Systems of Distinct Representatives
|
|
|
- Katrin Lehmann
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Systems of Distinct Representatives Seminar: Extremal Combinatorics Peter Fritz Lehr- und Forschungsgebiet Theoretische Informatik RWTH Aachen Systems of Distinct Representatives p. 1/41
2 Gliederung Einführung Anwendung: Lateinische Quadrate Maximale Matchings in bipartiten Graphen Zusammenfassung, Ausblick Systems of Distinct Representatives p. 2/41
3 Einführung Heiratsproblem: gegeben: m Frauen, n Männer, m n Frau heiratet nur Mann, den sie kennt nur monogame Ehen erlaubt gesucht: alle Frauen verheiraten Systems of Distinct Representatives p. 3/41
4 Einführung Heiratsproblem: gegeben: m Frauen, n Männer, m n Frau heiratet nur Mann, den sie kennt nur monogame Ehen erlaubt gesucht: alle Frauen verheiraten als Graphproblem formalisierbar: finde maximales Matching in bipartiten Graph G = (F, M, E) Systems of Distinct Representatives p. 3/41
5 Einführung Heiratsproblem: gegeben: m Frauen, n Männer, m n Frau heiratet nur Mann, den sie kennt nur monogame Ehen erlaubt gesucht: alle Frauen verheiraten als Graphproblem formalisierbar: finde maximales Matching in bipartiten Graph G = (F, M, E) wann ist Heirat, bzw. Matching von F nach M möglich? Systems of Distinct Representatives p. 3/41
6 Systems of Distinct Representatives, SDR formuliere Heiratsproblem als Mengenproblem: Frauen: S 1,..., S m Männer, die die i-te Frau kennt: S i = {x i1,..., x ik } Systems of Distinct Representatives p. 4/41
7 Systems of Distinct Representatives, SDR formuliere Heiratsproblem als Mengenproblem: Frauen: S 1,..., S m Männer, die die i-te Frau kennt: S i = {x i1,..., x ik } DEF: x 1,..., x m sind ein SDR von S 1,..., S m x i S i für 1 i m und x i x j für i j Systems of Distinct Representatives p. 4/41
8 Systems of Distinct Representatives, SDR formuliere Heiratsproblem als Mengenproblem: Frauen: S 1,..., S m Männer, die die i-te Frau kennt: S i = {x i1,..., x ik } DEF: x 1,..., x m sind ein SDR von S 1,..., S m x i S i für 1 i m und x i x j für i j Zuordnung der Mengen zu Elementen ist injektive Heiratsabbildung : f(s i ) f(s j ) für i j Systems of Distinct Representatives p. 4/41
9 Beispiel {1, 3, 4, 5} { 2, 4, 5, 6} {3, 4 } {3, 4, 5 } Systems of Distinct Representatives p. 5/41
10 Beispiel {1, 3, 4, 5} { 2, 4, 5, 6} {3, 4 } {3, 4, 5 } Systems of Distinct Representatives p. 5/41
11 Satz von Hall (1935) Hall-Bedingung: S i I für alle I {1,..., m} (1) i I S 1, S 2,..., S m besitzen SDR wenn (1) zutrifft Systems of Distinct Representatives p. 6/41
12 Satz von Hall (1935) Hall-Bedingung: S i I für alle I {1,..., m} (2) i I S 1, S 2,..., S m besitzen SDR wenn (1) zutrifft Beweis: : klar : per Induktion über m Systems of Distinct Representatives p. 6/41
13 Beweis zum Satz von Hall(I) Fall 1: falls i I S i > I für alle I {1,..., m} Systems of Distinct Representatives p. 7/41
14 Beweis zum Satz von Hall(I) Fall 1: falls i I S i > I für alle I {1,..., m} Ordne irgendeiner Menge S im+1 einen beliebigen Repräsentanten x i S im+1 zu entferne x i aus den restlichen Mengen Systems of Distinct Representatives p. 7/41
15 Beweis zum Satz von Hall(I) Fall 1: falls i I S i > I für alle I {1,..., m} Ordne irgendeiner Menge S im+1 einen beliebigen Repräsentanten x i S im+1 zu entferne x i aus den restlichen Mengen Vereinigung von k beliebigen S i der restlichen m Mengen besitzt immer noch mindestens k Elemente und erfüllt (1) Systems of Distinct Representatives p. 7/41
16 Beweis zum Satz von Hall(II) Fall 2: Für k der S i mit 1 k m gilt: S i = J = k für alle J = {j 1,...,j k } {1,...,m} i J Systems of Distinct Representatives p. 8/41
17 Beweis zum Satz von Hall(II) Fall 2: Für k der S i mit 1 k m gilt: S i = J = k für alle J = {j 1,...,j k } {1,...,m} i J wegen k < m besitzen diese Mengen ein SDR entferne diese k Repräsentanten aus den restlichen m + 1 k Mengen Systems of Distinct Representatives p. 8/41
18 Beweis zum Satz von Hall(II) Fall 2: Für k der S i mit 1 k m gilt: S i = J = k für alle J = {j 1,...,j k } {1,...,m} i J wegen k < m besitzen diese Mengen ein SDR entferne diese k Repräsentanten aus den restlichen m + 1 k Mengen bleibt zu zeigen: diese Mengen erfüllen (1) und besitzen SDR bildet mit den anderen k Repräsentanten ein gemeinsames SDR Systems of Distinct Representatives p. 8/41
19 Beweis zum Satz von Hall(II) Fall 2: Für k der S i mit 1 k m gilt: S i = J = k für alle J = {j 1,...,j k } {1,...,m} i J wegen k < m besitzen diese Mengen ein SDR entferne diese k Repräsentanten aus den restlichen m + 1 k Mengen bleibt zu zeigen: diese Mengen erfüllen (1) und besitzen SDR bildet mit den anderen k Repräsentanten ein gemeinsames SDR Falls s der restlichen m + 1 k Mengen weniger als s Elemente besitzen: Vereinigung dieser s Mengen mit den ersten k Mengen haben weniger als s + k Elemente Widerspruch zur Induktionsvorraussetzung Systems of Distinct Representatives p. 8/41
20 Nachweis der Hall-Bedingung zu aufwendig, da alle 2 m Teilmengen der S i zu überprüfen sind Satz von König (1931): Größe eines Maximum Matchings in G = (A, B, E) = Größe des minimalen Vertex-Covers Min-Vertex-Cover ist aber NP-vollständig Systems of Distinct Representatives p. 9/41
21 Nachweis der Hall-Bedingung zu aufwendig, da alle 2 m Teilmengen der S i zu überprüfen sind Satz von König (1931): Größe eines Maximum Matchings in G = (A, B, E) = Größe des minimalen Vertex-Covers Min-Vertex-Cover ist aber NP-vollständig es gibt einfache Spezialfälle Systems of Distinct Representatives p. 9/41
22 Korollar Falls S 1,..., S m jeweils r Elemente besitzen 1 i m S i = n gilt alle Elemente der S i in der selben Anzahl d von Mengen enthalten sind besitzen S 1,..., S m ein SDR. Systems of Distinct Representatives p. 10/41
23 Beweis des Korrolar(I) Beweis: Zähle die Anzahl des Enthaltenseins von Elementen in Mengen: die m S i besitzen r Elemente: S 1 + S S m = m r Systems of Distinct Representatives p. 11/41
