Diplomhauptprüfung. "Regelung linearer Mehrgrößensysteme" 17. März Aufgabenblätter

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1 Diplomhauptprüfung "Regelung linearer Mehrgrößenyteme" 7. Mär 008 Aufgabenblätter Die Löungen owie der volltändige und nachvolliehbare Löungweg ind in die dafür vorgeehenen Löungblätter einutragen. Nur diee werden bewertet. Bitte verwenden Sie nur dokumentenechte Schreibgerät. Bitte tragen Sie Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer auf dem erten Löungblatt ein, und geben Sie am Ende der Prüfung die Löungblätter ab.

2 Regelung linearer Mehrgrößenyteme 7. Mär 008 Seite von 7. Aufgabe Gegeben it da in Abbildung dargetellte dynamiche Mehrgrößenytem mit dem reellen Parameter α. u x y + x y u x 3 α Abbildung a) Geben Sie die Zutandgleichungen de Sytem in Vektor-Matrix-Notation an. It da Sytem teuerbar? Erläutern Sie anhand de Strukturbild au Abbildung, warum der Parameter α auf die Steuerbarkeit de Sytem keinen Einflu hat. Betimmen Sie die Werte de Parameter α, für die da Sytem beobachtbar it. b) Für einen anchließenden Reglerentwurf oll da Übertragungverhalten de Sytem au Abbildung in eitdikreter Dartellung gemäß Y( ) = G( ) U ( ) dargetellt werden. Geben Sie unächt die eitkontinuierliche Übertragungmatrix G () an. Geben Sie die Übertragungmatrix G ( ) an. It da eitdikrete Sytem G ( ) tabil? Betimmen Sie die Augangfolge ( y k ) der Auganggröße y, wenn da Sytem mit dem Eingangignal ( u k ) = (,,,...) angeregt wird.

3 Regelung linearer Mehrgrößenyteme 7. Mär 008 Seite 3 von 7 Im Folgenden wird da 3-Tank-Sytem au Abbildung betrachtet. Diee Sytem kann näherungweie durch da kontinuierliche Zutandraummodell i h a a a3 h b b q h a a a 3 h b b = + q h3 a3 a3 a33h3 b3 b 3 bechrieben werden. Die Ventile ind entweder volltändig geöffnet oder volltändig gechloen. Bei geöffnetem Abfluventil hängt der Durchflu von der Höhe im entprechenden Tank ab, bei geöffnetem Verbindungventil von der Höhendifferen der beteiligten Tank. Die Pumpen für die Zuflüe ind tufenlo eintellbar. q q h h 33 h x x 3 V 3 V 3 u V V u 3 V Abbildung c) Welche Elemente a ij der Dynamikmatrix A ind unabhängig von der Ventiltellung identich Null? Welche Elemente b ij der Eingangmatrix B ind identich Null? It da Sytem bei gechloenen Verbindungventilen V 3u und V 3u teuerbar? d) Für eine betimmte Ventiltellung gilt da Sytemmodell i h a 0 0 h b 0 q h a h b = + q h3 0 0 a33h Wie lauten die Sytemmatrien Φ und H de mit der Abtateit T eitdikretiierten Modell hk+ =Φ hk + Hqk?

4 Regelung linearer Mehrgrößenyteme 7. Mär 008 Seite 4 von 7. Aufgabe Durch it ein Mehrgrößenytem gegeben. a) Entwerfen Sie eine volltändige Entkopplung R() für da Sytem. Die Übertragungfunktionen der Eingrößenregler GK () und GK () ind dabei al bekannt anunehmen. b) Zur Regelung de entkoppelten Sytem tehen Ihnen für die Eingrößenregler GK () und G () folgende Möglichkeiten ur Auwahl: K 3 ( + )( + ) ( + )( + ) G () = 3( + ) ( + ) + 5( + ) + Ga() = Gb() = Gc() = + 50 Gd() = Ge() f () = + G = + 3 Wählen Sie au den gegebenen Übertragungfunktionen geeignete Eingrößenregler GK () und GK () o au, da der entkoppelte Regelkrei tabil, tationär genau und o chnell wie möglich it. Erläutern Sie Ihre Vorgehenweie. Hinwei: Überprüfen Sie die Stabilität der Eingrößen-Regelkreie mit den von Ihnen gewählten Reglern anhand der charakteritichen Gleichung + F ( ) = 0. c) Welche Schwierigkeiten können bei der Realiierung von R() auftreten, wenn G () Toteitglieder enthält? Wie können Sie diee Schwierigkeiten umgehen? Nun wird ein eitdikrete Sytem mit der Übertragungfunktion G ( ) = 4 betrachtet. Für diee Sytem oll ein eitdikreter Regler entworfen werden. d) Welche Anforderungen ind allgemein an eine eitdikrete Streckenübertragungfunktion u tellen, wenn diee Strecke mit einem Kompenationregler geregelt werden oll? Zeigen Sie, da diee Anforderungen für die gegebene Strecke G ( ) erfüllt ind. Berechnen Sie einen Kompenationregler R ( ) o, da da geregelte Sytem mit der Strecke G ( ) da Führungverhalten Fw ( ) = aufweit. o

