Physikalisches Grundlagenpraktikum Versuch Hall-Effekt

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1 Physikalisches Grundlagenpraktikum Versuch Hall-Effekt Name:... Matrikelnummer:... Gruppe:... Antestat Datum bestanden nicht Unterschrift Prüfer bestanden Termin Nachholtermin 1. Protokollabgabe Datum Unterschrift Studierender Testat bestanden Datum Unterschrift Prüfer ja nein beanstandet 2. Protokollabgabe Datum Unterschrift Studierender Testat bestanden Datum Unterschrift Prüfer ja nein beanstandet Testat eingetragen 1 Version: 8. März 2017

2 1 Ziel Der Hall-Effekt wurde 1879 von Edwin Herbert Hall entdeckt. Der Hall-Effekt tritt in einem stromdurchflossenen elektrischen Leiter auf, der sich in einem Magnetfeld befindet. Ziel des Versuchs ist es, die Hall-Spannung in Abhängigkeit vom Magnetfeld B und in Abhängigkeit vom Strom I durch den Leiter zu messen. Aus den Messwerten ist dann die Materialkonstante die sogenannte Hall-Konstante, auch Hall-Koeffizient genannt, zu bestimmen. 2 Grundlagen 2.1 Der elektrische Strom Unter einem elektrischen Strom versteht man die Verschiebung von elektrischen Ladungen durch die gerichtete Bewegung von Ladungsträgern. Als Ladungsträger bezeichnet man ein mit elektrischer Ladung behaftetes Teilchen wie z. B. ein Elektron oder ein Ion. Elektronen bewegen sich üblicherweise geradlinig in Festkörpern. Mit Hilfe der elektrischen Stromstärke I wird die Stärke des Stroms in der Einheit Ampere gemessen. Die elektrische Stromstärke I durch die Querschnittsfläche A = b h des Leiters (siehe Abbildung 1) entspricht der in der Zeit t durch die Fläche A bewegten Ladung q: I = q t In einem Volumen V = A l befinden sich die frei beweglichen Ladungen: (1) q = n e A l mit n: Ladungsträgerdichte (2) Abbildung 1: Bewegte Ladungen durch die Querschnittfläche A. Bei einem Stromfluss verschieben sich die Ladungen q in diesem Volumen in der Zeit t um die Strecke l. Daher beträgt ihre Geschwindigkeit v = l. Bei einem Stromfluss können die Ladungen q, die durch die Querschnittsfläche A hindurchgehen, t wie 2 Version: 8. März 2017

3 folgt berechnet werden: q = n e A v t (3) Durch Umstellen von Gleichung (3) erhält man nun für den Strom I: und für die Geschwindigkeit v: I = q t = n e A v (4) v = I n e A (5) 2.2 Das Magnetfeld Der Magnetismus ist ein physikalisches Phänomen, dass sich unter anderem als Kraftwirkung auf bewegte elektrische Ladungen wie z. B. in einem stromdurchflossenen Leitern äußert. Die Vermittlung dieser Kraft erfolgt über ein räumlich verteiltes Magnetfeld. Eine quantitative Beschreibung des Magnetfeldes erfolgt mit Hilfe der magnetischen Flussdichte B. Sie ist ein Maß für die Stärke des Magnetfeldes in jedem Raumpunkt. Die magnetische Flussdichte B wird in der Einheit V s/m 2 bzw. T (=Tesla) gemessen. Dabei gilt: 1 V s/m 2 = 1 T (6) Ist in einem Raumbereich die magnetische Flussdichte in jedem Raumpunkt gleich groß und weist in die gleiche Richtung, so wird dieses Magnetfeld als homogenes Magnetfeld bezeichnet. 2.3 Hall-Effekt Ein einfacher Hall-Sensor besteht aus einem stromdurchflossenen Material, welches sich in einem äußeren Magnetfeld befindet. Verlaufen Stromstärke I und magnetische Flussdichte B senkrecht zueinander, dann liefert der Sensor eine Hall-Spannung U H, welche proportional zum Produkt beider Größen ist. Es gilt: U H = R H d B I wenn: B I (7) mit R H : Hallkonstante und d: Dicke der Probe Das Auftreten dieser Spannung wird als Hall-Effekt bezeichnet. Anhand von Abbildung 2 werden die Zusammenhänge beim Hall-Effekt näher erläutert. Durch das Magnetfeld B #» wirkt auf die bewegten Ladungsträger die Lorentz-Kraft #» F L : #» F L = q #» v B #» (8) mit v: Geschwindigkeit der Ladungsträger und q: elek. Ladung 3 Version: 8. März 2017

