Systems of Distinct Representatives

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1 Systems of Distinct Representatives Seminar: Extremal Combinatorics Peter Fritz Lehr- und Forschungsgebiet Theoretische Informatik RWTH Aachen Systems of Distinct Representatives p. 1/41

2 Gliederung Einführung Anwendung: Lateinische Quadrate Maximale Matchings in bipartiten Graphen Zusammenfassung, Ausblick Systems of Distinct Representatives p. 2/41

3 Einführung Heiratsproblem: gegeben: m Frauen, n Männer, m n Frau heiratet nur Mann, den sie kennt nur monogame Ehen erlaubt gesucht: alle Frauen verheiraten Systems of Distinct Representatives p. 3/41

4 Einführung Heiratsproblem: gegeben: m Frauen, n Männer, m n Frau heiratet nur Mann, den sie kennt nur monogame Ehen erlaubt gesucht: alle Frauen verheiraten als Graphproblem formalisierbar: finde maximales Matching in bipartiten Graph G = (F, M, E) Systems of Distinct Representatives p. 3/41

5 Einführung Heiratsproblem: gegeben: m Frauen, n Männer, m n Frau heiratet nur Mann, den sie kennt nur monogame Ehen erlaubt gesucht: alle Frauen verheiraten als Graphproblem formalisierbar: finde maximales Matching in bipartiten Graph G = (F, M, E) wann ist Heirat, bzw. Matching von F nach M möglich? Systems of Distinct Representatives p. 3/41

6 Systems of Distinct Representatives, SDR formuliere Heiratsproblem als Mengenproblem: Frauen: S 1,..., S m Männer, die die i-te Frau kennt: S i = {x i1,..., x ik } Systems of Distinct Representatives p. 4/41

7 Systems of Distinct Representatives, SDR formuliere Heiratsproblem als Mengenproblem: Frauen: S 1,..., S m Männer, die die i-te Frau kennt: S i = {x i1,..., x ik } DEF: x 1,..., x m sind ein SDR von S 1,..., S m x i S i für 1 i m und x i x j für i j Systems of Distinct Representatives p. 4/41

8 Systems of Distinct Representatives, SDR formuliere Heiratsproblem als Mengenproblem: Frauen: S 1,..., S m Männer, die die i-te Frau kennt: S i = {x i1,..., x ik } DEF: x 1,..., x m sind ein SDR von S 1,..., S m x i S i für 1 i m und x i x j für i j Zuordnung der Mengen zu Elementen ist injektive Heiratsabbildung : f(s i ) f(s j ) für i j Systems of Distinct Representatives p. 4/41

9 Beispiel {1, 3, 4, 5} { 2, 4, 5, 6} {3, 4 } {3, 4, 5 } Systems of Distinct Representatives p. 5/41

10 Beispiel {1, 3, 4, 5} { 2, 4, 5, 6} {3, 4 } {3, 4, 5 } Systems of Distinct Representatives p. 5/41

11 Satz von Hall (1935) Hall-Bedingung: S i I für alle I {1,..., m} (1) i I S 1, S 2,..., S m besitzen SDR wenn (1) zutrifft Systems of Distinct Representatives p. 6/41

12 Satz von Hall (1935) Hall-Bedingung: S i I für alle I {1,..., m} (2) i I S 1, S 2,..., S m besitzen SDR wenn (1) zutrifft Beweis: : klar : per Induktion über m Systems of Distinct Representatives p. 6/41

13 Beweis zum Satz von Hall(I) Fall 1: falls i I S i > I für alle I {1,..., m} Systems of Distinct Representatives p. 7/41

14 Beweis zum Satz von Hall(I) Fall 1: falls i I S i > I für alle I {1,..., m} Ordne irgendeiner Menge S im+1 einen beliebigen Repräsentanten x i S im+1 zu entferne x i aus den restlichen Mengen Systems of Distinct Representatives p. 7/41

15 Beweis zum Satz von Hall(I) Fall 1: falls i I S i > I für alle I {1,..., m} Ordne irgendeiner Menge S im+1 einen beliebigen Repräsentanten x i S im+1 zu entferne x i aus den restlichen Mengen Vereinigung von k beliebigen S i der restlichen m Mengen besitzt immer noch mindestens k Elemente und erfüllt (1) Systems of Distinct Representatives p. 7/41

