit t [, b] verrichtet ds Feld die Arbeit 6

217 7.3. EINIGE ANWENDUNGEN W = b = [ ẋ(t) ] y(t)ẏ(t) dt b = log y() y(b) für y(t) > für lle t [, b]. ẏ(t) y(t) dt = log y(t) b y Γ x Dieses Krftfeld F entspricht bis uf einen konstnten Fktor mg (m = Msse des im Feld bewegten Körpers, g = Erdbeschleunigung) dem Grvittionsfeld eines Zylinders (oder einer zweidimensionlen Erde). Wenn wir drin etws von der Höhe h uf die Höhe h längs eines beliebigen Weges heben, so verrichten wir stets die Arbeit W = log h h. In diesem Fll ist die Arbeit lso wegunbhängig. 7