Grundlagen der Physik 2 Schwingungen und Wärmelehre

Transkript

1 Grundlagen der Physik 2 Schwingungen und Wärmelehre Othmar Marti othmar.marti@uni-ulm.de Institut für Experimentelle Physik Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre / 17

2 Klausur Die Klausur ndet am 26. Juli 2007 von 9:00-11:00 im Hörsaal H2 (eventuell auch H14) statt 1. Hilfsmittel: 6 Seiten (3 Blätter) A4 von eigener Hand beschrieben, Taschenrechner. Bemerkung: Diese Klausurnote kann zur Befreiung der Studiengebührenzahlung führen! 1 Klausur Grundlagen 1 wird am am Nachmittag geschrieben. Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre / 17

3 Mischen zweier Substanzen Wir mischen den Inhalt einer Kiste mit weissen Sandkörnern mit dem Inhalt einer Kiste mit schwarzen Sandkörnern. Die Wahrscheinlichkeit vorher ist p 1 = 2 N = Nach dem Mischen ist die Wahrscheinlichkeit des Zustandes p 1. Die Entropie nimmt beim Mischen um ( ) ( ) p 1 S = k ln = k ln = k ln (2 n ) = kn ln k J K p 1 2 N Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre / 17

4 Eigenschaften der Temperatur Wir wissen, dass die Beziehungen gelten. Da 1 = β = ln Ω kt E Ω (E) E f ln Ω(E) [f ln E] = E E nimmt β mit zunehmendem E sehr schnell ab. lim β = 0 E Weiter gilt, dass für alle E > 0 auch β > 0 ist. = f E Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre / 17

5 Eigenschaften der Temperatur Aus E > 0 folgt β > 0 und T > 0 Dieses Resultat gilt, wenn E keine obere Grenze hat (z.b. kinetische Energie) Wenn E eine obere Grenze hat dann gibt es Energien für die ln Ω E < 0 ist, also T < 0 ist. Beispiele dafür sind Spins oder 2-Niveau-Systeme (Laser). Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre / 17

6 Wärmereservoire Die klassische Denition eines Wärmereservoirs lautet: Ein Wärmereservoir hat die Wärmekapazität C = Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre / 17

7 Wärmereservoire, präzisere Formulierung Daraus folgt Dann sollte auch sein. T E Q β E Q Ẽ Ẽ 1 T β Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre / 17

8 Wärmeausgleich bei Temperaturdierenz Sei nun Ω (E ) die Anzahl der zugänglichen Zustände von A im Energieintervall von E bis E + δe. Das System A absorbiere die Energie E = Q. Dann lautet die Taylor-Entwicklung ln Ω ( E + Q ) ln Ω ( E ) ( ln Ω (E ) ( ) ) = E Q + 1 ln 2 Ω (E ) 2 E 2 = β Q + 1 β 2 E Q 2 + O (Q 3) Q 2 + O Die Terme 2. und höherer Ordnung können vernachlässigt werden, da mit Gleichung (7) gilt β ( ) β Q β Q E Q 2 = E Q ( Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre / 17

9 Wärmeausgleich bei Temperaturdierenz Damit bekommen wir oder ln ( Ω ( E + Q ) ln Ω ( E )) = β Q = Q S = Q T kt wenn die Wärmemenge Q mit einem Wärmebad ausgetauscht wird. Eine analoge Rechnung gilt auch für innitesimale Wärmemengen δq. Sei δq E. Dann haben wir ln Ω (E + δq) ln Ω (E) ln Ω E δq + 1 δ 2 ln Ω 2 E 2 und wieder δq 2 + O (Q 3) ds = δq T Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre / 17

10 Breite des Maximums von Ω(E)) Wir entwickeln die Energie E um ihren Maximalwert Ẽ mit in eine Taylorreihe. ) ln Ω (E) = ln Ω (Ẽ = ln Ω (Ẽ η = E Ẽ ) ln Ω (Ẽ + η + 1 E 2 ) + βη 1 2 λη ) 2 ln Ω (Ẽ E 2 η Dabei haben wir β = ln Ω/ E verwendet. Weiter haben wir deniert. λ = 2 ln Ω/ E 2 = β Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre / 17 E

