Inhalt 1 GRUNDLAGEN Zahlen Natürliche Zahlen Ganze Zahlen Rationale Zahlen Reelle Zahlen 4

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1 Inhalt 1 GRUNDLAGEN Zahlen Natürliche Zahlen Ganze Zahlen Rationale Zahlen Reelle Zahlen Rechnen mit reellen Zahlen Grundgesetze der Addition Grundgesetze der Multiplikation Binomische Formeln Vorzeichenregeln Regeln für Brüche Potenzen Wurzeln Summenzeichen Mengen Definition Mengensymbolik Mengenoperationen Rechnen mit Mengen Funktionen Definition von Relation und Funktion Inverse Funktionen Zusammengesetzte Funktionen Ungleichungen, Absolutbetrag Ungleichungen Absolutbetrag Intervalle Folgen und Reihen Definitionen der Folge und Reihe Arithmetische Folgen und Reihen Geometrische Folgen und Reihen Konvergenz 98

2 X Inhalt 2 FUNKTIONEN, GRENZWERTE, STETIGKEIT Arten von Funktionen Ganze rationale Funktionen Gebrochen rationale Funktionen Wurzelfunktionen Exponentialfunktionen Logarithmische Funktionen Anwendungen Grenzwerte von Funktionen Definition des Grenzwerts Sonderfälle von Grenzwerten Verknüpfung und Berechnung von Grenzwerten Stetigkeit Definition der Stetigkeit Arten der Unstetigkeit Eigenschaften stetiger Funktionen DIFFERENTIATION Steigung und Ableitung einer Funktion Lineare Funktionen Nichtlineare Funktionen Definition der Ableitung Ableitungen einfacher Funktionen Konstante Funktion Identische Funktion Potenzfunktion Ableitungen für Summe, Produkt und Quotient Produkt einer Konstanten und einer Funktion (Faktorregel) Summe und Differenz (Summenregel) Produkt zweier Funktionen (Produktregel) Quotient einer Funktion (einfache Quotientenregel) Quotient zweier Funktionen (Quotientenregel) Zusammengesetzte Funktionen (Kettenregel) Ableitung der Logarithmus- und Exponentialfunktion Die Eulersche Zahl e Ableitung des natürlichen Logarithmus Ableitung des natürlichen Logarithmus einer Funktion Ableitung des allgemeinen Logarithmus Ableitung der e-funktion Ableitung der allgemeinen e-funktion 178

3 Inhalt XI Ableitung der allgemeinen Exponentialfunktion Logarithmische Differentiation und Transformation Instrumente der Differentialrechnung Differential Newton-Verfahren L Hospitalsche Regel Stetigkeit und Differenzierbarkeit Eigenschaften von Funktionen Steigende und fallende Funktionen, Monotonie Relative Maxima und Minima Konvexe und konkave Funktionen Ökonomische Anwendungen Durchschnittskostenminimum Gewinnmaximum des Polypolisten Erlösfunktion, Grenzerlös, Durchschnittserlös Elastizitäten Gewinnmaximum des Monopolisten Lagerhaltungsmodelle, optimale Bestellmenge DIFFERENTIATION: FUNKTIONEN MEHRERER VARIABLEN Funktionen zweier Variablen Partielle Differentiation Partielle Ableitungen 1. Ordnung Geometrische Bedeutung der partiellen Ableitung Partielle Ableitungen 2. Ordnung Anwendungen der partiellen Differentiation Totales Differential Totale Ableitung Implizite Differentiation Partielle Elastizitäten Maxima und Minima Definition Hinreichende Bedingungen Anwendungen Maxima und Minima unter Nebenbedingungen Problemstellung Lagrange Multiplikatoren Methode Geometrische Interpretation der hinreichenden Bedingungen Bedeutung des Lagrange-Multiplikators 288