4 Abbildung 2: Hauptbestandteil eines Hallsensors ist ein stromdurchflossener Leiter der Breite b und der Dicke d. Diese Kraft führt zu einer Ablenkung der Bewegungsrichtung der Ladungsträger und es entsteht eine räumliche Ungleichverteilung der Ladungsträger. Auf der einen Seite sind mehr positive Ladungsträger, auf der gegenüberliegenden Seite mehr negative Ladungsträger zu finden. Nach außen hin bleibt der Leiter jedoch elektrisch neutral. Durch diese Ungleichverteilung der Ladungsträger im Inneren des Leiters entsteht dort ein elektrisches Feld E #» H, es führt zu einer von außen messbaren Hallspannung U H : U H = b 0 #» E H ds #» (9) Stehen die Geschwindigkeit #» v der Ladungsträger und magnetische Flussdichte #» B senkrecht aufeinander, so wirkt die Kraft F L in Richtung der schmalen Seite des Leiters (siehe Abbildung 2 und Abbildung 3). Abbildung 3: Schematische Darstellung: - Ungleichverteilung der Ladungsträger - entstehendes elektrisches Feld - zu messende Hallspannung U H. Für den Betrag der Kraft auf die Elektronen gilt dann aus Gleichung (8): F L = e v B (10) 4 Version: 8. März 2017

5 Für die zu messende Hallspannung U H ergibt sich aus Gleichung (9): U H = E H b (11) Aufgrund des elektrische Feld E H wirkt auf die elektrischen Ladungsträger eine weitere Kraft, die sogenannte Coulombkraft #» F C : #» F C = e #» E H (12) Die Coulombkraft #» F C ist der Lorentzkraft #» F L entgegen gerichtete, sodass sich im stationären Zustand ein Kräftegleichgewicht ausbildet. Für die Beträge der beiden Kräfte gilt: F C = F L e E H = e v B (13) Durch Umstellen von Gleichung (11) nach E H und eingesetzt in Gleichung (13) ergibt sich: e UH = e v B b U H = b v B (14) Setzt man für die Geschwindigkeit v den Ausdruck von Gleichung (5) ein und ersetzt die Fläche A durch b d, so erhält man für Gleichung (14): I U H = b n e b d B U H = 1 n e I B d Der erste Term von Gleichung (14) wird als Hallkonstante R H bezeichnet und ist eine materialabhängige Größe: (15) R H = 1 n e mit Für die Hall-Spannung U H ergibt sich dann: U H = R H I B d [ RH ] = m 3 C (16) (17) 2.4 Fehlerfortpflanzung In beiden Versuchsteilen soll die Hallkonstante R H bestimmt werden. Diese ist jedoch nicht direkt messbar, sondern sie ist indirekt aus den messbaren Größen Strom I, magnetische Flussdichte B, Hallspannung U H und der Probendicke d nach Gleichung 17 bestimmbar. Da aber jeder Messwert der messbaren Größen durch einen nicht bekannten Messfehler von seinem richtigen Wert abweicht, wird auch das Ergebnis der Berechnung von R H von seinem richtigen Wert abweichen. Man nennt dies Fehlerfortpflanzung. 5 Version: 8. März 2017

