Inhaltsverzeichnis 1. Teil I: Grundlagen. 1 Elementares Handwerkszeug...23

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1 Inhaltsverzeichnis 1 Teil I: Grundlagen 1 Elementares Handwerkszeug Klammersetzung Punkt- vor Strichrechnung Potenz- vor Punktrechnung Klammern Bruchrechnung Grundsätzliches Multiplikation und Division von Brüchen Addition und Subtraktion von Brüchen Größenverhältnisse bei Brüchen Erweitertes Handwerkszeug Potenzen, Wurzeln, Logarithmen Potenzen Potenzgesetze Wurzeln Wurzelgesetze Der Begriff des Logarithmus Dualer, dekadischer und natürlicher Logarithmus Logarithmengesetze Gleichungen, Ungleichungen, Beträge Allgemeines zu Gleichungen Quadratische Gleichungen Ungleichungen Begriff und Lösungsmenge Ungleichungen Multiplikation mit bekannten Zahlen Ungleichungen Division durch bekannte Zahlen Ungleichungen Multiplikation/Division ohne Vorzeicheninformation Beträge Betragsgleichungen und -ungleichungen Umgang mit dem Summenzeichen Einfache Summen Rechenregeln für einfache Summen Doppelsummen Rechenregeln für Doppelsummen...50

2 8 Inhaltsverzeichnis Teil II: Analysis 3 Analysis Funktionen Begriff Nutzen von Funktionen Graph der Funktion Aufgaben der Analysis Vorschau Elementare Funktionen und ihre Graphen Polynome Allgemeines Berechnung von Funktionswerten von Polynomen Graphen von Polynomen n-ten Grades, wenn n ungerade ist Graphen von Polynomen n-ten Grades, wenn n gerade ist Graphen von Polynomen zweiten Grades Parabeln zeichnen Graphen von Polynomen ersten Grades Polynome nullten Grades und ihre Graphen Exponentialfunktionen Begriff Graphen von Exponentialfunktionen Zeichnen des Graphen Logarithmusfunktionen Begriff Graphen von Logarithmusfunktionen Verwandte Funktionen und ihre Graphen Begriffserklärung Additionen und Subtraktionen Addition und Subtraktion zur Funktion Addition und Subtraktion zum Argument Multiplikationen Multiplikation der Funktion mit ( 1) Multiplikation des Arguments mit ( 1) Betragsbildungen Betragsbildung im Argument Von der Funktion zum Betrag der Funktion...78

3 Inhaltsverzeichnis 9 6 Kurvendiskussion Begriff und Aufgabenstellung Definitionsbereich Bestimmung des Definitionsbereiches Beschreibung des Definitionsbereiches Definitionsbereich als Lösung einer Ungleichung Definitionsbereich als Lösung von Betragsgleichungen Definitionsbereiche der Grundfunktionen Definitionsbereiche verwandter Funktionen Randuntersuchungen Grundfunktionen Beliebige Funktionen Unbestimmte Ausdrücke Wertebereich Begriff und Bedeutung Wertebereiche der Grundfunktionen Wertebereiche verwandter Funktionen Wertebereiche beliebiger Funktionen Schnittpunkte mit den Achsen Schnittpunkt mit der senkrechten Achse Schnittpunkte mit der waagerechten Achse Ausblick Eigenschaften von Funktionen Stetigkeit Definition Konsequenzen von Stetigkeit und Unstetigkeit Arten der Unstetigkeit Suche nach Unstetigkeitsstellen Beschränktheit Definitionen Stetigkeit und Beschränktheit Monotonie Definitionen Rechnerische Bestimmung des Monotonieverhaltens Stetigkeit und Monotonie Umkehrfunktion Fragestellung Berechnung der Umkehrfunktion Mittelbare Funktionen: Funktionen von Funktionen...115

4 10 Inhaltsverzeichnis 8 Differentialrechnung Vorbemerkung, Bilanz, Ausblick Der erste Ableitungswert Begriff und Bedeutung Symbolik Berechnung des ersten Ableitungswertes: Theorie Berechnung des ersten Ableitungswertes: Praxis Erster Ableitungswert und erste Ableitungsfunktion Erste Ableitungsfunktion von wichtigen Grundfunktionen Faktor- und Summenregel Produktregel Quotientenregel Kettenregel Logarithmisches Differenzieren Kurvendiskussion (Fortsetzung) Bedeutung des ersten Ableitungswertes für den Graphen Anstieg der Tangente Waagerechte Tangente Existenz des ersten Ableitungswertes Ableitungsfunktionen nicht überall differenzierbarer Funktionen Bedeutung der ersten Ableitungsfunktion für den Graphen Grundsätzliches Nullstellen der ersten Ableitung Zweite Ableitungsfunktion Begriff und Berechnung Bedeutung für die Kurvendiskussion Extremwertsuche, Teil 1: Suche nach relativen Extremwerten Definition relativer Extrema: Hoch- und Tiefpunkte Waagerechte Tangente im Links- oder Rechtsbogen Rechnerische Ermittlung von relativen Extrema Höhere Ableitungsfunktionen Extremwertsuche, Teil 2: Globale Extremwerte im Definitionsbereich Extremwertsuche, Teil 3: Globale Extremwerte im Intervall Anwendung der 1. Ableitungsfunktion: Grenzwerte unbestimmter Ausdrücke 157