16 Beweis zum Satz von Hall(II) Fall 2: Für k der S i mit 1 k m gilt: S i = J = k für alle J = {j 1,...,j k } {1,...,m} i J Systems of Distinct Representatives p. 8/41

17 Beweis zum Satz von Hall(II) Fall 2: Für k der S i mit 1 k m gilt: S i = J = k für alle J = {j 1,...,j k } {1,...,m} i J wegen k < m besitzen diese Mengen ein SDR entferne diese k Repräsentanten aus den restlichen m + 1 k Mengen Systems of Distinct Representatives p. 8/41

18 Beweis zum Satz von Hall(II) Fall 2: Für k der S i mit 1 k m gilt: S i = J = k für alle J = {j 1,...,j k } {1,...,m} i J wegen k < m besitzen diese Mengen ein SDR entferne diese k Repräsentanten aus den restlichen m + 1 k Mengen bleibt zu zeigen: diese Mengen erfüllen (1) und besitzen SDR bildet mit den anderen k Repräsentanten ein gemeinsames SDR Systems of Distinct Representatives p. 8/41

19 Beweis zum Satz von Hall(II) Fall 2: Für k der S i mit 1 k m gilt: S i = J = k für alle J = {j 1,...,j k } {1,...,m} i J wegen k < m besitzen diese Mengen ein SDR entferne diese k Repräsentanten aus den restlichen m + 1 k Mengen bleibt zu zeigen: diese Mengen erfüllen (1) und besitzen SDR bildet mit den anderen k Repräsentanten ein gemeinsames SDR Falls s der restlichen m + 1 k Mengen weniger als s Elemente besitzen: Vereinigung dieser s Mengen mit den ersten k Mengen haben weniger als s + k Elemente Widerspruch zur Induktionsvorraussetzung Systems of Distinct Representatives p. 8/41

20 Nachweis der Hall-Bedingung zu aufwendig, da alle 2 m Teilmengen der S i zu überprüfen sind Satz von König (1931): Größe eines Maximum Matchings in G = (A, B, E) = Größe des minimalen Vertex-Covers Min-Vertex-Cover ist aber NP-vollständig Systems of Distinct Representatives p. 9/41

21 Nachweis der Hall-Bedingung zu aufwendig, da alle 2 m Teilmengen der S i zu überprüfen sind Satz von König (1931): Größe eines Maximum Matchings in G = (A, B, E) = Größe des minimalen Vertex-Covers Min-Vertex-Cover ist aber NP-vollständig es gibt einfache Spezialfälle Systems of Distinct Representatives p. 9/41

22 Korollar Falls S 1,..., S m jeweils r Elemente besitzen 1 i m S i = n gilt alle Elemente der S i in der selben Anzahl d von Mengen enthalten sind besitzen S 1,..., S m ein SDR. Systems of Distinct Representatives p. 10/41

23 Beweis des Korrolar(I) Beweis: Zähle die Anzahl des Enthaltenseins von Elementen in Mengen: die m S i besitzen r Elemente: S 1 + S S m = m r Systems of Distinct Representatives p. 11/41

24 Beweis des Korrolar(I) Beweis: Zähle die Anzahl des Enthaltenseins von Elementen in Mengen: die m S i besitzen r Elemente: S 1 + S S m = m r jedes der n Elemente in genau d Mengen: m r = n d (doppeltes Abzählen) wegen m n muss, d r gelten Systems of Distinct Representatives p. 11/41

25 Beweis des Korrolar(II) falls S 1,..., S m kein SDR besitzen gilt d > r: Systems of Distinct Representatives p. 12/41

26 Beweis des Korrolar(II) falls S 1,..., S m kein SDR besitzen gilt d > r: wegen Hall verletzen S i1,..., S ik (1) Y := S i1... S ik < k Systems of Distinct Representatives p. 12/41

27 Beweis des Korrolar(II) falls S 1,..., S m kein SDR besitzen gilt d > r: wegen Hall verletzen S i1,..., S ik (1) Y := S i1... S ik < k r k = k j=1 S i j = Y d < k d Widerspruch d > r Systems of Distinct Representatives p. 12/41

