Mathematik IV: Statistik

Transkript

1 für D-UWIS, D-ERDW, D-USYS und D-HEST SS16 Sie hören 2Cellos Daniel Stekhoven

2 Repetition t-test mit einer Stichprobe 1. Modell: XX ii kontinuierliche Messgrösse; XX 1, XX 2,, XX nn ii. ii. dd., NN μμ, σσ 22 XX, σσ XX wird mit σσ XX geschätzt 2. Nullhypothese: H 0 : μμ = μμ 0 Alternative: H AA : μμ μμ 0 (oder < oder >) 3. Teststatistik: XX T = nn μμ 0 XX = nn μμ 0 beobachtet erwartet = σσ XX nn σσ XX geschätzter Standardfehler nn Verteilung unter H 0 : T tt nn 1 4. Signifikanzniveau: αα 5. Verwerfungsbereich für die Teststatistik: KK = (, tt αα nn 1;1 2 tt αα nn 1;1, ) 2 KK =, tt nn 1;1 αα bei H AA : μμ < μμ 0 KK = [tt nn 1;1 αα, ) bei H AA : μμ > μμ 0 6. Testentscheid: Liegt beobachteter Wert tt der Teststatistik in KK Daniel Stekhoven

3 Lernziele heute ungepaarter t-test ungepaarter Wilcoxon-Test (MWU Test) multiples Testen Hausaufgaben Skript: Kapitel 4.8 lesen Serie 10 lösen Quiz 10 bearbeiten Daniel Stekhoven

4 Gepaarte Stichproben GG 1 GG 2 aa 11 bb 11 aa 22 bb 22 mm = nn aa nn bb mm Jeder Beobachtung in GG 1 kann eine Beobachtung in GG 2 zugeordnet werden. Daniel Stekhoven

5 Gepaarte Stichproben Situationen: Vorher/nachher Links/rechts Zwillinge... Überlegung: nn Personen aa 1, aa 2,, aa nn in GG 1 und bb 1, bb 2,, bb nn in GG 2 Betrachte die Differenzen der Paare: aa ii bb ii = xx ii xx 1, xx 2,, xx nn t-test für eine Stichprobe Beispiel Reaktionszeit aus letzter VL; HH - NH Daniel Stekhoven

6 Ungepaarte Stichprobe GG 1 GG 2 aa 11 bb 11 aa 22??? bb 22 mm = nn oder mm nn aa nn bb mm Eine Beobachtung in GG 1 kann keiner Beobachtung in GG 2 zugeordnet werden. Daniel Stekhoven

7 Daniel Stekhoven

8 Einfluss von Öl auf aquatische Lebewesen Können wir feststellen, ob und ab welcher Konzentration Öl einen Einfluss und welchen auf Fische im Wasser hat? Daniel Stekhoven

9 Was für Schadstoffkonzentrationen? Experiment: Embryonen von Zebrabärblingen Unterschiedliche Zeitpunkte der Exposition nach 4h, nach 24h und nach 96h (für jeweils 24h) Unterschiedliche Konzentrationen von Rohöl Verdünnungen von ppm («parts per million») Konzentrationen im subakuten Bereich (nicht letal, 40% morphologische Veränderungen) Auswertung: Zebrabärblinge unter Mikroskop nach Anomalien untersuchen Resultat: Morphologische Veränderungen deutlich weniger ausgeprägt bei niedrigen Konzentrationen Eawag News 64d/April 2008 Jules Kemadjou Daniel Stekhoven

10 «Sichtbare» morphologische Veränderungen Daniel Stekhoven Eawag News 64d/April 2008 Jules Kemadjou

11 und «nicht sichtbare» Veränderungen? Eine Konzentration von 100ppm oder weniger scheint nicht so einen grossen Einfluss auf die Morphologie der Fische zu haben Wissenschaftliche Fragestellung: Haben Zebrabärblinge, welche kurz nach ihrer Befruchtung Rohöl ausgesetzt werden, eine veränderte Genexpression im Vergleich zu denjenigen, welche keinem Rohöl ausgesetzt werden (Kontrolle)? Was sind die Daten, welche wir für diese Fragestellung brauchen? Daniel Stekhoven

12 Zentrales Dogma der Molekularbiologie Daniel Stekhoven

13 Wie messen wir die Genexpression? Früher: Microarray Heute: Next-Generation Sequencing FASTQ Daniel Stekhoven

14 Extrahiere die RNA aus den Zellen in DNA: T Thymin U A U G A G U C G Adenin Guanin Uracil Cytosin Daniel Stekhoven

15 Präparierte RNA wird in eine Sequenziermaschine gegeben Daniel Stekhoven

16 RNA wird an Flow Cell angebunden und amplifiziert U A U G A G U C G U A U G A G U C G A U A C U C A G C A U A C U C A G C A U A C U U A U G A U U C A G C A G U C G U A U G A G U C G U A U G A G U C G A U A C U C A G C A U A C U C A G C U A U G A G U C G U A U G A G U C G Daniel Stekhoven