24 Beweis des Korrolar(I) Beweis: Zähle die Anzahl des Enthaltenseins von Elementen in Mengen: die m S i besitzen r Elemente: S 1 + S S m = m r jedes der n Elemente in genau d Mengen: m r = n d (doppeltes Abzählen) wegen m n muss, d r gelten Systems of Distinct Representatives p. 11/41
25 Beweis des Korrolar(II) falls S 1,..., S m kein SDR besitzen gilt d > r: Systems of Distinct Representatives p. 12/41
26 Beweis des Korrolar(II) falls S 1,..., S m kein SDR besitzen gilt d > r: wegen Hall verletzen S i1,..., S ik (1) Y := S i1... S ik < k Systems of Distinct Representatives p. 12/41
27 Beweis des Korrolar(II) falls S 1,..., S m kein SDR besitzen gilt d > r: wegen Hall verletzen S i1,..., S ik (1) Y := S i1... S ik < k r k = k j=1 S i j = Y d < k d Widerspruch d > r Systems of Distinct Representatives p. 12/41
28 gute Jungen, böse Jungen r der n Jungen sind äußerst unbeliebt Ziel: so viele glückliche Hochzeiten, wie möglich Ist es möglich, höchstens t unglückliche Hochzeiten zu haben? Systems of Distinct Representatives p. 13/41
29 gute Jungen, böse Jungen r der n Jungen sind äußerst unbeliebt Ziel: so viele glückliche Hochzeiten, wie möglich Ist es möglich, höchstens t unglückliche Hochzeiten zu haben? Verallgemeinerung des Heiratsproblems gute Elemente: blau, schlechte Elemente: rot Chvátal und Szemerédi zeigten 1988: Systems of Distinct Representatives p. 13/41
30 Satz von Chvátal-Szemerédi S 1,..., S m haben genau dann ein SDR mit höchstens t roten Elementen, wenn sie ein SDR besitzen für alle 1 k m die Vereinigung von k beliebigen Mengen mindestens k t blaue Elemente besitzt. (*) Systems of Distinct Representatives p. 14/41
31 Satz von Chvátal-Szemerédi S 1,..., S m haben genau dann ein SDR mit höchstens t roten Elementen, wenn sie ein SDR besitzen für alle 1 k m die Vereinigung von k beliebigen Mengen mindestens k t blaue Elemente besitzt. (*) Beweis: : klar : sei R Menge der roten Elemente mit R > t Systems of Distinct Representatives p. 14/41
32 Satz von Chvátal-Szemerédi S 1,..., S m haben genau dann ein SDR mit höchstens t roten Elementen, wenn sie ein SDR besitzen für alle 1 k m die Vereinigung von k beliebigen Mengen mindestens k t blaue Elemente besitzt. (*) Beweis: : klar : sei R Menge der roten Elemente mit R > t erweitere S 1,..., S m zu S 1,..., S m, S m+1,..., S m+r mit r = R t Kopien von R Systems of Distinct Representatives p. 14/41
33 Beweis (Fortsetzung) S 1,..., S m+r haben ein SDR S 1,..., S m haben ein SDR höchstens t roten Elementen: Systems of Distinct Representatives p. 15/41
34 Beweis (Fortsetzung) S 1,..., S m+r haben ein SDR S 1,..., S m haben ein SDR höchstens t roten Elementen: zeige Hall-Bedingung für erweiterte Mengenfolge mit Indizes I {1,..., m + r} und I = k: Systems of Distinct Representatives p. 15/41
35 Beweis (Fortsetzung) S 1,..., S m+r haben ein SDR S 1,..., S m haben ein SDR höchstens t roten Elementen: zeige Hall-Bedingung für erweiterte Mengenfolge mit Indizes I {1,..., m + r} und I = k: S i i I Systems of Distinct Representatives p. 15/41
36 Beweis (Fortsetzung) S 1,..., S m+r haben ein SDR S 1,..., S m haben ein SDR höchstens t roten Elementen: zeige Hall-Bedingung für erweiterte Mengenfolge mit Indizes I {1,..., m + r} und I = k: S i = (S i R) + R i I i I Systems of Distinct Representatives p. 15/41
37 Beweis (Fortsetzung) S 1,..., S m+r haben ein SDR S 1,..., S m haben ein SDR höchstens t roten Elementen: zeige Hall-Bedingung für erweiterte Mengenfolge mit Indizes I {1,..., m + r} und I = k: i I S i = ( ) (S i R) + R i I k t + R Systems of Distinct Representatives p. 15/41
38 Beweis (Fortsetzung) S 1,..., S m+r haben ein SDR S 1,..., S m haben ein SDR höchstens t roten Elementen: zeige Hall-Bedingung für erweiterte Mengenfolge mit Indizes I {1,..., m + r} und I = k: i I S i = ( ) (S i R) + R i I k t + R k = I Systems of Distinct Representatives p. 15/41
39 Lateinische Rechtecke Anwendung von Korollar sehr altes kombinatorisches Problem (2800 v.chr.) Systems of Distinct Representatives p. 16/41
40 Lateinische Rechtecke Anwendung von Korollar sehr altes kombinatorisches Problem (2800 v.chr.) DEF: lateinisches Rechteck: r n Matrix mit r n in der die Zahlen 1, 2,..., n in jeder Zeile genau und in jeder Spalte höchstens einmal auftreten. Systems of Distinct Representatives p. 16/41
41 Lateinische Rechtecke Anwendung von Korollar sehr altes kombinatorisches Problem (2800 v.chr.) DEF: lateinisches Rechteck: r n Matrix mit r n in der die Zahlen 1, 2,..., n in jeder Zeile genau und in jeder Spalte höchstens einmal auftreten. lateinisches Quadrat: r = n Aufgabe: leeres Rechteck mit Zahlen Auffüllen bereits ab n Einträgen kann Vervollständigung nicht mehr möglich sein Systems of Distinct Representatives p. 16/41
42 Beispiel ? 3 Abbildung 1: unvollständiges Lateinische Rechteck, und vollständiges Lateinisches Quadrat Systems of Distinct Representatives p. 17/41
43 Beispiel ? 3 Abbildung 2: unvollständiges Lateinische Rechteck, und vollständiges Lateinisches Quadrat Systems of Distinct Representatives p. 17/41
44 Beispiel ? Abbildung 3: unvollständiges Lateinische Rechteck, und vollständiges Lateinisches Quadrat Systems of Distinct Representatives p. 17/41
45 Beispiel ? Abbildung 4: unvollständiges Lateinische Rechteck, und vollständiges Lateinisches Quadrat Systems of Distinct Representatives p. 17/41
46 Beispiel ? Abbildung 5: unvollständiges Lateinische Rechteck, und vollständiges Lateinisches Quadrat Systems of Distinct Representatives p. 17/41
47 Satz von Ryser (1951) Jedes r n Lateinische Rechteck R zu einem (r + 1) n Rechteck erweiterbar, falls r < n Systems of Distinct Representatives p. 18/41
48 Satz von Ryser (1951) Jedes r n Lateinische Rechteck R zu einem (r + 1) n Rechteck erweiterbar, falls r < n Beweis: Seien S i = {x i x i ist nicht in der i-ten Spalte von R enthalten} Systems of Distinct Representatives p. 18/41