4 XII Inhalt Anwendungen INTEGRATION Das bestimmte Integral Problemstellung Beispiele Definition des bestimmten Integrals Eigenschaften bestimmter Integrale Das unbestimmte Integral Integralfunktion Stammfunktion Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Spezielle Stammfunktionen (Grundintegrale) Integrationstechniken Integration durch Substitution Partielle Integration Integration durch Partialbruchzerlegung Uneigentliche Integrale Problemstellung Integrale mit unbeschränkten Integrationsintervallen Integrale mit unbeschränkten Integranden Vergleichstest für die Konvergenz Flächenberechnungen (Quadraturen) Fläche unter einer Kurve Negative Flächen Fläche zwischen zwei Kurven Doppelintegrale Ökonomische Anwendungen Konsumentenrente Produzentenrente Ressourcialökonomie: Verbrauchsfunktion Kostenfunktion, Grenzkostenfunktion Grenzsteuersatz und Steuerbetrag Ertragswert einer Investition DIFFERENZENGLEICHUNGEN Grundlagen Differenzen- und Differentialgleichungen Klassifikation von Differenzengleichungen 398

5 Inhalt XIII 6.2 Homogene Differenzengleichungen 1. Ordnung Lösung Verhalten der Lösung im Zeitablauf (Dynamik) Beispiele Anwendungen Inhomogene Differenzengleichungen 1. Ordnung Lösung Dynamische Eigenschaften der Lösungen Beispiele Anwendungen Homogene Differenzengleichungen 2. Ordnung Lösungsansatz Fall > 0 : Reelle und ungleiche Wurzeln Kaninchenproblem und Fibonacci-Folge Fall = 0 : Reelle und gleiche Wurzeln Exkurs: Komplexe Zahlen Fall < 0 : Komplexe Wurzeln Stabilitätsbedingungen (Koeffizientenkriterien) Inhomogene Differenzengleichungen 2. Ordnung Partikuläre Lösung Allgemeine Lösung Beispiele Anwendungen DIFFERENTIALGLEICHUNGEN Definition und Klassifikation Homogene Differentialgleichungen 1. Ordnung Lösung Dynamisches Verhalten der Lösung Homogene Differentialgleichungen mit variablen Koeffizienten Inhomogene Differentialgleichungen 1. Ordnung Partikuläre Lösung Allgemeine Lösung Inhomogene Differentialgleichungen mit variablen Koeffizienten Anwendungen Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung Lösung der homogenen Differentialgleichung 2. Ordnung Partikuläre Lösung der inhomogenen DG 2. Ordnung Allgemeine Lösung der inhomogenen DG 2. Ordnung 541

6 XIV Inhalt 8 LINEARE ALGEBRA (MATRIXALGEBRA) Definitionen und Unterscheidungen Beispiele Matrix und Vektor Spezielle Matrizen Matrixoperationen Addition und Subtraktion von Matrizen Multiplikation mit einem Skalar Transponieren Matrizenmultiplikation Determinanten Definition der Determinante Eigenschaften von Determinanten (Rechenregeln) Inverse Matrizen Definition der Inversen Berechnung der Inversen aus Determinante und Adjunkte Eigenschaften der Inversen Berechnung der Inversen mit Elementaroperationen Vektorräume, lineare Unabhängigkeit und Rang Vektorräume und lineare Unabhängigkeit Rang einer Matrix Lineare Gleichungssysteme Begriff und Problemstellung Existenz einer Lösung Inhomogene lineare Gleichungssysteme: Fall m = n Inhomogene lineare Gleichungssysteme: Fall m > n Inhomogene lineare Gleichungssysteme: Fall m < n Homogene lineare Gleichungssysteme Extremalbedingungen für Funktionen Gradient, Hesse-Matrix Hinreichende Bedingungen für unbeschränkte Extrema Hinreichende Bedingungen für beschränkte Extrema 662 LÖSUNGEN 669 LITERATUR 683 INDEX 687