17 Nun wird sequenziert mit einem alten Trick G U A U G A G U C G C Farbstoff U G A Terminatorgruppe G U A U G A G U C G C A C G U G U A U G A G U C G C G G U A U G A G U C G A C U C A G C U A U G A G U C G U A U G A G U C G AC U A C U C A G A C U Daniel Stekhoven

18 Viel RNA gibt viele Reads, viele Reads bedeutet hohe Aktivität des Gens tiefe Expression hohe Expression Daniel Stekhoven

19 Man misst die Genexpression in den Fischen Exposition Kontrolle Daniel Stekhoven

20 Aktivität aller Gene in den Fischen Kontrolle Gen Rep. 1 Rep. 2 Rep. n Exposition Gen Rep. 1 Rep. 2 Rep. m Daniel Stekhoven

21 Aktivität aller Gene in den Fischen Kontrolle Gen Rep. 1 Rep. 2 Rep. n Exposition Gen Rep. 1 Rep. 2 Rep. m Ist die Aktivität von Gen 2 signifikant höher? Daniel Stekhoven

22 Ungepaarter t-test (1/3) 1. Modell: 2. Nullhypothese: Alternative: XX 1, XX 2,, XX nn ii. ii. dd. NN μμ XX, σσ 2 YY 1, YY 2,, YY mm ii. ii. dd. NN μμ YY, σσ 2 H 0 : μμ XX = μμ YY H AA : μμ xx μμ YY H AA : μμ XX > μμ YY H AA : μμ XX < μμ YY Daniel Stekhoven

23 Ungepaarter t-test (2/3) 3. Teststatistik: wobei 2 SS pppppppp = = TT = 1 nn + mm 2 XX nn YY mm XX = nn YY mm VVVVVV XX nn YY mm 1 SS pppppppp nn + 1 mm nn ii=1 mm XX ii XX nn 2 + xx nn = 1 nn xx ii ii=1 1 nn + mm 2 nn 1 σσ xx 2 + mm 1 σσ yy 2 YY ii YY mm 2 = Verteilung der Teststatistik unter H 0 : TT tt nn+mm 2. σσ 2 xx = 1 nn 1 xx ii xx 2 nn Daniel Stekhoven

24 Ungepaarter t-test (3/3) 4. Signifikanzniveau: α 5. Verwerfungsbereich der Teststatistik: KK =, tt nn+mm 2;1 αα/2 KK = [tt nn+mm 2;1 αα, ) KK = (, tt mm+nn 2;1 αα ] [tt nn+mm 2;1 αα/2, ) bei H AA : μμ XX μμ YY bei H AA : μμ XX > μμ YY bei H AA : μμ XX < μμ YY 6. Testentscheid: Liegt der beobachtete Wert tt von TT in KK Daniel Stekhoven

25 Beispiel RNA-Seq ungepaarter t-test bei Gen 2 nn = 5, mm = 4 xx = 1.58, yy = 2.43 σσ xx = 0.40, σσ yy = Modell: XX 1, XX 2,, XX 5 NN μμ XX, σσ XX 2 YY 1, YY 2,, YY 4 NN(μμ YY, σσ YY 2 ) 2. H 0 : μμ xx = μμ yy, H AA : μμ xx μμ yy 3. Teststatistik: TT = XX nn YY mm SS pppppppp 1 nn + 1 mm 2 SS pppppppp = SS pppppppp = 0.16 = 0.40 falls H 0 : TT tt nn+mm 2 = tt 7 4. Signifikanz: αα = Verwerfungsbereich: K =, tt 7;0.975 tt 7;0.975, = =, , 6. Testentscheid: tt = tt KK H 0 wird verworfen Daniel Stekhoven

26 Gepaart versus ungepaart Beispiel Haupthand gegen Nebenhand, gepaarter Test ist angebracht Man könnte auch ungepaarten Test machen... Ungepaart Teststatistik: TT = XX YY SS pppppppp 1 mm + 1 mm tt 2 mm 2 Gepaart Teststatistik: TT DD = DD 0 σσ DD tt mm 1 DD ii = XX ii YY ii Daniel Stekhoven

27 Gepaart versus ungepaart H 0 : μμ DD = 0 bzw. H 0 : μμ XX = μμ YY ; nn = mm = 10 XX NN 100, σσ XX 2, DD NN 2,1, YY = XX + DD : gepaartes Setup YY grösseres σσ XX 2 noch grösseres σσ XX 2 XX TT und TT DD ähnlich TT kleiner, TT DD gleich TT noch kleiner, TT DD gleich Der gepaarte t-test hat mehr Macht, wenn die Daten verrauscht sind! Daniel Stekhoven