49 Satz von Ryser (1951) Jedes r n Lateinische Rechteck R zu einem (r + 1) n Rechteck erweiterbar, falls r < n Beweis: Seien S i = {x i x i ist nicht in der i-ten Spalte von R enthalten} Zeige: S 1,..., S n besitzen SDR definiere diese Repräsentanten als r + 1. Zeile (x 1, x 2,..., x n ) von R Systems of Distinct Representatives p. 18/41
50 Beweis zum Satz von Ryser wegen Korollar besitzen S 1,..., S n ein SDR, da: Systems of Distinct Representatives p. 19/41
51 Beweis zum Satz von Ryser wegen Korollar besitzen S 1,..., S n ein SDR, da: S 1,..., S n sind n r elementige Teilmengen einer n-elementigen Menge jedes Element x j 1 i n S i ist in genau n r S i enthalten, da es bereits in r anderen Spalten eingefügt wurde Systems of Distinct Representatives p. 19/41
52 Beweis zum Satz von Ryser wegen Korollar besitzen S 1,..., S n ein SDR, da: S 1,..., S n sind n r elementige Teilmengen einer n-elementigen Menge jedes Element x j 1 i n S i ist in genau n r S i enthalten, da es bereits in r anderen Spalten eingefügt wurde weitere Anwendungen von lateinischen Rechtecken: Scheduling-Theorie statistische Experimente kryptographische Protokolle Systems of Distinct Representatives p. 19/41
53 Matchings in bipartiten Graphen Nachweis mit Hall und König schwierig und gibt nur Aussage bzgl. Existenz Gesucht: effizienter Algorithmus Systems of Distinct Representatives p. 20/41
54 Matchings in bipartiten Graphen Nachweis mit Hall und König schwierig und gibt nur Aussage bzgl. Existenz Gesucht: effizienter Algorithmus hier: Algorithmus basierend auf lokaler Suche Greedy-Ansatz führt nicht zum Ziel: Systems of Distinct Representatives p. 20/41
55 Nachbarschaft DEF: Erweiternder Pfad bzgl. Matching M: Pfad, dessen Kanten abwechselnd gematched und frei sind Start- und Zeilknoten liegen nicht in M Systems of Distinct Representatives p. 21/41
56 Nachbarschaft DEF: Erweiternder Pfad bzgl. Matching M: Pfad, dessen Kanten abwechselnd gematched und frei sind Start- und Zeilknoten liegen nicht in M Verbesserung möglich: Systems of Distinct Representatives p. 21/41
57 Ford-Fulkerson Mögliche Lösung: mit Ford-Fulkerson Algorithmus Problem: verbessernde Pfade sind auf Netzwerken anders definiert Systems of Distinct Representatives p. 22/41
58 Ford-Fulkerson Mögliche Lösung: mit Ford-Fulkerson Algorithmus Problem: verbessernde Pfade sind auf Netzwerken anders definiert Systems of Distinct Representatives p. 22/41
59 Ford-Fulkerson Mögliche Lösung: mit Ford-Fulkerson Algorithmus Problem: verbessernde Pfade sind auf Netzwerken anders definiert Systems of Distinct Representatives p. 22/41
60 Ford-Fulkerson Mögliche Lösung: mit Ford-Fulkerson Algorithmus Problem: verbessernde Pfade sind auf Netzwerken anders definiert Systems of Distinct Representatives p. 22/41
61 Ford-Fulkerson Mögliche Lösung: mit Ford-Fulkerson Algorithmus Problem: verbessernde Pfade sind auf Netzwerken anders definiert Systems of Distinct Representatives p. 22/41
62 Satz von Berger bleibt zu zeigen, dass verbessernde Pfade hinreichend für Optimalität eines Matchings ist Systems of Distinct Representatives p. 23/41
63 Satz von Berger bleibt zu zeigen, dass verbessernde Pfade hinreichend für Optimalität eines Matchings ist Satz (Berger, 1957) Ein Matching M in einem Graph G ist genau dann maximal, wenn es keinen erweiternden Pfad in G gibt. Systems of Distinct Representatives p. 23/41
64 Satz von Berger bleibt zu zeigen, dass verbessernde Pfade hinreichend für Optimalität eines Matchings ist Satz (Berger, 1957) Ein Matching M in einem Graph G ist genau dann maximal, wenn es keinen erweiternden Pfad in G gibt. Beweis: : klar Angenommen es gäbe ein Matching M mit M < M Systems of Distinct Representatives p. 23/41
65 Satz von Berger bleibt zu zeigen, dass verbessernde Pfade hinreichend für Optimalität eines Matchings ist Satz (Berger, 1957) Ein Matching M in einem Graph G ist genau dann maximal, wenn es keinen erweiternden Pfad in G gibt. Beweis: : klar Angenommen es gäbe ein Matching M mit M < M Sei H := M M := (M M ) \ (M M ) exklusive Vereinigung beider Mengen keine Kante liegt in zwei Matchings Systems of Distinct Representatives p. 23/41
66 Beweis, Fortsetzung(I) da M < M gibt es Zusammenhangskomponente G in der weniger Knoten zu M gehören, als zu M (*) Systems of Distinct Representatives p. 24/41
67 Beweis, Fortsetzung(I) da M < M gibt es Zusammenhangskomponente G in der weniger Knoten zu M gehören, als zu M (*) alle Knoten in M und M haben Grad eins alle Knoten in G haben höchstens Grad zwei G besteht aus Zyklus gerader Länge, oder Pfad über alle Knoten Systems of Distinct Representatives p. 24/41
68 Beweis, Fortsetzung(II) wegen (*) besteht G aus genau einem Pfad P Systems of Distinct Representatives p. 25/41
69 Beweis, Fortsetzung(II) wegen (*) besteht G aus genau einem Pfad P Anfangs- und Endknoten von P müssen wegen (*) in M liegen keine 2 Kanten desselben Matchings direkt hintereinander Systems of Distinct Representatives p. 25/41
70 Beweis, Fortsetzung(II) wegen (*) besteht G aus genau einem Pfad P Anfangs- und Endknoten von P müssen wegen (*) in M liegen keine 2 Kanten desselben Matchings direkt hintereinander P ist bezüglich M erweiternder Pfad, da Anfangs- und Endknoten frei und Kanten abwechselnd frei und gematched Systems of Distinct Representatives p. 25/41
71 Algorithmus für Matching Problem Idee: Kanten im Graph richten: Matching-Kanten von A nach B, andere von B nach A starte von freien Knoten Tiefensuche, um verbessernden Pfad zu finden erweitere Matching, falls verbessernden Pfad gefunden Systems of Distinct Representatives p. 26/41
72 Algorithmus, Schritt 1 Eingabe: G = (A, B, E) M := ; {M ist das aktuelle Matching} Systems of Distinct Representatives p. 27/41
73 Begleitendes Beispiel Systems of Distinct Representatives p. 28/41
74 Algorithmus, Schritt 2 Eingabe: G = (A, B, E) M := ; {M ist das aktuelle Matching} {Richte alle Kanten e M von A nach B und die restlichen von B nach A} for all e E do if e M then e := (a, b); {für a A und b B} else e := (b, a); end if end for Systems of Distinct Representatives p. 29/41