6 Für die Fehlerfortpflanzung existieren Rechenregeln, mit denen die maximale Abweichung R H, der sogenannte Größtfehler des Ergebnisses der Berechnung von R H abgeschätzt werden kann. (siehe Skript Fehlerrechnung ). Der Größtfehler stellt die maximale Abweichung der berechneten Größe von ihrem tatsächlichen Wert dar. Diese maximale Abweichung kann bei der Messung auftreten, muss aber nicht auftreten. Die Berechnung des Größtfehlers R H erfolgt mit der Formel: δ R H R H = δ U H U δ R H H + δ d d + δ R H δ B B + δ R H δ I I (18) δr H Die Terme sind die Beträge der partiellen Ableitungen von Gleichung 17 wenn δ... diese nach R H umgestellt wird. Die Terme U H, d, B und I sind die Fehler der verwendeten Messgeräte. Im Allgemeinen sind diese aus der Anleitung des jeweiligen Messgerätes zu entnehmen. 6 Version: 8. März 2017

7 Labor Technische Physik 3 Versuchsaufbau Für eine n-dotierte Probe aus Germanium wird die Hall-Spannung UH sowohl in Abhängigkeit des Stromes I durch die Probe, als auch in Abhängigkeit des äußeren Magnetfeldes B bestimmt. Aus den gewonnenen Daten kann dann der Hall-Koeffizient und die Ladungsträgerdichte des Probenmaterials bestimmt werden. 3.1 Magnetfelderzeugung Das Magnetfeld wird mit zwei Elektromagneten erzeugt. Die Eingänge und die Ausgänge der Spulen sind gemäß der Überlegungen aus Aufgabe 14 der vorbereitenden Aufgaben (siehe Seite 13) mit dem Netzteil (siehe Abbildung 4) zu verschalten. Abbildung 4: Netzteil zur Versorgung der Elektromagnete. Zur Messung der Hall-Spannung steht eine fertig vorbereitete Probe zur Verfügung. Die Probe wird für die Messungen zwischen die Polschuhe eines Elektromagneten gebracht. Die Polschuhe müssen so eng wie möglich an die Trägerplatte der Probe gebracht werden, damit der Luftspalt in dem sich die Probe befindet, so klein wie möglich wird. Abbildung 5: Einbau der Probe in den magnetischen Kreis. 7 Version: 8. März 2017

8 Labor Technische Physik 3.2 Messung des Magnetfeldes Abbildung 6 zeigt das Messgerät zur Messung der magnetischen Flussdichte. Während der Versuchsdurchführung wird mit Hilfe eines Magnetfeldmessgerätes das Magnetfeld in der Nähe der Probe bestimmt. Abbildung 6: Messgerät zur Messung des B-Feldes. Während der Versuchsdurchführung muss der Sensor des Messgerätes sich in der Nähe der Probe befindet, um die dortige magnetische Flussdichte zu messen. Abbildung 7: Lage des Sensors zur Messung der magnetischen Flussdichte am Probenkörper. 3.3 Messung der Hallspannung Die Hallspannung UH wird mit einem Mikrovoltmeter gemessen. Unterhalb des Displays befindet sich ein Wahlschalter zur Auswahl des Messbereichs. Für alle Messungen ist dieser Wahlschalter auf die Stellung 102 einzustellen. 8 Version: 8. März 2017

9 Labor Technische Physik Abbildung 8: Messgerät zur Messung der Hall-Spannung UH. Die Taste Auto Comp. darf nur einmal nach Einschalten des Gerätes betätigt werden, wenn kein Strom durch die Probe fließt. Ansonsten wird das Messergebnis verfälscht. 3.4 Stromquelle für den Strom durch die Probe Eine einstellbare Konstantstromquelle liefert den Strom I durch die Probe. Die Größe dieses Stroms wird mit einem Digitalmultimeter gemessen. Dabei ist zu beachten, dass der maximal zulässige Strom durch die Probe 50 ma beträgt. Eine höhere Stromstärke führt zur einer dauerhaften thermischen Zerstörung der Probe. Abbildung 9: Verschaltung von Konstantstromquelle und Strommessgerät. 9 Version: 8. März 2017