28 gute Jungen, böse Jungen r der n Jungen sind äußerst unbeliebt Ziel: so viele glückliche Hochzeiten, wie möglich Ist es möglich, höchstens t unglückliche Hochzeiten zu haben? Systems of Distinct Representatives p. 13/41

29 gute Jungen, böse Jungen r der n Jungen sind äußerst unbeliebt Ziel: so viele glückliche Hochzeiten, wie möglich Ist es möglich, höchstens t unglückliche Hochzeiten zu haben? Verallgemeinerung des Heiratsproblems gute Elemente: blau, schlechte Elemente: rot Chvátal und Szemerédi zeigten 1988: Systems of Distinct Representatives p. 13/41

30 Satz von Chvátal-Szemerédi S 1,..., S m haben genau dann ein SDR mit höchstens t roten Elementen, wenn sie ein SDR besitzen für alle 1 k m die Vereinigung von k beliebigen Mengen mindestens k t blaue Elemente besitzt. (*) Systems of Distinct Representatives p. 14/41

31 Satz von Chvátal-Szemerédi S 1,..., S m haben genau dann ein SDR mit höchstens t roten Elementen, wenn sie ein SDR besitzen für alle 1 k m die Vereinigung von k beliebigen Mengen mindestens k t blaue Elemente besitzt. (*) Beweis: : klar : sei R Menge der roten Elemente mit R > t Systems of Distinct Representatives p. 14/41

32 Satz von Chvátal-Szemerédi S 1,..., S m haben genau dann ein SDR mit höchstens t roten Elementen, wenn sie ein SDR besitzen für alle 1 k m die Vereinigung von k beliebigen Mengen mindestens k t blaue Elemente besitzt. (*) Beweis: : klar : sei R Menge der roten Elemente mit R > t erweitere S 1,..., S m zu S 1,..., S m, S m+1,..., S m+r mit r = R t Kopien von R Systems of Distinct Representatives p. 14/41

33 Beweis (Fortsetzung) S 1,..., S m+r haben ein SDR S 1,..., S m haben ein SDR höchstens t roten Elementen: Systems of Distinct Representatives p. 15/41

34 Beweis (Fortsetzung) S 1,..., S m+r haben ein SDR S 1,..., S m haben ein SDR höchstens t roten Elementen: zeige Hall-Bedingung für erweiterte Mengenfolge mit Indizes I {1,..., m + r} und I = k: Systems of Distinct Representatives p. 15/41

35 Beweis (Fortsetzung) S 1,..., S m+r haben ein SDR S 1,..., S m haben ein SDR höchstens t roten Elementen: zeige Hall-Bedingung für erweiterte Mengenfolge mit Indizes I {1,..., m + r} und I = k: S i i I Systems of Distinct Representatives p. 15/41

36 Beweis (Fortsetzung) S 1,..., S m+r haben ein SDR S 1,..., S m haben ein SDR höchstens t roten Elementen: zeige Hall-Bedingung für erweiterte Mengenfolge mit Indizes I {1,..., m + r} und I = k: S i = (S i R) + R i I i I Systems of Distinct Representatives p. 15/41

37 Beweis (Fortsetzung) S 1,..., S m+r haben ein SDR S 1,..., S m haben ein SDR höchstens t roten Elementen: zeige Hall-Bedingung für erweiterte Mengenfolge mit Indizes I {1,..., m + r} und I = k: i I S i = ( ) (S i R) + R i I k t + R Systems of Distinct Representatives p. 15/41

38 Beweis (Fortsetzung) S 1,..., S m+r haben ein SDR S 1,..., S m haben ein SDR höchstens t roten Elementen: zeige Hall-Bedingung für erweiterte Mengenfolge mit Indizes I {1,..., m + r} und I = k: i I S i = ( ) (S i R) + R i I k t + R k = I Systems of Distinct Representatives p. 15/41

39 Lateinische Rechtecke Anwendung von Korollar sehr altes kombinatorisches Problem (2800 v.chr.) Systems of Distinct Representatives p. 16/41

40 Lateinische Rechtecke Anwendung von Korollar sehr altes kombinatorisches Problem (2800 v.chr.) DEF: lateinisches Rechteck: r n Matrix mit r n in der die Zahlen 1, 2,..., n in jeder Zeile genau und in jeder Spalte höchstens einmal auftreten. Systems of Distinct Representatives p. 16/41