75 Beispiel zu Schritt 2 Systems of Distinct Representatives p. 30/41
76 Beispiel zu Schritt 2 Systems of Distinct Representatives p. 30/41
77 Algorithmus, Schritt 3 {definiere A 0 und B 0, die alle freien Knoten aus A und B enthalten} A 0 := B 0 := ; for all v A und v M do A 0 := A 0 {v}; end for for all v B und v M do B 0 := B 0 {v}; end for Systems of Distinct Representatives p. 31/41
78 Beispiel zu Schritt 3 Systems of Distinct Representatives p. 32/41
79 Algorithmus, Schritt 4 for all v B 0 do starte Tiefensuche von v bis ein w A 0 gefunden wurde; {der Pfad v w ist ein erweiternder Pfad} end for Systems of Distinct Representatives p. 33/41
80 Beispiel zu Schritt 2 Systems of Distinct Representatives p. 34/41
81 Algorithmus, Schritt 4 for all v B 0 do starte Tiefensuche von v bis ein w A 0 gefunden wurde; {der Pfad v w ist ein erweiternder Pfad} end for if erweiternder Pfad gefunden then update M; gehe zu Schritt 2; else Output M; end if Systems of Distinct Representatives p. 35/41
82 Laufzeitanalyse nach jeder Iteration von Schritt zwei wird M um eins größer n/2 Durchläufe Systems of Distinct Representatives p. 36/41
83 Laufzeitanalyse nach jeder Iteration von Schritt zwei wird M um eins größer n/2 Durchläufe Tiefensuche auf n/2 Knoten aus B 0 Systems of Distinct Representatives p. 36/41
84 Laufzeitanalyse nach jeder Iteration von Schritt zwei wird M um eins größer n/2 Durchläufe Tiefensuche auf n/2 Knoten aus B 0 Tiefensuchlauf enthält abwechselnd freie Knoten und Matchingknoten Tiefensuche ist linear Systems of Distinct Representatives p. 36/41
85 Laufzeitanalyse nach jeder Iteration von Schritt zwei wird M um eins größer n/2 Durchläufe Tiefensuche auf n/2 Knoten aus B 0 Tiefensuchlauf enthält abwechselnd freie Knoten und Matchingknoten Tiefensuche ist linear Gesamtlaufzeit O(n 3 ) Systems of Distinct Representatives p. 36/41
86 Laufzeitanalyse nach jeder Iteration von Schritt zwei wird M um eins größer n/2 Durchläufe Tiefensuche auf n/2 Knoten aus B 0 Tiefensuchlauf enthält abwechselnd freie Knoten und Matchingknoten Tiefensuche ist linear Gesamtlaufzeit O(n 3 ) es gibt schnellere, trickreichere Algorithmen, z.b. O(n 5/2 ) Algorithmus von Hopcroft und Karp Systems of Distinct Representatives p. 36/41
87 Zusammenfassung Heiratsproblem Satz von Hall Verallgemeinerungen und Spezialfälle des Heiratsproblems Lateinische Quadrate Algorithmen zum Lösen von Maximum Matching Problemen in bipartiten Graphen Systems of Distinct Representatives p. 37/41
88 Ausblick Matchings in nicht bipartiten Graphen Gewichtete Matchings: Zuordnung mit Präferenzen Matchings als Werkzeuge zur Algorithmenkonstruktion: Christofides-Algorithmus Berechnen von Min-Vertex-Cover SDR als Werkzeug für Beweise: Beweis von unteren Schranken Probleme in Hypergraphen Systems of Distinct Representatives p. 38/41
Systems of Distinct Representatives
Rheinisch-Westfälische Technische Hochschule Aachen Lehr- und Forschungsgebiet Theoretische Informatik Prof. Dr. Peter Rossmanith Systems of Distinct Representatives Seminar: Extremal Combinatorics SS
Satz 324 Sei M wie oben. Dann gibt es für ein geeignetes k Konstanten c i > 0 und Permutationsmatrizen P i, i = 1,...
Satz 324 Sei M wie oben. Dann gibt es für ein geeignetes k Konstanten c i > 0 und Permutationsmatrizen P i, i = 1,..., k, so dass gilt M = k c i P i i=1 k c i = r. i=1 Diskrete Strukturen 7.1 Matchings
Bäume und Wälder. Definition 1
Bäume und Wälder Definition 1 Ein Baum ist ein zusammenhängender, kreisfreier Graph. Ein Wald ist ein Graph, dessen Zusammenhangskomponenten Bäume sind. Ein Knoten v eines Baums mit Grad deg(v) = 1 heißt
Wiederholung zu Flüssen
Universität Konstanz Methoden der Netzwerkanalyse Fachbereich Informatik & Informationswissenschaft SS 2008 Prof. Dr. Ulrik Brandes / Melanie Badent Wiederholung zu Flüssen Wir untersuchen Flüsse in Netzwerken:
Vervollständigung Lateinischer Quadrate
Vervollständigung Lateinischer Quadrate Elisabeth Schmidhofer 01.12.2013 Inhaltsverzeichnis 1 Vorwort 3 2 Einleitung 4 2.1 Beispele.............................................. 4 3 Lateinische Quadrate
Flüsse, Schnitte, bipartite Graphen
Flüsse, Schnitte, bipartite Graphen Thomas Fersch mail@t-fersch.de 11.06.2010 Seminar "Hallo Welt!" für Fortgeschrittene 1 Übersicht Maximale Flüsse in Netzwerken Worum geht s? Lösung nach Ford-Fulkerson
Flüsse, Schnitte, bipartite Graphen
Flüsse, chnitte, bipartite Graphen Matthias Hoffmann 5.5.009 Matthias Hoffmann Flüsse, chnitte, bipartite Graphen 5.5.009 / 48 Übersicht Einführung Beispiel Definitionen Ford-Fulkerson-Methode Beispiel
Theoretische Informatik 1
Theoretische Informatik 1 Approximierbarkeit David Kappel Institut für Grundlagen der Informationsverarbeitung Technische Universität Graz 10.06.2016 Übersicht Das Problem des Handelsreisenden TSP EUCLIDEAN-TSP
KAPITEL 3 MATCHINGS IN BIPARTITEN GRAPHEN
KAPITEL 3 MATCHINGS IN BIPARTITEN GRAPHEN F. VALLENTIN, A. GUNDERT 1. Definitionen Notation 1.1. Ähnlich wie im vorangegangenen Kapitel zunächst etwas Notation. Wir beschäftigen uns jetzt mit ungerichteten
WS 2015/16 Diskrete Strukturen Kapitel 4: Graphen (Matchings)
WS 2015/16 Diskrete Strukturen Kapitel 4: Graphen (Matchings) Hans-Joachim Bungartz Lehrstuhl für wissenschaftliches Rechnen Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www5.in.tum.de/wiki/index.php/diskrete_strukturen_-_winter_15
WS 2008/09. Diskrete Strukturen
WS 2008/09 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0809
Matching. Organisatorisches. VL-18: Matching. (Datenstrukturen und Algorithmen, SS 2017) Gerhard Woeginger. Tanzabend
Organisatorisches VL-18: Matching (Datenstrukturen und Algorithmen, SS 2017) Gerhard Woeginger Vorlesung: Gerhard Woeginger (Zimmer 4024 im E1) Sprechstunde: Mittwoch 11:15 12:00 Übungen: Tim Hartmann,
Vorlesung 2 KÜRZESTE WEGE
Vorlesung 2 KÜRZESTE WEGE 34 Kürzeste Wege im Graphen Motivation! Heute:! Kürzeste Wege von einem Knoten (SSSP)! Kürzeste Wege zwischen allen Knotenpaaren (APSP)! Viele Anwendungen:! Navigationssysteme!