10 Labor Technische Physik 3.5 Kontaktierung der Probe Die Kontaktierung der Probe für den Strom durch die Probe als auch zur Messung der Hallspannung entnehmen Sie bitte der nachfolgenden Abbildung. Abbildung 10: (a) Probe (b) Prinzipdarstellung der Verschaltung: 1kStromanschlüsse der Probe 2kAnschlüsse zur Messung der Hallspannung 3kPotentiometer zur Kompensation 4kGermanium Probe 3.6 Kompensation Leider ist es praktisch nicht möglich, die beiden Kontakte zur Messung der HallSpannung genau auf einer Äquipotentiallinie anzuordnen. Auch ohne äußeres Magnetfeld hat dies zur Folge, dass bei einem durch die Probe fließenden Strom ein Spannungsabfall zwischen den beiden Kontakten auftritt. Diese Fehlerquelle muss kompensiert werden. Abbildung 11: Abgriff der Hallspannung an der Probe a) Reale Darstellung b) Schematische Darstellung des Spannungsabfalls. 10 Version: 8. März 2017

11 Dazu ist parallel zur Probe ein Potentiometer geschaltet, dessen einstellbarer Abgriff mit einer Buchse zur Messung der Hall-Spannung verbunden ist (siehe Abbildung 10.b). Durch Drehen des Potentiometers ist es nun möglich, den ohne Magnetfeld an den Kontakten auftretenden Spannungsabfall zu kompensieren. Diese Kompensation muss nach jeder Änderung des Stromes durch die Probe neu durchgeführt werden. Die Kompensation wird durch folgende Schritte durchgeführt: Spulenstrom auf Null Ampere zurückdrehen. Dazu sind beide Drehpotentiometer am Netzteil, welches die Spulen mit Strom versorgt auf Null zu drehen. Abbildung 12: Spulenstrom auf Null Ampere zurückdrehen. Abnehmbarer Schenkel vom magnetischen Kreis entfernen. Gewünschten Strom durch die Probe einstellen. Am Potentiometer der Probe (Nummer 3 in Abbildung 10) drehen, bis am Voltmeter die angezeigte Spannung 0 Volt beträgt. Abgenommenen Schenkel wieder auf den magnetischen Kreis aufsetzten. Spulenstrom erhöhen bis die magnetische Flussdichte wieder ihren ursprünglichen Wert erreicht (bei einem Spulenstrom von ca. 5 Ampere). Nun kann der Messwert für die Hallspannung am Mikrovoltmeter abgelesen werden. Anschließend ist die Kompensation für den nächsten Stromwert durch die Probe vorzunehmen. 11 Version: 8. März 2017