5 Inhaltsverzeichnis Funktionen mehrerer unabhängiger Veränderlicher Funktionen von zwei unabhängigen Veränderlichen Begriffe und Beispiele Graphen von Funktionen zweier Veränderlicher Spezielle Grafiken Linien gleicher Wirkung Niveaulinien als Lieferanten für Informationen über den Graphen Erste partielle Ableitungswerte und ihre Bedeutung für den Graphen Das totale Differential Waagerechte Tangentialebenen Differentialrechnung für Funktionen zweier Veränderlicher Theorie und Praxis Höhere partielle Ableitungen Extremwertsuche, Teil 1: Hoch- und Tiefpunkte bei 2 Veränderlichen Funktionen von mehr als zwei unabhängigen Veränderlichen Grundsätzliches Unvorstellbarkeit Erste partielle Ableitungswerte und totales Differential Differentialrechnung für Funktionen von n Veränderlichen (n >2 ) Regeln des partiellen Differenzierens Der Begriff des Gradienten Höhere partielle Ableitungsfunktionen Hesse-Matrix Extremwertsuche, Teil 2: Funktionen vieler Veränderlicher Extremwertsuche, Teil 3: Methode der Lagrange-Multiplikatoren Aufgabenstellung Beschreibung der Methode Analysis und Betriebswirtschaftslehre Preis-Absatz-Funktionen Angebotsmonopolisten Gewinnmaximum und Durchschnittskosten Gewinnmaximierung COBB-DOUGLAS-Funktion Stückkostenkurve und Grenzkosten Grenzerträge Zwei Güter Minimalkostenkombinationen Output-Maximierung...204

6 12 Inhaltsverzeichnis Teil III: Folgen, Reihen und Finanzmathematik 12 Folgen mit Reihen Folgen als spezielle Funktionen Beschränktheit und Monotonie, alternierende Folgen Beschränktheit von Folgen Monotonie von Folgen Alternierende Folgen Konvergenz und Divergenz von Folgen Das Problem mit dem Unendlichen Definitionen der bestimmten Divergenz Definition der Konvergenz Unbestimmte Ausdrücke Grenzwertsätze Rekursiv beschriebene Folgen Reihen Begriff, Reihen als spezielle Folgen Untersuchung von Reihen Geometrische Reihen Konvergenz von Reihen Grenzwert einer Funktion Grundzüge der Finanzmathematik Vorbemerkungen, Begriffe, Zeitstrahl Zins und Zinseszins bei jährlicher Verzinsung Die Zinseszinsformel Diskontieren Berechnung von Zinssätzen Laufzeitformel Unterjährige und stetige Verzinsung Unterjährige Verzinsung Stetige Verzinsung Ein- und Rückzahlung innerhalb desselben Jahres Vorbemerkung: Bankjahr und Bankmonate Einfache Verzinsung Mindestens ein Jahreswechsel zwischen Ein- und Rückzahlung Verzinsung von Ratenverträgen Aufgabenstellung Zwei wichtige Summenformeln Kapitalentwicklung bei Ratenverträgen...243

7 Inhaltsverzeichnis Renten Grundbegriffe, Aufgabenstellung Nachschüssige Renten Vorschüssige Renten Tilgungen Fairness, Unfairness und effektiver Jahreszins Teil IV: Lineare Algebra und Optimierung 14 Lineare Algebra: Matrizen Allgemeines Der Matrixbegriff Der Matrixbegriff in der Mathematik Matrizen-Begriffe Zeilen und Spalten, Format Vektoren als spezielle Matrizen Beziehungen zwischen Matrizen Transponieren Quadratische Matrizen Diagonalen Diagonal- und Einheitsmatrix Symmetrie Einfache Rechenregeln für Matrizen Addition und Subtraktion, Nullmatrix Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl Matrizenmultiplikation Herstellbarkeit von Matrizenprodukten Vertauschbarkeit Rechenregeln Besonderheiten der Nullmatrix Einselement der Matrizenmultiplikation Division von Matrizen Inverse Matrix Fragestellung Definition der inversen Matrix Inverse von Diagonalmatrizen Lösung einer Matrixgleichung mit quadratischer Matrix Einzigkeit der Inversen...276