2. November Gradfolgen Zusammenhang Kürzeste Wege. H. Meyerhenke: Algorithmische Methoden zur Netzwerkanalyse 37
2. November 2011 Gradfolgen Zusammenhang Kürzeste Wege H. Meyerhenke: Algorithmische Methoden zur Netzwerkanalyse 37 Satz von Erdős und Gallai Eine Partition einer natürlichen Zahl ist genau dann die Gradfolge
Das Heiratsproblem. Definition Matching
Das Heiratsproblem Szenario: Gegeben: n Frauen und m > n Männer. Bekanntschaftsbeziehungen zwischen allen Männern und Frauen. Fragestellung: Wann gibt es für jede der Frauen einen Heiratspartner? Modellierung
15. Elementare Graphalgorithmen
Graphen sind eine der wichtigste Modellierungskonzepte der Informatik Graphalgorithmen bilden die Grundlage vieler Algorithmen in der Praxis Zunächst kurze Wiederholung von Graphen. Dann Darstellungen
WS 2013/14. Diskrete Strukturen
WS 2013/14 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws1314
Approximationsalgorithmen für NP-harte Optimierungsprobleme
Approximationsalgorithmen für NP-harte Optimierungsprobleme Prof. Dr. Berthold Vöcking Lehrstuhl Informatik 1 Algorithmen und Komplexität RWTH Aachen 1 / 18 Was tun mit NP-harten Problemen? Viele praxisrelevante
Algorithmen zum Lösen von Vertex und Set Cover Instanzen zur Planung von Angriffen auf Netzwerke
Algorithmen zum Lösen von Vertex und Set Cover Instanzen zur Planung von Angriffen auf Netzwerke Steve Göring 13.07.2012 1/18 Gliederung Einleitung Grundlagen Vertex-Cover-Problem Set-Cover-Problem Lösungsalgorithmen
Ferienkurs zur algorithmischen diskreten Mathematik Kapitel 6: Matchings und TSP-Problem
Ferienkurs zur algorithmischen diskreten Mathematik Kapitel 6: Matchings und TSP-Problem Dipl-Math. Wolfgang Kinzner 4.4.2012 Kapitel 6: Matchings und TSP-Problem Matching und Matchingproblem Flussalgorithmus
Flüsse, Schnitte, bipartite Graphen
Flüsse, Schnitte, bipartite Graphen Vlad Popa 08.06.2010 Inhaltsverzeihnis 1. Flussnetzwerke und Flüsse 1.1 Ford- Fulkerson 1.2 Edmond Karp 1.3 Dinic 2. Schnitte 3. Maximaler Fluss bei minimalen Kosten
4.7 Der Algorithmus von Dinic für maximalen Fluss
4.7 Der Algorithmus von Dinic für maximalen Fluss Wir kennen bereits den Algorithmus von Ford Fulkerson zur Suche nach einem maximalen Fluss in einem Graphen. Wir lernen nun einen Algorithmus für maximalen
1.Aufgabe: Minimal aufspannender Baum
1.Aufgabe: Minimal aufspannender Baum 11+4+8 Punkte v 1 v 2 1 3 4 9 v 3 v 4 v 5 v 7 7 4 3 5 8 1 4 v 7 v 8 v 9 3 2 7 v 10 Abbildung 1: Der Graph G mit Kantengewichten (a) Bestimme mit Hilfe des Algorithmus
Optimierung. Optimierung. Vorlesung 9 Lineare Programmierung & Kombinatorische Optimierung Fabian Kuhn
Optimierung Vorlesung 9 Lineare Programmierung & Kombinatorische Optimierung 1 Assignment Problem (Zuordnungsproblem) Gewichtetes Perfektes Bipartites Matching agents Costs tasks Weise jedem Agenten genau
1 Matroide. 1.1 Definitionen und Beispiele. Seminar zur ganzzahligen Optimierung Thema: Durchschnitt von Matroiden - Satz von Edmonds von Dany Sattler
Seminar zur ganzzahligen Optimierung Thema: Durchschnitt von Matroiden - Satz von Edmonds von Dany Sattler 1 Matroide 1.1 Definitionen und Beispiele 1. Definition (Unabhängigkeitssystem): Ein Mengensystem
Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen
Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen Sebastian Hahn 4. Juni 2013 Sebastian Hahn Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen 4. Juni 2013 1 / 48 Überblick Flussnetzwerke Ford-Fulkerson-Methode Edmonds-Karp-Strategie
Durchschnitt von Matroiden
Durchschnitt von Matroiden Satz von Edmonds Dany Sattler 18. Januar 2007/ Seminar zur ganzzahligen Optimierung / Wallenfels Definition: Unabhängigkeitssystem Definition: Ein Mengensystem (S, J ) nennt
2. Entsprechende Listen P i von Vorgängern von i 3. for i := 1 to n do. (ii) S i = Knoten 2 + 1}
1. Berechne für jeden Knoten i in BFS-Art eine Liste S i von von i aus erreichbaren Knoten, so dass (i) oder (ii) gilt: (i) S i < n 2 + 1 und Si enthält alle von i aus erreichbaren Knoten (ii) S i = n
Kombinatorische Optimierung
Juniorprof. Dr. Henning Meyerhenke 1 Henning Meyerhenke: KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft www.kit.edu Vorlesung 4 Programm des
Inhalt. 1. Flußprobleme. 2. Matching. 3. Lineares Programmieren. 4. Ganzzahliges Programmieren. 5. NP-Vollständigkeit. 6. Approximationsalgorithmen
Effiziente Algorithmen Einführung 1 Inhalt 1. Flußprobleme 2. Matching. Lineares Programmieren 4. Ganzzahliges Programmieren 5. NP-Vollständigkeit 6. Approximationsalgorithmen 7. Backtracking und Branch-and-Bound
Wintersemester 2004/ Februar 2005
Lehrstuhl für Praktische Informatik III Norman May B6, 29, Raum C0.05 68131 Mannheim Telefon: (0621) 181 2517 Email: norman@pi3.informatik.uni-mannheim.de Matthias Brantner B6, 29, Raum C0.05 68131 Mannheim
Algorithmen zur Berechnung von Matchings
Algorithmen zur Berechnung von Matchings Berthold Vöcking 10. Oktober 2006 1 Einleitung Matchingprobleme sind Zuordnungsprobleme. Es geht darum z.b. Studierenden Plätze in Seminaren zuzuordnen, Bewerber
Toleranzbasierte Algorithmen für das Travelling Salesman Problem. Gerold Jäger