12 4 Vorbereitende Aufgaben 1. Ein Körper sei elektrisch neutral. Was bedeutet dies für die Anzahl der elektrischen Ladungsträger in ihm? 2. Was versteht man unter dem elektrischen Strom? 3. Warum ist ein Körper elektrisch neutral, wenn ein Strom durch ihn hindurchfließt? 4. Welche Ladungen sind für die Stromleitung in Metallen verantwortlich und warum? 5. Der Probekörper besitzt einen ohmschen Widerstand. Welche physikalische Größe kann man an ihm messen, wenn er von einem Strom durchflossen wird? 6. Wie groß ist die Ladung eines Elektrons? 7. Was versteht man unter einem homogenen Magnetfeld? 8. Die Lorenzkraft #» F L kann man mit der Formel #» F L = q #» v #» B berechnen. In welche Richtung muss #» F L in der Abbildung zeigen? 9. Welche Bahn beschreibt ein Elektron, das sich mit einer konstanten Geschwindigkeit v senkrecht zu einem homogenen Magnetfeld B bewegt? Was passiert, wenn der Wert der Geschwindigkeit größer oder kleiner wird? 10. Welche physikalische Größen bestimmen den Wert der Hallspannung U H? 11. Die meisten Metalle haben eine Ladungsträgerdichte in der Größenordnung von cm 3. In Halbleitern ist die Ladungsträgerkonzentration oft um viele Größenordnungen niedriger. Wie ändert sich der Wert der Hallspannung, wenn bei sonst gleichbleibenden Versuchsparametern anstatt eines Metalls ein Halbleiter verwendet werden würde? 12. In einem Versuch wird bei einem Strom I 1 und einem Magnetfeld B 1 eine Hallspannung U H1 ermittelt. Anschließend wird der Strom um 40% und das Magnetfeld um 60% erhöht. Wie viel größer ist nun die Hallspannung U H2 gegenüber U H1? 13. Durch die Probe fließt ein Strom, der von einer elektrischen Stromquelle geliefert wird. Dieser Strom soll mit einem Strommessgerät gemessen werden. Zeichnen Sie den Schaltplan für diesen Stromkreis. Folgende Schaltzeichen sollen verwendet werden: 12 Version: 8. März 2017

13 Labor Technische Physik 14. Die Abbildung zeigt den Versuchsaufbau mit den beiden Elektromagneten. Beide Spulen sollen in Reihe geschaltet werden. Wie müssen die Eingänge (E) und die Ausgänge (A) der beiden Spulen verschaltet werden, damit sich die Magnetfelder der beiden Spulen addieren? 15. Was versteht man unter dem Größtfehler? 16. Was versteht man unter Fehlerfortpflanzung? 17. Ein Strommessgerät zeigt folgenden Wert an: 026, 1 ma. Der Messbereich des Gerätes hat einen Endwert von 200 ma. Als Messfehler des Gerätes wird in der Anleitung angegeben: ±(2, 5% vom Messbereichsendwert + 1 Digit) Der Begriff Digit wird dabei im Sinne von Auflösung verwendet. 1 Digit ist dabei die Schrittweite auf der niederwertigsten Stelle der Anzeige. Berechnen Sie den Wert des Messfehlers. 13 Version: 8. März 2017

14 5 Versuchsdurchführung 5.1 Messung von U H als Funktion des Stroms I durch die Probe Bei einem konstanten Strom von 5 A durch die Spulen der Elektromagnete wird nun die Hallspannung U H bei verschiedenen Strömen I durch die Probe gemessen. Zunächst wird die Stärke der magnetischen Flussdichte B mit Hilfe des Magnetfeldmessgerätes im Luftspalt, in der Nähe der Probe bestimmt. Tragen Sie den gemessenen Wert des B-Feldes in ihre Versuchsauswertung unter Punkt 6.1 auf Seite 15 ein. Für die angegebenen Stromwerte in Tabelle 1 auf Seite 15 werden nun die Hallspannungen gemessen. Tragen Sie die Messwerte der Hallspannung in Tabelle 1 ein. Bei Veränderung des Stroms I durch die Probe muss immer eine Kompensation (wie in Kapitel 3.6 auf Seite 10 beschrieben) vorgenommen werden. 5.2 Messung von U H als Funktion des Magnetfeldes B durch die Probe Bei dieser Messung fließt ein konstanter Strom von 45 ma durch die Germanium Probe. Es wird die Hallspannung U H bei verschiedenen B-Feldstärken durch die Probe gemessen. Die Stärke des Magnetfeldes kann variiert werden durch Änderung des Stroms durch die Elektromagnete. Für die angegebenen B-Feldwerte in Tabelle 2 auf Seite 16 werden nun die Hallspannungen gemessen. Tragen Sie die Messwerte der Hallspannung in Tabelle 2 ein. 5.3 Berechnung des Größtfehlers eines Messpunktes Es wird die Hallkonstante R H für den einzelnen Messpunkt B = 230 mt aus der Messreihe von Versuch 5.2 mit Angabe des Größtfehlers R H berechnet. Tragen Sie dazu die Messergebnisse aus Versuchsteil 6.2 in Tabelle 3 ein. 14 Version: 8. März 2017