41 Lateinische Rechtecke Anwendung von Korollar sehr altes kombinatorisches Problem (2800 v.chr.) DEF: lateinisches Rechteck: r n Matrix mit r n in der die Zahlen 1, 2,..., n in jeder Zeile genau und in jeder Spalte höchstens einmal auftreten. lateinisches Quadrat: r = n Aufgabe: leeres Rechteck mit Zahlen Auffüllen bereits ab n Einträgen kann Vervollständigung nicht mehr möglich sein Systems of Distinct Representatives p. 16/41

42 Beispiel ? 3 Abbildung 1: unvollständiges Lateinische Rechteck, und vollständiges Lateinisches Quadrat Systems of Distinct Representatives p. 17/41

43 Beispiel ? 3 Abbildung 2: unvollständiges Lateinische Rechteck, und vollständiges Lateinisches Quadrat Systems of Distinct Representatives p. 17/41

44 Beispiel ? Abbildung 3: unvollständiges Lateinische Rechteck, und vollständiges Lateinisches Quadrat Systems of Distinct Representatives p. 17/41

45 Beispiel ? Abbildung 4: unvollständiges Lateinische Rechteck, und vollständiges Lateinisches Quadrat Systems of Distinct Representatives p. 17/41

46 Beispiel ? Abbildung 5: unvollständiges Lateinische Rechteck, und vollständiges Lateinisches Quadrat Systems of Distinct Representatives p. 17/41

47 Satz von Ryser (1951) Jedes r n Lateinische Rechteck R zu einem (r + 1) n Rechteck erweiterbar, falls r < n Systems of Distinct Representatives p. 18/41

48 Satz von Ryser (1951) Jedes r n Lateinische Rechteck R zu einem (r + 1) n Rechteck erweiterbar, falls r < n Beweis: Seien S i = {x i x i ist nicht in der i-ten Spalte von R enthalten} Systems of Distinct Representatives p. 18/41

49 Satz von Ryser (1951) Jedes r n Lateinische Rechteck R zu einem (r + 1) n Rechteck erweiterbar, falls r < n Beweis: Seien S i = {x i x i ist nicht in der i-ten Spalte von R enthalten} Zeige: S 1,..., S n besitzen SDR definiere diese Repräsentanten als r + 1. Zeile (x 1, x 2,..., x n ) von R Systems of Distinct Representatives p. 18/41

50 Beweis zum Satz von Ryser wegen Korollar besitzen S 1,..., S n ein SDR, da: Systems of Distinct Representatives p. 19/41

51 Beweis zum Satz von Ryser wegen Korollar besitzen S 1,..., S n ein SDR, da: S 1,..., S n sind n r elementige Teilmengen einer n-elementigen Menge jedes Element x j 1 i n S i ist in genau n r S i enthalten, da es bereits in r anderen Spalten eingefügt wurde Systems of Distinct Representatives p. 19/41

52 Beweis zum Satz von Ryser wegen Korollar besitzen S 1,..., S n ein SDR, da: S 1,..., S n sind n r elementige Teilmengen einer n-elementigen Menge jedes Element x j 1 i n S i ist in genau n r S i enthalten, da es bereits in r anderen Spalten eingefügt wurde weitere Anwendungen von lateinischen Rechtecken: Scheduling-Theorie statistische Experimente kryptographische Protokolle Systems of Distinct Representatives p. 19/41

53 Matchings in bipartiten Graphen Nachweis mit Hall und König schwierig und gibt nur Aussage bzgl. Existenz Gesucht: effizienter Algorithmus Systems of Distinct Representatives p. 20/41

54 Matchings in bipartiten Graphen Nachweis mit Hall und König schwierig und gibt nur Aussage bzgl. Existenz Gesucht: effizienter Algorithmus hier: Algorithmus basierend auf lokaler Suche Greedy-Ansatz führt nicht zum Ziel: Systems of Distinct Representatives p. 20/41

55 Nachbarschaft DEF: Erweiternder Pfad bzgl. Matching M: Pfad, dessen Kanten abwechselnd gematched und frei sind Start- und Zeilknoten liegen nicht in M Systems of Distinct Representatives p. 21/41