Toleranzbasierte Algorithmen für das Travelling Salesman Problem Gerold Jäger (Zusammenarbeit mit Jop Sibeyn, Boris Goldengorin) Institut für Informatik Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg gerold.jaeger@informatik.uni-halle.de
Lösungen zu Kapitel 5
Lösungen zu Kapitel 5 Lösung zu Aufgabe : (a) Es gibt derartige Graphen: (b) Offensichtlich besitzen 0 der Graphen einen solchen Teilgraphen. Lösung zu Aufgabe : Es sei G = (V, E) zusammenhängend und V
Bipartite Graphen. Beispiele
Bipartite Graphen Ein Graph G = (V, E) heiÿt bipartit (oder paar), wenn die Knotenmenge in zwei disjunkte Teilmengen zerfällt (V = S T mit S T = ), sodass jede Kante einen Knoten aus S mit einem Knoten
Fortgeschrittene Netzwerk- und Graph-Algorithmen
Fortgeschrittene Netzwerk- und Graph-Algorithmen Prof. Dr. Hanjo Täubig Lehrstuhl für Effiziente Algorithmen (Prof. Dr. Ernst W. Mayr) Institut für Informatik Technische Universität München Wintersemester
WS 2013/14. Diskrete Strukturen
WS 2013/14 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws1314
Teil 2: Graphenalgorithmen
Teil : Graphenalgorithmen Anwendungen Definitionen Datenstrukturen für Graphen Elementare Algorithmen Topologisches Sortieren Kürzeste Wege Problemstellung Ungewichtete Graphen Distanzgraphen Gewichtete
Approximationsalgorithmen
Approximationsalgorithmen 1. Vorlesung Joachim Spoerhase Alexander Wolff Lehrstuhl für Informatik I Wintersemester 2017/18 Bücher zur Vorlesung Vijay V. Vazirani Approximation Algorithms Springer-Verlag
Fortgeschrittene Netzwerk- und Graph-Algorithmen
Fortgeschrittene Netzwerk- und Graph-Algorithmen Prof. Dr. Hanjo Täubig Lehrstuhl für Effiziente Algorithmen (Prof. Dr. Ernst W. Mayr) Institut für Informatik Technische Universität München Wintersemester
Definition Ein gerichteter Graph G = (V, E) ist ein Graph von geordneten Paaren (u, v) mit u V und v V.
Kapitel 4 Graphenalgorithmen 4.1 Definitionen Definition 4.1.1. Der Graph G = (V, E) ist über die beiden Mengen V und E definiert, wobei V die Menge der Knoten und E die Menge der Kanten in dem Graph ist.
Kapitel 7: Flüsse in Netzwerken und Anwendungen Gliederung der Vorlesung
Gliederung der Vorlesung. Fallstudie Bipartite Graphen. Grundbegriffe 3. Elementare Graphalgorithmen und Anwendungen 4. Minimal spannende Bäume 5. Kürzeste Pfade 6. Traveling Salesman Problem 7. Flüsse
Graphen und Algorithmen
Graphen und Algorithmen Vorlesung #7: Matchingtheorie Dr. Armin Fügenschuh Technische Universität Darmstadt WS 2007/2008 Übersicht Matchings und erweiternde Wege Satz von Berge Das Heiratsproblem und der
Tutoraufgabe 1 (Suchen in Graphen):
Prof. aa Dr. E. Ábrahám Datenstrukturen und Algorithmen SS14 F. Corzilius, S. Schupp, T. Ströder Tutoraufgabe 1 (Suchen in Graphen): a) Geben Sie die Reihenfolge an, in der die Knoten besucht werden, wenn
Kapitel 7: Flüsse in Netzwerken und Anwendungen Gliederung der Vorlesung
Gliederung der Vorlesung. Grundbegriffe. Elementare Graphalgorithmen und Anwendungen 3. Kürzeste Wege 4. Minimale spannende Bäume 5. Färbungen und Cliquen 6. Traveling Salesman Problem 7. Flüsse in Netzwerken
Diskrete Strukturen Kapitel 4: Graphentheorie (Grundlagen)
WS 2015/16 Diskrete Strukturen Kapitel 4: Graphentheorie (Grundlagen) Hans-Joachim Bungartz Lehrstuhl für wissenschaftliches Rechnen Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www5.in.tum.de/wiki/index.php/diskrete_strukturen_-_winter_15
Studientag zur Algorithmischen Mathematik
Studientag zur Algorithmischen Mathematik Minimale aufspannende Bäume und Matchings Winfried Hochstättler Diskrete Mathematik und Optimierung FernUniversität in Hagen 22. Mai 2011 Outline Minimale aufspannende
Name:... Vorname:... Matr.-Nr.:... Studiengang:...
Technische Universität Braunschweig Sommersemester 2013 IBR - Abteilung Algorithmik Prof. Dr. Sándor P. Fekete Dr. Christiane Schmidt Stephan Friedrichs Klausur Netzwerkalgorithmen 16.07.2013 Name:.....................................
Flüsse in Netzwerken
Proseminar Theoretische Informatik, Prof. Wolfgang Mulzer, SS 17 Flüsse in Netzwerken Zusammenfassung Gesa Behrends 24.06.2017 1 Einleitung Unterschiedliche technische Phänomene wie der Flüssigkeitsdurchfluss
Algorithmen und Datenstrukturen Tutorium Übungsaufgaben
Algorithmen und Datenstrukturen Tutorium Übungsaufgaben AlgoDat - Übungsaufgaben 1 1 Landau-Notation Aufgabe Lösung 2 Rekurrenzen Aufgabe 3 Algorithmenentwurf und -analyse Aufgabe AlgoDat - Übungsaufgaben
durch Einfügen von Knoten konstruiert werden kann.
Satz von Kuratowski Definition Unterteilung eines Graphen Sei G = (V, E) und e = {u, v} E. 1 Das Einfügen eines neuen Knoten w in die Kante e führt zum Graphen G = (V {w}, E \ e {{u, w}, {w, v}}). 2 Der
Das Briefträgerproblem
Das Briefträgerproblem Paul Tabatabai 30. Dezember 2011 Inhaltsverzeichnis 1 Problemstellung und Modellierung 2 1.1 Problem................................ 2 1.2 Modellierung.............................
Vorlesung 2 KÜRZESTE WEGE
Vorlesung 2 KÜRZESTE WEGE 45 Kürzeste Wege im Graphen Motivation! Heute:! Kürzeste Wege von einem Knoten (SSSP)! Distanzen zwischen allen Knotenpaaren (APD)! Viele Anwendungen:! Navis! Netzwerkrouting!...
