Theorie und Numerik von Differentialgleichungen mit MATLAB und SIMULINK. K. Taubert Universität Hamburg SS08

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1 Theore ud Numerk vo Dfferealglechuge m MATLAB ud SIMULINK K. Tauber Uversä Hamburg SS8 Usege Dfferealglechuge 6 OPTIMALE STEUERUNGSPROBLEME UND NUMERIK FÜR UNSTETIGE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN Be Regelugsprobleme sell sch aürlcher Wese de Frage ach opmale Regler. Für leare Syseme werde e Exsezsaz ud ee owedge Bedgug für ee opmale Seuerug (Regelug) aufgesell. Dese Bedgug führ zum so geae Bag-Bag Przp oder zu Schwarz-Weß-Regler. De Syhese vo opmale Seuerugsprobleme führ häufg ud aürlcher Wese auf Syseme vo usege Dfferealglechuge Es werde ege Bespele für Dfferealglechuge m Usegkee agegebe. E allgemeer Exsezsaz garaer de Exsez vo Lösuge vo Dfferealglechuge m Usegkee bzw. vo esprechede mehrwerge Dfferealglechuge. Ee sehr große Klasse vo Dfferezeverfahre lefer völlg uproblemascher Wese, ausreched gue Näheruge für de Lösuge. 6. E zeopmales Seuerugsproblem Gegebe se das Sysem vo gewöhlche Dfferealglechuge z = A z +u, z() = z m eer reelle x Marx A ud eer reellwerge, messbare Fuko u : R R u = (u,u 2,...,u ) m der Egeschaf u. Gesuch s ee opmale messbare Fuko u = (u,u 2, Λ,u ) : R R m u derar, dass z de Ursprug überführ wrd ud zwar mmaler Ze. Es gl der folgede Saz 6. Sd de Egewere vo A reell, paarwese verschede ud egav, da exser ee opmale Seuerug u. De Kompoee der opmale Seuerug u habe de Egeschaf ud edes u = u ha höchses (-) Vorzechewechsel. 74

2 Bewes Durch de Varablerasformao z = Xy, m eer chsguläre reelle x Marx X, geh de Afagsweraufgabe über oder z = A z + u, z() = z X y = AXy + u, y = X - z y = X - AXy + X - u, y = X - z (Ma beache z() = y() = ). Nach Voraussezug ka de Marx X so gewähl werde, dass λ X - AX = λ 2 Ο λ m de paarwese verschedee Egewere λ vo A. M der Darsellug X - = ( α ) ergb sch y () = λ λs e = λ e y () + e α u (s)ds, =,2,...,. Wr zege u, dass es mdeses e ˆ ud ee Fuko û = (û,û,,û ) gb m ˆ = 2 Λ λ ˆ λˆ λs = y (ˆ ) = e y () + e e αû (s)ds, =,2,...,. Dese Behaupug s glechbedeued zur Exsez ees ˆ ud ees û m der Egeschaf ˆ λ s y () = e αû (s) ds, =,2,...,. () = De Wahl û (s) = k = (k,k 2,...,k ), k = cos lefer = α k = y () ˆ e λs ds = y () λ, =,2,...,. λˆ e oder m X = (x ) k = x = λ y (). λˆ e 75

3 λ Da de λ egav sd, köe de Ausdrücke e belebg groß gemach werde ud dam auch k gewährlese werde. D.h. de Bedgug () ka erfüll werde. Ma berache ez de Vekore De Mege C() = { ρ gl u ρ u = ( L, e λs = ˆ α u (s)ds, L ). } u s für edes ee chleere ud kovexe Mege. Außerdem C( ) C() für Nach de obe bewesee exser e ˆ m y() C(ˆ ) ud dam e mmales m - y() C( ) für alle > - y() C( ) für alle <. Wr zege u, dass y() C( ) s ud dam de Exsez eer opmale Seuerug u. Berache ee Folge m, m ud zugehörge u m m der Egeschaf m = λs m - y () = e α u (s) ds, =,2,...,. Nach eem bekae Saz (Fukoalaalyss) gb es ee Telfolge vo (,u ) m der Egeschaf = = λs λs - y () = lm y () = lm e α u (s)ds = e α u (s) ds m eer messbare Fuko u(.) ud u (.). D.h. es s - y() C( ) ud dam exser e opmales m zugehörgem u(.) ud y( ) =. De owedge Bedguge für das opmale u(.) ergebe sch aus de folgede Überleguge: Es se < ud dam - y() C( ). Wege der Kovexä ud Kompakhe vo C() gb es e α m 76