11 Breite des Maximums von Ω(E)) ln Ω (E) + ln Ω ( E ) ) ln Ω (Ẽ + βη 1 ( 2 λη2 + ln Ω Ẽ ) β η 1 2 λ η 2 ( ) = ln Ω (Ẽ ( Ω Ẽ )) + η ( β β ) 1 ( 2 η2 λ + λ ) Dies ist eine quadratische Funktion in η. Damit diese ein Maximum hat, muss der Koezient von η null und der Koezient von η 2 negativ sein. Deshalb gilt beim Maximalwert von Ω(E) β = β Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre / 17

12 Breite des Maximums von Ω(E)) Wir setzen λ 0 = λ + λ und können für die Wahrscheinlichkeiten p(e) Ω(E) schreiben: ) ln p (E) = ln p (Ẽ 1 2 λ 0η 2 ) λ = ( fẽ = f > 0 2 Ẽ 2 Die Grösse λ 0 = λ + λ muss grösser null sein, da sonst p(e) kein Maximum hätte. Wenn wir eines der beiden Teilsysteme sehr viel kleiner als das andere wählen, muss auch das λ des grösseren Systems grösser null sein. Deshalb gilt auch λ > 0 und λ > 0. ) p (E) = p (Ẽ e 1 2 λ 0(E Ẽ) 2 Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre / 17

13 Breite des Maximums von Ω(E)) p(e) ist eine Gaussverteilung. 1 σ 2 = λ 0 f Ẽ 2 = E σ E f f E 2 Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre / 17

14 Breite des Maximums von Ω(E)) p(e) 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 1e+2 1e+1 1e+0 p(e) 1e-1 log(p(e)) 1e-2 1e-3 1e-4 1e-5 1e-6 1e-7 1e-8 1e-9 1e-10 1e-11 1e-12 1e-13 1e-14 1e-15 1e-16 1e-17 1e-18 1e-19 1e E log(p(e)) p(e) und ln(p(e)) für λ = and Ẽ = Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre / 17

15 Externe Parameter und die Anzahl Zustände Wir lassen nun einen externen Parameter x zu. x könnte zum Beispiel das Volumen V sein. Die Anzahl Zustände Ω (E, x) zwischen E und E + δe hängt nun von x ab. Sei x im Intervall x x + dx. Wenn x sich um dx ändert, ändert sich die Energie des Mikrozustandes E i (x) um den Wert E i dx. Die Änderung E i ist für jeden Zustand anders. x x Wir nennen Ω y (E, x) die Anzahl Zustände zwischen E und E + δe deren Ableitungen E zwischen Y und Y + δy liegen. x Ω (E, x) = Y Ω Y (E, x) Wenn wir x um dx ändern, wie viele Zustände wechseln dann von einer Energie kleiner E zu einer Energie grösser als E? σ Y (E) = Ω Y (E, x) δe Ydx Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre / 17

16 Externe Parameter und die Anzahl Zustände Die Summe über alle Zustände ist σ (E) = σ Y (E) = Ω Y (E, x) δe Y Y Ydx = Ω (E, x) δe Y dx mit dem Mittelwert. Wenn die Energie Y = 1 Ω (E, x) Ω Y (E, x) Y Y E i = E i (x 1... x n ) eine Funktion von x 1... x n ist gilt für die Änderung der Energie des Zustandes i. de i = j E i x j dx j Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre / 17

17 Externe Parameter und die Anzahl Zustände In der Physik heisst die Grösse E i x j = X j, i die zur Variablen x j konjugierte verallgemeinerte Kraft. Othmar Marti (Universität Ulm) Schwingungen und Wärmelehre / 17