8 14 Inhaltsverzeichnis 15 Lineare Algebra: Determinanten Der Determinantenbegriff Bedeutung der Determinante Berechnung von Determinanten Zweireihige Determinanten Dreireihige Determinanten die Regel von Sarrus n-reihige Determinanten der Entwicklungssatz Determinanten spezieller Matrizen Lineare Gleichungssysteme Definition, Darstellungsformen und Begriffe Das Lösungsverhalten linearer Gleichungssysteme Unlösbarkeit Lösbarkeit mit genau einer Lösung Lösbarkeit mit unendlich vielen Lösungen Zusammenfassung Die Regel von CRAMER für kleine quadratische Systeme Der Gauß sche Algorithmus Kritik der Cramer schen Regel, Problemstellung Das Gauß sche Eliminationsverfahren Gauß-Zusammenstellung Genau eine Lösung Unendlich viele Lösungen Kanonische Formen und Basislösungen Ermittlung von kanonischen Formen Eigenschaften kanonischer Formen Basislösungen, Basis- und Nichtbasisvariable Lineare Optimierung: Rechnerische Lösung Standard-Maximum-Probleme der linearen Optimierung Einführendes Beispiel Das Standard-Maximum-Problem der LO Schlupfvariable und ihre Bedeutung Begriff Form des linearen Gleichungssystems Hauptsatz der linearen Optimierung Schlussfolgerungen aus dem Hauptsatz Das Austauschverfahren zum Basistausch Basislösungen für die Produktionsplanung...324

9 Inhaltsverzeichnis Schlussfolgerungen und Aufgabenstellung Das Simplex-Verfahren Bedeutung Basistausch mit Simplex-Steuerung Unlösbarkeit Engpässe, Schattenpreise, Opportunitätskosten Fragestellung Engpässe Kapazitätserweiterung Opportunitätskosten, Schattenpreise Abschließendes Beispiel Nicht-Standard-Probleme der linearen Optimierung Grundsätzliches Spezielle Minimum-Probleme der linearen Optimierung Einheitlichkeit der Nebenbedingungen verletzt Negative rechte Seiten Ausblick Dualität in der linearen Optimierung Einführendes Beispiel Zusammenhänge Dualität Formales Beispiel Ökonomische Deutung der Dualität Dualitätssätze (Hinweis) Lineare Optimierung: Grafische Lösung Wiederholung: Optimales Produktionsprogramm Grafische Lösung des optimalen Produktionsprogramms Zulässiger Bereich und Ecken Zielfunktion Ein Diätproblem Problemstellung Grafische Lösung Weitere grafisch lösbare angewandte Aufgabenstellungen Das Gärtner-Problem Die Raffinerie-Aufgabe Die Kaffee-Aufgabe Die Meterwaren-Aufgabe Die Kohletransport-Aufgabe Die Kreditangebot-Aufgabe Die Reiseplanungs-Aufgabe Die Zuschnitt-Aufgabe...368

10 16 Inhaltsverzeichnis 19 Lineare Algebra und Betriebswirtschaftslehre Rohstoffe und Endprodukte Mehrstufige Produktion Maschinenzeitfonds Teil V: Zufall, Wahrscheinlichkeit, Verteilungsfunktionen 20 Wiederholung: Wahrscheinlichkeit Zufällige Ereignisse Zufallsexperimente Sicheres und unmögliches Ereignis Relationen zwischen zufälligen Ereignissen Operationen mit zufälligen Ereignissen Das Ereignisfeld Definition Eigenschaften des Ereignisfeldes Wahrscheinlichkeitsbegriffe Klassische Definition Mängel der klassischen Definition Axiomatischer Wahrscheinlichkeitsbegriff Bedingte Wahrscheinlichkeiten und unabhängige Ereignisse Zufallsgrößen und Verteilungen Zufallsgrößen Definition Drei Arten von Zufallsgrößen Zugang zur Verteilungsfunktion Verteilungsfunktion beim Würfeln Verteilungsfunktion der Zufallsgröße Münzwurf Eigenschaften von Verteilungsfunktionen alternativer Zufallsgrößen Eigenschaften von Verteilungsfunktionen diskreter Zufallsgrößen Vertiefendes Beispiel Verteilungen alternativer und diskreter Zufallsgrößen Von der Verteilung zu den Eigenschaften der Zufallsgröße Fragestellung Von der Verteilungsfunktion zur Zufallsgröße Poisson-Verteilung...406