56 Nachbarschaft DEF: Erweiternder Pfad bzgl. Matching M: Pfad, dessen Kanten abwechselnd gematched und frei sind Start- und Zeilknoten liegen nicht in M Verbesserung möglich: Systems of Distinct Representatives p. 21/41

57 Ford-Fulkerson Mögliche Lösung: mit Ford-Fulkerson Algorithmus Problem: verbessernde Pfade sind auf Netzwerken anders definiert Systems of Distinct Representatives p. 22/41

58 Ford-Fulkerson Mögliche Lösung: mit Ford-Fulkerson Algorithmus Problem: verbessernde Pfade sind auf Netzwerken anders definiert Systems of Distinct Representatives p. 22/41

59 Ford-Fulkerson Mögliche Lösung: mit Ford-Fulkerson Algorithmus Problem: verbessernde Pfade sind auf Netzwerken anders definiert Systems of Distinct Representatives p. 22/41

60 Ford-Fulkerson Mögliche Lösung: mit Ford-Fulkerson Algorithmus Problem: verbessernde Pfade sind auf Netzwerken anders definiert Systems of Distinct Representatives p. 22/41

61 Ford-Fulkerson Mögliche Lösung: mit Ford-Fulkerson Algorithmus Problem: verbessernde Pfade sind auf Netzwerken anders definiert Systems of Distinct Representatives p. 22/41

62 Satz von Berger bleibt zu zeigen, dass verbessernde Pfade hinreichend für Optimalität eines Matchings ist Systems of Distinct Representatives p. 23/41

63 Satz von Berger bleibt zu zeigen, dass verbessernde Pfade hinreichend für Optimalität eines Matchings ist Satz (Berger, 1957) Ein Matching M in einem Graph G ist genau dann maximal, wenn es keinen erweiternden Pfad in G gibt. Systems of Distinct Representatives p. 23/41

64 Satz von Berger bleibt zu zeigen, dass verbessernde Pfade hinreichend für Optimalität eines Matchings ist Satz (Berger, 1957) Ein Matching M in einem Graph G ist genau dann maximal, wenn es keinen erweiternden Pfad in G gibt. Beweis: : klar Angenommen es gäbe ein Matching M mit M < M Systems of Distinct Representatives p. 23/41

65 Satz von Berger bleibt zu zeigen, dass verbessernde Pfade hinreichend für Optimalität eines Matchings ist Satz (Berger, 1957) Ein Matching M in einem Graph G ist genau dann maximal, wenn es keinen erweiternden Pfad in G gibt. Beweis: : klar Angenommen es gäbe ein Matching M mit M < M Sei H := M M := (M M ) \ (M M ) exklusive Vereinigung beider Mengen keine Kante liegt in zwei Matchings Systems of Distinct Representatives p. 23/41

66 Beweis, Fortsetzung(I) da M < M gibt es Zusammenhangskomponente G in der weniger Knoten zu M gehören, als zu M (*) Systems of Distinct Representatives p. 24/41

67 Beweis, Fortsetzung(I) da M < M gibt es Zusammenhangskomponente G in der weniger Knoten zu M gehören, als zu M (*) alle Knoten in M und M haben Grad eins alle Knoten in G haben höchstens Grad zwei G besteht aus Zyklus gerader Länge, oder Pfad über alle Knoten Systems of Distinct Representatives p. 24/41

68 Beweis, Fortsetzung(II) wegen (*) besteht G aus genau einem Pfad P Systems of Distinct Representatives p. 25/41

69 Beweis, Fortsetzung(II) wegen (*) besteht G aus genau einem Pfad P Anfangs- und Endknoten von P müssen wegen (*) in M liegen keine 2 Kanten desselben Matchings direkt hintereinander Systems of Distinct Representatives p. 25/41

70 Beweis, Fortsetzung(II) wegen (*) besteht G aus genau einem Pfad P Anfangs- und Endknoten von P müssen wegen (*) in M liegen keine 2 Kanten desselben Matchings direkt hintereinander P ist bezüglich M erweiternder Pfad, da Anfangs- und Endknoten frei und Kanten abwechselnd frei und gematched Systems of Distinct Representatives p. 25/41

71 Algorithmus für Matching Problem Idee: Kanten im Graph richten: Matching-Kanten von A nach B, andere von B nach A starte von freien Knoten Tiefensuche, um verbessernden Pfad zu finden erweitere Matching, falls verbessernden Pfad gefunden Systems of Distinct Representatives p. 26/41