28 t-test falls Varianz in den Gruppen verschieden heisst auch: Welch-Test Grundidee identisch Teststatistik und Verteilung, falls H 0 stimmt, ist komplizierter Computer: Meist der default t-test Praxis: Man sollte immer annehmend, dass die Varianz in den Gruppen unterschiedlich ist Welsh Test Prüfung: Wir nehmen der Einfachheit halber an, dass die Varianz jeweils gleich ist t-test Daniel Stekhoven

29 Two-sample Wilcoxon Test (a.k.a. Mann-Whitney U-Test) Falls Daten nicht normalverteilt XX ii FF, ii = 1, 2,, nn; YY jj GG, ii = 1, 2,, mm H 0 : FF = GG H AA : FF = GG + δδ, mit δδ 0 (oder einseitig) d.h. Verteilungen sind verschoben, haben aber gleiche Form Teststatistik: Bilde Ränge über beide Gruppen hinweg Falls Gruppen gleich, sollten Rangsummen etwa gleich sein Falls Gruppen ungleich, sollten die Rangsummen in einem gewissen Verhältnis stehen ( 1) Daniel Stekhoven

30 Beispiel Two-sample Wilcoxon Test Behandlung (Trt) und Kontrolle (Contr) je 2 Patienten Beobachtung: Trt: 1.2, 3.1; Contr: 5.9, 4.4 Ränge: Trt: 1, 2; Contr: 4, 3 Rangsumme RR in Contr: = 7 Falls H 0 stimmt, sind alle Ränge in Contr gleich wahrscheinlich Ränge 1, 2 1, 3 1, 4 2, 3 2, 4 3, 4 RR z.b. für einseitigen Test: PP(RR 7) = PP(RR = 7) = H 0 kann auf dem 5% Niveau nicht verworfen werden Daniel Stekhoven

31 Übersicht der Tests für ungepaarte Stichproben σσ XX = σσ YY XX ii NN YY jj NN Annahmen FF, GG haben gleiche Form i.i.d. nn mmmmmm (falls nn = mm) bei αα = Macht für Beispiel t-test 2 57% Welsh-Test 2 56% Wilcoxon 4 53% Verwendetes Beispiel: XX ii NN μμ XX, σσ 2, nn = 10 YY jj NN μμ YY, σσ 2, mm = 10 H 0 : μμ XX = μμ YY ; H AA : μμ XX μμ YY ; αα = 0.05 Macht berechnet mit konkreter Alternative: XX ii NN 0,1, YY jj NN(1,1) Daniel Stekhoven

32 Multiples Testen Signifikanzniveau Wahrscheinlichkeit, dass wir H 0 verwerfen (Feueralarm geht los), gegeben H 0 ist wahr (es brennt nicht). W keit hier zu landen! Traditionell als 5% gewählt Daniel Stekhoven

33 Multiples Testen Beispiel Wir testen 100 Stichproben gegen eine Referenz mit αα = 0.05 Wir nehmen an, dass H 0 immer richtig ist! Die W keit mindestens ein signifikantes Resultat zu sehen ist 1 PP(kein signifikantes Resultat) Die W keit kein signifikantes Resultat zu sehen ist 1 αα Die W keit bei 100 Tests kein signifikantes Resultat zu sehen ist 1 αα 100 = und somit ist die W keit, dass wir mindestens ein FP haben in den 100 Tests = Ioannidis (2005). "Why Most Published Research Findings Are False". PLoS Medicine 2 (8): e124. Daniel Stekhoven

34 Multiples Testen Korrektur Dieser Effekt kann durch die Korrektur der P-Werte (oder äquivalent, Korrektur des Signifikanzlevels) behoben werden Die relevantesten zwei Methoden: Bonferroni Korrektur (sehr streng) Benjamini-Hochberg (weniger streng; besonders für grosse Testmengen nützlich) Mit R: p.adjust(p, method="bonferroni") p.adjust(p, method="bh") Daniel Stekhoven

35 Multiples Testen Korrektur - Beispiel PP mindests ein signifikantes Resultat = 1 1 αα nn = = Bonferroni: adjustiere αα mit der Anzahl Tests: αα = αα nn...dann 1 1 αα nn = 1 1 αα nn nn = = 1 ( ) Daniel Stekhoven

36 Zusammenfassung Lernziele ungepaarter t-test (zwei Stichproben) ungepaarter Wilcoxon-Test (muss nicht normalverteilt sein) multiples Testen (googeln Sie why most research findings are false ) Hausaufgaben Skript: Kapitel 4.8 lesen Serie 10 lösen Quiz 10 bearbeiten Daniel Stekhoven