Einführung in die Mathematik des Operations Research
Universität zu Köln Mathematisches Institut Prof. Dr. F. Vallentin Einführung in die Mathematik des Operations Research Sommersemester 3 en zur Klausur (7. Oktober 3) Aufgabe ( + 3 + 5 = Punkte). Es sei
Kombinatorische Optimierung
Juniorprof. Dr. Henning Meyerhenke 1 Henning Meyerhenke: KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft www.kit.edu Vorlesung 1 Programm des
Formale Grundlagen der Informatik
Formale Grundlagen der Informatik / 2015 1 Die Elemente einer (endlichen) Menge sollen den Elementen einer zweiten, gleichmächtigen Menge zugeordnet werden Problemstellung Bipartite Graphen Zuordnungsprobleme
WS 2014/15 Diskrete Strukturen Kapitel 3: Kombinatorik (2)
WS 2014/15 Diskrete Strukturen Kapitel 3: Kombinatorik (2) Hans-Joachim Bungartz Lehrstuhl für wissenschaftliches Rechnen Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www5.in.tum.de/wiki/index.php/diskrete_strukturen_-_winter_14
WS 2008/09. Diskrete Strukturen
WS 2008/09 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0809
8. Konvexe Polytope. Tobias Boelter. Mittwoch, 5. März TopMath Frühlingsschule
1 / 31 8. Konvexe Tobias Boelter TopMath Frühlingsschule Mittwoch, 5. März 2014 2 / 31 Es können auch nicht konvexe untersucht werden, wir beschränken uns hier aber auf konvexe. Mit einem Polytop ist hier
Algorithmentheorie. 13 - Maximale Flüsse
Algorithmentheorie 3 - Maximale Flüsse Prof. Dr. S. Albers Prof. Dr. Th. Ottmann . Maximale Flüsse in Netzwerken 5 3 4 7 s 0 5 9 5 9 4 3 4 5 0 3 5 5 t 8 8 Netzwerke und Flüsse N = (V,E,c) gerichtetes Netzwerk
Fortgeschrittene Netzwerk- und Graph-Algorithmen
Fortgeschrittene Netzwerk- und Graph-Algorithmen Prof. Dr. Hanjo Täubig Lehrstuhl für Effiziente Algorithmen (Prof. Dr. Ernst W. Mayr) Institut für Informatik Technische Universität München Wintersemester
Graphentheorie. Eulersche Graphen. Eulersche Graphen. Eulersche Graphen. Rainer Schrader. 14. November Gliederung.
Graphentheorie Rainer Schrader Zentrum für Angewandte Informatik Köln 14. November 2007 1 / 22 2 / 22 Gliederung eulersche und semi-eulersche Graphen Charakterisierung eulerscher Graphen Berechnung eines
Wie findet man den optimalen Weg zum Ziel? Klassische Probleme der Kombinatorischen Optimierung
Wie findet man den optimalen Weg zum Ziel? Klassische Probleme der Kombinatorischen Optimierung Teilnehmer/innen: Markus Dahinten, Graf Münster Gymnasium Bayreuth Robert Fay, Herder Gymnasium Berlin Falko
5. Verschiedene Repräsentanten
5. Verschiedene Repräsentanten 5.1. Die Sätze Hall und König Sei I := {1,...,n}, und sei A(I) = (A 1,...,A n ) eine Familie von Teilmengen einer endlichen Menge E. Zu K I seien A(K) := (A i : i K) und
Operations Research. Flüsse in Netzwerken. Flüsse in Netzwerken. Unimodularität. Rainer Schrader. 2. Juli Gliederung.
Operations Research Rainer Schrader Flüsse in Netzwerken Zentrum für Angewandte Informatik Köln 2. Juli 2007 1 / 53 2 / 53 Flüsse in Netzwerken Unimodularität Gliederung Netzwerke und Flüsse bipartite
Algorithmische Methoden für schwere Optimierungsprobleme
Algorithmische Methoden für schwere Optimierungsprobleme Prof. Dr. Henning Meyerhenke Institut für Theoretische Informatik 1 KIT Henning Universität desmeyerhenke, Landes Baden-Württemberg Institutund
Effiziente Algorithmen I
H 10. Präsenzaufgabenblatt, Wintersemester 2015/16 Übungstunde am 18.01.2015 Aufgabe Q Ein Reiseveranstalter besitzt ein Flugzeug, das maximal p Personen aufnehmen kann. Der Veranstalter bietet einen Flug
Graphalgorithmen Netzwerkalgorithmen. Laufzeit
Netzwerkalgorithmen Laufzeit (Folie 390, Seite 78 im Skript) Finden eines Matchings maximaler Kardinalität dauert nur O( E min{ V, V 2 }) mit der Ford Fulkerson Methode. Der Fluß ist höchstens f = min{
Laufzeit. Finden eines Matchings maximaler Kardinalität dauert nur O( E min{ V 1, V 2 }) mit der Ford Fulkerson Methode.
Effiziente Algorithmen Flußprobleme 81 Laufzeit Finden eines Matchings maximaler Kardinalität dauert nur O( E min{ V 1, V 2 }) mit der Ford Fulkerson Methode. Der Fluß ist höchstens f = min{ V 1, V 2 }.
Maximale s t-flüsse in Planaren Graphen
Maximale s t-flüsse in Planaren Graphen Vorlesung Algorithmen für planare Graphen 6. Juni 2017 Guido Brückner INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK PROF. DR. DOROTHEA WAGNER KIT Universität des Landes Baden-Württemberg
NP-vollständige Probleme
Effiziente Algorithmen Lösen NP-vollständiger Probleme 256 NP-vollständige Probleme Keine polynomiellen Algorithmen, falls P NP. Viele wichtige Probleme sind NP-vollständig. Irgendwie müssen sie gelöst
Wie komme ich von hier zum Hauptbahnhof?
NP-Vollständigkeit Wie komme ich von hier zum Hauptbahnhof? P Wie komme ich von hier zum Hauptbahnhof? kann ich verwende für reduzieren auf Finde jemand, der den Weg kennt! Alternativ: Finde eine Stadtkarte!
5. Bäume und Minimalgerüste
5. Bäume und Minimalgerüste Charakterisierung von Minimalgerüsten 5. Bäume und Minimalgerüste Definition 5.1. Es ein G = (V, E) ein zusammenhängender Graph. H = (V,E ) heißt Gerüst von G gdw. wenn H ein
3 Klassifikation wichtiger Optimierungsprobleme
3 Klassifikation wichtiger Optimierungsprobleme 3.1 Das MIN- -TSP Wir kehren nochmal zurück zum Handlungsreisendenproblem für Inputs (w {i,j} ) 1 i
WS 2009/10. Diskrete Strukturen
WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910
Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II
Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II Jonathan Hacker 06.06.2016 Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II 06.06.2016 1 / 42 Gliederung Einführung Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite
Algorithmen II Vorlesung am
Algorithmen II Vorlesung am 0..0 Minimale Schnitte in Graphen INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK PROF. DR. DOROTHEA WAGNER KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und Algorithmen nationales Forschungszentrum
Algorithmische Graphentheorie
Algorithmische Graphentheorie Sommersemester 204 4. Vorlesung Matchings / Paarungen Kombinatorische Anwendungen des Max-Flow-Min-Cut-Theorems Prof. Dr. Alexander Wolff 2 Paarungen (Matchings) Def. Sei
Übungsblatt 2 - Lösung
Institut für Theoretische Informatik Lehrstuhl Prof. Dr. D. Wagner Übungsblatt 2 - Lösung Vorlesung Algorithmentechnik im WS 08/09 Ausgabe 04. November 2008 Abgabe 8. November, 5:0 Uhr (im Kasten vor Zimmer
\ E) eines Graphen G = (V, E) besitzt die gleiche Knotenmenge V und hat als Kantenmenge alle Kanten des vollständigen Graphen ohne die Kantenmenge E.