11 Inhaltsverzeichnis Das Telefonzentralen-Beispiel Schätzung des Parameters λ Beschaffung von Wahrscheinlichkeiten Binomial-Verteilung Der Wettkampf Schätzung des Parameters p Beschaffung von Wahrscheinlichkeiten Stetige Verteilungen und stetige Zufallsgrößen Einführung Die Exponentialverteilung Definition, Berechnung von Wahrscheinlichkeiten Anwendungsbeispiel Schätzung des Parameters λ Normalverteilung Einführung, Normalität zufälliger Daten Normalverteilte Zufallsgrößen Definition und Verteilungsfunktion Bedeutung der Standardabweichung σ Berechnung von Wahrscheinlichkeiten Schätzung der Parameter Erkennen von Normalverteilungen Aufgabenstellung, Grundsätzliches Wann darf Normalverteilung angenommen werden? Überprüfung der 3s-Bedingung Säulendiagramm der Klassenhäufigkeiten Glockenkurve Dichtefunktion, Standardnormalverteilung, Quantile Glockenkurve, Dichtefunktion der Normalverteilung Standardnormalverteilung Quantile Teil VI: Beurteilende Statistik 26 Statistische Tests: Prüfung von Verteilungen Das Problem...449

12 18 Inhaltsverzeichnis 26.2 Prüfung der Poisson-Verteilung Prüfgröße Form des Ablehnungsbereiches Signifikanzniveau Linker Rand des Ablehnungsbereiches Entscheidung Hinweis Verallgemeinerung: Prüfung von diskreten Verteilungen Aufgabenstellung Hypothese und Gegenhypothese Signifikanzniveau und Stichprobe Prüfgröße Quantil für die Entscheidung mit dem Ablehnungsbereich Ablehnungsbereich Entscheidung mit dem Ablehnungsbereich Prüfung einer stetigen Verteilung mit bekannten Parametern Aufgabenstellung Hypothese und Gegenhypothese Signifikanzniveau und Stichprobe Prüfgröße Quantil für die Entscheidung mit dem Ablehnungsbereich Ablehnungsbereich Entscheidung mit dem Ablehnungsbereich Beispiel Prüfung einer stetigen Verteilung mit unbekannten Parametern Ergänzung: Quantile der Chi-Quadrat-Verteilung aus Tafeln ablesen Statistische Tests: Parametertests Gegenhypothesen, Fragestellungen bei Parametertests Beispiel Aufgabenstellung Ablehnungsbereich Prüfgröße Entscheidung Andere Gegenhypothese: Rechts einseitige Fragestellung Andere Gegenhypothese: Zweiseitige Fragestellung Ergänzung: Quantile der Standardnormalverteilung aus der Tafel ablesen Parameterprüfung bei großen Stichproben Prüfung des Anteilwertes mit großen Stichproben Prüfung des Erwartungswertes mit großen Stichproben...474

13 Inhaltsverzeichnis Parameterprüfung bei kleinen Stichproben Prüfung des Erwartungswertes bei bekannter Standardabweichung Aufgabenstellung Hypothese, Gegenhypothesen und Fragestellungen Signifikanzniveau und Stichprobe Prüfgröße Quantile für die Entscheidung mit dem Ablehnungsbereich Ablehnungsbereiche Entscheidung Beispiel Prüfung des Erwartungswertes bei unbekannter Standardabweichung Aufgabenstellung Hypothese, Gegenhypothesen und Fragestellungen Signifikanzniveau und Stichprobe Prüfgröße Einschub: Die Student sche t-verteilung Quantile für die Entscheidung mit dem Ablehnungsbereich Ablehnungsbereiche Entscheidung mit dem Ablehnungsbereich Einschub I: Excel und die Beschaffung der Quantile Einschub II: Quantile der t-verteilung aus Tafeln ablesen Beispiel Prüfung der Varianz Aufgabenstellung Hypothese, Gegenhypothesen und Fragestellungen Signifikanzniveau und Stichprobe Prüfgröße Einschub: Die Chi-Quadrat-Verteilung Quantile für die Entscheidung mit dem Ablehnungsbereich Ablehnungsbereiche Entscheidung Einschub I: Quantile der Chi-Quadrat-Verteilung aus Tafeln ablesen Einschub II: Excel und die Beschaffung der Quantile Beispiel Weiterführende und vertiefende Literatur Sachwortverzeichnis...497

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