Kapitel 9: Schätzungen

Transkript

1 - 73 (Kapitel 9: chätzuge) Kapitel 9: chätzuge Betrachte wir folgedes 9. Beispiel : I eiem Krakehaus wurde Date über Zwilligsgeburte gesammelt. Bei vo 48 Paare hatte die beide Zwillige verschiedees Geschlecht. geomme, wir wüßte aus Erfahrug ud vo wisseschaftliche Überleguge, daß Zwillige i etwa p = 3 aller Fälle verschiedees Geschlecht habe. Wir köte us da dafür iteressiere, iwieweit usere Beobachtuge mit dieser Erfahrug übereistimme, d.h. wie wahrscheilich diese ud och extremere Beobachtuge sid. Dies ist ei w-theoretisches Problem, z.b. : P(I oder weiger, bzw. i 0 oder mehr Fälle aus 48 habe die beide Zwillige verschiedees Geschlecht) = 48 B(48, 3)(j ) + j = 0 j = 0 B(48, 3)(j) F N (,5) + F N (9,5) = Φ = ( 0,8577) = 0,846, 3, Φ 3, = ( Φ(,07)) = da ϕ(x) symmetrisch um die y chse ud deshalb Φ( x ) = Φ(x). We adererseits p, die W-keit dafür, daß Zwillige verschiedees Geschlecht habe, ubekat ist, wolle wir die vorhadee Iformatio, d.h. usere Beobachtuge beütze, um p zu schätze. Dies ist ei statistisches Problem. 9. Wir befide us im Rahme der Beroullifolge ( Erfolg = Zwillige habe verschiedees Geschlecht ). Eie Größe wie p, die das vorliegede Experimet charakterisiert, heißt Parameter. (deres Beispiel: µ ud σ bei der Normalverteilug.) Wir wolle also die Erfolgswahrscheilichkeit p eies Beroulliexperimetes schätze : Der atz vo Beroulli 7.5 legt ahe, als chätzer für p zu ehme. K = ( )

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3 - 75 (Kapitel 9: chätzuge). Falls x : = (x,..., x ) = (X (ω),..., X (ω)) beobachtet wurde, so heißt ρˆ : = T(x) der zugehörige chätzwert. I Beispiel 9. sid X = (,..., ), T : (x,..., x ) a (x x ) T(X) = Betrachte wir och zwei weitere Beispiele: K ud T(x) = k = pˆ ( = p ud ρ = id ). 9.6 Beispiel : Eie Lieferug vo N Ware gleicher Herstellugsart ethalte eie ubekate zahl vo defekte Ware. Der Hädler muß sich etscheide, ob er die Lieferug aehme will oder icht. Er ka jedoch icht alle Ware überprüfe lasse, da z.b. a) dies zu teuer kommt. b) die Ware ach der Prüfug ubrauchbar sid (z.b. Koserve). Es werde deshalb Ware zufällig (ohe Zurücklege) herausgeomme ( elemetare tichprobe ) ud geprüft. Ma beobachtet K = zahl der defekte Ware i dieser tichprobe. ls chätzer für de ubekate Bruchteil ρ() : = N vo defekte Ware bietet sich wiederum K = Bruchteil vo defekte Ware i der tichprobe a. Ma erhält als chätzwerte : ρˆ = k, falls speziell k (=K (ω)) defekte Ware beobachtet wurde, ud ˆ = k N. Falls j = die j te herausgegriffee Ware ist defekt, j, da ka ma K = schreibe. Usere (elemetare) tichprobe ka wieder i der Form X = (,..., ) geschriebe werde, ur sid jetzt die icht uab- j hägig. Da jedoch ur K = für usere chätzer vo Bedeutug ist, wolle wir die Werte k = K (ω) als Date betrachte. Da K d = Hg(,, N), ist i diesem Falle user statistisches Modell: P = { Hg(,, N) Θ}, Θ : = {0,,..., N}.