4 -y() α C() ρ (u) y() α y() α ( ρ u α, ) ( y() α, ) y() α y() α für edes u, d.h. es s ( ρ u α, Θ ) ( y() α, Θ ) für alle zulässge u ud eem Vekor Θ der Läge der Maxmum-Norm. De leze Uglechug s glechbedeued zu ( ρ u, Θ ) ( y(), Θ ) für alle zulässge u. Für exsere da Telfolge, Θ Θ, m der Egeschaf ρ u ρ lm ( ρ u, Θ ) ( u, ) ( y(), ) = ρ Θ Θ. Für u = u s aber ρ u = y() ud som ( ρ u, Θ ) ( u, ) ( y(), ) ρ Θ = Θ für alle u. D.h. ud u erfülle owedger Wese de Bedgug ( ρ u, Θ ) = Max( ρ u, Θ ). () u Gesuch sd also e Vekor Θ, e ud ee meßbare Fuko u m der Egeschaf, das ( = λs λs ρ u, Θ ) = Θ e α u (s) ds = ( Θ e α )u (s) ds = u = = maxmal s. Deses s scherlch da der Fall, we u der Form 77

5 gewähl wrd. u λs (s) = sg( Θ α e ) = De maxmale Azahl der Vorzechewechsel ergb sch daraus, dass de chrvale Learkombaoe vo Expoealfukoe e λ s, m paarwese verschedee λ, höchses - Nullselle m Iervall [o, ] habe. Bemerkug De Bedgug () s ee wchge ud sark verallgemeerugsfähge Egeschaf opmaler Seueruge. Kurz: Ee efache Verso des Maxmum-Przps vo Poarg. 6.2 Dfferealglechuge m Usegkee. Bespele. Sablserug eer beschleuge Masse E Körper m der Masse m geüge dem Newo sche Bewegugsgesez mx'' = u m der äußere Kraf u. Für de spezelle Fall eer Masse m =, der Kraf u = b > ergebe sch de bede Dfferealglechuge ε b (m ε = + oder ε = ) ud x'' = ε b. Für das Weere s es zweckmäßg de Geschwdgkee x'= v Abhäggke vom Or x zu besmme: Für ede Lösug der Dfferealglechug gl d ( (/2) x' 2 ε bx) ) = d ud deshalb, m geegee Kosae C ud C, owedgerwese auch x' 2 2ε bx = C oder v 2 = 2ε b(x C ) Ee Auswahl deser Parabel zege de folgede Blder (Phaseporras). De Rchug der Bewegugsabläufe (x(), x'()) wrd durch de Pfele agezeg: 78

6 De Frage ach eer Sablserug deses Sysems führ sofor zu usege Dfferealglechuge: Beschräke Bewegugsabläufe ergebe sch z.b. m u = - sg(x)b. De Dfferealglechug x''= -sg(x)b führ zum Phaseporra De obe gewähle Orsabhägge äußere Kraf u = - sg(x)b führ zwar zu beschräke Bewegugsabläufe aber och ch zu solche Beweguge de das Sysem ses de Ruhelage brge. Lezeres ka z.b. m der Ors- ud Geschwdgkesabhägge Kraf u = -sg(x + k x')b, k > errech werde. Dese Wahl ergb da de Dfferealglechug m dem Phaseporra x'' = -sg(x + k x')b Außerhalb der Gerade x +kx' beweg sch das Sysem auf de obe agegebee Parabel ud (klar!) m zuehmeder Ze gege de Nullpuk. Is de Gerade x + kx' sehr flach, da muss der zu erwareder Bewegugsablauf ewas geauer uersuch werde. Es ka da passere, dass sch das Sysem ab eem gewsse Zepuk elag der Gerade x + kx' = bewege muss. Da muss x() = x( )e -(- )/k. se. Soll schleßlch das Sysem ch ur gege Null srebe, soder de Nullpuk auch och möglchs schell (zeopmal) erreche, da bee sch der Übergag vo eer Parabel zu eer durch Null gehede Parabel a. Auch da eseh e Sysem 79

7 x' = y y' = Ψ (x,y) m eer usege Fuko Ψ (x,y) oder ee usege Dfferealglechug. 2. Erzwugee Schwguge m rockeer Rebug. Erzwugee Schwguge m rockeer Rebug führe auf de Dfferealglechug (D, ω,µ > ) x'' + 2Dω x' + µ sg(x') + ω 2 x = α cos ( ) Ω. We de äußere Kräfe ud de Rücksellkraf de rockee Rebug ch überwde köe, ka das Sysem zewelg ruhe. Ore möglcher Ruhezusäde x sd da -µ + α cos ( Ω ) ω x +µ + α cos ( Ω ). 2 Auch her leg ee usege Dfferealglechug z' = F(,z) vor: x'= y y'= -2Dω y - µ sg(y) - ω x + α cos( Ω ). De usege Fuko F : RR 2 R erfüll übrges de Moooebedgug 2 für alle,u,v R. ( F(,u) F(,v), ( u v )) / ω 2 Es war ee Idee vo A.F. Flppov (96) usege Dfferealglechuge als mehrwerge Dfferealglechuge zu erpreere. Gegebe se also ez ee (mehrwerge) Dfferealglechug der Form y' F(,y), y( ) = y. Dabe se F ee Abbldug F : RR P(R ) ud P(R ) de Mege aller chleere, kovexe ud abgeschlossee Telmege aus R. Defo Ee Fuko y : [, ) R heß Lösug der mehrwerge Afagsweraufgabe sofer y' F(,y), y( ) = y,. y( ) = y 2. y(.) absolu seg s ud 3. für fas alle gl y'() F(,y()). 8

