Ersatzschaltbild und Zeigerdiagramm

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1 8. Betriebsverhalten des Einphasentransformators Seite Ersatzschaltbild und Zeigerdiagramm Jeder Transformator besteht grundsätzlich aus zwei magnetisch gekoppelten Stromkreisen. Bild 8.-: Aufbau und Flusslinien eines Transformators Hierfür lassen sich allgemein folgende Spannungsgleichungen anschreiben: dψ u R i R i L di L di = + = +, +,, dt dt dt dψ u R i R i L di L di = + = +, +,. dt dt dt Unter Einführung der komplexen Schreibweise: U = RI + jωl, I + jωl, I, (8.-) U = RI + jωl, I + jωl, I. (8.-) Wie nicht anders zu erwarten, ergeben sich für den Transformator vom Aufbau her die gleichen Spannungsgleichungen wie für die Asynchronmaschine mit s = und offenen Sekundärklemmen. Für die Herleitung des Ersatzschaltbildes kann daher in gleicher Weise vorgegangen werden wie in Kapitel 4. für die Asynchronmaschine.

2 8. Betriebsverhalten des Einphasentransformators Seite Bild 8.-: Ersatzschaltbild eines Transformators Die Sekundärgrößen sind wie bei der Asynchronmaschine mit Hilfe des Übersetzungsfaktors ü auf die Primärseite umgerechnet worden. Mit mkw = mkw =, w = N, und w = N ergibt sich für den Transformator gemäß Gleichung (4.3-8) N ü = (8.-3) N und den Umrechnungsformeln I U U = Uü, I =, ü V (8.-4) R = R ü, X = X ü. σ σ W Zur Berücksichtigung der Eisenverluste kann wie bei der Asynchronmaschine ein parallel zur Quellspannung liegender Eisenverlustwiderstand eingeführt werden. Bild 8.-3: Ersatzschaltung eines Transformators mit Berücksichtigung der Eisenverluste

3 8. Betriebsverhalten des Einphasentransformators Seite 3 Aus dem vollständigen Ersatzschaltbild des Transformators (Bild 8.-3) lässt sich für den Leerlauf folgendes Zeigerdiagramm entwerfen (Spannungsabfälle an den Streu- und Wirkwiderständen übertrieben dargestellt): Bild 8.-4: Vollständiges Zeigerdiagramm eines leerlaufenden Transformators

4 8. Betriebsverhalten des Einphasentransformators Seite 4 Leerlauf und Magnetisierung Der Effektivwert der induzierten Spannung kann über Uq = ω NΦ $ h = 4, 44fNΦ $ h (8.-5) berechnet werden. Im Leerlauf können die Spannungsabfälle an den Streu- und Wirkwiderständen vernachlässigt werden, so dass sich auch die Klemmenspannungen des realen Transformators wie die Windungszahlen verhalten: U : U N : N (8.-6) Bei Kern-Flussdichten oberhalb von,5t bis,7t ergibt sich aufgrund der magnetischen Sättigung ein nichtlinearer Zusammenhang zwischen dem Fluss und dem Magnetisierungsstrom. Ausgehend von einem sinusförmig eingeprägten Hauptfluss (~ Klemmenspannung) kann der Verlauf des Magnetisierungsstroms mit Hilfe der Magnetisierungskennlinie des Dynamoblechs konstruiert werden (Hysterese vernachlässigt, Bild 8.-5) Bild 8.-5: Konstruktion des Magnetisierungsstroms

5 8. Betriebsverhalten des Einphasentransformators Seite 5 Belastung des Transformators Das genaue Verhalten des Transformators lässt sich anhand des vollständigen Ersatzschaltbildes 8.-3 herleiten. Bei ohmschinduktiver Last auf der Sekundärseite ergibt sich folgendes Zeigerdiagramm: Bild 8.-6: Vollständiges Zeigerdiagramm bei ohmsch-induktiver Last

6 8. Betriebsverhalten des Einphasentransformators Seite 6 Aus dem Zeigerdiagramm (Bild 8.-6) kann man unmittelbar ablesen I + I = I 0 I µ N und mit I N I = NI + NI NI µ. (8.-7) Der Magnetisierungsstrom ist unabhängig von der Last und in etwa proportional der Klemmenspannung. Eine Änderung des Sekundärstroms wirkt also unmittelbar auf den Primärstrom zurück! In den folgenden Betrachtungen wird zur Vereinfachung der Magnetisierungsstrom vernachlässigt. Damit gilt I = I = I. Die ver- einfachte Ersatzschaltung nach Bild 8.-7 ergibt sich mit der Zusammenfassung R = k R + R (8.-8) und X k = X σ + X σ. (8.-9) Bild 8.-7: Vereinfachte Ersatzschaltung Bild 8.-8: Vereinfachtes Zeigerdiagramm mit Kappschen Dreieck

7 8. Betriebsverhalten des Einphasentransformators Seite 7 Im vereinfachten Zeigerdiagramm unterscheiden sich die Spannungen auf der Primär- und Sekundärseite durch ein Spannungsdreieck, welches "Kappsches Dreieck" genannt wird. Bei konstantem Betrag des Stromes ergibt sich die Ortskurve der Sekundärspannung U (Bild 8.-9) als Kreis um die Primärspannung mit dem Radius IZ k wobei Z = R + X. (8.-0) k k k Bild 8.-9: Bestimmung der Sekundärspannung mit Hilfe Des Kappschen Dreiecks Bei kapazitiver Last steigt die Sekundärspannung über den Leerlaufwert an!

8 8. Betriebsverhalten des Einphasentransformators Seite 8 Die Berechnung der Spannungsänderung der Sekundärspannung erfolgt üblicherweise durch die Einführung bezogener Größen UStrang u =. U N, Strang Bild 8.-0: Bestimmung der relativen Spannungsänderung Die relative Spannungsänderung u ϕ als Funktion des Phasenwinkels ϕ ergibt sich aus Bild 8.-0 zu mit und ϕ ϕ c ϕ h. (8.-) u = u + u uϕ = u X sinϕ + ur cosϕ, uϕ = u X cosϕ ur sinϕ (8.-) u R RkI =, u U N x X ki =. (8.-3) U N

9 8. Betriebsverhalten des Einphasentransformators Seite 9 Kurzschluss des Transformators Bei kurzgeschlossenen Sekundärklemmen kann für die Berechnung mit sehr guter Näherung die vereinfachte Ersatzschaltung nach Bild 8.-7 herangezogen werden. Das zugehörige Zeigerdiagramm ist in Bild 8.- dargestellt Bild 8.-: Zeigerdiagramm im Dauerkurzschluss Die Kurzschlussspannung stellt eine wichtige Kenngröße für Transformatoren dar. Sie ist die Spannung, die angelegt werden muss, damit bei kurzgeschlossenen Sekundärklemmen der Bemessungsstrom fließt: Uk = I, NZk, bzw in bezogenen Größen Uk uk = 00% (8.-4) U, N Ihr Wert liegt bei 4% für kleine Transformatoren bis maximal ca. % für sehr große Transformatoren. Aus der relativen Kurzschlussspannung lässt sich auch der Dauerkurzschlussstrom bei Bemessungsspannung berechnen: 00% Ik, N = I, N (8.-5) u k