4 - 76 (Kapitel 9: chätzuge) 9.7 Beispiel : I eiem ee schwimmt eie ubekate zahl vo Fische (gleicher Gattug). Um schätze zu köe, fage wir zuächst R Fische, markiere sie, ud setze sie wieder aus. Nachdem wir solage gewartet habe, bis sich die Fische wieder hireiched vermischt habe, fage wir ereut Fische ud beobachte, wie viele davo markiert sid (zahl = K ). R ls chätzer für de ubekate Bruchteil ρ() : = vo markierte Fische bietet sich wiederum K = Bruchteil vo markierte Fische i der tichprobe a. Ma erhält da als chätzwerte : ρˆ = k, falls speziell k (=K (ω)) markierte Fische eigefage wurde, ud ˆ = k R. Da K d = Hg(, R, ), ist i diesem Falle user statistisches Modell: P = { Hg(, R, ) Θ}, Θ : = {R, R +, R +,... }. 9.8 Bemerkug : Die Beispiele 9.6 ud 9.7 etspreche eier immer wieder auftretede Fudametalaufgabe der praktische tatistik: Gegebe ist eie edliche Populatio, d.h. eie edliche Mege, dargestellt im Modell etwa durch eie Ure mit N Kugel oder durch M = {,..., N}. I M ist eie Teilpopulatio vom Umfag R durch ei Merkmal wie etwa schwarze Kugel im Falle der Ure (oder defekte Ware bzw. markierter Fisch) defiiert. Etweder N oder R sid ubekat, es ist aber umöglich, die gaze Populatio durchzumuster. Wir etehme deshalb eie zufällige tichprobe vom Umfag ud beobachte K = zahl der mit Merkmal versehee Idividue i der Zufallsstichprobe. Nach dem Uremodell (Ziehe ohe Zurücklege) erhalte wir als statistisches Modell P stets eie Familie vo hypergeometrische Verteiluge (da K d = Hg(, R, N )). Defiitio 9.5 erlaubt eie große Vielfalt vo chätzer für eie zu schätzede Größe ρ(), vo dee ur eiige für die Praxis vo Nutze sid. I usere bisherige Beispiele hat sich ei Typ vo chätzer agebote. Wir beötige jetzt Kriterie ud Kostruktiosverfahre, um bei kokrete Probleme verüftige chätzer zu fide.

5 - 77 (Kapitel 9: chätzuge) ls eie Miimalforderug möchte ma atürlich, daß der Wert der ZVe T(X) mit hoher Wahrscheilichkeit ahe bei ρ() liegt. Dies motiviert folgede 9.9 Defiitio : Eie Folge vo chätzer T (X,..., X ) für ρ() heißt kosistet ( stark kosistet ), falls T (X,..., X ) ρ() für alle Θ. 9.0 Bemerkuge : a) Eie Folge vo ZVe (Y ) IN kovergiert fast sicher gege eie ZVe Y (kurz: Y f. s. Y ), we es ei Ereigis gibt mit P() = ud lim Y (ω) = Y(ω) für alle ω. b) Ma ka zeige, daß Y f. s. Die Umkehrug ist im allgemeie falsch. Y Y P Y. Offesichtlich ist K IN im Beispiel eie (stark) kosistete Folge vo chätzer für p N. I Beispiel 9. folgt dies aus dem atz vo Beroulli 7.5 bzw. dem R starke Gesetz der große Zahle 7.8, i Beispiel 9.6 (bzw. 9.7) ist (bzw. K R ). K N N N 9. Defiitio : Falls X : = (X,..., X ) eie tichprobe vom Umfag (d.h. die X,..., X sid i.i.d.), ee wir X (= X ) : = (X X ) (= ) : = (X i - X ) = i = i = X i de tichprobemittelwert ud X (Übug!) die tichprobevariaz.

6 - 78 (Kapitel 9: chätzuge) 9. Bemerkug : Die i.i.d. ZVe X,..., X eier tichprobe ka ma als die Werte iterpretiere, die für eie reelle ZVe X i eier Versuchsreihe der Läge beobachtet werde. Wie i Beispiel 9. folgt aus de Gesetze der große Zahle: 9.3 atz : X : = (X,..., X ) seie tichprobe vom Umfag, I N, E( X ) < ud µ : = E(X ). Da sid die tichprobemittelwerte ( X ) IN eie (stark) kosistete Folge vo chätzer für de Erwartugswert µ. 9.4 Bemerkug : Beispiel 9. ist ei pezialfall. Dort ist X j =, µ = E( ) = p, ud j j = K. atz 9.3 behadelt eie pezialfall der Mometemethode, eies Kostruktiosprizips mit dem ma sich (stark) kosistete chätzer verschafft. 9.5 Defiitio : a) X sei eie reelle ZVe ud X = d P. Falls E( X j ) < für ei j I N, da heißt m j : = E( X j ) das j te Momet vo X (bzw. vo P). (m = µ). b) X : = (X,..., X ) sei eie tichprobe vom Umfag. mˆ j : = i = j X i heißt das j te tichprobemomet, j I N. ( mˆ = X ). 9.6 Die Mometemethode : Q = {P Θ} sei eie Familie vo Verteiluge auf ( I R, B ), ud X = (X,..., X ) eie tichprobe bzgl. P ( statistisches Modell P = Q : = { P... P Θ} ). Faktore m (),..., m r (), die erste r Momete vo P, Θ, seie edlich. Falls es eie stetige Fuktio g : r IR I R gibt, so daß ρ() = g(m (),..., m r ()), Θ, da ist mit T(X) : = g( mˆ,..., ei chätzer für ρ() gefude. mˆ r )

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