Das Komplement Ḡ = (V, ( V ) \ E) eines Graphen G = (V, E) besitzt die gleiche Knotenmenge V und hat als Kantenmenge alle Kanten des vollständigen Graphen ohne die Kantenmenge E. Ein Graph H = (V, E )
Graphentheorie. Formale Grundlagen (WIN) 2008S, F. Binder. Vorlesung im 2008S
Minimale Graphentheorie Formale Grundlagen (WIN) Franz Binder Institut für Algebra Johannes Kepler Universität Linz Vorlesung im 2008S http://www.algebra.uni-linz.ac.at/students/win/fg Minimale Inhalt
4 Greedy-Algorithmen (gierige Algorithmen)
Greedy-Algorithmen (gierige Algorithmen) Greedy-Algorithmen werden oft für die exakte oder approximative Lösung von Optimierungsproblemen verwendet. Typischerweise konstruiert ein Greedy-Algorithmus eine
Proseminar Graphentheorie Vortrag 3 Matching. Inhalt: 1. Grundlagen 2. Matchings in bipatiten Graphen 3. Matchings in allgemeinen Graphen
Proseminar Graphentheorie Vortrag 3 Matching Inhalt: 1. Grundlagen 2. Matchings in bipatiten Graphen 3. Matchings in allgemeinen Graphen 1. Grundlagen Definition Matching: Eine Menge M von unabhängigen
Trennender Schnitt. Wie groß kann der Fluss in dem folgenden Flussnetzwerk höchstens sein?
6. Flüsse und Zuordnungen max-flow min-cut Trennender Schnitt Wie groß kann der Fluss in dem folgenden Flussnetzwerk höchstens sein? a e s c d t b f Der Fluss kann nicht größer als die Kapazität der der
ADS: Algorithmen und Datenstrukturen 2
ADS: Algorithmen und Datenstrukturen Der Tragödie IV. Theyl Peter F. Stadler & Konstantin Klemm Bioinformatics Group, Dept. of Computer Science & Interdisciplinary Center for Bioinformatics, University
Definition Gerichteter Pfad. gerichteter Pfad, wenn. Ein gerichteter Pfad heißt einfach, falls alle u i paarweise verschieden sind.
3.5 Gerichteter Pfad Definition 291 Eine Folge (u 0, u 1,..., u n ) mit u i V für i = 0,..., n heißt gerichteter Pfad, wenn ( i {0,..., n 1} ) [ (u i, u i+1 ) A]. Ein gerichteter Pfad heißt einfach, falls
Teil III. Komplexitätstheorie
Teil III Komplexitätstheorie 125 / 160 Übersicht Die Klassen P und NP Die Klasse P Die Klassen NP NP-Vollständigkeit NP-Vollständige Probleme Weitere NP-vollständige Probleme 127 / 160 Die Klasse P Ein
Diskrete Strukturen. Hausaufgabe 1 (5 Punkte) Hausaufgabe 2 (5 Punkte) Wintersemester 2007/08 Lösungsblatt Januar 2008
Technische Universität München Fakultät für Informatik Lehrstuhl für Informatik 15 Computergraphik & Visualisierung Prof. Dr. Rüdiger Westermann Dr. Werner Meixner Wintersemester 2007/08 Lösungsblatt 9
3.6 Branch-and-Bound-Verfahren
36 Branch-and-Bound-Verfahren Die Branch-and-Bound -Methode beruht darauf, auf eine intelligente Weise alle zulässigen Lösungen eines kombinatorischen Optimierungsproblems aufzulisten und mit Hilfe von
Der Dreyfus-Wagner Algorithmus für das Steiner Baum Problem
Der Dreyfus-Wagner Algorithmus für das Steiner Baum Problem Andreas Moser Dietmar Ebner Christian Schauer Markus Bauer 9. Dezember 2003 1 Einführung Der in der Vorlesung gezeigte Algorithmus für das Steiner
Knotenfärbung. Def.: Eine Knotenfärbung eines Graphen G=(V,E) mit k Farben ist eine Abbildung c:v {1,...,k}, so dass c(u) c(v) für alle {u,v} E.
Knotenfärbung Def.: Eine Knotenfärbung eines Graphen G=(V,E) mit k Farben ist eine Abbildung c:v {1,...,k}, so dass c(u) c(v) für alle {u,v} E. Die chromatische Zahl χ(g) eines Graphen G ist die minimale
Algorithmen zur Berechnung von Matchings
Algorithmen zur Berechnung von Matchings Berthold Vöcking 1 Einleitung Matchingprobleme sind Zuordnungsprobleme. Es geht darum z.b. Studierenden Plätze in Seminaren zuzuordnen, Bewerber auf freie Stellen
Übungsblatt 6. Vorlesung Theoretische Grundlagen der Informatik im WS 16/17
Institut für Theoretische Informatik Lehrstuhl Prof. Dr. D. Wagner Übungsblatt 6 Vorlesung Theoretische Grundlagen der Informatik im WS 16/17 Ausgabe 22. Dezember 2016 Abgabe 17. Januar 2017, 11:00 Uhr
Entscheidungsbäume. Definition Entscheidungsbaum. Frage: Gibt es einen Sortieralgorithmus mit o(n log n) Vergleichen?
Entscheidungsbäume Frage: Gibt es einen Sortieralgorithmus mit o(n log n) Vergleichen? Definition Entscheidungsbaum Sei T ein Binärbaum und A = {a 1,..., a n } eine zu sortierenden Menge. T ist ein Entscheidungsbaum
Klausur Informatik-Propädeutikum (Niedermeier/Hartung/Nichterlein, Wintersemester 2012/13)
Berlin, 21. Februar 2013 Name:... Matr.-Nr.:... Klausur Informatik-Propädeutikum (Niedermeier/Hartung/Nichterlein, Wintersemester 2012/13) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Σ Bearbeitungszeit: 90 min. max. Punktezahl:
5. Musterlösung. Problem 1: Vitale Kanten * ω(f) > ω(f ). (a) Untersuchen Sie, ob es in jedem Netzwerk vitale Kanten gibt.
Universität Karlsruhe Algorithmentechnik Fakultät für Informatik WS 05/06 ITI Wagner 5. Musterlösung Problem : Vitale Kanten * In einem Netzwerk (D = (V, E); s, t; c) mit Maximalfluß f heißen Kanten e
Algorithmische Graphentheorie
Algorithmische Graphentheorie Vorlesung 4: Suchstrategien Babeş-Bolyai Universität, Department für Informatik, Cluj-Napoca csacarea@cs.ubbcluj.ro 14. April 2017 HALBORDNUNG TOPOLOGISCHE ORDNUNG TOPOLOGISCHES
12.4 Traveling Salesman Problem
96 KOMBINATORISCHE SUCHE.4 Traveling Salesman Problem Definition.3(TSP, Problem des Handlungsreisenden): Wir betrachten einen gerichteten, gewichteten Graphen G = (V,E) mit K : V R. K({u,v}) sind die Kosten