72 Algorithmus, Schritt 1 Eingabe: G = (A, B, E) M := ; {M ist das aktuelle Matching} Systems of Distinct Representatives p. 27/41

73 Begleitendes Beispiel Systems of Distinct Representatives p. 28/41

74 Algorithmus, Schritt 2 Eingabe: G = (A, B, E) M := ; {M ist das aktuelle Matching} {Richte alle Kanten e M von A nach B und die restlichen von B nach A} for all e E do if e M then e := (a, b); {für a A und b B} else e := (b, a); end if end for Systems of Distinct Representatives p. 29/41

75 Beispiel zu Schritt 2 Systems of Distinct Representatives p. 30/41

76 Beispiel zu Schritt 2 Systems of Distinct Representatives p. 30/41

77 Algorithmus, Schritt 3 {definiere A 0 und B 0, die alle freien Knoten aus A und B enthalten} A 0 := B 0 := ; for all v A und v M do A 0 := A 0 {v}; end for for all v B und v M do B 0 := B 0 {v}; end for Systems of Distinct Representatives p. 31/41

78 Beispiel zu Schritt 3 Systems of Distinct Representatives p. 32/41

79 Algorithmus, Schritt 4 for all v B 0 do starte Tiefensuche von v bis ein w A 0 gefunden wurde; {der Pfad v w ist ein erweiternder Pfad} end for Systems of Distinct Representatives p. 33/41

80 Beispiel zu Schritt 2 Systems of Distinct Representatives p. 34/41

81 Algorithmus, Schritt 4 for all v B 0 do starte Tiefensuche von v bis ein w A 0 gefunden wurde; {der Pfad v w ist ein erweiternder Pfad} end for if erweiternder Pfad gefunden then update M; gehe zu Schritt 2; else Output M; end if Systems of Distinct Representatives p. 35/41

82 Laufzeitanalyse nach jeder Iteration von Schritt zwei wird M um eins größer n/2 Durchläufe Systems of Distinct Representatives p. 36/41

83 Laufzeitanalyse nach jeder Iteration von Schritt zwei wird M um eins größer n/2 Durchläufe Tiefensuche auf n/2 Knoten aus B 0 Systems of Distinct Representatives p. 36/41

84 Laufzeitanalyse nach jeder Iteration von Schritt zwei wird M um eins größer n/2 Durchläufe Tiefensuche auf n/2 Knoten aus B 0 Tiefensuchlauf enthält abwechselnd freie Knoten und Matchingknoten Tiefensuche ist linear Systems of Distinct Representatives p. 36/41

85 Laufzeitanalyse nach jeder Iteration von Schritt zwei wird M um eins größer n/2 Durchläufe Tiefensuche auf n/2 Knoten aus B 0 Tiefensuchlauf enthält abwechselnd freie Knoten und Matchingknoten Tiefensuche ist linear Gesamtlaufzeit O(n 3 ) Systems of Distinct Representatives p. 36/41

86 Laufzeitanalyse nach jeder Iteration von Schritt zwei wird M um eins größer n/2 Durchläufe Tiefensuche auf n/2 Knoten aus B 0 Tiefensuchlauf enthält abwechselnd freie Knoten und Matchingknoten Tiefensuche ist linear Gesamtlaufzeit O(n 3 ) es gibt schnellere, trickreichere Algorithmen, z.b. O(n 5/2 ) Algorithmus von Hopcroft und Karp Systems of Distinct Representatives p. 36/41

87 Zusammenfassung Heiratsproblem Satz von Hall Verallgemeinerungen und Spezialfälle des Heiratsproblems Lateinische Quadrate Algorithmen zum Lösen von Maximum Matching Problemen in bipartiten Graphen Systems of Distinct Representatives p. 37/41

88 Ausblick Matchings in nicht bipartiten Graphen Gewichtete Matchings: Zuordnung mit Präferenzen Matchings als Werkzeuge zur Algorithmenkonstruktion: Christofides-Algorithmus Berechnen von Min-Vertex-Cover SDR als Werkzeug für Beweise: Beweis von unteren Schranken Probleme in Hypergraphen Systems of Distinct Representatives p. 38/41

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