8 Defo Ee Fuko y : [, ) R heß absolu seg, we de folgede Egeschafe gegebe sd:. y(.) s fas überall dfferezerbar, 2. y'(.) s summerbar ud 3. y() = y( ) + y (s)ds. Bespel Jede seg dfferezerbare Fuko y() s absolu seg. Aber auch ede Fuko y : [, ) R m ha dese Egeschaf. y() - y( ) K - Bespel Gegebe se de (usege) Dfferealglechug y'= -sg(y) + α, - < α < Vele Grüde spreche dafür, asa deser Aufgabe de folgede mehrwerge Dfferealglechug zu berache. y' F(y) = { + α} [ + α, + α] { + α} für für für y < y = y > De folgede Tabelle zeg de Lösuge der mehrwerge Dfferealglechug zu verschedee Afagsbedguge y F(,y), y() = y. y = y = y = - +(-+ α ) für /(- α ) für /(- α ) y() = für alle -+(+ α ) für /(+ α ) für /(+ α ) 8

9 Das de agegebee Fukoe auch wrklch Lösuge der Afagsweraufgabe sd, ka schell egesehe werde: Ledglch de Absche m y() = sd ewas ugewöhlch. Für dese gl aber ( < α < ) de Relao y'() = y'() = F() = [-+α,+α ]. Bemerkug Im Bespel s de mehrwerge Dfferealglechug offebar dadurch esade, dass der Graph vo -sg(y) + α abgeschlosse wurde. -sg(y) + α F(y) Das deses sehr verüfg s zeg sch dara, das y() = de Bezehug y'= -sg(y) + α ur da erfüll, we sg() = α s. D.h. sg() muss dem Wer vo α agepass werde. De Mehrwergke vo sg() erledg dese Aufgabe vo selber. Saz 6. (Exsez- ud Edeugke) Gegebe se ee (mehrwerge) Dfferealglechug der Form Dabe se y' F(,y), y( ) = y. F : [, )R P (R ) ee ach obe halbsege megewerge Abbldug de Mege der chleere, kovexe ud abgeschlossee Telmege aus R. Geüg de Abbldug F außerdem och der Moooeegeschaf (K R) ( ξ η, u v) K (u v, u v) für alle u,v R ud alle ξ F(,u) ud besmme Lösug für alle. η F(,v), da besz de Aufgabe ee edeug 82

10 Gegebe se u de usege Dfferealglechug m eer usege Fuko y'= f(,y) f : [, )R R. Es war e Vorschlag vo A.F. Flppov, durch de Kosruko F(,y) = Ι Ι Kof (, U (y) N) δ> σ( N) = δ dese Aufgabe ee mehrwerge zu überführe. Vo großer prakscher Bedeuug s, dass.a. de Ermlug vo Lösuge vo usege Dfferealglechuge ohe ee Überführug de esprechede mehrwerge Dfferealglechug möglch se wrd. Dfferezeverfahre lefer regelhaf ee Lösug des esprechede mehrwerge Problems. Saz 6.2 (Tauber/975) De mehrwerge (usege) Afagsweraufgabe geüge de Bedguge des Exsezsazes. F se außerdem lokal beschräk, d.h. es exser ee Kosae K, so dass für alle (,u) [, +T]R ud alle s F(,u) gl s K. Gegebe se das explze Euler Verfahre y + = y + hg, g + F( +,y + ). Da gl auf edem kompake Iervall [, +T] d.h., es leg Kovergez vor. lm h + h y h = y(), Abschleßede Bemerkuge Im Allgemee köe für de Iegrao vo usege Aufgabe de folgede Verfahre gewähl werde (ebefalls Tauber/975):. Explze RKV. 2. Explze ud sark sable MSV. Be de folgede Mehode s Vorsch geboe:. Implze RKV ud sark sable mplze MSV köe verwede werde, allerdgs köe de Verfahre be der Auflösug der mplze Glechuge versage. 2. Exrapolaosverfahre auf der Bass der Melpukformel (ch sark sabl) sd ugeege. 3. Schrweeseueruge köe de Iegrao behder oder sogar ausschleße. 83