15 6 Versuchsauswertung Für die Berechnungen verwenden Sie für die Probendicke immer den Wert d = 1 mm. 6.1 Messwerte von Versuchsteil 5.1 Gemessene B-Feldstärke in mt Strom in ma 0 2,5 5 7, , , ,5 Spannung in mv Strom in ma 25 27, , , , ,5 Spannung in mv Tabelle 1: U H in Abhängigkeit des Stroms I durch die Probe. 1. Stellen Sie die Hallspannung U H als Funktion des Stroms durch die Probe graphisch dar. Verwenden Sie dabei folgenden Maßstab: für die x-achse : 4 cm = 10 ma für die y-achse : 2 cm = 10 mv 2. Zeichnen Sie in ihr Diagramm mit einem Lineal eine Ursprungsgerade als Ausgleichsgerade ein. Berechnen Sie die Steigung m dieser Ausgleichsgeraden. 3. Wie lautet die Formel um mit Hilfe der Steigung m aus Punkt 2 die Hallkonstante R H zu berechnen? 4. Berechnen Sie mit Hilfe der Steigung m aus Punkt 2 die Hall-Konstante R H und die Ladungsträgerdichte n. 15 Version: 8. März 2017

16 6.2 Messwerte von Versuchsteil 5.2 B in mt Spannung in mv B in mt Spannung in mv Tabelle 2: U H in Ahängigkeit des B-Feldes. 1. Stellen Sie die Hallspannung U H als Funktion des B-Feldes durch die Probe graphisch dar. Verwenden Sie dabei folgenden Maßstab: für die x-achse : 1 cm = 10 mt für die y-achse : 2 cm = 10 mv 2. Zeichnen Sie in ihr Diagramm mit einem Lineal eine Ursprungsgerade als Ausgleichsgerade ein. Berechnen Sie die Steigung m dieser Ausgleichsgeraden. 3. Wie lautet die Formel um mit Hilfe der Steigung m aus Punkt 2 die Hallkonstante R H zu berechnen? 4. Berechnen Sie mit Hilfe der Steigung m aus Punkt 2 die Hall-Konstante R H und die Ladungsträgerdichte n. 16 Version: 8. März 2017

17 6.2.1 Berechnungen Versuchsteil Messgrößen beim Messpunkt B = 230 mt aus Versuchsteil 5.2: B in mt I in ma Spannung in mv Dicke d in mm Tabelle 3: Messgrößen zur Berechnung von R H. 2. Wie lautet die Formel um aus den Größen von Tabelle 3 die Hallkonstante R H zu bestimmen? 3. Berechnen Sie mit den Messwerten aus Tabelle 3 die Hallkonstante R H. 4. Zur Berechnung des Größtfehlers R H müssen zunächst die Fehler der beteiligten Messgeräte berechnet werden. Messgerät Angabe zum Messfehler Wert des Messfehlers Magnetfeldsonde ±(5% vom Messwert + 1 Digit) Spannungsmessgerät Leybold ±(0, 5% vom Messwert + 1 Digit) Strommessgerät Conrad M3610D ±(1, 2% + 1 Digit) Germaniumprobe d = ±0, 1 mm Tabelle 4: Messfehler der beteiligten Messgrößen. 5. Wie lautet die Formel zur Berechnung des Größtfehlers R H? 17 Version: 8. März 2017

18 6. Berechnen Sie den Größtfehler R H. 18 Version: 8. März 2017