5 Regelung linearer Mehrgrößenyteme 7. Mär 008 Seite 5 von 7 3. Aufgabe Betrachtet wird da dynamiche Sytem 5 0 x = 0 x 0 + u, y = [ 0 0] x. 0 0 a) Für diee Sytem oll eine Zutandrückführung entworfen werden, die all diejenigen Eigenwerte de Sytem, die in der rechten -Halbebene liegen, ymmetrich ur imaginären Ache in die linke -Halbebene verchiebt. Betimmen Sie die Eigenwerte de ungeregelten Sytem. Berechnen Sie die geuchte Zutandrückführung durch Polvorgabe. Eine weitere Möglichkeit beteht in der Anwendung der Modalen Regelung. Bechreiben Sie tichwortartig die in dieem Fall notwendige Vorgehenweie ur Verchiebung der Eigenwerte. It die Anwendung der Modalen Regelung hier innvoll? b) Um die in Aufgabenteil a) entworfene Zutandrückführung eineten u können, wird ein reduierter Beobachter benötigt, der au der mebaren Zutandgröße x die nicht mebaren Zutandgrößen x und x 3 rekontruiert. Dau wird der MATLAB-Befehl R=acker(A,B,P) verwendet, der für ein Sytem mit den Sytemmatrien A und B eine Zutandrückführung R o berechnet, da der gechloene Krei die durch den Vektor P vorgegebenen Pole aufweit. Die Auführung der MATLAB-Befehlequen >> rank(obv(a,c)) ergab den Wert 3 al Ergebni. Wa bedeutet die? Geben Sie die für den Beobachterentwurf mittel acker benötigten Matrien A und B an. Eine Auführung de Befehl acker ergab da Ergebni R=[4 ]. Welche Eigenwerte lagen dem Entwurf de reduierten Beobachter ugrunde?

6 Regelung linearer Mehrgrößenyteme 7. Mär 008 Seite 6 von 7 Gegeben it nun da folgende Zutandraummodell mit dem reellen Parameter α: x = 0 0 x 0 + u, y = x α c) Betimmen Sie die Differenordnung de Sytem in Abhängigkeit von α. Geben Sie die Menge der α -Werte an, für die da Sytem entkoppelbar it. d) Der Entwurf eine Entkopplungregler für einen betimmten Wert de Parameter α führte auf die in Abbildung 3 dargetellten Verläufe der Augang- owie der Zutandgrößen bei eitveretter Sprunganregung der Eingänge. Welchen Schlu können Sie darau über da ungeregelte Sytem iehen? Abbildung 3

7 Regelung linearer Mehrgrößenyteme 7. Mär 008 Seite 7 von 7 4. Aufgabe a) Geben Sie drei Möglichkeiten ur Behandlung von Dauertörungen für Syteme der Form x = Ax + Bu + E, y = Cx an. Erläutern Sie tichwortartig, wann die jeweilige Methode eingeett werden kann. b) Gegeben it ein dynamiche Sytem da durch eine Zutandrückführung y A A y B = r A A + r B [ ] u R R y = rˆ u, geregelt wird. Der nicht mebare Teil ˆr de Zutandvektor wird durch einen reduierten Beobachter gechätt. Die Struktur, betehend au Zutandrückführung und reduiertem Beobachter, kann auch in der Struktur eine dynamichen Regler dargetellt werden. Wie lauten dabei die Matrien A D, B D, C D und D D? Da Ziel de Verfahren der Polbereichvorgabe nach Konigorki it der Entwurf einer kontanten Augangrückführung u = K y o, da die Pole de geregelten Sytem innerhalb eine gewünchten Polbereich liegen. c) Diee Verfahren kann o erweitert werden, da damit auch der Entwurf von dynamichen Reglern möglich it. Bechreiben Sie tichwortartig die dau notwendigen Erweiterungen. ω d) Für den Entwurf einer robuten Augangrückführung oll der in Abbildung 4 chraffierte Polbereich vorgegeben werden. Geben Sie die dau notwendigen Ungleichungen an. Wie lautet da Gütemaß? - δ Abbildung 4